结构力学第五章 位移法

反之为负
杆端线位移（结点线位移）Δ：杆端线位移是指杆件 两端垂直于 杆轴线方向的相对线位移，正负号则以 使整个杆件顺时针方向旋转规定为正反之为负 。
二、杆端内力的正负号规定 杆端弯矩M：对杆件而言，当杆端弯矩绕杆件顺时针方
向旋转为正，反之为负。
对结点而言，当杆端弯矩绕结点（或支座）逆时针方向 旋转为正，反之为负 杆端剪力Q：正负号的规定，同材料力学和本书中前面 的规定。
附加 刚臂

ql

q
附加 链杆
● 附加刚臂限制结点角位移，荷载作用下附加刚臂上产生 附加弯矩 ● 附加链杆限制结点线位移，荷载作用下附加链杆上产生 附加集中力
ql



q
由于有附加约束的作用，结构被隔离成几个单个 杆件的集合，由此可对各杆进行杆件分析。
如下例：
q B

C
EI . l

EI . l
计算附加链杆中产生的反力时。取横梁ABC部分为隔离 体用投影方程，可求得相应的系数和自由项
r22 12i / l
2
R2 P 0
r21 6i / l
将求得的系数和自由项代入典型方程，可得：
6i ql2 Z2 0 1 0iZ 1 l 8 6i Z 1 2i Z 0 1 2 2 l l
5
位
移
法
q
B

C

EI . l
EI . l
A
求得各杆件杆端弯矩值
杆件BC： M BC
4ql 2 56
(上边纤维受拉)
M CB 0
4ql 2 杆件BA： M BA 56
(左边纤维受拉)
M AB
ql 2 28EI
(右边纤维受拉)
5.1位移法基本概念
分别用R1P、R2P（图C）
见图（C）。它引起附加刚臂和附加链杆的反力矩和反力，
c图
基本结构在 Z1=1及Z2=1单 独作用下产生的 弯矩图，称为单 位弯矩图（d、 e图）。用r11、 r21、r12、r22表 示在相应的附加 约束中产生的反 力矩及反力。
d图
e图
设基本结构在外荷载和独立结点位移Z1 及Z2分别作用下，在 附加刚臂和链杆中产生的反力矩和反力之和为R1及R2，由叠 加法可得其表达式为:

由于考虑了结点和杆件的联结以及支座约束情况， 所以满足了结构的几何条件，即变形连续条件和支 座约束条件。
位移法基本结构 位移法中采用增加附加约束，以限制原结构的结 点位移而得到的新结构，称为位移法的基本结构
● 在刚结点处附加刚臂，只限制刚结点的角位 移，不限制结 点线位移，用符号“▼”表示刚臂 。
QAB
5.3位移法的基本未知量和基本结构
位移法基本概念可知，如果构的每根杆件的杆端位 移已知，即可求出杆件内力。 又由于汇交于刚结 点处各杆端位移相等，且等于结点位移，位移法把 结构的独立结点位移作为基本未知量。 结点位移 由结点角位移和结点线位移两部分组成，则基本未 知量由结点角位移和结点线位移两部分组成。同时 位移法引入变形假设：假设结构变形是微小的；忽 略受弯直杆（件）的轴向变形和剪切变形对结点位 移的影响。
● 对应于独立的结点线位移用附加链杆，只限制 结点线位移。
5.4 位移法典型方程
图（a）中刚架在 刚结点B有一个独 立角位移，编号为 Z1；另外结点A、 B、C有一个独立 水平线位移，编号 为Z2，基本未知 量和基本结构见图 （b）。
a图
b图
基本结构在外荷载q单独作用下引起的弯矩图，记为MP图，
上式既为二个未知量的位移法典型方程
位移法典型方程的物理意义： 基本结构在外荷载和结点位移共同作用下，在每一个附加约 束中产生的反力等于零。它反映了基本结构受力与原结构是 相同的，实质上代表了原结构的静力平衡方程。 对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下
r11 Z 1 r12 Z 2 r1n Z n R1P 0 r Z r Z r Z R 0 21 1 22 2 2n n 2P rn1 Z 1 rn 2 Z 2 rnn Z n RnP 0
(左边纤维受拉)
M AB
2 EI ql 3 ql 2 ( ) l 56EI 28EI
(右边纤维受拉)
位移法的基本思路概括为，先离散后组合的处理 过程。所谓离散，就是把对整体结构的分析转化 对单个杆件系在变形协调一致条件下的杆系分析。 所谓组合，是要把离散后的结构恢复到原结构的 平衡状态，也就是要把各个杆件组合成原结构， 组合条件就是要满足原结构的平衡条件。 因此位移法分析中应解决的问题有以下几方面： ◆ 确定杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系
l
QBA
M AB 4i A 2i B M BA
ql 2 mBA 8
在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：
6i m AB l 6i 2i A 4i B mBA l
6i 6i 12i A B 2 QAB l l l
A B
C
A
B


4 EI l
A
2 EI l
B
C
3EI ql M l 8
BC
2

M 0
CB
q

ql 8
3EI l
2
ql 8
2
用平衡条件建立位移方程
由结点的平衡条件：
（MBA+MBC）=0
M
2
BC
可列出相应的平衡方程：
4 EI 3EI ql 0 l l 8
计算系数和自由项
可根据单位弯矩图、 以及荷载弯矩图,取隔离体,由平衡条件 求得系数和自由项
计算附加刚臂 中由Z1=1， Z2=1及荷载单 独作用下产生 的反力矩时。 取结点B为隔 离体，运用力 矩平衡方程可 求得有关刚臂 中的反力矩系 数和自由项
r11 10i
r12 6i / l
R1P 8ql 2 / 8
2m
i AB
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
iBC 1 , iCD 1 , iBE 3 1 , iCF 4 2
F
4m 5m 4m
2m
（3）位移法方程 r11Z 1+ r12Z 2+ r13Z 3+R1P=0
r21Z 1+ r22Z 2+ r23Z 3+R2P=0
典型方程法的计算步骤
1．确定原结构的基本结构和基本未知量； 2．列位移法的基本方程（典型方程）；
3．计算系数和自由项。首先作图和图，然后用平衡条件计算系数和 自由项； 4．解联立方程组求基本未知量； 5．求结构内力，并作内力图； 6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称 无侧移结构，如连续梁； 又把有线位移的结构，称为有侧移结构。 如铰接排架和有侧移刚架等。
在计算超静定结构时，可设法求出结构中 的某些位移，通过位移与内力之间确定的 对应关系，求出相应的内力，从而对超静 定结构进行计算，这种计算超静定结构的 方法叫 位移法 。
ql
B EI . l q C




EI . l
A
用位移法分析结构时，先将结构隔离成单个杆件， 进行杆件受力分析，然后考虑变形协调条件和平 衡条件，将杆件在结点处拼装成整体结构。
三、等截面直杆的刚度系数和固端力
形常数：是指使单跨超静定杆件在杆端沿某位移方向 发生单位位移时，所需要施加的杆端力。又称为刚度 系数 载常数：单跨超静杆件在荷载等外部因素作用下引起 的杆端内力，常称为固端内力（包括固端弯矩和固端 剪力）。
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
l
6i l
6i
12i
3i
l
l2
l
6i
A A
θ=1
B B
3i
1
0 0
3i
l
3i
l2
A
θ=1
B
i
－i
0
载常数示例：
mAB
q
QAB
EI l
q
mAB
ql 2 8
3 Q AB ql 8 5 QBA ql 8
QBA
mBA
EI
QAB
A 4m 4 Z 2=1
i=1 B i=3/4
A
D
C
i=1/2
E
2m
1.5 F 5m
E
F
i=1/2
4
2
i=1 2 C
i=1
3
1
4m
4m
A
9/8
i=1 B i=1
1/2 C
i=1/2 i=1
D
Z 3=1 r =(1/6)+(9/16)=35/48 33 4m
4m
1/2 F 5m
4m
（5）计算自由项：R1P、R2P、R3P
K R 0
r11 r12 r r K 21 22 rn1 rn 2 r1n r2 n rnn
Z1 Z 2 Z n
R1P R R 2 P RnP
在位移法典型方程中，每个系数都是单位 结点位移所引起的附加约束的反力，它的 大小与结构刚度有关刚度愈大则反力也愈 大。故把系数称为结构的刚度系数，把典 型方程称为刚度方程，把位移法也叫刚度 法。 无论刚架、连续梁、铰接排架还是组合结 构，也无论结构形式有多大差异，也不管基 本未知量的类型有什么不同，只要结构的位 移法基本未知量数目相同，位移法方程形式 都是相同的。