第八节 函数与方程
高中数学第讲必修函数与方程
(关12系)b是=logc>12 ba,>(b12
)c=log2c,则a、b、c的2大小 .
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考C察o函py数rigf(hxt)2=02x0与4-g2(0x1)=1lAogsp1 xo的se图P象ty 的Ltd交.
所以f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间 [1,1.5]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算列表如下：
端(中)点 中点函数值 零点所在区间 |an-bn|
坐标
符号
[1,1.5]
0.5
1,25
f(1.E25v)a<l0uation [o1n.2ly5.,1.5]
0.25
ted wi1th.3A75sposef(.1S.3li7d5e)s>0for .N[1E.2T53,1..537C5l]ient P0.r1o2f5ile 5.2 1.3C12o5pyrigf(h1t.32102054)<-0201[11.A31s2p5o,s1e.37P5t]y L0td.0.625
令f(-1)·f(1)<0，得a> 1 或a<-1，故选C.
5
4.已f(x知)=函0的数解f(，x)=且( 130)<xx-1l<ogx20x，,若则实f(x数1)x的0是值方为程( A ) A.恒为正值 B.等于0
C.恒为负值 EvaDlu.a不tio大n于on0ly. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
因为|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,所以函数的零 点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125,1.375] 内,故函数零点的近似值为1.3125.
第8节 函数与方程
索引
角度2 根据零点的范围求参数
【例 3】 (1)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，对任意的 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2
＋x)，且当 x∈[－2，0]时，f(x)＝12x－1，若关于 x 的方程 f(x)－loga(x＋2)＝
索引
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象 与 x 轴的交点 (x1，0)，(x2，0)
零点个数
2
Δ＝0
(x1，0) 1
Δ<0
无交点 0
索引
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的 零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2. 由 函 数 y ＝ f(x)( 图 象 是 连 续 不 断 的 ) 在 闭 区 间 [a ， b] 上 有 零 点 不 一 定 能 推 出 f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充 分不必要条件.
B.(－2，1) D.(1，3)
索引
解析 当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0，所以x＝－1(舍去正根)， 故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减， 又f(x)＝ln(x＋1)在[0，＋∞)上单调递增， 则函数f(x)的图象如图所示.
B.3
C.4
D.5
解析 由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，知周期T＝2， 令f(x)－|x|＝0，得f(x)＝|x|. 作出函数y＝f(x)与g(x)＝|x|的图象如图所示. 由函数的图象知，y＝f(x)－|x|有两个零点.
2017数学(理)一轮教学案：第二章第8讲 函数与方程
第8讲函数与方程考纲展示命题探究1函数零点的等价关系2零点存在性定理3二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布根的分布图象满足条件(m <n<p为常数)x1<x2<mm<x1<x2续表根的分布图象满足条件(m<n<p为常数)x1<m<x2f(m)<0m<x1<x2<nm<x1<n<x2<p只有一根在或f(m)·f(n)<0 (m，n)之间4二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意点零点存在性定理的使用条件零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点.1．思维辨析(1)函数f (x )＝x 2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )(5)函数y ＝2sin x －1的零点有无数多个．( )(6)函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则－1<k <－12.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×2．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)答案 B解析 ∵f ′(x )＝2x ln 2＋3>0，∴f (x )＝2x ＋3x 在R 上是增函数．而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0，∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点．3．(1)下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )(2)若函数f (x )＝x 2－4x ＋a 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)(－∞，4)解析 (1)A ，B 图中零点两侧不异号，D 图不连续．故选C.(2)Δ＝16－4a >0，解得a <4.[考法综述] 函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．选择、填空题考查的主要形式有两种，一种是找零点的个数；一种是判断零点的范围，多为中等难度．解答题考查较为综合，在考查函数的零点、方程的根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．命题法 判断零点的个数及所在的区间典例 (1)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)(2)函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 的零点个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5(3)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)[解析] (1)∵f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝64－log 24＝32－2<0，∴包含f (x )零点的区间是(2,4)，故选C.(2)把求函数f (x )的零点个数问题转化为求函数y ＝3cos πx 2的图象与函数y ＝log 12x 的图象的交点个数问题，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示．函数y ＝3cos πx 2的最小正周期是4，当x＝8时，y ＝log 12 8＝－3，结合图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 有5个零点． (3)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0.所以0<a <3.[答案] (1)C (2)D (3)C【解题法】 函数零点问题的解题方法(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．②利用零点存在性定理进行判断．③画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(2)判断函数零点个数的方法①直接法：解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点．②图象法：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数．③将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数．④二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．(3)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 答案 D解析 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋2，x <02，0≤x ≤2x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3B ．2C ．7D ．0 答案 B解析 解法一：由f (x )＝0得⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎨⎧ x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．解法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．3．设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析 ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0，∴函数f (x )在R 上单调递增．对于A 项，f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (－1)f (0)>0，A 不正确；同理可验证B 、D 不正确．对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0.故f (x )的零点位于区间(1,2)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. (1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 解析 (1)若a ＝1，则f (x )＝⎩⎨⎧ 2x －1，x <14(x －1)(x －2)，x ≥1，作出函数f (x )的图象如图所示．由图可得f (x )的最小值为－1.(2)当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2，当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a 21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)． 5．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|的零点个数为________．答案 2解析 因为f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝2(1＋cos x )·sin x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝sin2x －|ln (x ＋1)|，所以函数f (x )的零点个数为函数y ＝sin2x 与y ＝|ln (x ＋1)|图象的交点的个数．函数y ＝sin2x 与y ＝|ln (x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．6．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.答案 ①③④⑤解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，则f ′(x )＝3x 2＋a .对于①，由a ＝b ＝－3，得f (x )＝x 3－3x －3，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝－1<0，f (x )极小值＝f (1)＝－5<0，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于②，由a ＝－3，b ＝2，得f (x )＝x 3－3x ＋2，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝4>0，f (x )极小值＝f (1)＝0，函数f (x )的图象与x 轴有两个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0有两个实根；对于③，由a ＝－3，b >2，得f (x )＝x 3－3x ＋b ，f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，f (x )极大值＝f (－1)＝2＋b >0，f (x )极小值＝f (1)＝b －2>0，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于④，由a ＝0，b ＝2，得f (x )＝x 3＋2，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在R 上单调递增，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根；对于⑤，由a ＝1，b ＝2，得f (x )＝x 3＋x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋1>0，f (x )在R 上单调递增，函数f (x )的图象与x 轴只有一个交点，故x 3＋ax ＋b ＝0仅有一个实根．7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．8．已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝e x－ax2－bx－1，有g(x)＝f′(x)＝e x－2ax－b.所以g′(x)＝e x－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；当12<a<e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln (2a)∈(0,1)．所以函数g(x)在区间[0，ln (2a)]上单调递减，在区间(ln (2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln (2a))＝2a－2a ln (2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当12<a<e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln (2a))＝2a－2a ln (2a)－b；当a≥e2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．当a≥e2时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a<e2.此时g(x)在区间[0，ln (2a)]上单调递减，在区间(ln (2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln (2a)]，x2∈(ln (2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e－2a－b>0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有g(0)＝1－b＝a－e＋2>0，g(1)＝e－2a－b＝1－a>0.解得e－2<a<1.当e－2<a<1时，g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln (2a))．若g(ln (2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0,1])，从而f(x)在区间[0,1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln (2a))<0.又g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，故此时g(x)在(0，ln (2a))和(ln (2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2,1]上单调递增．所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2,1)． 函数f (x )＝x ＋1x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[错解][错因分析] 分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域．通过作图(图略)，可知函数f (x )＝x ＋1x 的图象不是连续不断的，而零点的存在性定理不能在包含间断点的区间上使用．[正解] 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0.所以函数f (x )没有零点，故选A.[答案] A [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·武邑中学仿真]已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一坐标系下作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝－1x 的图象，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，选C.2．[2016·枣强中学一轮检测]函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 令f (x )＝x cos2x ＝0，得x ＝0或cos2x ＝0.由cos2x ＝0，得2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故x ＝k π2＋π4(k ∈Z )．又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π4，3π4，5π4，7π4.所以零点的个数为1＋4＝5.故选D.3．[2016·衡水中学周测]已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 函数f (x )的导数为f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x .因为g (1)＝ln 1－1＝－1<0，g (2)＝ln 2－12>0，所以函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.4. [2016·衡水中学模拟]设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8答案 B解析 ∵f (x )是最小正周期为2π的偶函数，∴f (x ＋2π)＝f (x )＝f (－x )，∴y ＝f (x )的图象关于y 轴和直线x ＝π对称，又∵0<x <π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴0<x <π2时，f ′(x )<0.同理，π2<x <π时，f ′(x )>0.又∵0≤x ≤π时，0<f (x )<1，∴y ＝f (x )的大致图象如图所示．又函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数⇔函数y ＝f (x )与y ＝sin x 图象的交点个数，由图可知共有四个交点，故选B.5．[2016·枣强中学热身]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x 的零点个数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x ＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝cos x 的根的个数，即函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.6．[2016·衡水二中期末]若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1 C ．－1<a <15D ．a <－1答案 B解析 当a ＝0时，f (x )＝1，与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0，函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，f (－1)f (1)<0，即(5a －1)(a ＋1)>0，解得a <－1或a >15，选择B.7．[2016·衡水二中预测]已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x <1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤17，15∪(5,7) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，15∪[5,7) 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋1)＝－f (x ＋2)，因此f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数．函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点可转化成y ＝f (x )与h (x )＝log a |x |两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a >1，则h (5)＝log a 5<1，即a >5.若0<a <1，则h (－5)＝log a 5≥－1，即0<a ≤15. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，15∪(5，＋∞)． 8．[2016·枣强中学月考]定义域为R 的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎝⎛⎭⎪⎫0，55D.⎝⎛⎭⎪⎫0，66答案 B解析 令x ＝－1，则f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)．又f (x )为定义域在R 上的偶函数，所以f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为T ＝2，又f (－x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于x ＝1对称，根据f (x )＝－2x 2＋12x －18(x ∈[2,3])作出f (x )与函数y ＝log a (x ＋1)(x >0)的图象，则y ＝f (x )－log a (|x |＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，也就是函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋1)(x >0)至少有三个交点，如图所示，则⎩⎨⎧0<a <1，log a (2＋1)>－2，解得0<a <33.9．[2016·冀州中学期中]已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a的取值范围是________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析 f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝e x －2＝0，得x ＝ln 2.当x >ln 2时，f ′(x )>0，当x <ln 2时，f ′(x )<0，所以当x ＝ln 2时，函数取得极小值，所以要使函数有零点，则f (ln 2)≤0，即e ln 2－2ln 2＋a ≤0，解得a ≤2ln 2－2，所以a 的取值范围是(－∞，2ln 2－2]．10．[2016·冀州中学月考]已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．答案 m >1解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．当m ＝0时，不合题意，舍去；当m ≠0时，∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0<1m <1，解得m >1.11．[2016·衡水中学猜题]若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1解析 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0，f (2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧b >0a ＋2b <－1a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域，得到△ABC 及其内部(如图)不含边界，其中A (－3,1)，B (－2,0)，C (－1,0)，设E (a ，b )为区域内任意一点，则k ＝b －2a －1表示点E (a ，b )与点D (1,2)连线的斜率，k AD ＝14，k CD ＝1，结合图形可知14<b －2a －1<1.12．[2016·武邑中学猜题]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a 3，x ≤0ln x －2x ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1＋ln 2,3]解析 要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝2x－a3＝0有一个根，此时⎩⎨⎧a >0f (0)＝1－a3≥0，解得0<a ≤3.而当x >0时，f (x )＝ln x －2x ＋a ＝0需有两个不同的实根，令g (x )＝2x －ln x ，g ′(x )＝2－1x ，当x >12时，g ′(x )>0，函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，当0<x <12时，g ′(x )<0，函数g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－ln 12＝1＋ln 2，当x →0时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→＋∞，要使方程f (x )＝0在区间(0，＋∞)上有两个不同的实数根，则有a >1＋ln 2.综上可知，a 的取值范围为(1＋ln 2,3]．能力组13.[2016·武邑中学周测]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x－1|，x <2，3x －1，x ≥2.若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示．观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同的交点，此时需满足0<a <1，故选D.14．[2016·衡水中学仿真]已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析 作出函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，x ∈[0,3)的图象(如图)，f (0)＝12，当x ＝1时，f (x )极大值＝12，f (3)＝72，方程f (x )－a ＝0在[－3,4]上有10个根，即函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 在[－3,4]上有10个交点．由于函数f (x )的周期为3，则直线y ＝a 与f (x )的图象在[0,3)上应有4个交点，因此有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 15．[2016·衡水中学一轮检测]函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个不同的实根，则这三个实根的和为________．答案 32解析 由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32.16. [2016·冀州中学仿真]已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e 等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，g (x )＝m 就有实数根．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )与f (x )的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。
2025年高考数学总复习课件16第二章第八节函数与方程
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f (x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)函数零点存在定理：要求函数f (x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数的零点个数． (3)利用函数图象：作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数．
A．(0，1)
B．(1，2)
√C．(2，3)
D．(3，4)
C 解析：(方法一)因为函数f (x)是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0， 所以由函数零点存在定理，得函数f (x)的零点位于区间(2，3)上．故选C． (方法二)函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的 图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f (x)的零点在(2，3)内．
b]上一定有实根
D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效
BC 解析：由结论知A错误，B正确，由函数零点存在定理可得C正确．由于
“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误．故选BC．
第八节 函数与方程
核心考点
提升“四能”
判断函数零点所在的区间
1．函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 函数零点存在定理 1．(教材改编题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数 零点的是( C )
第八节 函数与方程
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
函数与方程的关系
函数与方程的关系函数与方程是数学中的重要概念，它们之间存在着密切的联系与相互依存关系。
函数是描述自变量与因变量之间对应关系的工具，而方程则是用来求解未知数的等式。
本文将探讨函数与方程的概念、性质以及它们之间的关系。
一、函数的定义与性质函数是数学中的一种基本关系。
它表示自变量与因变量之间的对应关系，通常用f(x)或y表示。
函数可以是一个映射，将定义域的元素x映射到值域中的唯一元素f(x)。
函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，而值域则是因变量的取值范围。
2. 单调性：函数可以是递增的（当x增大时，对应的f(x)也增大）或递减的（当x增大时，对应的f(x)减小）。
3. 奇偶性：函数可以是奇函数（f(-x)=-f(x)）或偶函数（f(-x)=f(x)）。
4. 周期性：函数在一定区间内具有重复的特点。
二、方程的定义与性质方程是表示等式关系的数学式子，其中包含未知数和已知数。
方程的求解是为了找到满足等式的未知数的取值。
方程具有以下性质：1. 根：方程的根是使等式成立的未知数的取值。
2. 解：方程的解则是满足等式关系的未知数的取值。
3. 系数：方程中的系数是未知数与已知数之间的倍数关系。
4. 次数：方程中的最高次幂决定了方程的次数。
三、函数与方程的关系函数与方程是相互关联的。
具体来说，函数可以用来解方程，而方程则可以用来描述函数。
1. 函数用来解方程：给定一个方程，我们可以通过函数的方法来求解未知数的取值。
以一次函数为例，设有线性方程y=ax+b，其中a和b为已知数，x为未知数。
我们可以将方程表示为函数y=f(x)，其中f(x)=ax+b，然后根据函数图像与坐标系进行求解。
2. 方程用来描述函数：方程可以用来描述函数的特征与性质。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以将其表示为方程y=ax^2+bx+c，通过求解方程的根来确定函数的零点、顶点和开口方向等重要特征。
综上所述，函数与方程在数学中是密不可分的。
第八篇函数与方程
第八篇函数与方程考纲传真1.考查函数零点的个数和取值范围2.利用函数零点求解参数的取值范围3.与实际问题相联系，考查数学应用能力复习建议1.准确理解函数零点与方程的根，函数图象与x轴交点之间的关系2.会利用函数值域求解“a＝f(x)有解”型问题3.利用数形结合思想解决有关函数零点的个数问题考点梳理1．函数的零点(1)定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．(3)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.3．用二分法求函数f(x)零点（该部分内容本次复习不做要求）典例归纳例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．例2若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．例3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．例4 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．例5 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)． (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．课堂小结1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.3．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．求函数零点的值，判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．课后作业一、选择题1.若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2.方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43.若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( )A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个4.已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不小于零5.已知函数f (x )＝x e x －ax －1，则关于f (x )零点叙述正确的是( )．A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点B ．函数f (x )必有一个零点是正数C ．当a ＜0时，函数f (x )有两个零点D ．当a ＞0时，函数f (x )只有一个零点6.已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2m 在[0,1]上有且只有一个零点，则实数m 的取值范围为( )A ．(－2,0)B ．(－1,0)C ．[－2,0]D ．(－2，－1)7.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．08.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b 二、填空题9. 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，则实数a 的取值范围是________．10.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x <2， 则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为___________． 11.已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13.关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时：(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)内有且只有一解．14.(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．。
第二章 第八节 函数与方程
1.函数的零点
横轴的交点的横坐标 （1）定义：函数y=f(x)的图像与___________________称为这
个函数的零点. （2）几个等价关系：
解
交点
零点
2.函数零点的存在性定理 连续曲线 函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是_________，并且
f(a)·f(b)<0 _____________，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零
（2）(2013·阜阳模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的 零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可能是( （A）f(x)=4x-1 （C）f(x)=ex-1 （B）f(x)=(x-1)2 （D）f x ln(x 1 )
2
)
（3）（2013·湛江模拟）设函数y=x3与 y ）2 的图像的交 （ x 点为（x0,y0）,若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是_____. 【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数. (2)根据g(x)的单调性及g(0),g(0.25),g(0.5)的符号确定函数 g(x)零点所在区间，从而明确函数f(x)的零点所在区间，最后 通过求函数f(x)的零点确定f(x). (3)画出两个函数的图像寻找零点所在区间.
立的条件是x=e,故g(x)的值域是［2e,+≦)，因此，只需m≥2e, 则g(x)=m就有实数根.
e2 方法二：作出 g x x (x 0) 的大致图像如图： x
可知若使g(x)=m有实数根，则只需m≥2e.
（2）若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图像
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第三章 函数与基本初等函数-第八节 函数与方程
2.用二分法求方程 + lg − 3 = 0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是() B
A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]
[解析]设 = + − ，显然函数图象是连续的，且 = − < ，
= − < ， = > ， = + > ， = + > ，
[解析]因为函数 =
−
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
− 在区间 , 上单调递增，又函数
= − − 的一个零点在区间 , 内，则有 ⋅ < ，所以
− − − < ，即 − < ，所以 < < .故选C.
4.已知函数 = e − e− + 4，若方程 = + 4 > 0 有三个不同的实根1 ，
= 或 = ，作出 的图象，如图所示：
观察图象可知, = − 无解, = 有3个解, = 有1个解.综上所述,函数
的零点个数为4.故答案为4.
［对点训练3］（1）已知函数 =
实根个数为() A
A.3
2 +1
൞ 2
−1
B.4
定理得函数 的零点位于区间 , 内.故选C.
法二（数形结合）：
函数 = + − 的零点所在区间转化为 = ，
= − + 的图象的交点横坐标所在范围.如图所示，可知
的零点在 , 内.故选C.
［对点训练1］ （多选题）下列函数中，在区间[−1,3]上存在唯一零点的有() BCD
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2 4.(2017北京朝阳一模)已知函数f(x)=2 - -a的一个零点在区间(1,2)内,则 x 实数a的取值范围是 (0,3) .
x
答案 (0,3)
解析 易知该零点为变号零点,
∴f(1)· f(2)<0,即-a· (3-a)<0, 解得0<a<3,故答案为(0,3).
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第一步,确定区间[a,b],验证 第二步,求区间(a,b)的中点x1. 第三步,计算 f(x1) : f(a)· f(b)<0 ,给定精确度ε.
(i)若
(ii)若 (iii)若
f(x1)=0 ,则x1就是函数的零点;
f(a)· f(x1)<0 ,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); f(x1)· f(b)<0 ,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).
第四步,判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则, 重复第二、三、四步.
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1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的 是 ( C )
答案 C 对于选项C,由图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是 相同的,故不能用二分法求解.
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答案 (1)D (2)5 解析 (1)∵f(0)=1, f(1)=2,∴f(0)f(1)>0,
1 9
1 3
∵f(2)=5, f(1)=2,∴f(2)f(1)>0, ∵f(-2)= -4, f(-1)= -1,∴f(-2)f(-1)>0, ∵f(0)=1, f(-1)= -1,∴f(0)f(-1)<0,
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2 x , x 1, 1 5.(2016北京西城二模)设函数f(x)= 那么f f 2 = log 2 x, x 1,
;
.
若函数y=f(x)-k有且只有两个零点,则实数k的取值范围是 答案 解析
1 1 , ; 2 2
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2.(2016北京东城期中)函数f(x)= -ln x的零点个数为 ( B ) x A.0 B.1 C.2 D.3
1 x 1 1 x x 1 lnx根的个数,即y= (x>0)与y=ln x图象交点的个数. x
1
答案 B f(x)= -ln x的零点个数即方程 -ln x=0根的个数,即方程 =
1 3
易知[-1,0]符合条件,故选D.
(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞), 且f '(x)= +2>0,
1 x
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
5 5 =ln 又∵f(3)=ln 3>0, f -1<0,
2
2
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∴f f(3)<0. ·
5 2
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第八节 函数与方程
总纲目录
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总纲目录 教材研读
1.函数零点的定义 2.函数零点的判定（零点存在性定理） 3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
4.用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤
考点突破
考点一 函数零点所在区间的判断 考点二 判断函数零点的个数
考点三
函数零点的应用
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3.二次函数y=ax +bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 二次函数y=ax +bx +c(a>0)的图象
2
2
Δ=0
Δ<0
与x轴的交点 零点个数
⑧ (x1,0), (x2,0) ⑩ 两个
⑨ (x1,0) 一个
无交点 无
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4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
作出两函数在同一坐标系下的图象,如图:
由图象知它们只有一个交点,故选B.
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3.(2014北京,6,5分)已知函数f(x)= -log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的 区间是 ( C ) A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞)
6 4
6 x
答案 C ∵f(1)=6-log21=6>0, f(2)=3-log22=2>0, f(3)=2-log23>0, f(4)= log24= -2<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
由题意得f
1 1 2 2 )=log2 2 2 = f = f ( . 2 2
1
1
函数y=f(x)-k有且仅有两个零点等价于方程f(x)=k有两个不等实根,即y= f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点. 如图. 由图知,若要有两个交点,则k> . 故k的取值范围是 , .
由零点存在性定理,知f(x)的零点在 ,3 内,∴k=5.
方法技巧 判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程看方程是否有根落在给定
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区间上进行判断;
(2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断.
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1.函数零点的定义
(1)对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴 有交点⇔函数y=
f(x)有③ 零点 .
2.函数零点的判定(零点存在性定理)
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并 且有④ f(a)· f(b)<0 ,那么函数y=f(x)在区间⑤ (a,b) 内有零点,即存 在c∈(a,b),使得⑥ f(c)=0 ,这个⑦ c 也就是方程f(x)=0的根.我们 把这一结论称为零点存在性定理.
1 2
1 2
考点突破
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考点突破
考点一 函数零点所在区间的判断
)
k k 1 (k f(x)=3x-x2有零点的区间是 ( A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0]
(2)(2017北京东城二模)已知函数f(x)=ln x+2x-6的零点在区间 , ∈Z)内,那么k= .