图乘法(力学)
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6.5 图形相乘法 结构力学
C A0 ql2/8 A2
B A C y0
1
B 1
M 2图
MP图
将MP图与 M 2 图相乘，则得 A0 y 0 ql 2 1 2 l qB ( l ) EI EI 3 8 2 ( ql )3 24EI
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【例6-8】试求图示悬臂梁跨中截面C的挠度DCV。已知EI=常数。
其中
M图
l
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当MP或图的竖标a、b或c、 d不在基线同侧时，如图619b所示，处理原则仍和上 面一样，可将MP分解为位 于基线两侧的两个三角形 （其中A1在上侧，A2在下 侧），按上述方法，分别图 乘，然后叠加。
1 1 A1 al, A2 bl 2 2 2 1 2 1 y01 c d , y02 d c 3 3 3 3
二梁杆 竖杆
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1 qa2 2 a 1 qa2 1 a a) ( ) 2 ( a) ( ) 0 2 ( 2 4 3 2 2 4 3 2 3qa4 () 24EI 1 EI
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如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写 为
Ay0 MM P Δ ds EI EI
三、应用图乘法的注意事项
(6-17)
1）y0只能取自直线图形，而A应取自另一图形。
2）当A与y0在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在 异侧时，应取负号。
y03 y 04
MP图 y01
1
结构力学图乘法课件
THANKS
感谢观看
工程实践应用
探讨结构力学图乘法在工程实践中的应用，包括结构分析和设计、损伤识别与健康监测、物理实验模拟等领域，以帮 助学员了解该领域的实际应用和未来发展方向。
对个人发展的启示 总结学习结构力学图乘法的经验和方法，提出对个人发展的启示和建议，包括思维方式、分析问题和解 决问题的能力以及团队协作等方面的提升。
图乘法的扩展应用
建筑结构分析
图乘法在建筑结构分析中有着广泛的应用，可以用于分析建筑结构的强度、刚度和稳定性。 通过图乘法，工程师可以快速求解出建筑结构的响应和性能，为建筑设计和施工提供依据。
桥梁结构分析
图乘法在桥梁结构分析中也有着重要的应用，可以用于分析桥梁的承载能力和稳定性。通 过图乘法，工程师可以得出桥梁在不同载荷条件下的响应和性能，为桥梁的设计和施工提 供依据。
选择实例
选择具有代表性的扭转结构作 为分析对象。
建模分析
建立结构模型，进行静力分析 和动力学分析。
结果比较
比较不同设计方案和参数下的 结果，分析优劣。
结论总结
总结分析结果，提出优化方案 和结论。
06
图乘法的应用与扩展
图乘法在结构设计中的应用
01
简化复杂结构分析
图乘法可以用于求解复杂结构的内力和位移，通过将结构分解为简单部
教学方法评析
对采用的教学方法和策略进行反 思和评析，包括案例分析、课堂 讲解、小组讨论和习题练习等， 以帮助学员更好地掌握知识和技
能。
学员收获与感受
分享学员在学习过程中的收获和 感受，包括对基本概念的理解、 解决问题的能力和实践应用能力
的提升等方面。
展望与启示
前沿技术发展
介绍结构力学图乘法领域的前沿技术和研究动态，包括新理论、新方法和新应用等，以激发学员对该领域的兴趣和研 究热情。
结构力学(第三章)-图乘法
( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip
yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
5结构力学图乘法.
（1）常见图形面积和形心：
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
矩 形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次 抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI
(M x tanα)
yc
xc x
M
x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
4、 注意事项
KP AP yc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2） 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解： 作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K
工程力学-图乘法
顶点
标准抛物线:
2 A lh 3
C
h
5l/8 l
3l/8
图形顶点的斜率必须平行于杆轴线
河南理工大学
结构力学
图乘法
例
计算下图所示简支梁的跨中挠度
q
EI 常数
真实系统
A
l 2
A C
B
l 2
MP 图
ql 2 8
虚设系统
P 1
A
5 l 8 4
C
B
l 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M 图
C点竖向位移
1 ql 5l 5ql 1 MM P dx 2 () EI EI 24 32 384EI
Ay0
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结构力学
图乘法
MMP 1 ds Ay0 EI EI
一个弯矩图的图形面积 面积A形心处的另一直线弯矩图上的纵标
!!切莫丢掉 此项
注意: 适用条件: 直杆; EI=C; 一个弯矩图为直线
y0必须取自直线弯矩图 符号规定: 两弯矩图位于杆件的同侧，Ay0 为正；反之，为负
河南理工大学
结构力学
第十一章 能量法
虚功原理
线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为
则
河南理工大学
结构力学
图乘法（Graph-multiplication Method）
补充条件:
L
MM p EI
o
ds
杆件为直杆
抗弯刚度EI常数
其中一个弯矩图为直线图形
河南理工大学
结构力学
图乘法
河南理工大学
结构力学
图乘法
常用图形的面积和形心 三角形
6.5 图形相乘法 结构力学
=
MA
MB
+
MA B A dx a qa2/8 MB
MA MA A MB a q B MB
=
+
qa2/8
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四、应用图乘法的计算步骤
1）作实际荷载弯矩图MP图； ）作实际荷载弯矩图 图 2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图； ）加相应单位荷载，作单位弯矩图图； 3）用图乘法公式（6-17）求位移。 ）用图乘法公式（ ）求位移。 所示简支梁跨中截面C的挠度 例6-7】试求图 】试求图6-21a所示简支梁跨中截面 的挠度CV和B端的 所示简支梁跨中截面 端的 已知EI=常数。 常数。 转角θB。已知 常数
O
M =xtanα
α
x A x0
M
M图
x
式中， 式中，dA=MPdx为MP图中有阴影线的微分面积，而 xdA即为 为 图中有阴影线的微分面积， 整个M 图的面积对y轴的静矩 轴的静矩。 表示M 的形心至y轴的距 整个 P图的面积对 轴的静矩。用x0表示 P的形心至 轴的距 离，则有 xdA = Ax (b)
1
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5 140 (45) A1 D
y02 y01 12 y03
C
4m C 4m
D
y04 y05
A
MP图(kNm)
M 图(m)
y 01
1 = ×12 = 6 2
2 y02 = × 12 = 8 3
y 03 = y 04 = y 05 = 12
MP图 l y03 y 04 y01
A
1
B
y02
C
M图
《图乘法力学》课件
与数值法的比较
数值法通过计算机模拟得出结果，适用于复杂问题但需要专业软件；图乘法简单易行，但计算能力有限。
05
CHAPTER
图乘法的发展趋势与展望
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，图乘法在分析飞行器结构、优化设计等方面将有更广泛的应用。
1
2
3
图乘法在多物理场耦合分析方面具有优势，未来研究将进一步深化其在流固耦合、热固耦合等领域的应用。
直观易懂
图乘法在处理某些复杂问题时，可以简化计算过程，提高解题效率。
计算简便
图乘法适用于多种类型的力学问题，尤其在解决平面问题和旋转问题时表现出色。
适实际实验获取数据，真实度高但受实验条件限制；图乘法不受实验条件限制，但结果依赖于绘图精度。
与解析法的比较
解析法通过数学公式解析问题，精确度高但计算复杂；图乘法在保持一定精确度的同时，简化了计算过程。
详细描述
02
CHAPTER
图乘法的基本原理
图乘法涉及到代数运算，包括线性代数和矩阵运算等。
代数基础
几何基础
微积分基础
图乘法涉及到几何图形，如平面图形和立体图形等。
图乘法涉及到微积分的知识，如微分和积分等。
03
02
01
图乘法可以用于结构分析，通过计算结构的位移和应力等参数，评估结构的性能。
结构分析
在机械结构分析中，图乘法常用于计算机械零件的应力和变形。通过将机械零件各部分离散化，并利用图乘法计算各部分产生的内力和变形，可以得出整个机械零件的受力状态和变形情况。这对于确保机械零件的安全性和稳定性至关重要。
总结词
详细描述
04
CHAPTER
图乘法的优缺点分析
图乘法通过图形直观地展示力学问题，使得学生更容易理解。
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
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1 1
Mi
1
Mi
l
l
1
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD
ql
C
D
l
A
q
B
ql
1
q
1
l
ql 2
l
l
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
Ay c 1 1 2 1 2 ql 2 CD ( l ql 2 l l ql 2 l l l) EI EI 2 3 2 3 8 11ql 4 ( ) 12 EI
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2 A3 y3 Ai yi
4、图乘法步骤：
1、取虚状态
2、画弯矩图
MPM ຫໍສະໝຸດ P 3、代入图乘法公式
Ayc EI
例1：求图示梁B端转角。
A
P
B B
EI
l/2 l/2 Pl / 4
M 1 B 1
Ayc B EI
解:
已知 EI 为常数，求B截面转角。
2kN/m
B
6kN
1
4
3m
MP
12
Mi
A
4m 2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
Ay c 1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI EI 2 3 3 2 8 ( ) 3EI
求：1、C点竖向位移 CV 2、C截面转角 C 3、A和C截面相对转角 AC
已知： E、I、A为常数，求 CV 。
D
P A B
a
C
l 2 l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
NP P / 2
A
l 2
D P
Ni 1 / 2
D
a
B
2
Pl 4
A
l
1 C
2
a
B
l 2
l 4
C l
MP
M
2 1 l Pl 2 l 1 1 P Pl 3 Pa Cy [( ) ] a () EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48 EI 4 EA
图乘法的适用条件：
（1）杆件轴线是直线； （2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）M 图和 M P 图中至少有一个是直线图形。
图乘法公式
MKMP EI ds
←杆轴为直线 ←杆段EI为常数
KP
y
Ayc EI
MKMP dx EI 1 M K M P dx EI
C A
B
( M x tan α)
2
EI
l
ql 2 / 4
ql 2 / 8
1
ql 2 4
M
1 2 ql 2 1 1 ql 2 2 B ( l l 1) EI 3 8 2 2 4 3 ql 3 ( ) 24 EI
练习：图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
(2c d ) y1 3 y (c 2 d ) 2 3
M M
i
K
dx 1 y1 2 y2
(2c d) y1 3 y (2d c) 2 3
A a C
A1
B A2 b
MK 图
D
y1
c
y2
d
M图
（3）曲线图形与折线图形相乘
q
A l
B
C
l/2
求图示悬臂梁A端的转角 P
求图示刚架B端的竖向位移
q 2EI EI B l/2 A l
2EI
a
EI a A
求C、D两点相对水平位移 CD 。
P
Pl EI
C
D
P
l
EA A
MP
1
l l
1
EI Pl
B
l
Mi
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
Ayc Ni N Pl 1 1 2 1 B Pl l l 4 (2 P)( 2) l EI EA EI 2 3 EA 4 Pl 3 4 Pl () 3EI EA
40
1
M
1 1 2 B 10 1 (60 20 ) EI 2 3 100 ( ) EI
A
20
B
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 100 20 10 ) ( ) 2 3 EI
练习：求 B
q q
MP
A
B
ql / 8
矩 形
a
l
A al
A 1 al 2
l
xc 1 l 2 xc 1 l 3
xc 1 l 4
3 xc 8 l
三角形
a a
l
A 1 al 3 A 2 al 3
l
标准二次 抛物线
a a
A 2 al 3
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 x tan α M P dx EI tan α tan α xM P dx EI xdA EI
xc x
yc
x
tan α AP xc EI
AP yc EI
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
2. 注意事项
第四章 静定结构的位移计算
4.4 图乘法
Graph Multiplication Method
1. 图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP MKMP ds EI
称莫尔积分
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下 不方便。 图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图形积分 变为图形相乘。
A
MP
1 1 Pl 1 l EI 2 4 2 2 1 Pl ( ) 16 EI
M
60
例2：求 B
A
B
20
MP
A
40 B
20
EI
20kN m
40kN m 10 m
1 1 2 B ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
KP Ayc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2）yc 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
3. 图形相乘的几种情况
（1）常见图形面积和形心：
Pl
P
P
MP
l
AB
l
l
1 1
l
Mi
1
1
Ay c ABY EI 1 1 2 ( l Pl l 4 l有什么发) Pl l 2 EI 2 3 现？ 3 10 Pl () 3 EI Ayc Ayc ABX 0 AB 0 EI EI
Mi
1
Mi
l
l
1
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD
ql
C
D
l
A
q
B
ql
1
q
1
l
ql 2
l
l
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
Ay c 1 1 2 1 2 ql 2 CD ( l ql 2 l l ql 2 l l l) EI EI 2 3 2 3 8 11ql 4 ( ) 12 EI
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2 A3 y3 Ai yi
4、图乘法步骤：
1、取虚状态
2、画弯矩图
MPM ຫໍສະໝຸດ P 3、代入图乘法公式
Ayc EI
例1：求图示梁B端转角。
A
P
B B
EI
l/2 l/2 Pl / 4
M 1 B 1
Ayc B EI
解:
已知 EI 为常数，求B截面转角。
2kN/m
B
6kN
1
4
3m
MP
12
Mi
A
4m 2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B
Ay c 1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI EI 2 3 3 2 8 ( ) 3EI
求：1、C点竖向位移 CV 2、C截面转角 C 3、A和C截面相对转角 AC
已知： E、I、A为常数，求 CV 。
D
P A B
a
C
l 2 l 2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
NP P / 2
A
l 2
D P
Ni 1 / 2
D
a
B
2
Pl 4
A
l
1 C
2
a
B
l 2
l 4
C l
MP
M
2 1 l Pl 2 l 1 1 P Pl 3 Pa Cy [( ) ] a () EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48 EI 4 EA
图乘法的适用条件：
（1）杆件轴线是直线； （2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）M 图和 M P 图中至少有一个是直线图形。
图乘法公式
MKMP EI ds
←杆轴为直线 ←杆段EI为常数
KP
y
Ayc EI
MKMP dx EI 1 M K M P dx EI
C A
B
( M x tan α)
2
EI
l
ql 2 / 4
ql 2 / 8
1
ql 2 4
M
1 2 ql 2 1 1 ql 2 2 B ( l l 1) EI 3 8 2 2 4 3 ql 3 ( ) 24 EI
练习：图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。
(2c d ) y1 3 y (c 2 d ) 2 3
M M
i
K
dx 1 y1 2 y2
(2c d) y1 3 y (2d c) 2 3
A a C
A1
B A2 b
MK 图
D
y1
c
y2
d
M图
（3）曲线图形与折线图形相乘
q
A l
B
C
l/2
求图示悬臂梁A端的转角 P
求图示刚架B端的竖向位移
q 2EI EI B l/2 A l
2EI
a
EI a A
求C、D两点相对水平位移 CD 。
P
Pl EI
C
D
P
l
EA A
MP
1
l l
1
EI Pl
B
l
Mi
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
Ayc Ni N Pl 1 1 2 1 B Pl l l 4 (2 P)( 2) l EI EA EI 2 3 EA 4 Pl 3 4 Pl () 3EI EA
40
1
M
1 1 2 B 10 1 (60 20 ) EI 2 3 100 ( ) EI
A
20
B
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 100 20 10 ) ( ) 2 3 EI
练习：求 B
q q
MP
A
B
ql / 8
矩 形
a
l
A al
A 1 al 2
l
xc 1 l 2 xc 1 l 3
xc 1 l 4
3 xc 8 l
三角形
a a
l
A 1 al 3 A 2 al 3
l
标准二次 抛物线
a a
A 2 al 3
xc 1 l 2
（2） 梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 x tan α M P dx EI tan α tan α xM P dx EI xdA EI
xc x
yc
x
tan α AP xc EI
AP yc EI
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。
2. 注意事项
第四章 静定结构的位移计算
4.4 图乘法
Graph Multiplication Method
1. 图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP MKMP ds EI
称莫尔积分
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下 不方便。 图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图形积分 变为图形相乘。
A
MP
1 1 Pl 1 l EI 2 4 2 2 1 Pl ( ) 16 EI
M
60
例2：求 B
A
B
20
MP
A
40 B
20
EI
20kN m
40kN m 10 m
1 1 2 B ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
KP Ayc EI
还记得 吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件； （2）yc 必须取自直线图形； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
3. 图形相乘的几种情况
（1）常见图形面积和形心：
Pl
P
P
MP
l
AB
l
l
1 1
l
Mi
1
1
Ay c ABY EI 1 1 2 ( l Pl l 4 l有什么发) Pl l 2 EI 2 3 现？ 3 10 Pl () 3 EI Ayc Ayc ABX 0 AB 0 EI EI