第六章李亚普诺夫稳定性分析
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第6章 稳定性与李雅普诺夫方法
第六章稳定性与李雅普诺夫（Lyapunov）方法6.1 概述研究平衡状态及其稳定性介绍两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov 第一法和Lyapunov第二法。
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解的非线性微分方程，通过构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。
一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。
虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov 稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，需要技巧和经验。
6.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题一、 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (6.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量1x ,2x ,…,n x 和t 的n 维向量函数。
假设在给定初始条件下，式(6.1）有唯一解),;(00t x t Φ，且当0t t =时，0x x =。
于是0000),;(x t x t =Φ在式(6.1)的系统中，总存在0),(≡t x f e , 对所有t (6.2)则称e x 为系统的平衡状态或平衡点。
如果系统是线性定常的即 Ax t x f =),(当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态0=e x ；当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t x φ=都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~t x f x = 之坐标原点，即0),0(~=t f 或0~=e x 。
在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。
李雅普诺夫稳定性分析
⑥ V(x)函数只表示了平衡状态附近的某领域内的局部 运动稳定状况。不能提供域外的运动信息。 ⑦ V(x)的构造需要较多技巧，可通过计算机来完成， 人力难以估测。因此，此方法常用于难以判定的复 杂问题。例如高阶时变非线性系统。
李雅普诺夫稳定性在线性系统中的应用
线性系统中的应用
线性连续定常系统稳定性分析 线性离散定常系统稳定性分析 线性连续时变系统稳定性分析 线性离散时变系统稳定性分析
V ( x) 0,V ( x) 0,V ( x) 0
李雅普诺夫函数讨论
⑤ V ( x) 0 V ( x) 0 V ( x) 0
能量的趋近速度是负的，所以能量最 终为0，趋向于原点，系统是渐进稳 定的。 能量最终为可能0，趋向于原点，也 有可能停止在ε内的某处。 能量是递增的，因此是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性
上述定理的标量函数V(X,t)称为李亚普诺夫函数． 李亚普诺夫稳定性定理是判定系统稳定的充分条件， 但非必要条件。 一般李亚普诺夫函数对某个系统来说不止一个，即不 唯一。
状态 系统 能量函数
寻找的
？
系统 稳定
李雅普诺夫稳定性
示例有一个非线性状态方程，Xe=0为一个平衡状态
是否就一定不稳定呢？是否标量函数不合适呢？需要另外判断。 从李雅普诺夫第一方 法来看，解特征方程
s 1 1 2 sI A 1 s 1 s 2s 2 0
李雅普诺夫函数讨论
李雅普诺夫第二方法关键在于寻找一个满足条件的李 雅普诺夫函数。 ① V(x)是满足稳定性盘踞条件的一个正定标量函数，具 有连续一阶偏导。 ② 对于一个给定系统，如果V(x)能找到，那么通常是非 唯一的，但是不影响结论一致性。 ③ V(x)最简形式是二次型，但未必都是。 ④ 如果V(x)是标准二次型，V(x)可表示为从原点到x的 距离。V (x) 表征了系统相对原点运动的速度。
李雅普诺夫稳定性分析方法
则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析(2/4)
本节主要研究Lyapunov方法在非线性系统中的应用。
由于非线性系统千差万别,没有统一的描述,目前也不存在 统一的动力学分析方法,因此对其进行稳定性分析是困难 的。 对于非线性系统,李雅普诺夫第二法虽然可应用于非线性 系统的稳定性判定,但其只是一个充分条件,并没有给出建 立李雅普诺夫函数的一般方法。 而只能针对具体的非线性系统进行具体分析。
V ( x ) V1 (x ,0,,0) dx1 V2 (x , x ,0,,0) dx2 Vn
0
1
x1
x2
xn
0
1
2
0
(x1 , x2 ,, xn )
dxn
变量梯度法 (5/10)
按变量梯度法构造李雅普诺夫函数方法的步骤如下。
1) 将李雅普诺夫函数V(x)的梯度假设为
由于 V ( x ) f ( x ) f ( x )为系统的一个李雅普诺夫函数,即
f ( x ) f ( x ) 正定。
ˆ (x)负定,则 V ( x, t ) f ( x ) J ˆ ( x ) f ( x )必为负定。 因此,若 J
所以 , 由定理 5-4 知 , 该非线性系统的平衡态 xe=0 是渐近稳 定的。
V x V 1 1 dV gradV ( x ) dx V Vn xn
舒尔茨和吉布生建议 ,先假设gradV具有某种形式 , 并由此 求出符合要求的V(x)和V'(x)。
1 6 0, 6 2 2 2 36 x 2 8 0 2 2 2 6 x2
ˆ ( x ) 负定,所以由克拉索夫斯基定理可知,平衡 故矩阵函数 J 态xe=0是渐近稳定的。
李雅普诺夫稳定性的定义
定义 (李雅普诺夫渐近稳定性) 若状
x2
态方程
x’=f(x,t)
所描述的系统在初始时刻t0的平衡态xe 是李雅普诺夫意义下稳定的,且系统 状态最终趋近于系统的平衡态xe,即
Limt x(t)=xe
x(0)
x1
则称平衡态xe是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。
➢ 若(,t0)与初始时刻t0无关,则称平衡态xe是李雅普诺夫意 义下一致渐近稳定的。
❖ 它是一种具有普遍性的稳定性理论, 不仅适用于线性 定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分 布参数系统。
❖ 本节先讨论李雅普诺夫稳定性理论的基础--李雅普 诺夫稳定性定义。
平衡态
❖ 设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t)
其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。 对该非线性系统,其平衡态的定义如下。
值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局 部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻 域(区域)。
李雅普诺夫稳定性定义
基于上述数学定义和符号,我们有如下 李雅普诺夫意义下稳定性的定义。
x2
x(0) x(0)
x1
定义 (李雅普诺夫稳定性) 若状态方程
x2
x’=f(x,t) 所描述的系统,
➢ 对于任意的>0和任意初始时刻t0,
x(0) x(0)
x1
➢ 都对应存在一个实数(,t0)>0,
➢ 使得对于任意位于平衡态xe的球域 S(xe,)的初始状态x0,
➢ 当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域 S(xe,)内,
则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定,
✓ 即逻辑关系式
李雅普诺夫关于稳定性的定义
✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
现代控制理论的稳定性判据
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫，俄国数学力学专家， 俄罗斯科学院院士，意大利林琴 科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。 1892年在他的博士论文《运动稳定性的一般 问题》（The general problem of the stability motion） 中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性 问题，建立了著名的Lyapunov方法，为现代控制和非线性 控制奠定了基础。 Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻 的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。
时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
初始状态有界，随时间
推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。 若 与初始时刻 t 0无关，则 称系统的平衡状态x e是一致
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
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如图5-3李雅普诺夫意义下的稳定性示意图
2.古典理论稳定性定义(渐近稳定性)
设 xe 是系统 的一个孤立平衡状态，如果
（1） xe 是李雅普诺夫意义下稳定的；
（2）
则称此平衡状态是渐近稳定的。
2009-08
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
- 初始状态 - 平衡状态
图6-2 二维空间渐近稳定性的几何解释示意图
3.内部稳定性与外部稳定性的关系
1)若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（ BIBO稳定）的。
2)若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的， 则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定 是等价的。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
(外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output ）稳定性)
说明：
（1） 所谓有界是指如果一个函数 ，在时间区间[0，∞] 中，它的幅值不
会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的t∈ [0 ∞] ，恒有
|h(t)| ≤ k ≤ ∞成立。 （2） 所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
若对所有t，状态x满足
，故有下式成立:
，则称该状态x为平衡状态，记为
（5-2）
由平衡状态在状态空间中所确定的点 ，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
（1）线性定常系统
其平衡状态xe满足Ax=0
A非奇异，则存在唯一的一个平衡状态xe =0 。 （2）非线性系统
方程
的解可能有多个。
2009-08
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图5-1 球域
2009-08
在三维状态空间中表示以
为球心、以
为半径的
一个球域，可记为
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
6.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1. 李雅普诺夫意义下的稳定性(稳定和一致稳定)
定义 对于系统
，若任意给定实数
,
都存在另一实数
, 使当
时，
从任意初始状态 出发的x的解
第一种方法的基本思路是仅求解系统的微分方程，然后 根据解的性质判断系统的稳定性。这种方法为间接法。
第二种方法的基本思路是不必通过求解系统的微分方程 ，而是构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质 来判别系统的稳定性。这种思想由于不用求解方程就能 直接判断，故称为直接法，并且这种方法不局限于线性 定常系统，对于任何复杂系统都是适用的。
第六章李亚普诺夫稳定 性分析
2020年4月23日星期四
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
自动控制系统最重要的特性是稳定性，它表示系统能妥善地 保持预定工作状态，耐受各种不利因素的影响。
稳定性问题实质上是控制系统自身属性的问题。在经典控制 理论中，基于特征方程的根是否分布在根平面左半部分，即 可得出稳定性的结论。仅适用于线性定常系统，对于时变系 统和非线性系统，这种方法判定稳定性通常是很困难的。
2009-08
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
一、 外部稳定性和内部稳定性
系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部 描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
1. 外部稳定性 1)定义（外部稳定性）：
若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的 ，则称该系统是外部稳定的。
§6.1. 李雅普诺夫稳定性定义
稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的 性质。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。
6.1.1 平衡状态
考察系统自由运动状态。令输入 u=0。设系统的状态方程为：
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
1. 平衡状态的定义
由于传递函数的极点位于s左平面，故系统是外部稳定的。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
2.内部稳定性 对于线性定常系统
如果外部输入u(t) = 0，初始条件x0为任意，且由x0引起的零 输入响应为
满足 则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。
说 明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
2)系统外部稳定性判据
线性定常连续系统 ∑ (A,B,C) 的传递函数矩阵为
当且仅当 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为
试分析系统的外部稳定性。
解：系统为SISO系统，传递函数为
§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
6.1.2 范数的概念
范数的定义 n维状态空间中，向量x的长度称为向量的范数， 用||x|| 表示：
向量的距离 长度 ||x -xe ||称为向量x与xe的距离。写成
当
的范数限定在某一范围之内，则记
2009-08
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
实际上，渐近稳定即为工程意义下的稳定，也就是
经典控制理论中所讨论的稳定性。当δ与 t0 无关时，
满足
则称系统的平衡状态xe是稳定的，其中
和 有关的实数；
是与
若 与 无关，则称
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是一致稳定的。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
二维空间的几何意义：
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
稳定范围 如图5-3
a）局部稳定
b）大范围稳定
1892年，俄国学者李雅普诺夫在“运动稳定性一般问题”一 文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳 定性判据的通用方法，适用于各类系统。该理论成为现代控 制理论的一个重要组成部分。
2009-08
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第六章 李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫的稳定性理论，主要阐述了判断系统稳定性 的两种方法。
的稳定性一致。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
【例6.1.２】已知受控系统状态空间表达式为
试分析系统的内部稳定性。 解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：
于是系统的特征值为 故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义