第二章 信号与系统的时域分析

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二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t

x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
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信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
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分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
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运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
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对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
x (t ) x(t )
于是：
x(t ) x( ) (t )d


表明： 任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为移位 加权的单位冲激信号的线性组合。
k
xk hn k ，源自14h( n)h(1) 1 h(0) 2 h(1) 0
h(2) 3 h(3) 1
x(n) x(0) x(1) x(2) x(3) 1 0 2 1 1 0 2 1 y(1) 2 0 4 2 y (0) 0 0 0 0 y(1) 3 0 6 3 y (2) 1 0 2 1
(Introduction)

线性和时不变性是信号与系统分析中最重要的 两个特性。这是因为：1.很多物理过程都具有 这样的特性，因此可以用LTI系统来表示；2.可 以对LTI系统进行详细的分析。

基本思想：如果能够把任意的输入信号都分解 成基本信号的线性组合，那么只要得到LTI系统 对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特 性，将系统的输出响应表示成系统对基本信号 的响应的线性组合。
y(t ) x( )h(t )d x(t ) h(t )


表明，LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应 h(t ) 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为 卷积积分（The convolution integral ）。 18
例1: x(t ) eat u(t ) h(t ) u (t )
(n n k k ) h h (n n k k)
yn
k
xk hn k

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h (n )
(n ) 因此，只要得到了LTI系统对
就可以得到LTI系统对任何输入信号 响应：
的响应
单位脉冲响应(impulse response)，
x (n)
x[ n]
结论：
一个单位冲激响应是 h(t )的LTI系统对输入信号 x(t ) 所产生的响应，与一个单位冲激响应是 x(t ) 的LTI 系统对输入信号 h(t ) 所产生的响应相同。
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2、分配律： (n) [ (n )] (n] )* h1 (n ) x x[ (n n] )* h h2 (n n ) x[ ]* (h11( n) h2 ) x[ x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
n 时刻的 yn 。
通过图形正确确定反转移位信号的区间表示，
对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的 上下限是很有用的。
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例 列表法 分析卷积和的过程，可以发现：
① xn 与 hn 所有的各点都要遍乘一次； ② 在遍乘后，各点相加时，根据 参与相加的各点都具有 x( k) 与 hn k 的守量 之和为 n 的特点。
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3 结合律:
[ )] h2 (n n ) x( h2 (n n )] (x x( [n) ] * h1 n )* [n) ] *[ (h h n) * ) 1( 1( 1 [ x(t ) h1 (t )] h2 (t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )]
x(t )
h1 (t )
x(t ) h1 (t )
h2 (t )
y(t ) [ x(t ) h1 (t )] h2 (t )

x(t )
h1 (t ) h2 (t )
y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )]
结论：两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激脉冲响应等 于各子系统单位冲激脉冲响应的卷积。

x [( n ]) x n x(t )
h1 (n)
h1 (t ) x[ n] * h n 1n) x(n) h1 (
y(t )
h2 (n)
h2 (t )
y n) ] y[ (n
x 2( x( [n n) ] *h h n n)
2
结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲响应等于各子系统 单位脉冲响应之和。
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由于卷积满足交换律，因此，系统级联的先后 次序可以调换。
x n n x[ (n] )* h1( )* h2 (n n ) x[ (n] )* h2 )* h1 (n ) 2(
x(t ) h1 (t ) h2 (t ) x(t ) h2 (t ) h1 (t )
二 卷积和（Convolution sum） 如果一个线性系统对 ( n k )， ) 的响应是 hk ( n 由线性特性就有系统对任何输入 x x(n n) 的响应为：
yn
若系统具有时不变性，即：
k
xk h n
k


k
n h( n 则 )h )， 若 (
k 0
n

对任何离散时间信号 x x(n) ,如果每次从其中取 出一个点，就可以将整个信号拆开来，每次取出 的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单 位脉冲。
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x (n n )
k
n k k) x( k )(n x
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表明：任何信号 x x( n) 都可以被分解成移位 加权的单位脉冲信号的线性组合。

a0
y (t ) x(t ) h(t ) x( )h(t )d e a u ( )u (t )d
t
x( )
1
e
0
a
1 d (1 e at )u (t ) a
u(t )
1

0

0
t
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三 卷积积分的计算
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§2.1 离散时间LTI系统：卷积和
（Convolution sum） 一 用单位脉冲表示离散时间信号
( n ) ,可以由它 离散时间信号中,最简单的是 的线性组合构成 u )，即： u( n n
u ) u( n
k
k ( ) (n k k)
x(t )
平方
乘2
y(t ) 2x2 (t )
若交换级联次序，即： x(t ) 乘2 显然是不等价的。 又如：
平方
y(t ) 4x2 (t )
h1n n n 1 h2 n un ，系统都是LTI x y( n 0 系统。当 xn 1 时，x y n ) 0 0 (n n ) h n h n h h2 1( ) 2( ) 1
3
如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号
x(t ) 分解成若干个简单的信号的线性组合时，只要能
得到该系统对每一个简单信号所产生的响应。就可以
很方便地根据线性特性，通过线性组合而得到系统对
x(t ) 地输出响应。即
若 x(t )
k
，且 xk (t ) yk (t ) a x ( t ) kk
例1
xn nun
hn un
0 1
11
yn xn * hn

k k uk un k n
xk hn k

k
k k 0
1 n 1 un 1
kk x k k x(k ) uu (k )
§2.3 线性时不变系统的性质
（the property of Linear Time-invariant System）
一 、卷积积分与卷积和的性质 1 、交换律：
yn x[ n] * h[ n]
k
xk hn k

k
xn k hn h[n] * x[n]
h n) 1( 1 x(t ) h h1 (t )
h n n) h 2( 2 x(t ) h2 (t ) xn h2 n) 2( y(t ) h2 (t ) yn yn