第41-42节 杆件的变形计算与刚度校核(一)教材
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杆件结构的变形计算
为相对角位移。
6.5.1 作用在弹性杆件上的力所作的 功
外力的作用下将产生变形，在这一过程中，外力将在杆件相应的位移上作功。 外力作功分为常力作功和变力作功两种形式。
1、常力功 当杆件位移发生之前，力已经存在，且位移产生过程中，作用力不发生
变化，则此时力所作的功为常力功。 等于该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。 2、变力功 当弹性杆件在力的作用下所产生的位移，随力和变形的增加而增加时，
例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠
解： M ( x) F x
度.
Vε
M 2( x)dx l 2EI
l (Fx )2dx F 2l 3
0 2EI
6EI
W
1F 2
wB
由Vε=W 得
wB
Fl 3 3EI
A
l
F
B x
例题2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C
截面的挠度.
四、功能原理
可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内 力均将作功. 对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力 在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的 应变能.
Vε = W
五、杆件变形能的计算
1.轴向拉压的变形能
当拉力为F1 时,杆件的伸长为 Δl1
当再增加一个dF1时,相应的F 变形
dF1
力所作的功为变力功。
W 1 Fl 2
6.5.2 杆件的弹性应变能
弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力 所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。而当外力 逐渐减小时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内 的能量被释放而作功。
这种因弹性体变形而储存的能量称为弹性应变能。 储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功。
6.5.1 作用在弹性杆件上的力所作的 功
外力的作用下将产生变形，在这一过程中，外力将在杆件相应的位移上作功。 外力作功分为常力作功和变力作功两种形式。
1、常力功 当杆件位移发生之前，力已经存在，且位移产生过程中，作用力不发生
变化，则此时力所作的功为常力功。 等于该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。 2、变力功 当弹性杆件在力的作用下所产生的位移，随力和变形的增加而增加时，
例题1 试求图示悬臂梁的变形能,并利用功能原理求自由端B的挠
解： M ( x) F x
度.
Vε
M 2( x)dx l 2EI
l (Fx )2dx F 2l 3
0 2EI
6EI
W
1F 2
wB
由Vε=W 得
wB
Fl 3 3EI
A
l
F
B x
例题2 试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C
截面的挠度.
四、功能原理
可变形固体在受外力作用而变形时,外力和内 力均将作功. 对于弹性体,不考虑其他能量的损失,外力 在相应位移上作的功,在数值上就等于积蓄在物体内的 应变能.
Vε = W
五、杆件变形能的计算
1.轴向拉压的变形能
当拉力为F1 时,杆件的伸长为 Δl1
当再增加一个dF1时,相应的F 变形
dF1
力所作的功为变力功。
W 1 Fl 2
6.5.2 杆件的弹性应变能
弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力 所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。而当外力 逐渐减小时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内 的能量被释放而作功。
这种因弹性体变形而储存的能量称为弹性应变能。 储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功。
杆件的强度与刚度计算PPT文档46页
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
杆件的强度与刚度计算
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
杆件的强度与刚度计算
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
《杆件的四种基本变形及组合变形、-直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计
《杆件的四种基本变形及组合变形、直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。
剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各截面沿外力作用方向发生相对错动。
剪切面是指两横向力之间的横截面，破坏常在剪切面上发生。
扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。
扭转变形的变形特点：各横截面绕杆轴线发生2．剪切【工程实例】如图a所示为一个铆钉连接的简图。
钢板在拉力F的作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力（图b），这时，铆钉的上、下两部分将发生水平方向的相互错动（图c）。
当拉力很大时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。
3. 扭转用改锥拧螺钉时，在改锥柄上手指的作用力构成了一个力偶，螺钉的阻力在改锥的刀口上构成了一个方向相反的力偶，这两个力偶都作用在垂直于杆轴的平面内，就使改锥产生了扭转变形，如图a所示。
例如汽车的转向轴（图b）。
当驾驶员转动方向盘时，相当于在转向轴A端施加了一个力偶，与此同时，转向轴的B端受到了来自转向器的阻抗力偶。
于是在轴AB的两端受到了一对大小相等、转向相反的力偶作扭转角的概念，如图4. 弯曲【试一试】两手支撑一把长尺子，中间放一重物，尺子会发生怎样的变形呢？纵向对称面：梁的横截面多为矩形、工字形、等（图），它们都有一根竖向对称轴，这根对称轴与梁轴线所构成的平面称为纵向对称面。
平面弯曲：梁的弯曲平面与外力作用面相重合的弯曲。
四、练一练1. 分析图示建筑工程结构的受力及变形：（1）屋架上的檩条（2）厂房的牛腿柱吊车梁钢垫板五、探究与感悟、探究：建筑工程还存在哪些变形。
工程力学-杆类构件的变形课程课件
称为边AB的平均正应变或平均线应变，记为εm，即
C
D
A
Δx B Δu
图 9.1
m
u x
工程力学
第九章 杆类构件的变形
C
D
一般来说，边AB上各点处的变形量
不一定相等，平均正应变的大小会因边长
的改变而改变。为了更准确地表示点沿边
长方向的变形情况，应选取微元体，由此
A Δx B Δu 得出平均正应变的极限值，即
限时，与的比值的绝对值为一常数，
即
（9.7）
称为横向变形因数或泊松比，是无量纲量，其数值随
材料而不同，可以通过试验来测定。对于大多数各向同性
材料来说， 0 0.5
工程力学
第九章 杆类构件的变形
弹性模量与泊松比均为材料的弹性常数。几种常用材料 的弹性模量与泊松比的数值如表9.1所示。
表9.1 材料的弹性模量与泊松比
lim
BA0
2
ABC
(9.3)
A
A'
C'
BC 0
B
C
定义为B点的切应变或角应变。
图 9.2
线应变和切应变均为度量一点变形程度的量，且均为无量纲量。
工程力学
第九章 杆类构件的变形
§9-2 轴向拉伸与压缩时杆件的变形
当杆件承受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化 （图9.3）。杆件沿轴线方向的
F b b'
即可得到相距为l的两个横截面的相对扭转角为
l T dx
0 GIp
（c）
工程力学
第九章 杆类构件的变形
对于扭矩T、切变模量G及极惯性矩Ip都不随轴线变化的情况 ，两截面的相对扭转角为
Tl
C
D
A
Δx B Δu
图 9.1
m
u x
工程力学
第九章 杆类构件的变形
C
D
一般来说，边AB上各点处的变形量
不一定相等，平均正应变的大小会因边长
的改变而改变。为了更准确地表示点沿边
长方向的变形情况，应选取微元体，由此
A Δx B Δu 得出平均正应变的极限值，即
限时，与的比值的绝对值为一常数，
即
（9.7）
称为横向变形因数或泊松比，是无量纲量，其数值随
材料而不同，可以通过试验来测定。对于大多数各向同性
材料来说， 0 0.5
工程力学
第九章 杆类构件的变形
弹性模量与泊松比均为材料的弹性常数。几种常用材料 的弹性模量与泊松比的数值如表9.1所示。
表9.1 材料的弹性模量与泊松比
lim
BA0
2
ABC
(9.3)
A
A'
C'
BC 0
B
C
定义为B点的切应变或角应变。
图 9.2
线应变和切应变均为度量一点变形程度的量，且均为无量纲量。
工程力学
第九章 杆类构件的变形
§9-2 轴向拉伸与压缩时杆件的变形
当杆件承受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化 （图9.3）。杆件沿轴线方向的
F b b'
即可得到相距为l的两个横截面的相对扭转角为
l T dx
0 GIp
（c）
工程力学
第九章 杆类构件的变形
对于扭矩T、切变模量G及极惯性矩Ip都不随轴线变化的情况 ，两截面的相对扭转角为
Tl
材料力学-杆件的变形计算
EIz EIw M (x)dx C
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
再进行一次积分,可得到挠度方程
EIzw ( M (x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要经过边界条件或者连续条件来拟
定其大小。
❖ 边界条件：梁在其支承处旳挠度或转角是已知旳， 这么旳已知条件称为边界条件。
❖ 连续条件：梁旳挠曲线是一条连续、光滑、平坦旳 曲线。所以，在梁旳同一截面上不可能有两个不同 旳挠度值或转角值，这么旳已知条件称为连续条件。
例题4-2: 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
= 0.3，拧紧后，△l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上旳正应力 σ (b) 螺栓旳横向变形△d
解：1) 求横截面正应力
l 0.04 7.4110-4
l 54 E 200 103 7.41104 148.2 MPa
M lBA BA GI p
180 7Ma π GI p
x
7 3
j
DB
2.33
第三节 梁旳变形
1、梁旳变形
梁必须有足够旳刚度，即在受载后不至于发生过大旳弯 曲变形，不然构件将无法正常工作。例如轧钢机旳轧辊，若 弯曲变形过大，轧出旳钢板将薄厚不均匀，产品不合格；假 如是机床旳主轴，则将严重影响机床旳加工精度。
dx
GI p
取
dj M x
dx GI p
单位长度扭转角 用来表达扭转变形旳大小
单位长度扭转角旳单位: rad/m
GI p 抗扭刚度
GI p 越大，单位长度扭转角越小
g
在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，
就可得到两端相对扭转角j 。
dj
dx
dj M x
9.1杆件拉压时的变形与刚度计算
胡克定律另一表达式:
FN E L AL
E
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
例、一方木柱受轴向荷载作用，横截面边长a=200mm， 材料的弹性模量E=10GPa，杆的自重不计。求各段柱的 柱的总变形及纵向线应变。
解：（1）求出各段柱的轴力
FNBC 100KN FNAB 260KN
1m
40KN +
lAB
FNABlAB EAAB
20KN
40KN (1103)mm 2000GPa 600mm2
0.033mm
A 40KN
600mm 2
200mm 2
60kN
1m B 1m 40KN
+
C
20kN
D 1m
lBC
FNBC lBC EABC
20KN (1103)mm 2000GPa 600mm2
L FN L EA
—胡克定律
其中：E——弹性模量 材料抵抗拉压变形的能力（越大，越不容易变形）
单位：Pa、MPa、GPa
EA——杆件的拉（压）刚度 构件抵抗拉压变形的能力。
注：当拉（压）杆有两个以 上的外力作用时，需要先画出 轴力图，然后分段计算各段的 变形，各段变形的代数和即为 杆的总伸长量。
L FN L EA
20KN
0.017mm
lCD
FNCDlCD EACD
0.05mm
A 40KN
600mm 2 60kN
200mm 2
C
20kN
1m B 1m 40KN
D 1m
+ -
20KN
(3)求各段应变
(2)求各段柱的纵向变形
lBC
FNBC lBC EA
FN E L AL
E
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
例、一方木柱受轴向荷载作用，横截面边长a=200mm， 材料的弹性模量E=10GPa，杆的自重不计。求各段柱的 柱的总变形及纵向线应变。
解：（1）求出各段柱的轴力
FNBC 100KN FNAB 260KN
1m
40KN +
lAB
FNABlAB EAAB
20KN
40KN (1103)mm 2000GPa 600mm2
0.033mm
A 40KN
600mm 2
200mm 2
60kN
1m B 1m 40KN
+
C
20kN
D 1m
lBC
FNBC lBC EABC
20KN (1103)mm 2000GPa 600mm2
L FN L EA
—胡克定律
其中：E——弹性模量 材料抵抗拉压变形的能力（越大，越不容易变形）
单位：Pa、MPa、GPa
EA——杆件的拉（压）刚度 构件抵抗拉压变形的能力。
注：当拉（压）杆有两个以 上的外力作用时，需要先画出 轴力图，然后分段计算各段的 变形，各段变形的代数和即为 杆的总伸长量。
L FN L EA
20KN
0.017mm
lCD
FNCDlCD EACD
0.05mm
A 40KN
600mm 2 60kN
200mm 2
C
20kN
1m B 1m 40KN
D 1m
+ -
20KN
(3)求各段应变
(2)求各段柱的纵向变形
lBC
FNBC lBC EA
《变形与刚度计算》课件
产生原因
变形产生的原因一般有两 种，分别是受力和温度变 化。其中，受力引起的变 形是材料力学中最常见的， 我们将在后面课程中详细 讲解。
计算方式
变形的计算方法通常有三 种：梁的挠度计算、结构 的变形计算与有限元法计 算。不同的计算方法适用 于不同的应用场景，根据 实际需求选用合适的方法。
材料的刚度
为了帮助更好地理解变形与刚度计算的应用，我们将进行两个实例演示，分别是悬臂梁和桥梁的变形计 算演示。
悬臂梁实例演示
我们将使用一个实际应用场景来演示悬臂梁的变 形计算，加深大家对悬臂梁计算方法的理解。
桥梁实例演示
桥梁是一个很重要的应用场景，我们将为大家演 示一下桥梁的变形计算方法，参考现实应用场景。
结论与总结
《变形与刚度计算》PPT 课件
欢迎来到我们的课件。在本次讲义中，我们将全面介绍变形与刚度计算的基 本概念，以及其在实际工程中的应用。
什么是变形
变形指的是物体由于外力作用而发生的形状、大小、位置等方面的改变。本节将介绍变形的定义，产生原 因以及计算方式。
定义
变形是指物体在受到作用 力（外力）时形状、大小、 位置等方面的改变。简单 来说，它表示了物体由于 外界条件变化，所发生的 形状或状态的改变。
1
变形计算公式
2
桥梁变形的计算公式较为复杂，主要
涉及梁的挠度、材料的应力和应变等。Leabharlann 我们将在后面的课程中逐一介绍。
3
桥梁结构
桥梁是由多个组件组成的大型结构， 一般包括桥墩、桥面和桥面之间的支 撑结构。
刚度计算公式
桥梁刚度的计算方法与悬臂梁类似， 一般采用挠度法和材料力学方法，具 体计算不再赘述。
实例演示
悬臂梁的变形计算公式为 y=FL^3/3EI，其中y是悬臂 梁最大变形，F是悬臂梁上 的受力，L是悬臂梁长度， E是弹性模量，I是截面惯 性矩。
项目6.杆件变形及其刚度条件
03
杆件的刚度条件
刚度的定义与分类
刚度的定义
刚度是指杆件在受力后抵抗变形的能 力。它是衡量杆件性能的重要参数之 一。
刚度的分类
根据杆件所受外力的不同，刚度可分 为弯曲刚度、剪切刚度和扭转刚度等 。
杆件的弯曲刚度
弯曲刚度的定义
弯曲刚度是指杆件在受到垂直于轴线 的力作用时，抵抗弯曲变形的能力。
弯曲刚度的计算
杆件变形的分类
轴向拉伸与压缩
剪切
扭转
弯曲
杆件沿轴线方向的拉伸 或压缩。
垂直于杆件轴线的横向 相对位移。
杆件绕其轴线的转动。
杆件在平面内发生弯曲。
杆件变形的能量关系
杆件变形过程中，外力所做的功 等于杆件内部弹性能的增加。
弹性能的增加与杆件的变形程度 有关，变形程度发生塑性变形时，弹性能 的增加量将小于外力所做的功。
基于遗传算法的优化设计方法
适应度函数
根据杆件的刚度和变形要求， 制定适应度函数，用于评估设 计方案的好坏。
交叉和变异
通过交叉和变异操作，生成新 的基因序列，形成更优秀的基 因库。
编码方式
将杆件的结构参数和尺寸信息 进行编码，形成基因序列。
选择操作
根据适应度函数的结果，选择 出优秀的基因序列进行遗传操 作。
杆件的扭转刚度
扭转刚度的定义
扭转刚度是指杆件在受到扭矩作用时，抵抗扭转变形的能力 。
扭转刚度的计算
扭转刚度可以通过杆件的扭转模量来计算。扭转模量是指单 位长度上的抗扭刚度，与截面的极惯性矩和剪切模量有关。
04
杆件变形的实例分析
简支梁的变形分析
简支梁的变形
简支梁在受到均布载荷或集中载荷的作用下会发生弯曲变形，其变形特点是跨中向下挠曲，端部向上 翘曲。
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3． ωyc是代数量，其正负号取法为：当两个弯矩图位 于杆件的同一侧时取正号，位于杆件的不同侧时则取负号。
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
4．荷载作用下梁位移计算的一般步骤
位移法 计算方法 图乘法 一是受荷载作用的状态，即实际状态
建立两种状态
二是受单位荷载作用的状态，即虚力状态
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
1．荷载作用下结构计算的一般公式
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
根据虚功原理可得
kF FN d Md
A A B B
把
和
代入上式得：
当杆件是由多个杆段组成时，上式可改写为
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
2．荷载作用下梁的位移计算简化公式
不考虑轴向变形和剪切变形时，梁位移公式为
王晓平
因而得轴向拉压杆的绝对变形(伸长量)计算公式为
式中，
l＞0时表示杆件伸长，
l＜0时表示杆件缩短。
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核 轴向拉压杆的绝对变形计算的一般公式 当杆件由内力不同或刚度不同的多个杆段组成时，则整个 杆件的变形等于各杆件变形的代数和。即
【例6-1】计算图6-5a所示方形截面阶梯形直杆的绝对变 形。已知杆件各段材料的弹性模量E = 80GPa，各段横截 面的边长分别为aAB = 500mm，aBC = 400mm，aCD = 300mm。
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核 【例6-4】用图乘法计算下图a所示简支梁跨中截面的竖向 线位移，EI=常数。
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
【例6-5】计算图a所示外伸梁B截面的角位移。EI = 常数。
王晓平
王晓平
积分法求位移时，列出各杆段在荷载作用下的内力方程； (2)设立求位移的虚力状态，且 1) 积分法求位移时，列出各杆段单位荷载作用下的内力方 程； 2)用图乘法求位移时，作出杆件结构在单位荷载作用下的 内力图。
图乘法求位移时，作出杆件结构在荷载作用下的内力图。
(3)选用相应的位移计算公式计算位移。
王晓平
由于在功W12的两个因子中，位移不是作功的力所引起的 ，故称此功为虚功。
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
实功与虚功的区别 (1)作实功时力与位移相关，作虚功时力与位移无关。
(2)虚功的大小等于力与位移的乘积，实功的大小是力 与位移乘积的一半。
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
2．平衡力系作用下变形体的虚功原理
杆件的变形计算与刚度校核 位移方向判断： 计算结果为正，表明实际位移的方向与虚设单位荷载的方 向相同； 计算结果为负，表明实际位移方向与虚设单位荷载的方向 相反。
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
三、梁位移计算的图乘法
【例6-3】用图乘法计算图a所示悬臂梁B截面的竖向线位 移，EI=常数。 弯矩图计算见 P112页表4-2
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
第一节 概 述
一、变形的概念 杆件或结构内的点或截面位置相对于其原来位置的移动量 ，称为位移。 线位移Δ 单位：mm
角位移ψ 单位：rad
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核 二、计算变形或位移的目的和意义 1．对杆件和结构进行刚度校核。 2．为杆件或结构的施工和使用提供理论数据。 3．为超静定结构的计算打基础。
作用于弹性变形体上的外力(包括荷载和约束力)在任给虚 位移上所作的虚功，称为外力虚功；
变形体在外力作用的同时会产生内力和变形，则作用于变 形体中的内力在虚变形上所作的虚功，称为内力虚功。
虚功原理：平衡力系作用下，变形体的外力虚功等于内力 虚功。即 W外 = W内
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
二、荷载作用下结构位移计算公式
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杆件的变形计算与刚度校核
三、杆件变形计算的基本公式
1、轴向变形基本公式
2、弯曲变形基本公式
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杆的变形计算与刚度校核
第二节 轴向拉压杆的变形计算 (一) 纵向变形
1．纵向绝对变形 l= l1 - l
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杆件的变形计算与刚度校核 实际计算中，当杆件的变形不超出弹性范围时，其变形的 大小可由式(6-1)积分求得：
虚力状态中单位荷载的设置方法是：
欲求K截面某方向的位移，就在K截面处沿需求位移的方 向设一大小等于1的荷载。 (1)求线位移时的单位荷载为集中力(以 表示)，如 上图a所示。 (2)求角位移时的单位荷载为集中力偶(以 如上图b所示。 表示)，
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杆件的变形计算与刚度校核
梁位移计算的步骤一般为： (1)以梁受荷载作用的状态为实际状态，且
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3．荷载作用下均质等截面直梁位移计算的图乘公式
对于只有一个梁段的梁，位移计算图乘公式为 当梁由多个梁段组成时，则图乘公式为
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核 利用图乘法计算位移时必须注意以下三点： 1．所计算的杆件各杆段必须是均质的等截面直杆； 2．ω和yc是两个不同弯矩图上的弯矩值，且yc值必须取 自于直线弯矩图；
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第三节 梁的变形计算和刚度校核
一、平衡力系作用下变形体的虚功原理 1．实功与虚功的概念 力与该力作用下物体沿力作用线方向的位移的乘积，称为 实功。
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杆件的变形计算与刚度校核 F1在F2加载过程中沿F1方向产生的位移Δ12上所作的功可 用图b所示的矩形OABC的面积表示，即
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(二) 横向变形
轴向拉压杆的横向绝对变形用Δa表示，相对变形又称为 横向线应变，用ε′表示。 横向绝对变形 横向相对变形
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(三) 纵向变形与横向变形之间的关系
泊松系数 : 实验证明，在弹性变形范围内，轴力杆的横向变形与纵向 变形之比为一常数，若用m 表示这一比例常数，则 或 上式所示的比例关系称为泊松比，μ 称为泊松系数。 常用工程材料的E、 μ值如P185页表6-1所示。
工程力学
第八章 杆件的变形计算与刚度校核（一）
王晓平
杆件的变形计算与刚度校核
知识目标：
1．轴向拉压杆的变形计算方法。 2．实功与虚功的概念，平衡力系作用下变形体虚功原理 的意义。 3．虚力状态的建立，作荷载弯矩图和虚力状态弯矩图。
能力目标：
1．能够计算轴向拉压杆的变形。 2．了解实功与虚功的区别。 3．能够建立虚力状态，并绘制荷载弯矩图和虚力状态弯 矩图。