2018年高考数学 黄金100题系列 第37题 三角形中的不等问 文

第 37题 三角形中的不等问题I由 8位∴∴∴第24C D ，8=，，要311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立．故 cos C 的最小值为12． 【例4】【2015高考湖南，文17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B为钝角．（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围．【解析】（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =，即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-=．（2）由（1）知，()C A B π=-+，(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-=sin cos2A A +=22192sin sin 12(sin )48A A A -++=--+，∵04A π<<，∴ 0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9(]28． III ．理论基础·解题原理考点一 三角形中的不等关系1．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2．任一角都大于00而小于1800，任意两角之和也是大于00而小于1800；3 3．．设角A 是一三角形的内角，则1sin 0≤<A ；4．在锐角三角形中，任意两角之和也是大于900而小于1800； 5．在同一三角形中大边对大角，大角对大边 考点二 与三角形有关的综合问题类型常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力．对这类问题要认证读题，利用相关知识将条件转化为三角形的边角条件，利用正余弦定理，将问题转化为三角形的纯边或纯角的函数问题，再利用基本不等式或函数求值域的方法处理之． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】一般中档题，考ABC ∆中，22222222a b c a b c ab ab +-+-==．3．三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围．【易错指导】在求与三角性有关的最值（范围）问题时，常先利用正余弦定理将其化为角的三角函数，再利用三角形内角和定理消去角的个数，结合题中的条件和消去角的范围确定留下角的范围，利用三角函数图像与性质求解，最容易出现的错误①没有进一步确定留下角的范围；②在求最值时没有结合三角函数图像求最值而是直接代角范围的端点值，应尽量避免之．V ．举一反三·触类旁通考向1 关于三角形边的代数式的范围（最值）问题【例5】【2017 （1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的边分别为,,a b c ，求a 的最小值．【答案】（1）2，6（2）1．(0,A π∈在ABC ∆中，由余弦定理，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin 0b C C a c +--=．（1）求B ；（2）若b =2a c +的取值范围．（2）由（1）得：()22,2i n s i nbR a c R A B==+==+，其中，(2sin0,3A Aπϕϕ⎛⎫==∈+⎪⎝⎭【方法总结】对于三角形中边的代数式的最值问题，若是三角形中最大（小）边长问题，先根据角判定三边的大小关系，再用正弦定理或余弦定理求解；若是关于两边以上的齐次代数式，若能求得两边的和或积为常数，可以利用基本不等式求最值，也可以利用正弦定理化为对应角的三角函数式的最值，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围．【跟踪练习】高三五月适应性考试】在ABC∆中，，则最短边的长为．由10103cos,21tan==BA得sin C∴=由最长为1得1=c，则最短边为,b由正弦定理可得sinsincb BC=⨯==考向2 关于三角形角的三角函数式的范围（最值）问题【例7】【2017贵州遵义一联】已知在ABC∆中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且()22sin3cos0A B C++=．（1）求角A的大小；（2）若ABC ∆的面积S a ==sin sin B C +的值．【方法总结】对于三角形中角的三角函数式的最值问题，若是三角形某个角余弦的最值问题，常用余弦定理化为边，利用基本不等式求最值；若是含有多个角三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围．【跟踪练习】【2017重庆一中高二下学期期中】在ABC ∆中，已知BC A tan 2tan 1tan 1=+，则Bc o s 的最小值为（ ）A ．32 B ．42C ．31D ．21【答案】D 【解析】由112tan tan tan A C B +=有cos cos 2cos sin sin sin A C BA C B+=，通分化简有2sin 2sin sin cos B A C B =，由正弦定理有22cos b ac B =，由余弦定理有222cos 2a c b B ac +-=①，化简得2221()2b ac =+，代入①有2221cos 442a c ac B ac ac +=≥=，所以cos B 的最小值为12，选D ． 考向3 关于三角形面积的最值问题【例8】【2017河北石家庄二中三模】如图，在ABC ∆ 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()cosC a b sinC =+ ．（1 （2为ABC ∆外一点， 2,1DB DC == ，求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1424(a b sinC =1．【2017江西质检】如图所示，在平面四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=，120BCD ∠=，则四边形ABCD 的面积的最大值是 ．【答案】【方法总结】对三角形中面积的最值问题，若一角为定值，常用余弦定理及基本不等式求出这个角两边积的最值，即可利用面积公式求出面积的最值，也可以利用正弦定理化为对角的三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围；若邻边的积为定值，先求出夹角的正弦的取值范围，即可求出三角形面积的最值．2．【2017云南玉溪三模】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin 3a b C c B =-． （1）求B ；（2）若点D 为边AC 的中点，2,1AB BC ==，求ABC ∆面积的最大值．【解析】（1）因为cos sinB a b C =，由正弦定理知sin sin cos sinB A B C C =，即()sin sin cos sin 3B C B C C B +=-，sin cos cos sin sin cos sin sin 3B C B C B C C B +=-，cos sinC sin 3B C B =-．又由C 为ABC ∆的内角，故而sin 0C ≠，所以tan B = 又由B 为ABC ∆的内角，故而23B π=考向4 与解三角形有关的其它最值（范围）问题【例9】【2017江苏南通如皋第一次联考】如图，矩形ABCD 是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB ＝50米，AD ＝100米，现拟在直角三角形OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD 的中点，OM ⊥ON ，点M 在AB 上，点N 在CD 上），将破旧的道路AM 重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM 成本为每米500元，设∠OMA ＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f (θ)．（1）求f (θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tan θ为何值时，总费用 f (θ)【答案】（1）f (θ)＝1125000sin cos tan θθθ⎛⎫⋅+⎪⎝⎭，其定义域为ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；2）500002试题解析：（1）据题意，在Rt ∆OAM 中，OA ＝50，∠OMA ＝θ，所以AM ＝50tan θ，OM ＝50sin θ，，C的对边分别为a，b，c，已知是锐角三角形，求实数p的取值范围．。