有理数的意义典型例题讲解
初一有理数的重点题型
初一有理数的重点题型
摘要：
1.有理数的概念与分类
2.有理数的混合运算
3.有理数的大小比较
4.有理数的数轴表示
5.例题解析
正文：
一、有理数的概念与分类
有理数指的是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。
有理数可以分为正有理数、负有理数和零，根据它们的大小关系，又可以分为有理数和负有理数。
二、有理数的混合运算
有理数的混合运算包括加减乘除，其中乘除可以统称为乘法。
在有理数的混合运算中，需要注意运算顺序和运算法则。
三、有理数的大小比较
有理数的大小比较主要依据它们的数值大小，可以通过比较它们的绝对值或者将它们转化为分数进行比较。
四、有理数的数轴表示
有理数可以在数轴上进行表示，正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，零在原点。
五、例题解析
例题1：计算(-3) / 2 + 4 * 2
解：先计算乘除法，(-3) / 2 = -1.5，4 * 2 = 8，然后将结果相加，-1.5 + 8 = 6.5，所以答案是6.5。
例题2：比较-5 / 2 和3 / 4 的大小
解：将它们转化为分数进行比较，-5 / 2 = -2.5，3 / 4 = 0.75，-2.5 < 0.75，所以-5 / 2 < 3 / 4。
人教版初一数学(七年级)课程讲义第一章：有理数的意义(解析版)
人教版初一数学（七年级）课程讲义第一章：有理数的意义（解析版）【例题1】体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1） 这8名男生有百分之几达到标准？（2） 他们共做了多少引体向上？【答案】（1）62.5%；（2）56个【解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：； 答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.讲解用时：3分钟解题思路：解题时要注意对正负数的意义准确理解教学建议：一定要先引导学生弄清“基准”是什么.难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【练习1.1】中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）A ．支出20元B ．收入20元C ．支出80元D ．收入80元【答案】C5100%62.5%8⨯=【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．讲解用时：2分钟解题思路：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．教学建议：解题关键是引导学生理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【例题2】如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4) 【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.讲解用时：3分钟解题思路：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．教学建议：对学生强调数轴的三要素难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【练习2.1】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．【答案】±5；5个.【解析】画出数轴，即可观察出离原点5个单位长度的点表示的数是±5，同时可以数出-3与3之间的整数有5个讲解用时：2分钟解题思路：准确画出数轴，即可得出答案教学建议：熟练掌握数轴的画法及数轴的三要素难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题3】如图，数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示2的相反数的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，∴在A ，B ，C ，D 这四个点中满足以上条件的是A ．故选A ．讲解用时：3分钟解题思路：考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．教学建议：引导学生观察总结互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【练习3.1】51-的相反数是（ ） A ．5 B ．51 C ．51-D.-5 【答案】B【解析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案为B讲解用时：3分钟解题思路：解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.教学建议：熟练掌握相反数的定义.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无年份：2019 【例题4】当a≠0时，请解答下列问题：（1）求a a的值；（2）若b≠0，且0=+b b a a ，求ab ab的值．【答案】 （1）1±；（2）1-.【解析】解：（1）当a ＞0时，a a=1；当a ＜0时，a a=﹣1；（2）∵0=+b ba a，∴a ，b 异号，当a ＞0，b ＜0时，ab ab=﹣1；当a ＜0，b ＞0时，ab ab=﹣1；讲解用时：3分钟解题思路：（1）利用绝对值的代数意义化简即可求出值；（2）根据有理数的乘法法则和绝对值的代数意义化简即可求出值；教学建议：利用绝对值的代数意义化简是解本题的关键． 难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习4.1】计算：已知|x|=32，|y|=21，且x ＜y ＜0，求6÷（x ﹣y ）的值．【答案】﹣36．【解析】解：∵|x|=32，|y|=21，且x ＜y ＜0，∴x=﹣32，y=﹣21，∴6÷（x ﹣y ）=6÷（﹣32+21） =﹣36．讲解用时：4分钟解题思路：直接利用绝对值的性质结合有理数混合运算法则计算得出答案． 教学建议：利用绝对值的性质和有理数混合运算，正确得出x ，y 的值是解题关键．难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019【例题5】如图，数轴上的三点A ，B ，C 分别表示有理数a,b,c ，化简|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|．【答案】2c【解析】解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．讲解用时：3分钟解题思路：由数轴可知：c＞0，a＜b＜0，所以可知：a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c ＜0．根据负数的绝对值是它的相反数可求值．教学建议：此题主要是考查学生对数轴和绝对值的理解，要求学生要对这些概念性的东西牢固掌握．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【练习5.1】已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值．【答案】0或﹣12．【解析】解：∵|a﹣1|=9，|b+2|=6，∴a=﹣8或10，b=﹣8或4，∵a+b＜0，∴a=﹣8，b=﹣8或4，当a=﹣8，b=﹣8时，a﹣b=﹣8﹣（﹣8）=0，当a=﹣8，b=4时，a﹣b=﹣8﹣4=﹣12．综上所述，a﹣b的值为0或﹣12．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．教学建议：引导学生掌握绝对值的性质，熟记运算法则和性质并判断出a、b的对应情况是解题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2019【例题6】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【答案】（1）＜，＜，＞；(2)﹣2b．【解析】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞；（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b．讲解用时：3分钟解题思路：（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．教学建议：必须让学生熟记三种位置角的形状.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【练习6.1】已知a、b、c都是负数，且0-+-+-=，则x + y + z______0．（填x a y b z c“>”、“<”、“=”）．【答案】<【解析】利用绝对值的非负性，可得出x=a，y=b，z=c，则x+y+z=a+b+c<0讲解用时：4分钟解题思路：本题考查了绝对值的性质，准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．教学建议：利用绝对值的非负性去掉绝对值符号是解此题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2019【例题7】已知：a=3，|b|=2，求（a+b）3的值．【答案】125或1．【解析】解：∵|b|=2，∴b=±2，当b=2时，（a+b）3=（3+2）3=125；当b=﹣2时，（a+b）3=（3﹣2）3=1，综上所述，（a+b）3的值为125或1．讲解用时：3分钟解题思路：利用绝对值的代数意义求出b的值，代入原式计算即可求出值．教学建议：熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019【练习7.1】数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是．②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为．③若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|的最小值=．④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x﹣2|=5，则满足条件的所有整数x的是．⑤若x表示一个有理数，当x为，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|有最小值为．若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|．【答案】① 3，4；②|x+2|，|5﹣x|；③4；④﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；⑤3，7；【解析】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）=4，故答案为：3，4；②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，故答案为：|x+2|，|5﹣x|；③当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x﹣x﹣3=﹣2x﹣2，当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|=1﹣x+x+3=4，当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|=x﹣1+x+3=2x+2，在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4，故答案为：4；④当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣2|=﹣x﹣3+2﹣x=﹣2x﹣1=5，解得：x=﹣3，此时不符合x＜﹣3，舍去；当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+2﹣x=5，此时x=﹣3或x=﹣2或0或1或2；当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|=x+3+x﹣2=2x+1=5，解得：x=2，此时不符合x＞2，舍去；当x=0时，|x+3|+|x﹣2|=5；当x=1时，|x+3|+|x﹣2|=5；当x=﹣1时，|x+3|+|x﹣2|=5；故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；⑤∵设y=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣5|，i、当x≥5时，y=x+2+x﹣3+x﹣5=3x﹣6，∴当x=5时，y最小为：3x﹣6=3×5﹣6=9；ii、当3≤x＜5时，y=x+2+x﹣3+5﹣x=x+4，∴当x=3时，y最小为7；iii、当﹣2≤x＜3时，y=x+2+3﹣x+5﹣x=10﹣x，∴此时y最小接近7；iiii、当x＜﹣2时，y=﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x=6﹣x，∴此时y最小接近8；∴y的最小值为7．故答案为：3，7．讲解用时：4分钟解题思路：①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|，依此即可求解；④根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；③首先将原式变形为y=|x﹣1|+|x+3|，然后分别从当x≥1时，当﹣3≤x＜1时，当x＜﹣3时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；④当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤2时，当x＞2时，当x=﹣1，当x=1，当x=0去分析，根据一次函数的增减性，即可求得答案；⑤当x≥5时，当3≤x＜5时，当﹣2≤x＜3时，当x＜﹣2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值．教学建议：本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2019课后作业【作业1】下列说法正确的是（）A. 一个数的绝对值一定比0大B. 一个数的相反数一定比它本身小C. 绝对值等于它本身的数一定是正数D. 最小的正整数是1【答案】D【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；D、最小的正整数是1，正确．讲解用时：4分钟难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2019【作业2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】108【解析】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ．小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ．讲解用时：4分钟难度： 4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2019【作业3】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=．（2）若|x﹣3|=|x+1|，则x=．【答案】（1）7；（2）1.【解析】解：（1）|5﹣（﹣2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）由题意得：x﹣3+x+1=0，解得：x=1，故答案为：1；讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2019。
有理数的概念教案例题习题
有理数的概念-教案例题习题教案章节：一、有理数的定义与分类二、有理数的加法与减法三、有理数的乘法与除法四、有理数的乘方五、有理数的混合运算一、有理数的定义与分类1. 概念讲解：有理数是可以表示为两个整数比例的数，其中分子和分母都是整数，分母不为零。
2. 案例分析：分析几个具体的有理数案例，如2/3, -5/4等，解释它们是有理数的原因。
3. 习题练习：b. 找出下列有理数的相反数：2/5, -7/8二、有理数的加法与减法1. 概念讲解：有理数的加法是将两个有理数的分子相加，分母保持不变；有理数的减法则是将减数的分子取相反数后相加。
2. 案例分析：分析几个具体的有理数加法和减法案例，如2/3 + 1/4, -5/6 2/3等，解释运算过程。
3. 习题练习：三、有理数的乘法与除法1. 概念讲解：有理数的乘法是将两个有理数的分子相乘，分母相乘；有理数的除法则是将除数的分子乘以倒数，再与被除数的分子相乘，分母相乘。
2. 案例分析：分析几个具体的有理数乘法和除法案例，如2/3 ×4/5, -5/6 ÷2/3等，解释运算过程。
3. 习题练习：四、有理数的乘方1. 概念讲解：有理数的乘方是指将一个有理数自乘若干次，其中指数表示自乘的次数。
2. 案例分析：分析几个具体的有理数乘方案例，如2^3, (-3/4)^2等，解释运算过程。
3. 习题练习：五、有理数的混合运算1. 概念讲解：有理数的混合运算是指在一个表达式中包含有理数的加减乘除和乘方等运算。
2. 案例分析：分析几个具体的混合运算案例，如2/3 + 1/2 ×3/4, -5/6 ÷(-2/3) ×(-1/2)^2等，解释运算过程。
3. 习题练习：六、有理数的应用-比例与比例尺1. 概念讲解：比例是两个有理数的比较，比例尺是地图上距离与实际距离的比。
2. 案例分析：通过实际案例，如购物时打折的比例计算，地图上的距离与实际距离的换算等，解释比例和比例尺的计算方法。
有理数的意义
第一节有理数的意义月 日 姓 名【知识要点】1．有理数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0)1( （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上右边的数大于左边的数. 3．相反数（1）代数意义：像3与-3这样只有符号不同的两个数，把其中一个叫做另一个的相反数，0的相反数是0.(2)几何意义:在数轴上原点的两旁,并且到原点的距离相等.(3)求一个数的相反数就是在这个数前添一个负号,如a 的相反数是-a . (4)a 与b 互为相反数等价于0=+b a4.绝对值：数轴上,一个数a 所对应的点与原点的距离为该数的绝对值,记作a .任何一个数的绝对值都是非负数，即0≥a ．【典型例题】例1.把下列各数填入它所属的集合.-1、 -2、 0、 +3.4、 32-、 311、 5%、 。
．30-、 -（-4）自然数集：{ }负整数集：{ } 分数集： { } 正数集： { } 整数集： { } 有理数集：{ }例2．用数轴把下列各数表示出来，并用“〈”连接下列各数 -,43 1， 1.7， ,35- -0.04， ,54- 0.01, ,43 0例3．有一座三层楼房不幸起火，一位消防员搭梯子爬往三楼去抢救物品，当他爬到梯子正中间一级时，二楼的窗口喷出火来，他就往下退了三级，等到火过去了，他又爬上了七级；这时顶层有两块砖掉下来，他又退了二级；幸好没有打着他，他又爬上八级，这时他距离最高一层还有一级，问这个梯子有几级？例4．如图在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，求与点C 所表示的最接近的整数.例5．①已知()0342322=++-b b a ，则=a ,=b .②若1999-a 与2000+b 的互为相反数，则()3b a += ．例6. 已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式.)1999)(1999(1)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab思考：三个互不相等的有理数，既可以表示为1,,a b a +的形式，也可以表示为0,,bb a的形式，试求20082008ab +的值。
有理数(归纳与讲解)(解析版)
专题01 有理数【专题目录】技巧1绝对值的八种常见应用技巧2 有理数中的六种易错类型【题型】一、有理数概念理解【题型】二、用数轴上的点表示有理数【题型】三、求一个数的相反数【题型】四、求一个数的绝对值【题型】五、有理数的加减乘除混合运算【题型】六、科学记数法【考纲要求】1、了解有理数的概念，知道有理数与数轴上的点一一对应．2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．【考点总结】一、有理数【注意】数轴1、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）2、任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
3、数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.【考点总结】二、有理数四则运算【注意】1、有理数的加减混合运算规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算步骤：（1）减法化加法；（2）省略括号和加号；（3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
2、多个有理数相乘的法则及规律：（1） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
【技巧归纳】技巧1：绝对值的六种常见应用【类型】一、已知一个数求这个数的绝对值 1．化简：(1)|－(＋7)|； (2)－|－8|；【类型】二、已知一个数的绝对值求这个数 2.若|a|＝2，则a ＝________.3．若|x|＝|y|，且x ＝－3，则y ＝________. 【类型】三、 绝对值在求字母的取值范围中的应用 4．若|x|＝－x ，则x 的取值范围是________． 5．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是________． 【类型】四、绝对值在比较大小中的应用6．把－(－1)，－23，－⎪⎪⎪⎪－45，0，用“>”连接正确的是( ) A ．0>－(－1)>－⎪⎪⎪⎪－45>－23 B ．0>－(－1)>－23>－⎪⎪⎪⎪－45 C ．－(－1)>0>－23>－⎪⎪⎪⎪－45 D ．－(－1)>0>－⎪⎪⎪⎪－45>－23【类型】五、绝对值的非负性在求字母值中的运用 7．若⎪⎪⎪⎪a －12＋⎪⎪⎪⎪b －13＋⎪⎪⎪⎪c －14＝0，求a ＋b －c 的值． 【类型】六、绝对值的非负性在求最值中的应用 8．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：(1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________； 参考答案1．解：(1)原式＝7. (2)原式＝－8. 2．±2 3.±3 4.x≤0 5.x≤2 6.C7．解：由题意知a ＝12，b ＝13，c ＝14，所以a ＋b －c ＝12＋13－14＝712.8．解：(1)4；0(2)因为a ，b 互为相反数，所以b ＝－a.又因为a ＜0，b ＞0. 所以|a －b|＋2a ＋|b|＝|2a|＋2a ＋|b|＝－2a ＋2a ＋b ＝b. 技巧2： 有理数中的六种易错类型【类型】一、对有理数有关概念理解不清造成错误 1．下列说法正确的是( ) A ．最小的正整数是0 B ．－a 是负数C ．符号不同的两个数互为相反数D ．－a 的相反数是a【类型】二、 误认为|a|＝a ，忽略对字母a 分情况讨论 2．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是( ) A ．负数 B ．负数或零 C ．正数或零D ．正数【类型】三、对括号使用不当导致错误 3．计算：2－⎝⎛⎭⎫－15＋14－12. 【类型】四、忽略或不清楚运算顺序4．计算：－5－(－5)×110÷110×(－5)．【类型】五、乘法运算中确定符号与加法运算中的符号规律相混淆5．计算：－36×⎝⎛⎭⎫712－56－1. 【类型】六、除法没有分配律6．计算：24÷⎝⎛⎭⎫13－18－16. 参考答案 1．D 2.C3．解：原式＝2＋15－14＋12＝2920.4．解：原式＝－5－(－5)×110×10×(－5)＝－30.5．解：原式＝－36×712－(－36)×56－(－36)×1＝－21＋30＋36 ＝45.6．解：原式＝24÷⎝⎛⎭⎫824－324－424 ＝24÷124＝576.方法指导：解本题时往往会出现将乘法分配律运用到除法运算中的错误，从而出现“原式＝24÷13－24÷18－24÷16＝72－192－144＝－264”这样的错误．【题型讲解】【题型】一、有理数概念理解例1、在下列实数：2π227、﹣0.0010001中，有理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【提示】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断． 【详解】解：34，227，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数．有理数有4个. 故选：D ．【题型】二、用数轴上的点表示有理数例2、如图，数轴上两点,M N 所对应的实数分别为,m n ，则m n -的结果可能是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【提示】根据数轴确定m 和n 的范围，再根据有理数的加减法即可做出选择． 【详解】解：根据数轴可得0＜m ＜1，2-＜n ＜1-，则1＜m n -＜3。
专题03 重点突破训练：有理数及其相关概念的典型例题(解析版)
专题03 重点突破训练：有理数及其相关概念的典型例题【考点思维导图】考点1：利用数轴判断符号及其化简 【方法点拨】解决此类问题需由数轴得知字母所表示的数的正负性，再根据有理数加、减、乘、除、乘方、绝对值的意义以及数轴上右边点的数总比左边的数大判断即可.【典例1】 （2020·广东恩平初一期末）如图，a ，b 在数轴上的位置如图所示：，那么||||a b a b -++的结果是（ ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a 【答案】A【解析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：b ＜a ＜0，且|a |＜|b |，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式=a -b -a -b =-2b ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了数轴以及绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解本题的关键．【典例1-1】 （2020·山东阳谷初二期末）实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）A ．55a b ->-B ．66a b >C ．a b ->-D ．0a b ->【答案】C【解析】根据数轴判断出,a b 的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．【详解】由图可知，0b a <<，且b a <，∴55a b ->-，66a b >，a b -<-，0a b ->，∴关系式不成立的是选项C ．故选C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝度值大的反而小．【典例1-2】（2020·全国初一课时练习）有理数,,a b c 在数轴上的位置如图所示，化简代数式||||||||a c b b a b a ----++．【答案】3a b c --+【解析】首先判断出a c -，b b a b a -+，，的正负，再去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．【详解】由题意可知0a c -<，0b >，0b a ->，0b a +<，||||||||a c b b a b a ----++3a c b b a b a a b c =-+--+--=--+．故答案为：3a b c --+．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，数轴，绝对值，熟练掌握运算法则以及数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键．【典例1-3】（2019·山东沂源鲁村中学初一月考）实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，化简：|b+c|﹣|b ﹣a|+|a ﹣c|【答案】-2c【解析】根据数轴可知b+c 、b-a 、a-c 与0的大小关系即可化简求值．【详解】解：由数轴可知：b+c ＜0，b-a ＜0，a-c ＞0，∴原式=-（b+c ）+（b-a ）+（a-c ）=-b-c+b-a+a-c=-2c ．【点睛】本题考查数轴和绝对值的性质，解题的关键是熟练运用绝对值的性质，本题属于基础题型．考点2：绝对值非负性的应用【典例2】 （2020·山西初一期末）若()220,x y y -+-=则1xy +的值为_______．【答案】5【解析】根据绝对值和平方的非负性求出x ，y ，带入求解即可；【详解】∵()220-+-=x y y ， ∴020x y y ⎧-=⎨-=⎩，∴22x y =⎧⎨=⎩， ∴12215+=⨯+=xy ．故答案为5．【点睛】本题主要考查了代数式的求解计算，准确利用绝对值和平方的非负性求解是关键．【典例2-1】（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）若│a│=5，│b│=3，且a-b>0，那么a+b 的值是______．【答案】8或2【解析】已知|a|=5，b=|3|，根据绝对值的性质先分别解出a ，b ，然后根据a ＞b ，判断a 与b 的值，进而解答即可．【详解】解：∵|a|=5，b=|3|，∴a=±5，b=±3， ∵a-b ＞0，∴a ＞b ，∴a=5，b=3或b=-3，①当a=5，b=3时，a+b=8；②当a=5，b=-3时，a+b=2．故答案为：8或2．【点睛】此题主要考查了绝对值的性质与有理数的加法，能够根据已知条件正确地判断出a 、b 的值是解答此题的关键．【典例2-2】（2020·湖北枣阳初一期末）若()235230x y x y ，-++-+=则x y +的值为______.【答案】-3【解析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可确定出x+y 的值．【详解】∵（3x-y+5）2+|2x-y+3|=0，∴3x-y+5=0，2x-y+3=0，∴x= -2，y= -1．∴x+y= -3．【点睛】本题考查的知识点是：某个数的平方与另一数的绝对值的和等于0，那么平方数的底数为0，绝对值里面的代数式的值为0．【典例2-3】（2019·吉林东北师大附中初一月考）若1|3|3y -+与2(2)x +互为相反数，求y x 的值． 【答案】-8【解析】先根据绝对值和平方数的非负性求出,x y ，代入求值即可． 【详解】解：∵1|3|3y -+与2(2)x +互为相反数， ∴1|3|3y -++2(2)x +=0 ∵1|3|3y -+≥0， 2(2)x +≥0 ∴30y -+=，20x += ∴3,2y x ==-∴()328y x =-=-【点睛】本题考查了绝对值和平方数的非负性，及有理数的乘方运算，利用绝对值和平方数的非负性求出,x y 值是解题的关键．考点3 有理数大小比较【方法点拨】有理数大小比较注意两点：（1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；（2）在数轴上右边点表示的数总比左边点表示的数大.【典例3】（2020·全国初一课时练习）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是_______________（只填序号）①a b 0+>；②a b 0->；③b a >；④ab 0<．【答案】①②④【解析】由有理数a 、b 在数轴上的位置可判断a >0，b <0，且a b >，再结合选项进行判断即可.【详解】解：由有理数a 、b 在数轴上的位置可判断a >0，b <0，且a b >，于是：0a b +>，所以①正确；0a b ->，所以②正确；b a >，所以③错误；0ab <，所以④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题考查了数轴的知识、有理数的绝对值、有理数的加法和减法法则，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解答的关键.【典例3-1】（2020·山东鄄城初二期末）有理数,a b 在数轴上的位置如图所示，用不等式表示：①+a b ______0；②||a _______ ||b ；③-a b ______ 0【答案】< < >【解析】由题意直接根据数轴得出b ＜0＜a ，|b|＞|a ，再进行大小比较即可．【详解】解：∵从数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|，∴①a+b ＜0，②|a|＜|b|，③a-b ＞0，故答案为：＜，＜，＞．【点睛】本题考查数轴和有理数的大小比较以及整式的加减等知识点，能从数轴得出b ＜0＜a 和|b|＞|a|是解答此题的关键．【典例3-2】 （2017·桦甸市第三中学初一月考）若a<0，b<0，|a|>|b|，则a －b _______0.(填“>”“<”或“＝”)【答案】<【解析】根据两个负数作比较，绝对值大的反而小，得到a ＜b ，即可得出结果.【详解】解：∵a<0，b<0，|a|>|b|，∴a ＜b ，∴a －b ＜0，故答案为：＜.【点睛】本题考查了比较有理数大小，熟知两个负数作比较，绝对值大的反而小是解题关键.【典例3-3】（2019·无锡市硕放中学初一月考）大于113-且不大于2的所有整数和是____． 【答案】2【解析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得大于-113且不大于2的所有整数是： -1、0、1、2．所以它们的和为-1+0+1+2=2. 故答案为： 2．【点睛】题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【典例3-4】（2020·江门市第二中学初一月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：a b0，a c-0．-0，+c b-++--．（2）化简：c b a b a c-【答案】（1）＜；＜；＞；（2）2a【解析】（1）直接利用数轴结合a，b，c的位置进而判断得出答案；（2）利用（1）中的符号，结合绝对值的性质化简得出答案．【详解】解（1）由数轴可得：c-b＜0，a+b＜0，a-c＞0；故答案为：＜；＜；＞；-++--（2）c b a b a c=----+b c a b a c=-．2a【点睛】本题考查有理数大小比较，利用了数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的加法运算，差的绝对值是大数减小数，负数的绝对值是它的相反数．考点4：程序流程图与有理数的混合计算【典例4】（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）如图是一种数值转换的运算程序：（1）若第一次输入的数为x＝7，则第2次输出的数为；（2）若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？（3）是否存在第一次输入的数x，使第2次输出的数是x的2倍？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）1；（3）存在，x的值为2或1【解析】（1）第一次输入的数为x＝7，代入运算程序计算即可得出结果；（2）第1次输入的数为8，从第1次开始输出的数分别为4，2，1，4，2，1，…，得出输出的数为4，2，1三个数一循环，根据规律，即可得出结果；（3）当x为偶数时，第1次输出的数为12x，然后需要分两种情况分别讨论：①当12x为奇数时，第2次输出的数为12x+3，则12x+3＝2x；②当12x为偶数时，第2次输出的数为12×12x，则12×12x＝2x，分别解方程并检验方程的根是否符合题意即可；当x为奇数时，第1次输出的数为x+3，且x+3为偶数，第2次输出的数为12（x+3），则12（x+3）＝2x，解方程并检验方程的根是否符合题意即可．【详解】解：（1）第1次输入的数为x＝7，第1次输出的数为7+3＝10，第2次输出的数为10×12＝5；（2）第1次输入的数为8，第1次输出的数为8×12＝4，第2次输出的数为4×12＝2，第3次输出的数为2×12＝1，第4次输出的数为1+3＝4，第5次输出的数为4×12＝2，第6次输出的数为2×12＝1，∴输出的数为：4，2，1三个数一循环，∵2019÷3＝673，∴第2019次输出的数是1；（3）存在；当x为偶数时，第1次输出的数为12 x，①当12x为奇数时，第2次输出的数为：12x+3，则12x+3＝2x，解得：x＝2；②当12x为偶数时，第2次输出的数为：12×12x，则12×12x＝2x，解得：x＝0，不合题意舍去；当x为奇数时，第1次输出的数为x+3，且x+3为偶数，∴第2次输出的数为：12（x+3），则12（x+3）＝2x，解得：x＝1．综上所述，存在输入的数x，使第二次输出的数是x的2倍，x的值为2或1．【点睛】本题主要考查程序框图与有理数的运算，一元一次方程，分情况讨论是解题的关键．【典例4-1】（2019·全国初一）李海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，他若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？若开始输的是－4呢？【答案】若输入的数是2，则输出的数是－558；若输入的数是－4，则输出的数是－108．【解析】根据题意，把2输入，得（2-8）×9=-54，其绝对值小于100，所以再把-54从头输入，计算输出的数．根据题意，把-4输入，得（-4-8）×9=-108，其绝对值大于100，所以-108就是输出的数．【详解】把2输入，得（2-8）×9=-54，∵|-54|＜100，∴再把-54从头输入，得（-54-8）×9=-558，∵|-558|>100，∴输出-558．若输入的数是－4，得到（-4-8）×9=-12×9=-108，因为|-108|>100，∴输出-108．答：若输入的数是2，则输出的数是－558；若输入的数是－4，则输出的数是－108．【点睛】本题考查程序框图、有理数的混合运算和绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【典例4-2】（2019·安徽省涡阳县丹城中心校初一月考）计算：；【方法或规律点拨】有理数的四则运算中，利用分配律往往给计算带来简便【答案】2.6【解析】原式===﹣1+3.6=2.6． 【典例4-3】（2020·广西田东初一期末）计算:22928(3)()2()433-÷⨯-+⨯- 【答案】403- 【解析】先算乘方，再将除法变乘法计算，最后计算加减. 【详解】解：原式＝4289()4()933⨯⨯-+⨯- ＝88433--⨯ ＝83233-- 034=- 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．考点5：定义新运算【典例5】 （2020·湖北省初一月考）现定义运算：对于任意有理数a 、b ，都有a ⊗b ＝ab －b ，如：2⊗3＝2×3－3，请根据以上定义解答下列各题：（1） 2⊗（－3）＝___________，x ⊗（－2）＝___________；（2） 化简：[（－x ）⊗3] ⊗（－2）； （3） 若x ⊗1()2-＝3⊗（－x ），求x 的值．【答案】（1）－3，－2x ＋2 ；（2）6x ＋8；（3）x ＝－13． 【解析】解：（1）2⊗（－3）=2×（﹣3）+3=-6+3=-3，x ⊗（－2）=-2x +2；（2）（－x ）⊗3=-3x -3，（-3x -3） ⊗（－2）=6x +6+2=6x +8；（3）11322x x x -+=-+，解得：x =13-． 【典例5-1】 （2019·云南省鹿阜中学初一月考）若定义()3a b a a b ⊗=--，其中符号“⊗”是我们规定的一种运算符号．例如：()45344513⊗=⨯--=，求：()()32-⊗-的值．【方法或规律点拨】本题考查了求代数式的值和有理数的混合运算，能读懂题意是解此题的关键．【答案】-8.【解析】解：根据题中的新定义得：()()()()323332918-⊗-=⨯---+=-+=-．【典例5-2】（2020·四川大邑初一期中）对于有理数a ，b ，定义一种新运算“”，规定． （1）计算的值；（2）当，在数轴上位置如图所示时，化简【答案】（1）-6；（2）2b【解析】（1）根据定义：a b a b a b ⊗=---代入计算即可；（2）根据定义：a b a b a b ⊗=---，再化简绝对值即可．【详解】解：（1）原式＝2323-----＝﹣6（2）由a ，b 在数轴上位置，可得0,0b a <> a ﹣b ＞0， 则a b a b a b ⊗=---＝a+b ﹣a+b＝2b【点睛】本题考查定义新运算与绝对值结合，掌握绝对值化简是解题关键．考点6：有理数计算的实际应用【典例6】 （2020·东安县舜德学校初一期中）检修组乘汽车,沿公路检修线路,约定向东为正,向西为负,某天自A 地出发, 到收工时,行走记录为(单位:千米):+8、-9、+4、+7、-2、-10、+18、-3、+7、+5回答下列问题:(1)收工时在A 地的哪边?距A 地多少千米?(2)若每千米耗油0.3升,问从A 地出发到收工时,共耗油多少升?【答案】（1）收工时在A 地的东边距A 地25千米；（2）从出发到收工共耗油21.9升．【解析】（1）向东为正，向西为负，将从A 地出发到收工时行走记录相加，如果是正数，检修小组在A 地东边；如果是负数，检修小组在A 地西边；（2）将每次记录的绝对值相加得到的值×0.3升就是从出发到收工时共耗油多少升． 【详解】（1）+8-9+4+7-2-10+18-3+7+5=8+4+7+18+7+5-9-2-10-3=25，答：收工时在A地的东边，距A地25米；（2）8+9+4+7+2+10+18+3+7+5=73（千米），73×0.3=21.9（升），答：共耗油21.9升．【典例6-1】（2020·中卫市宣和中学初一期末）粮库3天内进出库的粮食记录日下（单位：吨．进库的吨数记为正数，出库的吨数记为负数）：+26，﹣32，﹣25，+34，﹣38，+10．（1）经过这3天，库里的粮食是增多了还是减少了？（2）经过这3天，仓库管理员结算发现库存粮食480吨，那么3天前库存粮食是多少吨？【答案】（1）-25吨；（2）505吨；【解析】（1）26+（﹣32）+（﹣25）+34+（﹣38）+10=﹣25（吨）．答：粮库里的粮食是减少了25吨；（2）480﹣（﹣25）=505（吨）．答：3天前粮库里存粮有505吨；【典例6-2】（2020·宁波市江北区新城外国语学校初一期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）写出该厂星期一生产工艺品的数量；（2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？（3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；（4）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．【答案】（1）305（个）；（2）26（个）；（3）2200（套）（4）127100（元）【解析】（1）周一的产量：300+5=305（个）；（2）最多的一天比最少的一天多生产（+16）-（-10）=26（个）；（3）根据题意得一周生产的服装套数为300×7+[（+5）+（-2）+（-5）+（+15）+（-10）+（+16）+（-9）]=2100+10=2200（套）（4）∵超额完成10套，∴该工艺厂在这一周应付出的工资总额为2110×60+10×50=127100（元）【典例6-3】（2020·湖南省初一期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门的位置出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：+6，﹣2，+10，﹣8，﹣7，+11，﹣10．(1)守门员是否回到了原来的位置？(2)守门员离开球门的位置最远是多少？(3)守门员一共走了多少路程？【答案】（1）回到了原来的位置；（2）守门员离开守门的位置最远是14米；（3）54米．【解析】（1）根据题意得：6﹣2+10﹣8﹣7+11﹣10=0．答：回到了原来的位置．（2）第一次离开6米，第二次离开4米，第三次离开14米，第四次离开6米，第五次离开1米，第六次离开10米，第七次离开0米，则守门员离开守门的位置最远是14米；（3）总路程=|+6|﹣2|+|+10|+|﹣8|+|﹣7|+|+11|+|﹣10|=54米．考点7：数轴上的动点问题【典例7-1】（2020·山东省初一期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A 的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是；（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？【答案】（1）﹣4或2；（2）﹣2或﹣1或0或1或2或3或4；（3）当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B 的幸福中心．【解析】（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；（2）4-（-2）=6，故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4；（3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有①8-2x-4+（8-2x+1）=6，解得x=1.75；②4-（8-2x）+[-1-（8-2x）]=6，解得x=4.75．故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．【典例7-2】（2020·河北省初一期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在左侧的一点，且A，B两点间t>秒。
七年级有理数经典例题
七年级有理数经典例题一、有理数的概念相关例题例1：判断下列数哪些是有理数：公式， -3， 0，公式，公式， 0.333…（循环节为3）， -0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）。
解析：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
-3是负整数，属于有理数。
0是整数，属于有理数。
公式是分数，属于有理数。
0.333…（循环节为3）是无限循环小数，可化为分数公式，属于有理数。
而公式是无限不循环小数，公式也是无限不循环小数， -0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无限不循环小数，它们都不是有理数。
所以有理数有 -3，0，公式，0.333…（循环节为3）。
二、有理数的分类相关例题例2：把下列有理数分类： -1，公式，0， -0.5，3， -2.5，公式解析：1. 按整数和分数分类整数有： -1，0，3。
分数有：公式， -0.5， -2.5，公式。
2. 按正有理数、负有理数和0分类正有理数有：公式，3，公式。
负有理数有： -1， -0.5， -2.5。
0单独一类。
三、有理数的数轴表示相关例题例3：在数轴上表示下列有理数： -2，公式，0， -1.5，1解析：1. 画数轴，确定原点（表示0）、正方向（一般向右为正方向）和单位长度。
2. -2在原点左边2个单位长度处。
3. 公式，在原点右边1.5个单位长度处。
4. 0就在原点处。
5. -1.5在原点左边1.5个单位长度处。
6. 1在原点右边1个单位长度处。
四、有理数的大小比较相关例题例4：比较下列有理数的大小： -3与 -2.5，0与 -1，公式与公式解析：1. 对于 -3与 -2.5：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
公式，公式。
因为3>2.5，所以 -3< -2.5。
2. 对于0与 -1：0大于负数，所以0> -1。
3. 对于公式与公式：先通分，公式，公式。
因为公式，所以公式。
五、有理数的运算相关例题例5：计算：1. 公式2. 公式3. 公式4. 公式解析：1. 对于公式：异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
初一数学有理数知识点与经典例题
初一数学有理数知识点与经典例题一、有理数知识点。
（一）有理数的概念。
1. 有理数的定义。
- 整数和分数统称为有理数。
整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。
例如：5是正整数，属于有理数； - 3是负整数，属于有理数；(1)/(2)是分数，属于有理数；0.25（有限小数，可化为(1)/(4)）也是有理数。
2. 有理数的分类。
- 按定义分类：- 有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质符号分类：- 有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数（二）数轴。
1. 数轴的定义。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2. 数轴上的点与有理数的关系。
- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（例如√(2)等无理数也可以用数轴上的点表示）。
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数 - a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。
（三）相反数。
1. 相反数的定义。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
特别地，0的相反数是0。
例如，3和 - 3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。
2. 相反数的性质。
- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。
（四）绝对值。
1. 绝对值的定义。
- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
2. 绝对值的性质。
- 当a>0时，| a|=a；当a = 0时，| a|=0；当a<0时，| a|=-a。
例如，|3| = 3，| - 3|=3，|0| = 0。
- 非负性：| a|≥s lant0。
（五）有理数的大小比较。
1. 法则。
- 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
- 两个负数，绝对值大的反而小。
例如，比较 - 2和 - 3，| - 2|=2，| - 3| = 3，因为2<3，所以 - 2>- 3。
81.期末复习(有理数的概念).doc
115,(1),1,( 3.5),22------+-1.2 有理数【目标导航】1．进一步加深对有理数的理解、并将有理数分类.2．会画数轴、并正确使用数轴。
3．理解相反数、绝对值的意义。
【要点梳理】知识点一:有理数的概念、及其分类；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 知识点二：数轴及其应用；知识点三：相反数的意义； 知识点四：绝对值的意义。
【例题讲解】例１把下列各数填在相应的大括号里。
+8,0.275,-|-2|,0,-1.04,-(-10),0.1010010001…,-(-2)2,722,-31,+43，∙1.0正整数集合{ +8, -(-10), ……}整数集合{ +8，-|-2|,0, -(-10), -(-2)2, …} 负整数集合{ -|-2|， -(-2)2 …}正分数集合{ 0.275, 722，43，∙1.0 ……}例2．把下列各数及它们的相反数表示在数轴上。
解：例3．（1）如果一个数的平方等于它的倒数，那么这个是 1 ；（2）若a ,b 两数互为倒数，c,d 两数互为相反数，则2（c +d ）2－3ab = -1 . （3）数轴上一对相反数所表示的两点之间的距离是8,它们到表示-2的点的距离各是 2或6 ．（4）在足球循环赛中，红队胜黄队4:1，黄 队胜蓝队1:0，蓝队胜红队1:0，则黄队的净 胜球数为_____-2_______． （5）比较大小：)43(--<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-)54(，722- < －3.14． 例4 已知有理数a,b,c 在数轴上对应点如图化简||||2||a b c a a ++---。
解：a <0, b < 0, c>0原式= a +2（a-c ）-(b+a), =b-2c例5若x y y x -=-||，且4||=x ，3||=y ，求2009)(y x +的值。
七年级有理数运算的应用题解析
七年级有理数运算的应用题解析
有理数运算是数学中的一个重要概念，它广泛应用于实际问题的解决中。
在七年级的数学研究中，我们会遇到一些应用题，下面会对其中一些常见的应用题进行解析和讲解。
1. 银行存款
小明在银行存了500元，过了一段时间，他又存了300元。
那么他一共存了多少钱？
解析：
小明一共存了500元和300元，我们可以用有理数的加法来计算：
500 + 300 = 800
所以小明一共存了800元。
2. 温度变化
一天中，早上的气温是-5摄氏度，在中午时升高了10摄氏度，那么中午的气温是多少摄氏度？
解析：
早上的气温是-5摄氏度，上升了10摄氏度，我们可以用有理
数的加法来计算：
-5 + 10 = 5
所以中午的气温是5摄氏度。
3. 海拔高度
A城市的海拔高度是-100米，B城市的海拔高度是200米，那
么B城市的海拔高度比A城市高多少米？
解析：
B城市的海拔高度是200米，A城市的海拔高度是-100米，我
们可以用有理数的减法来计算：
200 - (-100) = 300
所以B城市的海拔比A城市高300米。
以上是七年级有理数运算应用题的解析，希望能帮助你更好地理解有理数运算的应用。
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有理数的意义典型例题讲解
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、
1
2
+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、
1
2
-、－584等
在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】
类型一、正数与负数
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）
A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）这8名男生有百分之几达到标准？
（2）他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5
100%62.5% 8
⨯=；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
3．下面说法中正确的是( )．
A．非负数一定是正数．
B．有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．a
-一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；
(C)不对，当a为负数或0时，则a
-为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）
【答案】√，⨯，⨯，⨯
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数
【答案】D
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,
7
23
-，.
正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，
整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，
负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，
非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.
【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
负分数： -3.88，
7 23 -；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，
7 23 -；
非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；
非正数：-700, -3.88, 0,
7 23 -
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出
属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数. 举一反三： 【变式】在有理数
、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．
【答案】2. 类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，
.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒.
【答案】(12+n )
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1123+⨯=，1225+⨯=，1327+⨯=，1429+⨯=，，按此规律，第n 组应该有种子数（12+n ）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是： 【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：
,,301,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是： 【答案】
90
1。