信号与系统(第二章)
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信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
信号与系统第二章第一讲
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统教案第2章
如何求解？
bm f
( m)
(t ) bm1 f
( m1)
ai 、 bj为常数。
2.1 LTI连续系统的响应
经典时域分析方法 y(t ) yh (t ) yp (t ) 卷积法
y(t) = yzi (t) + yzs (t)
一、经典时域分析方法(微分方程经典解)
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yh(t)和特解yp(t)组成
信号与系统 电子教案
2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2
冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
h t T 0 , t
def
h t
t
信号与系统 电子教案
第二章 连续系统的时域分析
《信号与系统》
授课教师：吕晓丽
第2-1页
■
长春工程学院电子信息教研室
信号与系统 电子教案
第二节总结
总
结
1、LTI系统的判定方法 线性性质 时不变性质 2、 LTI系统的分类 因果系统 稳定系统 3、系统的描述 系统框图与系统方程
第2-2页
■
长春工程学院电子信息教研室
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et ε(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y (t ) yh (t ) yp (t ) C1e
bm f
( m)
(t ) bm1 f
( m1)
ai 、 bj为常数。
2.1 LTI连续系统的响应
经典时域分析方法 y(t ) yh (t ) yp (t ) 卷积法
y(t) = yzi (t) + yzs (t)
一、经典时域分析方法(微分方程经典解)
微分方程的全解即系统的完全响应, 由齐次解 yh(t)和特解yp(t)组成
信号与系统 电子教案
2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2
冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为 单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
h t T 0 , t
def
h t
t
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第二章 连续系统的时域分析
《信号与系统》
授课教师：吕晓丽
第2-1页
■
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第二节总结
总
结
1、LTI系统的判定方法 线性性质 时不变性质 2、 LTI系统的分类 因果系统 稳定系统 3、系统的描述 系统框图与系统方程
第2-2页
■
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[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et ε(t)，求 系统的完全响应y(t)。
解:
(3) 求方程的全解
y (t ) yh (t ) yp (t ) C1e
信号与系统第2章信号的复数表示
π
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
3
j
π
j
π
4
C1 + C 2 = (1 + 1) + j ( 3 + 1) = 2 + j ( 3 + 1)
2 C1 = 2 + j ( 2 3 ) = 2 2 e
j
= 4e
j
π
3
C1 C 2 = 1 + j 3 + j 3 3 = (1 3 ) + j ( 2 3 )
= 2 2e
j(
π
3
+
π
4
)
= 2 2e
j(
7π ) 12
2 复数中定义 j = 1 ，故 D = (a1a2 b1b2 ) + j(a1b2 + b1a2 )
换一种形式表示复数的乘法
D = C1 C2 = C1 e C2 e = C1 C2 e
j1 j2
= C1 C2 e j1 e j2
j (1 +2 )
复数的加法和乘法在复平面内的表示
复数加法
2、复平面形式
可以在复平面中表示复数
虚轴 b |C| a
复数C可表示成一个矢量
实轴
由图可以看出，矢量 的长度为复数的模，与 实轴的夹角为复数的辐 角
2.3 复数形式的运算
1、复数的数乘和共轭
数乘： k 为实数
虚轴 j
kC C
实轴
kC = ka + jkb
| kC | e j k ≥ 0 kC = | kC | e j ( +π ) k < 0
2、复数的加法和乘法
C1 、 C2 为复数， C1 = a1 + jb1 ， C2 = a2 + jb2
信号与系统-第2章
f (t)
K
两式相加:
cosωt =
1 2
(e
jωt
+
e
jωt )
(2-4)
0 K
t
两式相减:
sinωt =
1 2j
(e
jωt
－e
jωt )
(2-5)
(3) 复指数信号: f(t) = Ke st = Ke (σ+ jω)t
= Keσt (cosωt + j sinωt)
当 σ > 0 时为增幅振荡 ω = 0 时为实指数信号 σ < 0 时为衰减振荡
2
01
t
f(
1 2
t)
=
1 2
t
0
0＜t ＜4 其它
f(12 t)
2 0
4t
注意: 平移、反折和展缩都是用新的时间变量去代换原来的
时间变量, 而信号幅度不变.
t +2 －2＜t＜0 例2-5：已知 f(t) = －2t + 2 0＜t＜1
f (t)
2
0
其它
－2 0 1
t
求 f(2t－1),
f(
1 2
(1) 相加和相乘
信号相加: f t f1t f2 t fn t 信号相乘: f t f1t f2 t fn t
0 t＜0 例2-1：已知 f1(t) = sint t ≥ 0 , f2(t) =－sint, 求和积.
解: f1(t) + f2(t) =
－sint 0
t＜0 t≥0
0
t＜0
f1(t) f2(t) = －sin2t t ≥ 0 也可通过波形相加和相乘.
∞ t=0 作用: 方便信号运算.
信号与系统第二章课件.
先假定逆系统的冲击响应的结果为hi1(t)，然后经逐步修 正找到最终的hi(t) 。
很遗憾以上关于hi1(t)的假定，虽然可以消除δ（t）项， 却引入了新的a2 δ（t-2T）项。不过回波信号的强度衰减了， 而且时间延迟了，使干扰效果明显减弱。可进一步设
可见若逆系统的冲激响应hi1(t)若采用此结果，回 波信号的强度可以衰减至无穷小，而且时间可以延迟 至无穷远。 实际问题中，我们只须将延时补偿采用几项，就 可达到理想效果。
其中Ｎ变量指所有的回波路径。Tm、源自m表示各条路径的延迟 时间和衰减系数。当Ｔ较小且ａ较小时，形成所谓的“混响”。
根据以上分析，可以很容易写出回波系统的冲击响应
这样一般信号的响应，可以很容易根据卷积关系写为
为了从含有干扰信号的回波信号中取出正常信号，我们需设 计一个“逆系统”，其方框图如下。
接下来的工作是从上式求出ｈｉ（ｔ），这样的问题是卷 积的反问题，称为解卷积。 对已连续时间系统，解卷积一般难以给出普适的公式，而 对于离散时间问题，§７．７给出了一般的解法。采用变换域 解法（如付里叶变换、拉普拉斯变换），也可较方便给出此问 题冲激响应（或者系统函数）的解法。 下面我们给出此问题的尝试解法。
信号与系统
§2.10用算子符号表示微分方程
采用算子符号可以简化微分、积分方程的计算，本节给 出算子符号的一些基本运算规则，然后通过实例说明此方法 的方便之处。 （一）算子符号的基本规则
（一）用算子符号建立微分方程 用算子符号建立系统的微分方程不仅书写简单，而且非 常方便。电感、电容的等效算子符号为：
实例：用算子符号建立电路微分方程
R1=1
Lp=(1/4)p
1/CP=1/p C R2=3/2
线性电路微分方程求解借鉴课本，P81
信号与系统第2章信号描述及其分析1
图2.2.3 谐波逐次叠加后的图形 (a)1次 (b)1,3次 (c)1,3,5次
机电工程学院
黄石理工学院机电工程学院
Sun Chuan 68215
第2章 信号描述及其分析
(2) 从以上两例可看出，三角波信号的频谱比方波信号的频谱 衰减得快，这说明三角波的频率结构主要由低频成分组成，而 方波中所含高频成分比较多。这一特点反映到时域波形上，表 现为含高频成分多的时域波形(方波)的变化比含高频成分少的时 域波形(三角波)的变化要剧烈得多。因此，可根据时域波形变化 剧烈程度，大概判断它的频谱成分。
本节小结 本节主要介绍了信号的分类。由于不同类型的信号其处 理方法不同，所以必须善于区分不同类型的信号。
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第2章 信号描述及其分析
§2 周期信号与离散频谱
信号的时域描述与时域分析 本课程所研究的信号 一般是随时间变化的物理量，抽象为以时间为自变量表达 的函数，称为信号的时域描述。求取信号幅值的特征参数 以及信号波形在不同时刻的相似性和关联性，称为信号的 时域分析。时域描述是信号最直接的描述方法，它只能反 映信号的幅值随时间变化的特征，而不能明显表示出信号 的频率构成。因此必须研究信号中蕴涵的频率结构和各频 率成分的幅值、相位关系。
本章重点及难点 本章重点为信号的分析，其中信号频
谱的求取为主要内容。难点为傅里叶变换。
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第2章 信号描述及其分析
首先应清楚如下三个方面：
信号与信息 信号与信息并非同一概念。 信号分析和信号处理 信号分析和信号处理并没有明确的界 限，通常把研究信号的构成和特征称为信号分析，把信号经过 必要的变换以获得所需信息的过程称为信号处理。 对信号进行分析与处理的原因 在一般情况下，仅通过对信 号波形的直接观察，很难获取所需要的信息，需要对信号进行 必要的分析和处理。
信号与系统 第二章 第3讲
第二节 起始点的跳变
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
电容电压的跳变 电感电流的跳变 冲激函数匹配法确定初始条件
信号与系统 第2章
一．起始条件与初始条件
一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应r（t）为 t 0 时方程的解，对于n阶系统，起始状态（ 0- 状态）指:
d r ( 0 - ) d 2 r (0 - ) d n1 r (0 - ) r (0 ) , , , , 2 dt dt d t n1
0
0
vL ( ) d 0 ， 此时iL (0 ) iL (0 )
冲激电压或阶跃电流作 用于电感时：
如果vL (t )为 t
1 0 1 v L ( ) d , L 0 L 此时 i L 0 i L 0
信号与系统 第2章
iL (0 ) iL (0 )
信号与系统 第2章
例2-2-2
d i L (t ) v L (t ) L dt
i L (t )
I s u(t )
L
d[ I s v(t )] L LI s (t ) dt
1 0 i L (0 ) i L (0 ) LI s (t ) d t L 0
v L (t )
i L (0 ) I s
当系统用微分方程表示时，系统从 0 到0 状态有没 有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 (t ) 及其各 阶导数项。
信号与系统 第2章
1. 电容电压的跳变
t c i c (t ) 由伏安关系 vC (t ) 1 iC ( ) d C v (t ) 1 0 1 0 1 t c iC ( ) d iC ( ) d iC ( ) d C C 0 C 0 1 0 1 t vC (0 ) iC ( ) d iC ( ) d C 0 C 0
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于是有：
上式把任意一个序列 表示成一串移位的单位
脉冲序列
的线性组合，其中 是权因子
二. 卷积和（Convolution sum）
定义： 离散时间LTI系统的单位脉冲响应( impulse
response )
[n]
LTI
h[n]
时不变性
[n]
[n k]
齐次性
x[k][n k]
u(k) *u(k) u(i) *u(k i) i k u(k)1 (k 1)u(k) i0
例：4) aiu(k) u(k 4 i) i
k 4
u(k 4) ai (1 a a2 ... ak4)u(k 4) i0
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) ai xi (t)
i
则 y(t) ai yi (t)
i
分析方法：
xi (t) yi (t)
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换 域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、 频域分析法和变换域分析法
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
注意：n 为参变量
例2：
解：
（1）换元：k换为i→ 得f1(i)，f2(i) （2）反转平移：由f2(i) 反转→f2(–i)，再右移k →f2(k –i)
（3）乘积：f1(i) f2(k –i) （4）求和：i 从–∞到∞ 对乘积项求和
1
k
0
① n 0 时，
②
时，
所以
例3：
① n 0 时，
② 0 n 4 时，
③ 4 n 6 时，
④ 6 n 10 时， ⑤ n 10 时，
列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n) 与 h(n) 的所有各点都要遍乘一次
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
参与相加的各点都具有 x(k)与 h(n k)的宗量之
k
k
n k 1 n1 u(n)
k 0
1
图解法 将一个信号 x(k)不动，另一个信号经反转后为 h(k) ,
再随参变量 n移位。在每个n 值的情况下，将 x(k) 与
h(n k)对应点相乘，再把乘积的各点值累加，即得到
n 时刻的 y(n)
可分解为四步，对f (n) =x(n) ＊h(n) （1）换元：n换为k→得x(k)，h(k) （2）反转平移：由h(k)反转→h(–k)右移n位 →h(n –k) （3）乘积：x(k) h(n –k) （4）求和：k 从–∞到∞对乘积项求和
单位脉冲响应完全表征LTI系统的特性
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）
解析法
例： f (k) aku(k) h(k) bku(k) 求 y f (k)
y f (k) f (k) * h(k) f (i)h(k i) i aiu(i)bkiu(k i) i
ak4 1u(k 4) a 1
例： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(n k) u(n k)
1
k
0
n
y(n) x(n) h(n)
x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线 性组合来构成任意信号 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。
四. 卷积和运算的性质 1. 交换律：
结论： 一个单位冲激响应是h[n]的LTI系统对输入信
号x[n]所产生的响应，与一个单位冲激响应是x[n] 的LTI系统对输入信号h[n]所产生的响应相同。
当i 0,u(i) 0;当i k,u(k i) 0
y
f
(k
)
[
i
k 0
aibk
i
]u
(k
)
bk
[
k i0
(
a b
)i
]u
(k
)
bk
1 ( 1
a )k1 b (a) b
u(k
),
a
b
bk (k 1)u(k),a b
例：求 u(k) *u(k)
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 ,可以由它的线性组
合构成
，即：
对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个 点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可 以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲
可加性
x[k][n k]
k
h[n]
LTI
h[n k]
LTI
x[k]h[n k]
LTI
x[k]h[n k]
k
LTI系统对任何输入信号 的响应：
上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（The convolution sum） 这表明：一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它 的单位脉冲响应来表示 卷积的意义：
和为 n 的特点。
x(0) x(1) x(2) x(3)
h(n) x(n) 1 0 2 1
h(1) 1 h(0) 2 h(1) 0 h(2) 3 h(3) 1
1021 y(1)
2042 y(0) 0 0 0 0 y(1) 3 0 6 3
y(2) 1 0 2 1 y(3) y(4) y(5) y(6)
信号与系统(第二章)
引言 ( Introduction )
LTI系统特点: 齐次性和可加性，具有时不变性 信号与系统分析理论与方法的基础
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号 的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任 意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响 应的线性组合