初中数学课堂教学中数形结合思想在函数解题中的应用探究
初中数学教学中数形结合思想的应用
初中数学教学中数形结合思想的应用摘要：数与形之间的结合转换，是目前数学课堂构成的核心。
了解数与形之间的对应关系，并对于目前数学课堂教学内容做出适当的转变，能够激发学生在课堂上学习的积极性。
强调数学课堂教学的应用发展，通过数形变换内容，丰富学生的想象能力以及认识能力，让学生在数学课堂上进行有效学习。
基于此，本文将就初中数学教学中数形结合思想应用进行分析，由数形转换知识储备、解题分析、答疑解惑为中心。
注重数形结合思想渗透化发展，注重数与形之间的对应关系，增强学生转换能力，化简为难，提高其学习效果。
关键词：初中数学；解决问题；数形结合引言数形结合思想在数学应用之中非常广泛，在初中阶段，正处于学生数学学习的启蒙和基础阶段。
在其中渗入数形结合的思想，化繁为简，能够为学生后续阶段的学习打好基础，同时也能够更好地锻炼学生的逻辑思维，帮助学生解决实际性的数学问题。
在数与形的相互转换过程中，通过分类讨论渗透相应的思想，让学生透过数形结合观念，正确解决问题。
培养学生新的认识思维，并在数与形的可操作化发展过程中，打好初中数学课程教学的基础，为学生的有效学习铺垫。
一、数形结合思想概述所谓数形结合思想，即是对应数与形之间的关系进行相互转换，将两者做出融合，共建一种更具思维化、可视化的教学方式。
数形结合思想对目前初中数学课堂的打造而言，是十分重要的。
它能够将数学知识做出简易化分析，最终提高数学课堂教学的有效性。
关于数与形两个关系的探讨，这始终是目前数学课堂教学的核心。
必须针对数与形两个基本观念进行分析，找准数与形结构关系，不论是数形的知识理解，还是习题的研究训练，都需要对于数形关系知识结构进行有效的划分。
结合数形结合思想教学应用，让学生的学习更显高效化。
对于学生而言，数形结合思想，能够开拓学生的视野。
避免复杂的计算以及推理过程，让数学解题内容更加简便。
数形结合思想正是空间思维以及抽象思维进行融合的一种教学模式，对应数与形之间的关系，让学生在学习过程中真正做好突破。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合思想方法在初中数学教学中的应用研究
数形结合思想方法在初中数学教学中的应用研究摘要：随着新课改的不断提出，传统的数学教学思想已经不能再满足学生的需求，迫切需要教师对当前教育方法进行改革，采用创新式的教育方法。
数形结合是一种重要的数学思想方法，它将初中数学数和形的知识完美的贯穿其中，在初中数学教学知识的形成和应用中有着广泛的应用。
在初中数学的教学过程中，将数与形完美的结合在一起，渗透数形结合的思想方法，能够帮助学生拓宽思维方式和解题方法，揭示知识的本质，更加直观准确的传递数学思想，使学生对知识有一个快速且深入的了解，把握问题的本质，进而达到理想的教学效果。
关键词：数形结合思想；初中数学；教学；应用在初中数学教学过程中，采用数形结合的方法能够使学生对数学知识产生更加深刻直观的印象，更加有助于学生对与问题的理解，数形结合往往能够使复杂的问题简单化，使学生快速解题，并且能够开拓学生的思维能力，有利于学生数学思维的发展[2]。
在初中数学教学过程中，合理的利用数形教学能够使学生对抽象化的知识更加形象具体化，加深对问题的理解，提升学生学习数学知识的技巧[1]。
一、数形结合思想方法在有理数中的应用在初中数学的教学过程中，教师通常可以将数量问题转变为图形问题，这样可以使学生看待问题更加直观，帮助学生更易理解问题。
如在有理数的教学过程中，通过引入数轴可以将数与形完美的结合在一起，对于有理数来说，每一个数值在数轴上都有唯一且确定的点存在与之一一对应，而对于无理数却无法找到具体的点[3]。
对于不同形式的有理数来说，有的学生不能轻易的去比较判断大小，而将数轴引入数值的比较中，可以通过数轴上两个点的相对位置进而轻易的判断出大小。
而数轴的应用的则主要是由温度计引入的，在温度计中既有负数，又有正数和零，根据这一具体事物将抽象的知识具体化，促进对数轴三要素的理解，从而帮助学生很好的学习有理数的知识[2]。
如新人教版七年级的数学教材中例题，如图3-2，判断有理数a，b，c的大小关系（）图3-2（A）、c>b>0>a （B）、a>b>c>0（C）、c>b>a>0 （D）、a>0>b>c学生根据数轴的基本性质就能分辨出有理数的大小关系，即位于右边的点所代表的数比左边的点代表的数较大，从图3-2中可以看出，a位于最右边，c位于坐左边，所以有理数a最大，c最小。
例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用
课程篇例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用张守军（山东省东营市垦利区郝家镇中学）数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观意义，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，让“形”变为“象”。
在初中数学教学中如果利用这种结合，寻找解题思路，可以让问题化难为易，化繁为简，从而轻易得到解决。
下面就以教学中的数学问题谈谈数形结合思想的渗透与妙用。
第一，利用数形结合解决物体运动位置、数的绝对值、二次根式等方面的问题：这类问题往往是确定大小、化去绝对值、判断二次根式的取值范围等，利用数形结合方法解决此类问题更直观准确。
【例1】对于正数a、负数b，若有|a|<|b|，试判断a、b、-a、-b的大小。
【观察与思考】根据正数a、负数b，|a|<|b|，可以在数轴上标记出四个数字所在的位置，如下图，故可以轻易判断a、b、-a、-b的大小。
b-a0a-b【归纳】此类问题由于引进了数轴，就把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”进行结合，二者相互补充，相辅相成，把复杂的问题转化为简单的问题。
因此，此类题中要注意渗透并运用数形结合思想。
第二，利用数形结合解决与方程相关的实际应用题：在研究实际应用问题的过程中，我们常常结合具体问题由数思形、由形化数，特别是在列方程解决应用题时，常采用画线段示意图和交叉列表关系图的方法展示问题中的数量关系，从而使我们更形象、更直观地理解问题。
【例2】某省甲、乙两个地区同时发生了灾害，恰好另外A、B 两地库存紧缺物资分别有2000吨、3000吨，现要把这些物资最快时间内全部运往甲、乙两地，从A地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨200元和250元；从B地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨1500元和2400元，现甲地需要物资2400吨，乙地需要物资2600吨，如果这两批物资让你来调运，怎样安排总运费最少？【观察与思考】从题意中可以看出，这是一道关于物资分配问题的应用题，那怎么去分配物资呢？数据太多，似乎看起来杂乱无章，无从下手。
数形结合思想在函数中的应用
数形结合思想在函数中的应用作者：崔丽华来源：《新课程·下旬》2018年第08期摘要：数学是一门重要的基础课程，对于学生逻辑思维的培养有着非常重要的作用。
而函数是数学教学中的重点内容，知识比较抽象，学生对此类题型解答过程中存在很大困难，因此，函数教学也是数学中的教学难点。
如何培养学生对函数问题的解答能力，提升函数教学效率，对学生今后更加深入地学习数学知识有着非常重要的作用，所以，函数教学受到了广大数学老师的普遍关注。
数形结合作为一种解决数学问题的重要思想，同时也是一种重要的解题方法，在二次函数的教学中应用数形结合的思想方法，能够使数学知识从抽象向具体转变，大大降低了问题的解答难度，对提升学生数学学习能力、提高教学效率具有非常重要的意义。
关键词：数学教学；函数；数形结合；应用在函数问题的解题过程中，通过数解形以及形助数的数形结合思想方法的运用，达到了最佳的解题效果。
数形结合不仅是一种重要的思想，同时也是解决函数数学问题的重要方法。
通过数形结合思想的有效运用，实现了形象图形与数学语言的充分融合，在解题过程中形象图形发挥了重要的辅助作用，能够将抽象的知识形象化、具体化，降低了解题的难度。
对于学生数形结合思想意识的形成，以及其认知结构中根扎数形结合思想观念，将其当成一种运用自如的思维工具，对函数问题的空间想象能力不断提升与完善有着重要的促进作用，使学生真正达到了数学语言、数学表达式和图形之间的互译，形成了良好的解题习惯。
因此，在数学教学过程中必须要对数形结合给予足够的重视，并让学生巧妙地运用数形结合的思想对函数问题进行有效解答。
一、以形示数分析：本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，大大地节约了时间，提高了解题的效率。
二、以数助形在对函数问题进行解答的过程中，让学生利用各种解析式对应地将图形示意图画出，并将其性质表示出来，存在很大难度。
教学实施过程中应当遵循循序渐进的原则，利用示意图来对其相关性质进行表示，并在教学过程中反复让学生对以前学过的二次函数的关系式、图象和性质等进行有效的复习。
初中数学小课题研修报告1 数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究
初中数学小课题研修报告一、课题名称数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究二、课题的提出随着课程改革的深入，“应试教育”向“素质教育”转变的过程中，对学生的考察，不仅考查基础知识，基本技能，更重视考查能力。
“数形结合”是中学数学学习中一个重要数学思想，下面结合具体例子谈谈数形结合思想在初中数学教学中的渗透。
三、课题研究的目的、意义数形结合的其实质是代数问题与几何问题的相互转化。
数形结合的思想，就是研究数学的一种重要的思想方法，它是指把代数的精确刻画与几何的形象直观相统一，将象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
在初中阶段训练学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，有助于学生学习抽象的知识，对锻炼相应的数学思维也有极大的帮助。
四、本学期小课题研究过程、及策略教学中可以从以下几个方面进行：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型）。
（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。
（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终，采用数形结合思想解决问题的关键是找准数与形的结合点。
如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对数形结合思想的的主动应用。
（二）培养学生1、渗透数形结合的思想，养成用数形结合分析问题的意识例:小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。
父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。
你能在下面的平面直角坐标系中画出表示父亲和母亲离家的时间和距离之间的关系吗？结合探索规律和生活中的实际问题，反复渗透，强化数学中的数形结合思想，使学生逐步形成数学学习中的数形结合的意识。
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用
运用数形结合思想探讨二次函数在初中数学中的相关应用发布时间：2022-08-11T18:15:02.792Z 来源：《中小学教育》2022年7月4期作者：鲍炜[导读]鲍炜安徽省芜湖市第二十九中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2022）7-179-021引言数学是一种既古老又年轻的文化，也是自然科学的基础学科。
人类从远古时代的结绳计数，到如今可以宇宙航行，无时无刻不受到数学思想的影响。
最近几年，我国数学课程中关于数学学习的理念发生了深刻地变化，数学教学的主要目的和任务早已不是简单的知识和方法的传授，而是通过数学学习培养学生的数学能力。
二次函数是初高中教材中一个重要的内容。
二次函数是中考命题的重点，同时也是省示范高中自主招生考试的重要考点。
如何让学生对二次函数了解更加的深刻透彻，本论文运用数形结合思想对初中二次函数做了更深一步的研究。
我们通过以下几个方面的阐述让学生更加深入理解二次函数的知识，更加体会到数形结合思想的运用：利用二次函数图象讨论一元二不等式的解（自主招生考试考点）、利用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题（中考难点）、巧用二次函数图象讨论含绝对值的二次函数问题自主招生考试考点）、巧用二次函数图象讨论二次函数与一次函数的交汇问题（中考重点）。
2 国内外研究现状查阅相关文献，众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了数形结合在教学、解题及函数中的应用，也给出了自己独特的见解。
在所查阅到的国内外参考文献中，教育者们对数形结合在二次函数中只针对二次函数中的某一问题作了相应的介绍，并未给出较为深入系统的研究。
数形结合思想在初高中二次函数中的应用非常广泛，对数形结合在初高中二次函数中的综合应用进行深入研究，使之形成完整的体系，对今后利用数形结合思想在二次函数教学、解题及其在中考以及自主招生考试中的应用具有重要的意义。
3 提出问题数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且是一种基本的数学思想，同时二次函数也是初高中比较重要的一个内容，为了促进学生对这种思想方法的掌握，我们初中老师在依据教材对标课程标准的前提下，要适当提高二次函数的教学难度，这样学生到了高中才能较好的掌握二次函数内容，能起到承上启下的作用。
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研
究
对于初中数学来说，函数和几何结合思想有着重要的作用。
它能
够将几何图形与数学关系统一起，更好地研究几何与函数之间的关系，由此延伸出更加杂乱的数学问题，扩大学生的思维空间。
首先，使用函数与几何结合思想来解决初中数学问题，将有助于
提高学生对数学思想的理解和掌握。
例如，学生可以从几何图形上更
清楚地体验到函数的相关概念，理解函数的表示方法，从而做出正确
的完善的数学分析和抽象思维。
其次，结合函数和几何思想，可以探
索一些比较复杂的问题，进一步拓宽学生的思维空间。
例如，如何将
几何图形表示为函数形式？如何从函数形式绘出几何图形？这些问题
不仅能拓展学生的数学思维，而且也能激发学生的求知欲望，促进更
深入的数学思考。
最后，结合函数和几何的思想，可以有更多的方法解决实际应用
中的问题。
把数学思想和生活中的问题联系起来，可以让学生更真实
地体验到不同的数学知识，而且可以思考出更多的数学方法来解决问题。
总之，函数与几何结合思想在初中数学教学中是很有帮助的，它不仅可以构建函数与几何两者之间的联系，而且还可以让学生更加深入系统地学习数学，强化实践能力，增强学生分析数学素养，有助于提高初中数学水平。
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初中数学课堂教学中数形结合思想在函数解题中的应用探究
作者：张小亮
来源：《新课程·中旬》2019年第01期
摘要：随着新课改的推进，初中数学的教学标准有所提高，教师要转变教学理念，创新教学模式。
在初中，学生开始接触函数问题，但由于函数解题的抽象性，很多学生在解题过程中容易不知所措。
主要分析了数学结合思想在初中数学函数解题中的应用，期望能够帮助学生提高函数解题能力，促进学生数学学习能力的提高。
关键词：初中数学；数形结合；函数解题
一、数形结合思想的方法的含义和特点
1.数形结合思想法的含义
数形结合思想就是将代数和几何相结合，充分利用两者结合的优势解决数学问题的一种数学方法。
数形结合的使用分两种情况，一是利用图形的形象性揭示隐藏在图形中的数据的联系，例如可以使用一次函数的图象揭露一次函数y=kx+b（k≠0）中k，b不同取值对函数图象的影响。
二是使用代数阐述函数图象的性质。
2.数形结合思想的特点
（1）形象性。
在讲解题的过程中，教师仅使用语言描述很难让学生形成知识网络。
使用数形结合，能够通过形象的图形和具体的数据推导帮助学生形成形象思维。
例如，在平面直角坐标系中，只有将一次函数的图象反映到坐标中，并通过坐标的移动轨迹总结到图象的特点。
（2）直观性。
图形具有直观性、生动性，在处理图形问题时应充分使用图形的优点实现抽象的概念和形象的图象之间的转化。
使用图形能够将数据直观呈现出来，以便于学生的理解。
例如在二次函数的学习中，单纯通过数字很难让学生理解其图形的变化规律，这时就可以使用图形反应二次函数的图象的特点。
（3）双向性。
在解题的过程中，往往需要将数量关系和图形综合使用，相互转化。
有些问题通过数很难解释，但使用图形则能够迅速得到结果。
还可以根据图形检验数量关系，反之还可以通过数量关系验证图形。
二、数学结合思想在初中数学函数解题中的应用
1.以图形帮助代数
在二次函数的解题过程中，如果遇到数据型题目时，就可以通过绘制二次函数的图形帮助解题。
例如，有一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），其图象上分别有（-3，6），（-2，0），（-1，-4），（4，6），（3，0）几个点，根据这些数据求ax2+bx+c
如一元一次函数表达式，如y=3x+2，y=-3x+2，y=3x-2，y=-3x-2，当x取不同值时，一次函数y=kx+b（k≠0）的k和b的取值对函数增减性的影响。
当k>0时，x变大，y也随之增大，反映到图象上就是图形直线从左到右呈上升趋势。
当k
如，初中锐角三角函数的定义是在直角三角中定义的，有关的例题、习题等也都是通过构造直角三角形来解题的，即将这个角放到直角三角形中。
例如，在Rt△ABC中，角C为直角，且AC=4，BC=3，则SinA的值为多少。
在解题的过程中，学生就可以通过画一个三角形，通过计算可知，AB=5，然后通过得到SinA=0.6。
2.以数辅形
以数辅形就是利用代数解决有关函数图象的有关问题。
例如，一次函数y=kx+m与二次函数y=ax2+bx+c有交点（1，2），（8，9），二次函数与x轴的交点为（6，0），求：k>0时，x的取值范围。
这道题反应的就是以数辅形，通过观察图象就能够得到题目的解。
虽然图形较为形象，但其中所隐藏的数量关系很难直观被反映出来。
3.数形结合在函数应用题中的应用
在解函数应用题的过程中，通常需要使用数形结合，实现代数和图形的有效结合，以更好地解题。
数形结合在函数应用题中的应用通常需要将问题中所描述的实际问题转化为图形进行解决，有利于学生更好地理解，特别是二次函数，很多实际问题都使用到了二次函数的有关知识。
例如，在体育测试中需要测试扔铅球，某男生在测试扔铅球时，出手高度为2米，铅球运行到最高点时距地面6米，距离出手点的水平距离为5米，假设铅球运动的轨迹为二次函数图象的一部分，求铅球掷出的水平距离。
在遇到这一类型题目时，如果不画图形时，学生很难较好地解题。
这时，教师应让学生通过题目中的已知条件画图形，已知条件分别为出手高度的坐标为（0，2）、最高点的坐标为（5，6），然后就可以简练地画出这一二次函数的一段，然后再以y=0求出x的值就是答案。
但在实际问题中，x的值应为正数，x取正值即可。
另外，一次函数在实际中也有较多的应用，例如速度和路程问题、注水问题等，都可以利用一次函数的特性和图形进行解题。
在初中阶段，学生开始接触和学习函数问题，但由于学生的学习能力还处于发展期，学生对函数的理解和掌握还存在一定的不足。
因此，教师应充分利用数形结合法帮助学生理解代数
和图形之间的关系，实现数和形之间的转换。
另外，教师应加强练习，帮助学生扎实掌握数形结合法，提升学生的学习能力。
参考文献：
[1]何火钦.数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究[J].考试周刊，2018.
[2]张丽娟.数学课堂教学中渗透“数形结合思想”例谈[J].现代教育，2018.
注：本文系2018年平凉市教育科学“十三五”规划课题（课题批准号：[2018]PLG470）《初中数学教学中“数形结合思想”在函数中的应用研究》成果。