第2讲多元函数的极限、连续
多元函数的极限与连续
多元函数的极限与连续在微积分学中，我们学习了一元函数的极限与连续，而对于多元函数来说，也存在着与之对应的概念。
本文将探讨多元函数的极限与连续，并分析其重要性和应用。
一、多元函数的极限与一元函数类似，多元函数的极限也是通过变量自变量趋于某一值时的函数值的极限值来定义的。
具体而言，对于二元函数f(x, y)，当点(x₀, y₀)逼近某一点(x, y)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立，则称f(x, y)在点(x₀, y₀)处有极限，记作lim┬(x,y)→(x₀,y₀) f(x,y) = L其中，L为函数的极限值。
需要注意的是，与一元函数不同，多元函数的极限存在多个方向，也即(x, y)可以从任意非常靠近(x₀, y₀)的点逼近。
二、多元函数的连续对于多元函数f(x, y)来说，当其在某一点(x₀, y₀)处既存在极限，且该极限等于该点的函数值f(x₀, y₀)，则称函数在该点连续。
换言之，函数在该点连续意味着函数值与极限值的两者相等。
相比一元函数，多元函数的连续需要满足更多的条件。
一元函数的连续只需要满足极限存在即可，而多元函数还需要考虑极限值的一致性。
具体而言，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0＜√((x-x₀)²+(y-y₀)²)＜δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|＜ε成立。
三、多元函数的极限与连续的重要性多元函数的极限与连续是微积分学中的重要概念，具有以下重要性：1. 理论基础：多元函数的极限与连续是进一步研究微分、积分以及微分方程的基础。
只有理解了多元函数的极限与连续，才能更好地理解微积分学的其他概念。
2. 应用于实际问题：多元函数的极限与连续在各个学科和领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，多元函数的极限与连续用于描述粒子的运动和场的变化；在经济学中，多元函数的极限与连续用于优化问题和边际分析；在工程学中，多元函数的极限与连续用于建模和优化设计等。
第二节多元函数
M(x, y, z)
{(x, y, z) z = f (x, y), (x, y) ∈ D}
这个点集称为二元函数的图形 这个点集称为二元函数的图形. 二元函数的图形 该几何图形通常是一张曲面. 该几何图形通常是一张曲面 正是这曲面在Oxy 而定义域 D 正是这曲面在 平面上的投影. 平面上的投影
(x, y)
2
2
2
y→0
y→0
xy2 例 求极限 ( x, ylim0,0) 2 2 ; )→( x +y xy 1 2 2 ) 解 由x + y ≥ 2 xy 知 2 2 ≤ (有界量 x +y 2
xy2 由有界变量与无穷小乘积为无穷小知 lim 2 2 = 0 x→0 x + y y→0
lim arcsin x2 + y2 (2) lim xy +1 1. 例 求极限(1) x→0 x→0 xy 1 y→0
0.00 -0.72 -0.92 -1.00 -1.00 -1.00 0.00 -0.72 -0.92 0.72 0.92 0.00 -0.60 0.60 0.00
处的极限不存在. 函数 f (x, y)在 (0,0)处的极限不存在
x2 y2 例 证明函数 f (x, y) = 2 在 (0,0)处的极限不 2 x +y 存在.
y→0
2.二元函数的连续性 定义 设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域内 有定义, 若 在点P0(x0, y0)处连续. 定义 若在点P0(x0, y0) 处,自变量x, y各取增量△x, △y时,函数随之取得增量△z,即
x→x0 , y→y0
lim
f (x, y) = f (x0, y0 ), 则称函数 f (x, y)
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
2-1多元函数的概念、极限与连续
极限不存在．
类似地可以定义 n 元 函 数 的 极 限
定义 2 设n元函数 f (P)的定义域为点集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，
总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f (P) A | 成立，则称 A 为n元函数 f (P) 当 P P0时的极限，记为
则 1(x2y2)2l n x2(y2) lim e e e1, 4
1l i(m x2y2)2l n x2(y2) 4x 0
y 0
0
x 0
y 0
所 以 lim (x2y2)x2y2 1. x 0 y 0
例９.讨论连续性: 初等函数
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1 , x2 ,, xn )的全体为 n维空间，而每个 n元 数组( x1 , x2 ,, xn )称为n维空间中的一个点， 数 xi称为该点的第i 个坐标.
说明：
n维空间的记号为 R n ;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P (x1,x2, ,xn),Q (y1,y2, ,yn),
|P | ( y Q 1 x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 .
特殊地当 n1,2,3时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
x x0 y y0
（或 f (x, y) A (( x, y) (x0, y0)）.
说明：
（1）定义中 PP0的方式是任意的；
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在微积分学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念和理论。
本文将介绍多元函数的极限与连续性的定义、性质和相关定理，并通过实例和推导来加深理解。
一、多元函数的极限多元函数是指自变量为多个变量的函数，例如f(x, y)。
在研究多元函数的极限时，需要先定义自变量的趋近方式。
我们定义自变量(x, y)趋近于(a, b)，并记为(x, y)→(a, b)，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当(x, y)离开点(a, b)的距离小于δ时，对应的函数值f(x, y)与极限L的差的绝对值小于ε。
即满足以下条件：|f(x, y) - L| < ε，当0 < √((x-a)² + (y-b)²) < δ时。
二、多元函数的连续性多元函数在某个点上的连续性是指这个函数在该点的值与其极限相同。
具体地，函数f(x, y)在点(a, b)连续的定义如下：lim (x, y)→(a, b) f(x, y) = f(a, b)。
三、多元函数的极限运算法则多元函数的极限与一元函数类似，也遵循一些运算法则，如极限的唯一性、四则运算法则和复合函数的极限等。
其中，极限的唯一性法则指出：如果(x, y)→(a, b)时，f(x, y)存在极限L，则这个极限L唯一确定。
四、多元函数连续性的充分条件在一元函数中，连续函数的充分条件是极限存在。
但是在多元函数中，连续函数的充分条件有所不同。
根据多元函数的极限运算法则，可以得到以下结论：1. 一元函数的连续构成了多元函数的局部连续性；2. 极限与连续性的传递性：如果f(x, y)在点(a, b)连续，g(u, v)在点(f(a, b), c)连续，则复合函数g[f(x, y)]在点(a, b)也连续。
五、多元函数连续性的局部性质与一元函数连续性一样，多元函数的连续性也具有局部性质。
具体地，如果多元函数f(x, y)在点(a, b)连续，则在点(a, b)的任意邻域内，f(x, y)仍然连续。
多元函数的极限与连续性判定
多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。
一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。
2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。
(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。
二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系
多元函数在某点极限,连续,偏微商,全微分之间的关系极限、连续、偏微分、全微分是讨论多元函数的参数。
（一）极限
极限定义为：在某一点上，函数值趋近于一定值，则此值与函数极限等值。
也就是说，函数在此点上无论怎么变化，有一个定量，恒定不变。
函数的极限可以理解为函数的分析度，也就是说，可以从更小的层次上理解函数的变化。
（二）连续
连续主要指多元函数在不同点的趋势是一致的。
一般而言，函数的连续可以用来描述函数的变化趋势，而不同的点总有一个顺序的变化，从而反映函数的变化趋势，这正是函数的连续性。
（三）偏微分
偏微分定义为：取某一点在某一变量上的偏导数，其本质就是在某一变量上求函数的变化值最大化，从而反映函数在此点的变化趋势。
它是多元函数最基本的求导方法，在很多多元函数的运算中，都有着重要的作用。
（四）全微分
全微分定义为：将函数中的每一个变量分别求偏导数，组成偏导数向量，这个向量叫做函数的全微分。
它是多元函数求导的重点，反映了函数在各个变量上的变化趋势。
可以看出，全微分可以表现函数分析度的变化，从而深入理解函数的变化趋势。
总结而言，极限、连续、偏微分、全微分是描述多元函数变化趋势的重要参数，他们之间互相协作，可以深入理解多元函数的变化。
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若 X 0 为函数定义域的聚点，则函数在点 X0 处的连续性等价于
lim
X X0
f (X)
f
(X0).
若 f (X ) 在 U( X0 )内有定义, 则 X0 为D 的聚点.
若函数 f ( X ) 在区域 上的每一点 都连续, 则称函数 f ( X ) 在区域 上连续, 记为 f ( X ) C() .
lim
x0
f
(x,
y)
lim x0
x2 kx2 x4 k2x4
1
k k
2
.
y0
y0
由于极限存在应与 (x, y) (0,0) 的方式和方向无关,
故原极限不存在.
该例还说明一个问题
虽然沿无穷多个方向：y k x,
当(x, y) (0,0)时, 函数极限均为0 , 但函数的极限 lim f (x, y) 不存在 .
与一元函数类似
由基本初等函数经过有限次四则运算和复 合步骤所构成的多元函数, 称为多元初等函数.
由基本初等函数的连续性及连续函数的运 算法则可知: 多元初等函数在其有定义的区域 内是连续的.
4.有界闭区域上连续函数的性质
在一维空间中, 闭区间一定是有界的. 在空间 Rn (n 2) 中, 闭区域不一定有界.
时的极限(二重极限), 记为
lim f ( X ) lim f (x, y) a.
X X0
xx0 y y0
几点注意
函数在点 X 0 及 U( X 0 , )内
的某些点可无定义 .
点 X 落在点 X0 的邻域 U(X0, )
内, 可以任意方式沿任何方向进 行.
X Uˆ ( X 0, ) D, 即 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
y a
ya y a
x
回忆一元函数极限的概念
设 y f (x) , x I, x0 为 I 的聚点. 若 0, 0, 当点 x Uˆ (x0, ) 时, f (x) U(a, ), 即 | f (x) a | , 则称
lim f (x) a .
如果点 X 为区域 的边界点,则只需讨论 点 X 的邻域中属于 的那一部分,类似于一元函 数中讨论区间端点处连续性的情形.
2.二元连续函数的运算
与一元函数类似： 在一定的条件下,
连续的多元函数的和、差、积、 商(分母不能为零)仍是连续函数；
连续的多元函数的复合函数仍连续.
3.多元初等函数
例(夹逼定理)
例
解
求 lim x2 y2 . x0 | x | | y2 (| x | | y |)2 | x | | y | |x|| y| |x|| y|
而 lim( | x | | y | ) 0, 故由夹逼定理, 得 x0 y0 lim x2 y2 0 x0 | x | | y | y0
| f (X)a|
f (x) U(a, ), 即 | f (x) a | , 则称
lim f ( X ) a
X X0
lim f (x) a .
进 行
x x0
整
理 现在进行形式上的推广
设 u f (X ) X , X0 为 的聚点.
若 0, 0, 当点 X Uˆ ( X 0, ) 时, f (X ) U(a, ), 即 | f (X ) a | , 则称
x x0
现在进行形式上的推广
回忆一元函数极限的概念
u f (X ) X X0 为的聚点
设 y f (x) , x I, x0 为 I 的聚点. X Uˆ ( X 0 , )
若 0, 0, 当点 x Uˆ (x0, ) 时,
f ( X ) U(a, )
x0
x y
y0
解 lim lim x y x2 y2 lim x x2 1
x0 y0
x y
x0 x
lim lim x y x2 y2 lim y y2 1
y0 x0
x y
y0 y
由于两个累次极限不相等, 故
lim x y x2 y2 不存在 .
x0 y0
对此你有什么想法 ?
“无穷多个方向”不等于“任意方向”.
可利用方向性来判别 多元函数的极限不存在.
4. 累次极限
累次极限是指的下列极限
lim lim f (x, y) lim ( lim f (x, y) )
xa yb
xa yb
一般说来, 这两个极限不一定相等.
lim lim f (x, y) lim ( lim f (x, y) )
lim f (x) a 的几何意义
x x0
y
y f (x)
.f (x) a
U(a , )
O
.P
. . ( x x0 )
Uˆ (x0 , )
y a
ya y a
x
lim f (x) a 的几何意义
x x0
y
y f (x)
.f (x) a
U(a , )
夹逼定理
例(无穷小 性质)
例
求
lim( x 2
x0
y2
)
sin
x2
1
y2
.
y0
解
由于
sin
x2
1
y2
1
(有界量)
又
lim(x2 y2 ) 0
(无穷小量)
x0
y0
故
lim( x 2
x0
y2)
sin
x2
1
y2
0.
y0
无穷小量的性质
例(有理化)
例
求 lim
x2 y2
1.二元函数连续性的定义
设 z f ( X ), X D R2, X 0 D .
若 0, 0, 当点 X U( X0, ) D 时,
有 f ( X ) U( f (X 0 ), ), 则称二元函数 f (x, y) 在
点 X0 处连续. 点 X 0 称为函数的连续点.
x0
x y
y0
例
例 设 f (x, y) xsin 1 , x2 y2 0, 则有 y
lim xsin 1 0
x0
y
y0
( | sin 1 | 1) y
但 lim lim xsin 1 lim ( lim xsin 1) 不存在 .
x0 y0
y x0 y0
y
解
lim sin xy lim xy
x0 x
x0 x
y2
y2
lim y 2 . x0 y2
sin ~ ( 0)
等价无穷小替代
此题另一解法
lim sin xy lim y sin xy
x0 x
x0 xy
y2
y2
似曾相识
lim y lim sin xy 2 x0 x0 xy
若
lim ( X )
X X0
0,
则称 ( X ) 为 X
X 0 时的无穷小量
.
lim f ( X ) a f ( X ) a
X X0
其中,
X Uˆ ( X0 ),
lim 0 .
X X0
应用这个性质, 可将一元函数的 极限运算法则和 性质推广到多元 函数中来.
第二节 多元函数的极限与连续
本节教学要求：
▪ 正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念。 ▪ 了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系。 ▪ 掌握极限的运算法则。 ▪ 正确理解多元函数连续性的概念。 ▪ 掌握多元连续函数的运算法则。 ▪ 掌握有界闭区域上连续函数的性质。
本节关键概念和理论
重极限 累次极限 连续性 极限的运算法则 有界闭区域上连续函数的性质
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（三）
—— 多元微积分学 第二章 多元函数微分学
上节内容回顾
第一节 多元函数的概念
本节教学要求：
▪ 正确理解 n 维空间中点的邻域的概念。 ▪ 正确理解集合的内点、外点、边界点、聚点、孤立点、
开集、闭集、有界集、连通性等概念。 ▪ 正确理解开区域、 区域边界、闭区域的概念。 ▪ 正确理解区域的有界性概念。 ▪ 正确理解多元函数及其图形的概念。
lim f ( X ) a . （重极限）
X X0
我们完成了极限概念的推广工作.
2.二元函数极限的定义
设 z f ( X ) , X (x, y) D R2, X 0 (x0, y0 ) 为D的聚点.
若 0, 0, 当点 X Uˆ ( X 0, ) D 时, 有 f (X ) U(a, ), 则称 a 为 z f (X )当 X X0
.
x0 y0
1 x2 y2 1
解
原式
lim
x0
(x2
y2 )( 1 x2 (1 x2 y2 )
y2 1
1)
y0
lim( 1 x2 y2 1) 2 x0 y0
有理化 (平方差公式)
例(等价无穷小)
例
求 lim sin xy . x0 x
y2
二重极限存在不一定能推出累次极限存在.
即使两个累次极限存在且相等, 也不一定能推出二重极限存在.
请同学们课后讨论函数
f
(x,
y)
xy x2 y2