李雅普诺夫稳定性分析
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
A的所有特征值：
需 lim eAt 0. t
e1t
te1t e1t
1 t e2 1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
e3t
结论3：
不稳定
A有一个特征值：
或
的特征值有重根
e1t
te1t e1t
1 t 2e1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
稳定性： 控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。 稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性 通常是控制器设计的最基本要求。
1
经典控制理论对稳定性分析的局限性
（1）局限于描述线性定常系统
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
若
与初始时刻
t
无关，则
0
称系统的平衡状态 是一致
稳定的。
时变系统 与 t0有关
定常系统
与
t
无关
0
李雅普诺夫意义下稳定
考虑系统（4.1），如果对任意的实数 ，都存在另一实
数 ，使当初始状态位于以平衡状态 为球心， 为半径的
闭球域
内，即
李雅普诺夫稳定性分析方法
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
• 该方法直接面对非线性系统,基于引入具有 广义能量属性的Lyapunov函数和分析李氏 函数的定量性, 建立判断稳定性的相应结 论.
• 因此直接法也是一般性方法----Lyapunov 第二法更具有一般性.
(2).平衡状态的形式.平衡状态 可由方程定 出,对二维自治系统, 的形式包括状态空 间中的点和线段.
(3).不唯一性.平衡状态 一般不唯一.
对定常线性系统而言,平衡状态 的解.
• 若矩阵A非奇,则有唯一解 • 若矩阵A奇异,则解 不唯一.
为方程
(4).孤立平衡状态,该状态是指状态空间彼此 分隔的孤立点形式的平衡状态,孤立平衡状 态的重要特征是:通过坐标移动可将其转换 为状态空间的原点.
• Lyapunov函数与
有关,用V(x)来
表示.
• 一般情况下V(x)>0 , 间的变化率.
表示能量随时
•当 少.
表明能量在运动中随时间推移而减
•当 加.
表明能量在运动中随时间推移而增
1.预备知识 1).标量函数V(x)性质意义:
令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含 原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变
系统一般稳定性是会失效的.
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
• 当 时,若 则必有 • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
李雅普诺夫稳定性方法
李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。
如果其解随时间而收敛，则系统稳定；如果其解随时间而发散，则系统不稳定。
李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。
例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。
由于李雅普诺夫第一方法求解通常很烦琐，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。
李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。
迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。
对于系统[]t ,f x x= ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。
如果存在一个标量函数()x V ,它满足()x V 对所有x 都具有连续的一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV Vx x = 为半负定，则平衡状态稳定；（2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。
进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定；（3） 若()x V为正定，则平衡状态不稳定。
判断二次型x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。
如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。
例：[]正定。
则)(V 01121412110,041110,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ 例：)x x (x x x )x x (x x x 22212122221121+--=+-=(0,0）是唯一的平衡状态。
第五章李雅普诺夫稳定性分析
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
5.1-李雅普诺夫稳定性的定义解析
概述(8/5)
李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 ➢ 时变系统、 ➢ 非线性系统,甚至 ➢ 离散时间系统、 ➢ 离散事件动态系统、 ➢ 逻辑动力学系统
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。
概述(9/5)
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。
概述(2/5)
也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是
Lim x(t)
t
式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; 为任意小的规定量。 ✓ 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
2) 球域
以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长 度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,), ➢ 即S(xe,)包含满足||x-xe||的n维空间中的各点x。
x2
x2
x2
xe
x1 2范数下球域
x1
xe
x1 1范数下球域
x1
xe
x1 范数下球域
x1
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(1/4)
本章简介(2/2)
➢ 最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab计算与程序设 计。
目录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 5.3 线性系统的稳定性分析 5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
概述(1/5)
稳态李雅普诺夫稳定性分析在不确定系统控制中的应用研究
稳态李雅普诺夫稳定性分析在不确定系统控制中的应用研究随着科学技术的快速发展，现代化复杂系统的建模和控制问题变得越来越重要。
不确定性常常是复杂系统中的一个普遍特征，包括参数变化、外部干扰等，而这些因素往往会影响到系统稳定性和性能。
因此，寻找有效的控制方法来保证系统稳定性和性能成为了复杂系统研究中的一个热点问题。
本文将探讨稳态李雅普诺夫稳定性分析在不确定系统控制中的应用研究。
一、稳态李雅普诺夫稳定性分析的基本理论稳态李雅普诺夫稳定性分析是现代系统控制理论中的一个重要分支。
其核心思想是通过研究系统状态变量的稳态变化规律，来判断系统的稳定性特征。
该方法的基本理论可以总结如下：1.1 稳态李雅普诺夫函数稳态李雅普诺夫（LS）函数是指在一定条件下，系统状态变量通过某种方式组合而成的函数。
它可以用来刻画系统在达到稳态时的状态变化规律。
具体而言，稳态LS函数的定义如下：$$V(x)=\int_0^{\infty} \sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i}f_i(x,t)p(t)dt$$其中，$x=\left[x_1,x_2,\cdots,x_n\right]^{\mathrm{T}}$是系统状态变量，$f_i(x,t)$是系统状态变量的方程，$p(t)$是某个概率密度函数，$\frac{\partialV}{\partial x_i}$是某个函数。
在该式中，$V(x)$越小，表示稳态时系统的稳定性越强。
1.2 稳态李雅普诺夫函数的性质稳态LS函数具有许多重要的性质，其中最基本的包括：1）非负性：$V(x)\geq0$，且$V(x)=0$当且仅当$x=0$；2）单调性：如果$f_i(x,t)\geq0$，则对于$x_1\neq x_2$，有$V(x_1)-V(x_2)>0$或$V(x_1)=V(x_2)$；3）对称性：如果对于任意的$x$和$y$有$f_i(x,t)=f_i(y,t)$，则$V(x)=V(y)$；4）上界性：如果存在$yu>0$，使得$f_i(x,t)\leq f_i(y,t)$，则有$V(x)\leq V(y)$。
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t
t0
3 满足：（1）V(x,t) 正定；
（2）V(x,t)导数负半定；
（3）对任意 xX,
系统李氏意义下稳定的
4 满足：(1)V(x,t) 正定；
（2）V(x,t)导数正定，且有界定；
系统是不稳定的
应用： 线性定常连续系统渐近稳定的判x别 Ax, x(0) x0 , t 0
设线性定常系统状态方程
线性定常系统状态方程： 原点平衡状态 xe=0 渐近稳定的充分必要条件： 对于任意给定的一个正定对称矩阵 Q，有唯一的正定对称矩阵 P 使李雅普诺 夫矩阵代数方程成立，即：
AT P PA Q 通常取 Q=I
试用李雅普诺夫方程确定使系统渐近稳定的 k 值范围。
u
k
x3
1 x2 1 x1
s1
s 2
（姓名）
格式规范 10 分
（打分） 备注：
自评分：
综合应用小论文 70 分
内容 40 分：
语言文字流畅 10 分
（课程网上无 40 分；
网上有、但有别于网
上内容 30 分；其它
20 分）
（打分）
（打分）
备注：
备注：
论文陈述 10 分
（打分） 备注：
基于正定二次型的 李雅普诺夫稳定性分析
张俊超
（控制科学与工程、控制理论与控制工程、2010010215）
摘 要：李雅普诺夫稳定性理论以状态向量描述为基础，不仅适用于单变量、 线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统。但要应用李氏判据判断系统稳定 性，就要涉及到系统矩阵 A 特征值的求解以及根据系统状态方程构造正定二次型的李雅普 诺夫函数来判断系统稳定性。
李雅普诺夫函数的构造： 对线性系统，常用状态变量的二次型函数 xTPx 作为李雅普诺夫函数； 对非线性系统，仍未找到构造李雅普诺夫函数的通用方法。
.
已知系统状态方程： x =f（x，t），t≥t0 其中：f(0,t)=0，(t≥t0)。 如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 V(x)，若： 1 满足：(1)V(x,t) 正定；
V(x，t)=f（x1，x2，……xn，t） V(x)=f（x1，x2，……xn）
V(x,t)或 V(x)是一个标量函数。能量总大于零，故为正定函数。 能量随随时间增加而衰减，即：V(x，t)或 V(x)的导数小于零。
李雅普诺夫第二法利用 V 及 V 的导数的符号特征，直接对平衡状态稳定性 进行判断，无需求出系统状态方程的解，故称直接法。
s
--
解：列写系统状态方程：
0 11 x 0u
k 0 1 k
研究系统稳定性时，可令 u=0。
由于 detA=-k≠0，故 A 非奇异，0原点0为唯0一的平衡状态。
假定 Q 取正半定矩阵 Q 0 0 0
0 0 1
则
V (x)
xTQx
x
2 3
,
V (
x)
为负半定。
令: V (x) 0, 有x3 0;
1.问题的提出
我们在处理实际工程问题时，经常需要判断系统稳定性，一般稳定性判据都 有一定局限性，李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般的理论，不仅适 用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统，它以状 态向量描述为基础，结合正定二次型的相关知识对系统稳定性进行判断。
2.问题的求解
（2）V(x,t)导数负定； 系统一致渐进稳定
（3）若随 x ，有 V(x,t)
系统是大范围一致渐V进 x稳t定;x0,0 0, t t0
2 满足：(1)V(x,t) 正定； （2）V(x,t)导数负半定；
（3）对任意 xX, 系统是一致渐进稳定
（系4）统是若大随范x围一致渐，进V有稳xVt定;(xx0 ,,0t)0,
李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵 A 的特征值来判断系统的稳定性的。
（2）构造李雅普诺夫函数，利用构造的李氏函数判断系统稳定性 ——李雅普诺夫第二法（直接法）
观察振动现象，若系统能量(含动能和位能)随时间推移而衰减，则系统迟早 会达到平衡状态。基本思想：若系统内部能量随时间↑而↓,最终到达静止状态， 系统稳定。虚构一个能量函数（李雅普诺夫函数)
李雅普诺夫稳定性理论分析系统稳定性的两种方法： （1）利用线性系统微分方程的解来判断系统的稳定性
——李雅普诺夫第一法（间接法）
李雅普诺夫第一法的主要内容 1）用一次近似式表示状态方程，即：X=AX+B(x)
如果 A 的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点 xe=0 处是稳定的， 且系统的稳定性与高阶项 B(x)无关。 2）如果 X=AX+B(x)的 A 的特征值中至少有一个具有正实部，则无论 B(x)如何， 系统在平衡点 xe=0 处为不稳定的。 3）如果 X=AX+B(x)的 A 的含有等于零的特征值，则系统的稳定性由 B(x)决定。
xx 13
k x1 x2
x3
x3 0 x1 0
x1 0 x2 0
说明只有原点使 V(x) 0 ，故可采用正半定 Q 来简化稳定性分析。
令： ATP PA Q
0 0 kP11 P12 P13 P11 P12 P13 0 1 0 0 0 0
1 2
0
P12
P22
P23
P12
0
6k
12 2k 3k
12 2k k
12 2k
0
k
12 2k
6
12 2k
P 正定的条件：0<k<6。即当 0<k<6 时，系统渐近稳定。
3.应用小结
李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵 A 的特征值来判断系统的稳定性的，需要 用到矩阵特征值求法。
李雅普诺夫第二法则需要构造正定二次型方程，李雅普诺夫第二法利用 V 及 V 的导数的符号特征，直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方 程的解。
P22
P23
0
2
1
0
0
0
0 1 1P13 P23 P33 P13 P23 P33 k 0 1 0 0 1
P13 0
P11
k P22
2P12
0
P12 P12
k P33 2P22
0 0
3P23
P22
0
P23 P33 0.5
k 2 12k
P
12 2k 6k
12 2k
其中 A 为非奇异矩阵，即原点是唯一平衡状态。
定的。
设于取是正有定：二次型V函(数x)V(x) xxTTPQ x 作x为V可(x能)的李x雅T普P诺x夫函x数TP，x则 ： xT (ATP PA )x 令 ： ATP PA Q
——李雅普诺夫矩阵代数方程
x Ax,
x(0)
x只0 ,要t
Q
0
正定，系统大范围渐近稳