高考数学复习——古典概型与几何概型
高考数学复习——古典概型与几何概型
1.(2019·全国Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A.516
B.1132
C.2132
D.1116
答案 A
解析 由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳
爻的种数为C 36＝6×5×43×2×1
＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P ＝2064＝516.故选A. 2.(2019·黄冈调研)黄冈市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生0～9之间整数值的随机数，并用0,1,2,3,4,5表示没有强浓雾，用6,7,8,9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
779 537 113 730 588 506 027 394 357 231
683 569 479 812 842 273 925 191 978 520
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( )
A.14
B.25
C.310
D.15
答案 C
解析 由题意，知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了20组随机数，
在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的有6组随机数：779,588,683,569,479,978，
故所求概率为620＝310
. 3.(2019·九江模拟)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”.把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中.现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是( )
A.15
B.110
C.121
D.1252
答案 C
解析 现从这十个数中随机抽取4个数，基本事件总数n ＝C 410
， 能成为两组的基本事件个数m ＝C 25，则能成为两组的概率是P ＝m n ＝C 25C 410＝121
. 4.在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，再作一个矩形，使其边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于16 cm 2的概率为( )
A.15
B.25
C.35
D.45
答案 B
解析 设AC ＝x ，则BC ＝10－x ，由题意矩形面积S ＝x ·()
10－x <16，所以x <2或x >8，又
0<x <10，所以该矩形面积小于16的概率为410＝25
. 5.(2019·青岛模拟)有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.13
B.23
C.34
D.14
答案 B
解析 设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝12×4π3×1
3π×12×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23
. 6.(2019·遵义模拟)如图，该茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为( )
A.15
B.25
C.110
D.310。
高考数学 17.2 古典概型与几何概型
17、概率17．2 古典概型与几何概型【知识网络】1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。
【典型例题】[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）A ．49B ．29C ．23D ．13（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（）A ．56B ．12C ．13D ．16（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为 ．（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。
[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．方案1：总点数是几就送礼券几十元．方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．【课内练习】1． 某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （）A ．15 B ．524C ．1081D ．512 2． 盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P 1，第8个人摸出红球的概率是P 8，则（）A ．P 8=18P 1B ．P 8=45P 1 C ．P 8=P 1 D ．P 8=0 3． 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为（ ）A ．12 B ．13C ．23D ．144． 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．235． 一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为 ．6． 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 7． 在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交AB 于P ，则同时满足：∠AOP ≥45°且∠BOP ≥75°的概率为 ．8． 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？9．设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P 与A 连结，第3题图倍的概率．10．正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．①设“V P-ABC≥14V”的事件为X，求概率P(X)；②设“V P-ABC≥14V且V P-BCD≥14V”的事件为Y，求概率P(Y)．17、概率17．2 古典概型与几何概型A 组1． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为 （ ）A ．2π B ．2ππ- C D ．4π2． 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．163． 已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)及内部面积为S=πab ，A 1，A 2是长轴的两个顶点，B 1，B 2是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是 （ ） ①△PA 1A 2为钝角三角形的概率为1； ②△PB 1B 2为直角三角形的概率为0；③△PB 1B 2为钝角三角形的概率为ba ；④△PA 1A 2为钝角三角形的概率为ba ；⑤△PB 1B 2为锐角三角形的概率为a ba-。
§14.4 古典概型与几何概型
“围棋”社团被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选担任监督职务
的概率.
解析
【解析】(1)设抽样比为 x,则由分层抽样可知,从“街舞”“围棋”“武术”三个社团 抽取的人数分别为 320x,240x,200x,则由题意得 320x-240x=2,解得 x=410,
故从“街舞”“围棋”“武术”三个社团抽取的人数分别为 320×410=8,240×410=6, 200×410=5.
.
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、几何概型 1.定义:若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 无限多个 . (2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 .
构成事件������的区域长度(面积或体积) 3.几何概型的概率公式 P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积. 或体积)
������
2.利用古典概型求概率的关键是要正确求出基本事件的总数和随机事件包 含的基本事件的个数,对于较复杂的题目,计数时要正确分类,分类时应不重不漏, 要正确选择列举法、列表法、树状图法等.
【追踪训练 1】(2020 届天津高考模拟)根据调查,某学校开设了“街舞”“围
棋”“武术”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
(2)从抽出的 6 人中,任选 2 人参加一对一的对抗比赛,基本事件总数为 n=C62=15, 这 2 人来自同一年龄组包含的基本事件个数为 m=C32+C22=4, ∴这 2 人来自同一年龄组的概率 P=������������=145.
解析
点拨：1.求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; (2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (3)利用公式 P(A)=������,求出事件 A 的概率.
古典概型与几何概型的异同点
古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。
若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。
2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。
它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。
二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。
2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。
三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。
2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。
而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。
3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。
而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。
4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。
而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。
5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。
而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。
6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。
而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。
7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。
四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。
这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。
古典概型与几何概型
课题 古典概型与几何概型教学目标 1、理解古典概型及其概率计算公式。
2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
3、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
4、了解几何概型的意义。
重 点 理解古典概型，几何概型的概念难 点掌握古典概型，几何概型的概率公式 【知识点梳理】一、古典概型1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件。
基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。
基本事件有以下两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等可能性事件3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率定义为()m P A n=。
二、几何概型1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。
2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
3. 几何概型事件的概率计算公式：积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(作业【典型例题分析】题型一、古典概型的概率求法例1.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。
如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。
假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是_________.例2.在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期。
1.3古典概型、几何概型
P(
A)
=
m( A) m( S )
几何概率显然满足：
（1）对任何事件 A，P( A) ³ 0；
（2）P( S) = 1;
（3）若事件 A1, A2,L , An,L 两两互不相容，则
+?
?
( ) P( U n=1
An )
=
?P
n=1
An
古典概型、几何概型
例 5（约会问题）甲乙二人相约在 0 到T 这段时间内，在预定地 点会面.到达时刻是等可能的，先到的人等候另一人，经过时间
（1）有放回抽样；（2）无放回抽样两种情形下，
第k (k = 1, 2,L , m + n) 次取到红球的概率.
解 设事件 A表示第k次取到红球，
（1）有放回抽样： P( A) = m . m+n
（2）无放回抽样：
P( A)
=
m×Amm++nn--11 Am+n
m+n
=
m(m+ n - 1)! (m+ n)!
概率论与数理统计
Probability and Statistics
— 概率论与数理统计教学组—
第1章 随机事件及其概率
1.3 古典概型、几何概型
学习 要点
古典概型 古典概型的概率计算方法 几何概型 几何概型的概率计算方法
古典概型、几何概型
一、古典概型的引入
掷一颗骰子，问“出现偶数点”“点数大于 4”的概率分别是
针与最近的一条平行线相交的充分必要条件是 x £ l sinq .
l
2a
x •
M
古典概型、几何概型
例 6（比丰投针问题）在平面上画有等距离的平行线，平行线间
1.3古典概型与几何概型
以上述两个原理为基础，可以推导出如下的排列、 组合等公式。
1．排列：从n个元素中取出r个来排列，既要考虑 每次取到哪个元素，又要考虑取出的顺序，根据取法 分为两类：
（1）有放回选取，这时每次选取都是在全体元 素中进行，同一元素可被重复选中，这种排列称为 r 有重复排列，总数为 n 种。
（2）不放回选取，这时一元素一旦被选出便立 刻从总体中除去，这种排列称为选排列，总数
A 的有利事件数为C
CC
1 3 1 2
1 1 C3 C2 ， P A C52
2 3
2 C3 P A 2 ； ， B C5
的有利事件数为
由此例我们初步体会到解古典概型问题的两个 要点： 1.首先要判断问题是否属于古典概型，即要判断样 本空间是否有限和等可能性； 2.计算古典概型的关键是“记数”，这主要利用排 列与组合的知识。 在古典概型时常利用摸球模型，因为古典概型 中的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述， 若把黑球做为废品，白球看为正品，则这个模型就 可以描述产品的抽样检查问题，假如产品分为更多 等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等， 则可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述。
1 k
c
素有 r 个 从这n个元素中取出r个，使得带足标“i”的元 i
（ ri ≤ ni ,1≤i≤k），而
这时不同取法的总数为
r1 r2 rk r ，
rk r2 r1 C C Cn …… n2 nk 1
4．一些常用等式 选排列和组合式可推广到r是正整数而n是任意 实数x的场合，即有 r
故 P ( 3 0.01293 13 C52
（二）、分房问题 例1.3.5 设有n个人，每个人都等可能地被分配 到N个房间中的任意一间去住（n≤N），求下列事 件的概率： 1） A {指定的n个房间各有一人住 } 2） B {恰好有n个房间，其中各有一人住 } 解 因为每一个人有N个房间可供选择（没有限制每 间房住多少人），所以n个人住的方式共有 N n 种， 它们是等可能的。
古典概型与几何概型
＊对应演练＊
（1）如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一 个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工 作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 求该地点无 信号的概率是多少？ A． B．
C．
D．
（2）已知棱长为2的正方体有一内切球.若在正方 体内任取一点，求这一点不在球内的概率？
小结
1. 求古典概型的概率的基本步骤为：
(1) 设所求的事件为A；
(2)算出所有基本事件的个数n；
(3)求出事件A包含的所有基本事件数m；
（4）代入公式，求出P(A).
2.几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积， 在解题时要几何概型的区别（基本事件的有限性 和无限性），正确选用几何概型解题.
用图表和列举法解决古典概型问题显得更加直观、 清晰，这种方法可有效地防止重复和遗漏，不失为一种 好的方法，随机试验和事件的结果等都尽收眼底，大家 要好好把握这种方法.
知识点三 几何概型 例2.已知某地铁列车每5分钟一班,在车站停1分钟,求
乘客到达站台立即上车的概率.
【分析】乘客必须在6分钟内的某一时刻到达才能 上车, 或者必须在最后的1分钟内的某一时刻到达才能 立即上车,乘客在某一时刻到达站台都是一个基本事件, 而这基本事件是无限的,于是不能用古典概型计算,应考 虑用几何概型计算.
知识点一 基本事件辨析 判断下列试验是否为古典概型
(1)种下一粒种子观察它是否会发芽;
(2)从直径为250mm~250.6mm的一批合格产品中任意 抽一根，测量其直径d; （3）抛一枚硬币，观察其出现正面或反面向上； （4）某人射击中靶或不中靶；
弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解
17.2 古典概型与几何概型
17、概率17．2 古典概型与几何概型【知识网络】1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。
【典型例题】[例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ）A ．49B ．29C ．23D ．13（2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （）A ．61B ．365 C ．121 D ．21 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（）A ．56B ．12C ．13D ．16（4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为 ．（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ．[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。
[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．[例4]抛掷骰子，是大家非常熟悉的日常游戏了．某公司决定以此玩抛掷（两颗）骰子的游戏，来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子，欢欢乐乐拿礼券”．方案1：总点数是几就送礼券几十元．方案2：总点数为中间数7时的礼券最多，为120元；以此为基准，总点数每减少或增加1，礼券减少20元．方案3 总点数为2和12时的礼券最多，都为120元；点数从2到7递增或从12到7递减时，礼券都依次减少20元．如果你是该公司老总，你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决．【课内练习】1． 某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （）A ．15B ．524C ．1081D ．5122． 盒中有1个红球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P 1，第8个人摸出红球的概率是P 8，则（）A ．P 8=18P 1B ．P 8=45P 1 C ．P 8=P 1D ．P 8=03． 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点，则转盘指针不落在阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．144． 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．235． 一次有奖销售中，购满100元商品得1张奖卷，多购多得．每1000张卷为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖5个，二等奖100个．则任摸一张奖卷中奖的概率为 ．6． 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ．7． 在圆心角为150°的扇形AOB 中，过圆心O 作射线交AB 于P ，则同时满足：∠AOP ≥45°且∠BOP ≥75°的概率为 ．8． 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．（1）共有多少个基本事件？（2）小曹能乘上上等车的概率为多少？第3题图C9．设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点P与A连结，倍的概率．10．正面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD的内部的点．①设“V P-ABC≥14V”的事件为X，求概率P(X)；②设“V P-ABC≥14V且V P-BCD≥14V”的事件为Y，求概率P(Y)．17、概率17．2 古典概型与几何概型A 组1． 取一个正方形及其它的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为 （ ）A ．2π B ．2ππ- C D ．4π2． 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为 （ ）A ．12B ．13C ．14D ．163． 已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)及内部面积为S=πab ，A 1，A 2是长轴的两个顶点，B 1，B 2是短轴的两个顶点，点P 是椭圆及内部的点，下列命题正确的个数是 （ ） ①△PA 1A 2为钝角三角形的概率为1； ②△PB 1B 2为直角三角形的概率为0；③△PB 1B 2为钝角三角形的概率为ba ；④△PA 1A 2为钝角三角形的概率为ba ；⑤△PB 1B 2为锐角三角形的概率为a ba-。
高中数学高考总复习---古典概型与几何概型知识讲解及考点梳理
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为
2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被 取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
位数字也即确定.故共有 6×1=6 种不同的结果，即概率为
.
（2）两个玩具的数字之和共有 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 共 11 种不同结果.
从中可以看出，出现 12 的只有一种情况，概率为 .出现数字之和为 6 的共有（1，5），（2，
4），（3，3），（4，2），（5，1）五种情况，所以其概率为 . 【总结升华】使用枚举法要注意排列的方法，做到不漏不重.
（3）应用公式
求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不 重复不遗漏。 知识点二、几何概型 1. 定义： 事件 A 理解为区域Ω的某一子区域 A，A 的概率只与子区域 A 的几何度量（长度、面积 或体积）成正比，而与 A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件 A 的概率可以用“事件 A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与 “试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
举一反三： 【变式】某校要从艺术节活动中所产生的 4 名书法比赛一等奖的同学和 2 名绘画比赛一等 奖的同学中选出 2 名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。求：（1）选出的 2 名志愿者都 是获得书法比赛一等奖的同学的概率；（2）选出的 2 名志愿者中 1 名是获得书法比赛一等 奖，另 1 名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率. 【解析】把 4 名获书法比赛一等奖的同学编号为 1，2，3，4 . 2 名获绘画比赛一等奖的同 学编号为 5，6.
高考数学必刷真题分类大全-专题05-古典概型与几何概型
专题05古典概型与几何概型考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】6 35.【试题解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C70n==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m=+=个，故所求概率1267035mPn===．故答案为：635．【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）列表法求古典概型的概率；（3）树状图法求古典概型的概率．【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.考向二几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A．79B．2332C．932D．29【答案】B【试题解析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率.【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义.一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）A ．14B ．56C ．13D ．5122．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）A ．16B ．12C ．910D ．19204．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）A ．12B ．23C ．34D ．13165．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）A ．25B ．13C ．16D ．146．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为（）A ．152B ．827C ．413D ．17527．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：10000100010010,(,,,,)abcde a b c d e a b c d e Z =++++∈，当a b c d e ><><时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）A ．115B ．215C ．760D ．1128．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（）9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间[]1,1-内随机取一个实数t ，则直线y tx =与双曲线2214xy -=的左、右两支各有一个交点的概率为（）A ．14B ．12C ．18D ．3410．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M 地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.A ．13B ．16C ．59D ．38二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值．假如统计结果是36m =，那么π的估计值为______．13．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______．14．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（）A．14B．56C．13D．512【答案】B【解析】【分析】计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算.【详解】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有212312C C A6=种方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有1232C A6=种方法；其中甲乙分配到同一社区的方法有22A2=种，则乙与甲分配到不同社区的方法有66210+-=种，所以乙与甲分配到不同社区的概率是105 666= +故选：B2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A．13B．25C．1130D．310【答案】B【解析】【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得.【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10， (29)乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10， (30)丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9， (29)在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29∴三人同一天工作的概率为122305P ==．故选：B ．3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（）A ．16B ．12C ．910D ．1920【答案】D 【解析】【分析】由对立事件的概率公式计算．【详解】没有买到中国疫苗的概率为13611C 20P ==，所以买到中国疫苗的概率为119120P P =-=．故选：D ．4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（）A ．12B ．23C ．34D ．1316【答案】D 【解析】【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有2333314C C +=+=种选择，所以甲、乙两所高校共有4416⨯=种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有233C =种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为31311616P=-=，故选：D5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）A．25B．13C．16D．14【答案】B【解析】【分析】先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有66A种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有2525A A种,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为252566A A1A3=，故选：B6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）A．152B．827C．413D．1752【答案】C【解析】【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“A ”的概率为1645213=，故选：C.7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：10000100010010,(,,,,)abcde a b c d e a b c d e Z =++++∈，当a b c d e ><><时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）A ．115B ．215C ．760D ．112【答案】B 【解析】【分析】先判断出由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有个，即可求出波动数的概率.【详解】由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数一共有55A 120=种.而构成波动数，需满足a b c d e ><><，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个.所以波动数的概率为16212015=.故选：B.8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（）A ．34B ．12C ．14D ．18【答案】C 【解析】【分析】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，满足12x y ->，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.【详解】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，则12x y ->，即12x y ->，或12x y -<-．画出可行域，如图所示，则12x y->，或12x y-<-所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为14，故所求概率11414P==；故选：C.9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间[]1,1-内随机取一个实数t，则直线y tx=与双曲线2214x y-=的左、右两支各有一个交点的概率为（）A．14B．12C．18D．34【答案】B【解析】【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出t的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】双曲线的渐近线斜率为12±，则12t<，即1122t-<<，故所求概率为12P=，故选：B.10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）.A．13B．16C．59D．38【答案】B【解析】【分析】从早上7点开始计时，设甲经过x十分钟到达，乙经过y十分钟到达，可得x、y满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD，而甲乙能够见面，x、y满足的平面区域是图中的四边形EFGH．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得．【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，则x 、y 满足0639x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形ABCD ，若甲乙能够见面，则x 、y 满足||1x y -≤，该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFGH ，6636ABCD S =⨯= ，114422622EFGH BEH BFG S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 因此，甲乙能见面的概率61366EFGHABCDSP S===故选：B ．二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）【答案】49【解析】【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.【详解】解：四个志愿者总的选择共333381N =⨯⨯⨯=种，要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有24C 6=种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共33A 6=种，所以6636n =⨯=，所以364819n P N ===.故答案为：49.12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值．假如统计结果是36m =，那么π的估计值为______．【答案】3.2【解析】【分析】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．【详解】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，如图正方形OABC （不含边界），x 、y 两数能与1构成钝角三角形满足条件2211x y x y +>⎧⎨+<⎩，(,)x y 表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），因此所求概率为113642142120P ππ-==-=，估计 3.2π≈．故答案为：3.213．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______．【答案】16【解析】【分析】列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可【详解】由题，点(),P m n 所有可能的情况为()1,0-，()1,2--，()1,3-，()0,1-，()0,2-，()0,3，()2,1--，()2,0-，()2,3-，()3,1-，()3,0，()3,2-共12种情况，其中在第二象限的为()2,3-，()1,3-，故点(),P m n 在第二象限的概率为21126=故答案为：1614．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________．【答案】59【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x 分，小强到达的时刻为8时y 分，其中030,030x y ≤≤≤≤，则当|x-y |≤10时，两人能够在图书馆门口会合.如图示：两人到达时刻（x ，y ）构成正方形区域，记面积为S ,而事件A ：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S 1所以1900-22005()=9009S P A S ⨯==.故答案为：59.【点睛】（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比13。