导数学生版

导数
1、函数的单调性
(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么
],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
3、几种常见函数的导数
①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x
x ln )('=；
⑥x
x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '
=
；⑧x
x 1)(ln '
= 4、导数的运算法则
（1）'
'
'
()u v u v ±=±. （2）'
'
'
()uv u v uv =+. （3）''
'2
()(0)u u v uv v v v
-=≠. 5、会用导数求单调区间：①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递
增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。

6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．
7、函数的最大（小）值：一般地，在区间 [ a, b] 上连续的函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上必有最大值与最小值， 利用导数求函数的最值步骤： ①求函数 f ( x ) 在 (a, b) 内的极值； ②求函数 f ( x ) 在区间端点的值 f ( a )、f (b) ；③将函数 f ( x ) 的各极值与 f ( a )、f (b) 比较，其中最大的是 1 最大值，最小的是最小值。

考点一：导数与函数的小题 1、曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=
2、已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( )
A.21y x =-
B.y x =
C.32y x =-
D.23y x =-+
3、设曲线y=1
1
-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 等于 （ ）
A.2
B.2
1
C.21-
D.-2
4、若曲线3
()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.
5、已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2
6、若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和2
15
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于 A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．7
4
-或7
7、 曲线y=2x
e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为
(A)13 (B)12 (C)2
3
(D)1
8、 若()ln f x x x x 2=-2-4，则'()f x >0的解集为
A. (,)0+∞
B. -+10⋃2∞（，）（，）
C. (,)2+∞
D. (,)-10
9、若存在过点(1,0)的直线与曲线3
y x =和215
94
y ax x =+
-都相切，则a 等于
( )
A ．1-或25-64
B ．1-或214
C ．74-或25-64
D ．74
-或7
10、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点
(1,(1))f 处切线的斜率为
( )
A ．4
B ．14-
C ．2
D ．1
2
- 11、曲线21
x
y x =
-在点()1,1处的切线方程为( )
A. 20x y --=
B. 20x y +-=
C.450x y +-=
D. 450x y --=
12、若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数， 则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
13、若1x 满足2x+2x
=5, 2x 满足2x+22log (x －1)=5, 1x +2x ＝ ( ) A.
52 B.3 C.7
2
D.4 14、若函数2()1
x a f x x +=+在1x =处取极值，则a =
15、若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 16、设曲线1
*()n y x
n N +=∈在点
（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则129a a a +++的值为 .
考点二：利用导数求解函数的单调性问题
利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题. 1、已知函数4
2
()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程
a
b a
b a
o x
o
x
y b a
o
x
y
o x
y
b y
2、已知函数32
()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，内是减函数，求a 的取值范围．
3、已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；
4、已知函数2
1()ln ,()(1),12f x x a x g x a x a =
+=+≠-．
（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；
利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.
1、设2()1x
e f x ax =+，其中a 为正实数
（Ⅰ）当a 4
3
=时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 取值范围。

2、已知函数
c bx ax x x f +++=2
3)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；
（II ）若方程9)32()(2
+-
=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；
3、 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈ (1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；
(2)当2
3
a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.
1、已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈ （I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；
（II ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围.
2、设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。

（1）当a=1时，求()f x 的单调区间。

（2）若()f x 在(]01，上的最大值为1
2
，求a 的值。

3、已知2x =是函数2()(23)x
f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）．
（I ）求实数a 的值；
（II ）求函数()f x 在
]
3,23[∈x 的最大值和最小值．。