振动图像与波的图像

振动图象和波的图象振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：振动图象波动图象研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律图线物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移图线变化随时间推移图延续，但已有形状不变随时间推移，图象沿传播方向平移一完整曲线占横坐标距离表示一个周期表示一个波长2012届高考二轮复习专题 ：振动图像与波的图像及多解问题【例1】如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s 时的图象，乙为参与该波动的P 质点的振动图象（1）说出两图中AA /的意义（2）说出甲图中OA /B 图线的意义（3）求该波速v=（4）在甲图中画出再经3．5s 时的波形图（5）求再经过3．5s 时p 质点的路程S 和位移解析：（1）甲图中AA /表示A 质点的振幅或1．0s 时A 质点的位移大小为0．2m ，方向为负．乙图中AA /’表示P 质点的振幅，也是 P 质点在 0．25s 的位移大小为0．2m ，方向为负．（2）甲图中OA /B 段图线表示O 到B 之间所有质点在1．0s 时的位移、方向均为负．由乙图看出P 质点在1．0s 时向一y 方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA /间各质点正向远离平衡位置方向振动，A /B 间各质点正向靠近平衡位置方向振动．（3）甲图得波长λ＝4 m ，乙图得周期 T ＝1s 所以波速v=λ/T=4m/s（4）用平移法：Δx ＝v ·Δt ＝14 m ＝（3十½）λ所以只需将波形向x 轴负向平移½λ=2m 即可，如图所示（5）求路程：因为n=2/T t =7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。

8m求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p 质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s 质点P 的位移仍为零．【例2】如图所示，（1）为某一波在t ＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P 点的振动图象，则下列判断正确的是A ． 该列波的波速度为4m ／s ；B ．若P 点的坐标为x p ＝2m ，则该列波沿x 轴正方向传播C 、该列波的频率可能为 2 Hz ；D ．若P 点的坐标为x p ＝4 m ，则该列波沿x 轴负方向传播；解析:由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m ，周期T ＝1．0s ，所以波速v ＝λ／T ＝4m ／s ．由P 质点的振动图象说明在t=0后，P 点是沿y 轴的负方向运动：若P 点的坐标为x p ＝2m ，则说明波是沿x 轴负方向传播的；若P 点的坐标为x p ＝4 m ，则说明波是沿x 轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f ＝ l ／t ＝0Hz ．综上所述，只有A 选项正确．点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T 、波速v 均是唯一的．由于质点P 的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P 点在t ＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向【例3】一列在x 轴上传播的简谐波，在x l = 10cm 和x 2=110cm 处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为 s ，这列简谐波的波长为 cm ．【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为 4s ．由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性：（1）波沿x 轴的正方向传播．在t ＝0时，x 1在正最大位移处，x 2在平衡位置并向y 轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x 2一 x 1＝（n十1/4）λ，λ=400/（1十4n ）cm（2）波沿x 轴负方向传播．在t ＝0时．x 1在正最大位移处，x 2在平衡位置并向y 轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性……，x 2一 x 1＝（n 十3/4）λ，λ=400／（3＋ 4n ）cm点评：由于波在媒质中传播具有周期性的特点，其波形图每经过一个周期将重复出现以前的波形图，所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的（若要是唯一的，就得有两个前提：一个是确定波传播方向；一个是确定波长的范围）．【例4】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过时的波形图象。

求：①波传播的可能距离 ②可能的周期（频率）③可能的波速 ④若波速是35m/s ，求波的传播方向⑤若小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。

解析： ①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。

向左传播时，传播的距离为x =n λ+3λ/4=（4n +3）m （n=0、1、2 …）向右传播时，传播的距离为x =n λ+λ/4=（4n+1）m （n=0、1、2 …）②向左传播时，传播的时间为t =nT +3T /4得：T =4t /（4n +3）= /（4n +3）（n=0、1、2 …） 向右传播时，传播的时间为t =nT +T /4得：T =4t /（4n +1）= /（4n +1） （n=0、1、2 …） ③计算波速，有两种方法。

v =x /t 或v =λ/T向左传播时，v =x /t =（4n +3）/=（20n +15）m/s. 或v =λ/T =4 （4n +3）/=（20n +15）m/s.（n =0、1、2 …）向右传播时，v =x /t =（4n +1）/=（20n +5）m/s. 或v =λ/T =4 （4n +1）/=（20n +5）m/s. （n =0、1、2 …）④若波速是35m/s ，则波在内传播的距离为x =vt =35×0.2m=7m=143λ，所以波向左传播。

⑤若小于一个周期，说明波在内传播的距离小于一个波长。

则：向左传播时，传播的距离x =3λ/4=3m ；传播的时间t =3T /4得：周期T =；波速v =15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m ；传播的时间t =T /4得：周期T =；波速v =5m/s. 点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。

【例5】如图所示，一列简谐横波在t 1时刻的波形，如图甲所示，质点P 在该时刻的振动速度为v ，t 2时刻质点P 的振动速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相同；t 3时刻质点P 的速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相反．若t 2－t 1＝t 3—t 2＝0．2秒，求这列波的传播速度． 解析：从振动模型分析，若质点P 从t 1时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t 1时刻到t 2时刻，从t 2时刻到t 3时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有： t 2—t 1＝（n ＋1／4）T n ＝0，1，2……4 x /m y 0周期为：T=（t 2一t 1）／（n 十1/4） n ＝0，1，2…… 由公式：v ＝λ／T 得出速度v 的通解为： v ＝20（n ＋l ／4） n=0，1，2……方向向左． 若质点 P 从 t 1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t 1时刻到t2时刻，从t 2时刻到t 3时刻，对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有：t 2—t 1＝（n ＋3／4）T n ＝0，1，2……周期为：T=（t 2一t 1）／（n 十3/4） n ＝0，1，2……由公式：v ＝λ／T 得出速度v 的通解为： v ＝20（n ＋3／4） n=0，1，2……方向向右． 答案：v ＝20（n ＋l ／4）（n ＝0，1，2……） 方向向左．或v ＝ 20（ n ＋ 3／4）（ n ＝ 0，1，2，……）方向向右【例6】已知在t 1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t 2该波的波形如图中虚线所示。

t 2-t 1 = 来求：⑴该波可能的传播速度。

⑵若已知T < t 2-t 1<2T ，且图中P 质点在t 1时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速。

⑶若<T <，且从t 1时刻起，图中Q 质点比R 质点先回到平衡位置，求可能的波速。

解：⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t 2-t 1内波形向右匀速传播了λ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n ，所以波速()1231t t n v -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λ=100(3n +1)m/s (n =0,1,2,…)；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v =100(3n +2)m/s (n =0,1,2,…)⑵P 质点速度向上，说明波向左传播，T < t 2-t 1 <2T ，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v =500m/s⑶“Q 比R 先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而<T <，也就是T <<2T ，所以这段时间内波只可能向右传播了4/3个波长，解也是唯一的：v =400m/s【例7】一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d 的M 、N 两点均处在平衡位置，且M 、N 之间仅有一个波峰，若经过时间t ，N 质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少分析与解：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M 、N 两点均处在平衡位置，且M 、N 之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN 上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图中A 、B 、C 、D 图，各图中均为左端为M ，右端为N ）：若波的传播方向由M 到N ，那么：在A 图中，经过时间t ，N 恰好到达波峰，说明时间t 内波向右前进的距离24d S λ==，且4T t =，所以波速2d v T tλ==． 在B 图中，经过时间t ，波峰传到N 点，则波在时间t 内向右前进的距离3344d S λ==，且34T t =，所以波速3434d d v T t t λ===． 在C 图中，经过时间t ，波向右前进的距离44d S λ==，且4T t =，所以波速4d v t tλ==． 在D 图中，经过时间t ，波向右前进的距离324d S λ==，且34T t =，所以波速2d v T tλ==． 9 Q P x /cm s /mA CB D若波的传播方向从N 到M ，那么：在A 图中，质点N 此时要向下振动，经过时间t ，N 到达波峰，则时间34T t =，在时间t 内波向左前进的距离3324d S λ==，所以波速32d v t =．在B 图中，经过时间t ， N 到达波峰，则时间4T t =，在此时间内波向左前进的距离44d S λ==，所以波速4d v T tλ==． 在C 图中，波在时间t 内向左前进的距离3344d S λ==，且34T t =，所以波速3434d d v T t tλ===． 在D 图中，质点N 经过4T 变为波峰，所以4T t =，在时间t 内波向左前进的距离64d S λ==，所以波速6d v T tλ==． 所以该列波可能的波速有五种6d v t =、4d v t =、2d v t =、34d v t =、32d v t=． 其实上述解决问题的方法过于程序化，如果能够判断出八种情况下该时刻波形图上的波峰在传播方向上到N 点的距离S ，波速v 就等于s t．例如：最后一种情况中，波峰在传播方向上到N 点的距离6d S =，所以波速6s d v t t==．其它情况读者可自行解决．。