三角函数的定义与三角变换押题针对训练
三角函数的解析式与变换练习题
三角函数的解析式与变换练习题一、三角函数的解析式三角函数是数学中的重要概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
在解析几何中，三角函数的解析式可以帮助我们更好地理解和计算各种三角函数的性质。
1. 正弦函数的解析式正弦函数（sine function）是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
它的解析式如下所示：sin(x) = 垂直边/斜边 = y/r在直角三角形中，角x对应的是斜边与水平边的夹角。
2. 余弦函数的解析式余弦函数（cosine function）是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
它的解析式可以表示为：cos(x) = 邻边/斜边 = x/r在直角三角形中，角x对应的是斜边与垂直边的夹角。
3. 正切函数的解析式正切函数（tangent function）用tan(x)表示，其解析式为：tan(x) = 垂直边/邻边 = y/x正切函数表示的是直角三角形中垂直边与邻边的比值。
二、三角函数的变换练习题现在我们来进行一些三角函数的变换练习题，以帮助巩固对三角函数的理解。
1. 练习题一已知角度x的正弦值为0.5，求x的值。
解析：根据正弦函数的定义，我们有sin(x) = 0.5。
由于正弦函数的值在[-1, 1]之间，我们可以通过查表或使用计算器的反函数sin^(-1)(0.5)来求得x的近似值。
2. 练习题二已知tan(x) = 2，求x的值。
解析：根据正切函数的定义，我们可以得到tan(x) = y/x = 2。
通过运用反函数的方法，我们可以得到x = atan(2)。
3. 练习题三已知sin(x) = 1/√2，求cos(x)的值。
解析：根据正弦函数和余弦函数的关系sin^2(x) + cos^2(x) = 1，我们可以得到cos(x) = √(1 - sin^2(x)) = √(1 - 1/2) = √(1/2) = 1/√2。
通过以上三个例子的练习，我们可以更好地理解三角函数的解析式以及如何应用它们进行变换和计算各种三角函数的值。
2025高考数学冲刺分层训练专题3-1、三角函数小题(一)
专题3-1、三角函数小题（一）一、单选题1．（2024·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设1cos 3x =，则sin 2x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13−C ．3D ．3−sin 2x π⎛− ⎝1cos 3x =sin x ⎛∴− ⎝故选：B2．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴查合，点A 是角α的终边与单位圆的交点，若点A 的横坐标为45−，则cos2α=（ ）A ．25−B ．25C ．725−D ．7253．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于直线π6x =对称，则ϕ的值为（ ） A ．π12 B ．π6C ．π3D ．2π34．（2024·福建漳州·统考三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．34−B ．34C ．4−D ．45．（2024·江苏泰州·统考一模）已知sin cos 65αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．725−B ．725 C ．2425− D ．24256．（2024·福建泉州·统考三模）已知sin 0αα=，则cos 2=α（ ）A ．13−B ．0C ．13D7．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）将函数()πcos 6f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）．A ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知πcos 243α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）．A ．13B ．12C ．12−D ．13−【详解】sin α−=13α=−．9．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D10．（2024·湖北·统考模拟预测）已知cos 752α⎛⎫︒+= ⎪⎝⎭()cos 30α︒−的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−11．（2024·江苏·统考一模）在ABC 中，2π3BAC ∠=，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，ABD △的面积是ADC △面积的3倍，则tan B =（ ） A B C D 【详解】1sin 21sin 2ABDADCAB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅，在ABC 中，作sin b CAH AB AH ∠=+12．（2024·湖南·模拟预测）已知πsin 4sin 0,,21cos 4cos 2ααααα⎛⎫∈= ⎪+−⎝⎭，则tan 2α=（ ）ABCD【详解】α13．（2024·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）A ．()2cos sin cos f x x x x =+B ．()1cos 22sin cos xf x x x−=C ．()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()ππsin cos 66f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题14．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数()f x 的图象是由函数2sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位得到，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于直线π3x =对称D ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称15．（2024·浙江·校联考模拟预测）将函数π()2sin26f x x⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移(0)θθ>个单位长度，得到函数()g x的图象，下列说法正确的是（）A．当5π6θ=时，()g x为偶函数B．当5π6θ=时，()g x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C．当π4θ=时，()g x在ππ,66⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为D．当π4θ=时，点π,06⎛⎫−⎪⎝⎭是()g x的图象的一个对称中心16．（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知1 sin cos5θθ+=，()0,πθ∈，则（）A ． 12sin cos 25θθ=− B ． sin cos 1225θθ−=C ． 7sin cos 5θθ−=D ．4tan 3θ=−θcos θ0，所以sin ，解得4sin ,cos 5θ=17．（2024·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan a c b B +−=，则B 的值为（ ）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 18．（2024·山东潍坊·校考一模）将函数()π2cos 24f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象向右平移π8个单位长度得到()y g x =的图象，则（ ）A ．()y f x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()y g x =是奇函数D ．()1y g x =−在[]π,π−上有4个零点2sin 2x ，故0，得到sin 19．（2024·山东·河北衡水中学统考一模）已知函数()ππsin()0,0,22f A x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>>−<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当ππ,44x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为22⎡−⎢⎣⎦ C ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象 D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称20．（2024·湖南湘潭·统考二模）将2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到()f x 的图象，则（ ）A ．π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线π12x =对称 C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数21．（2024·湖南邵阳·统考二模）若函数()()()2cos cos sin 10f x x x x ωωωω=−−>的最小正周期为π，则（ ）A ．π24f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．()f x 在π23π,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有5个零点D ．()f x 在ππ,44⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1−【答案】BCπ4x ⎫+⎪⎭三、填空题22．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知5π2tan 43θ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则tan θ=________.所以tan 5θ=−. 故答案为：5−.23．（2024·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，()f x =____________．①最小正周期为π； ②()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥上单调递增； ③,()2x f x ∀∈≤R 成立．24．（2024·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为_____________.25．（2024·山东淄博·统考一模）若sin 63θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πθ∈，则cos θ=______.【详解】()0,πθ∈π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭，又ππ,62⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π,π2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，26．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）锐角α满足sin 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 2=α____________.27．（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．28．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()1,2，则2cos sin 2θθ+=__________． 【答案】1【分析】法一：利用三角函数的定义求出sin θ、cos θ的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；29．（2024·广东江门·统考一模）已知,02θ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，7cos29θ=，则sin θ的值为___________.30．（2024·广东湛江·统考一模）cos 70cos 20cos 65︒−︒=︒______．。
专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数(六大类型)(题型专练)(解析版)
专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（ ）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（ ）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（ ）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（ ）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（ ）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（ ）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为 ．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝ ．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为 ．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。
三角函数定义知识点及例题[练习与答案]超强推荐
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三角函数的定义专题关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角（3） 满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 ：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。
但既有联系，又有区别。
定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
专题4三角函数与解三角形四大考点与真题训练 -2022年高考数学考前30天提分方案(原卷版)
2022年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题1.4三角函数与解三角形四大考点与真题训练考点一：三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式一、单选题1．（2022·贵州·模拟预测（文））已知tan 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin cos cos 3sin αααα+=-（ ） A ．3-B ．35C ．17-D ．152．（2022·陕西榆林·三模（理））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 315，1b c -=，1cos 4A =，则=a （ ）A ．10B ．3C 10D 33．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））若tan 2tan 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2x =（ ） A ．35B ．35C ．13-D ．134．（2022·贵州·模拟预测（理））已知tan()34πα+=-，则cos2=α（ ） A ．35B ．35C ．34-D ．34二、多选题5．（2022·河北·模拟预测）已知tan 2θ=，则下列结论正确的是（ ） A ．tan()2πθ-=-B ．tan()2πθ+=-C ．sin 3cos 12sin 3cos 7θθθθ-=-+D ．4sin 25θ=6．（2022·福建·模拟预测）已知函数()sin 4cos 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在,812ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．f （x ）在[0,]π上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移12π个单位长度，得到的图象关于直线8x π=-对称 三、填空题7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知2,0πα⎛∈⎫⎪⎝⎭，且1sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α=__________，tan α=__________．8．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知角θ的终边过点()4,A a ，且3sin(π)5θ-=，则tan θ=___________.9．（2022·全国·模拟预测）定义运算：12142334a a a a a a a a =-.若22cos 21sin 5αα-=，()0,απ∈，则tan α=___________.10．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））已知1(0,),sin()cos(2)4θππθπθ∈-+-=，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 11．（2022·陕西·二模（理））角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边在直线20x y +=上，则sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________.12．（2022·陕西榆林·三模（理））已知2sin 5cos αα=，则2sin 2cos αα+=________.四、解答题13．（2022·福建龙岩·一模）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 是三个连续的正整数，且a b c <<，2C A =．(1)求a ；(2)将线段AB 绕点A 顺时针旋转3π到AD ，求ACD △的面积．考点二：三角函数的性质与应用一、单选题1．（2022·天津河北·一模）将函数()sin 23f x x x =的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A ．ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．（2022·广东梅州·二模）已知函数()1cos (0)f x x ωω=+>的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向左平移(0)m m >个单位长度，所得图象关于直线π3x =对称，则实数m 的最小值为（ ） A ．6πB ．π4C ．π3D ．2π33．（2022·陕西榆林·三模（理））已知0>ω，函数()sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且对任意,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()0f x ≥，则ω的取值范围为（ ）A ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,3]D ．(1,3)4．（2022·广东佛山·二模）已知函数()sin (0)f x x ωω=>图象上相邻两条对称轴之间的距离为32π，则ω=（ ）A ．32B ．43C ．23D ．13二、多选题5．（2022·天津五十七中模拟预测）已知函数()3cos 2f x x =的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列选项不正确的是（ ）． A ．最小正周期为π B ．2()3cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()g x 是偶函数D ．当()12x k k ππ=-∈Z 时()g x 取得最大值6．（2022·湖南师大附中一模）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0>ω，0A >），若3x π=为()f x 的一个极值点，且()f x 的最小正周期为π，则（ ）A ．3A f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．6k ϕπ=π-（k ∈Z ） C ．()f x 的图象关于点（712π，0）对称 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数7．（2022·江苏连云港·二模）已知函数()23sin cos 222x x xf x =-，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为4πB ．点2π33⎛- ⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．将函数()f x 图象向左平移5π6个单位长度，所得到的函数图象关于y 轴对称 D ．函数()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减8．（2022·海南·模拟预测）已知函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象.则（ ） A ．()5cos 612g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于58x π=对称 C ．()g x 的最小正周期为3π D ．()g x 在（58π，178π）上单调递减9．（2022·辽宁·模拟预测）已知函数()()sin 2f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 的图象关于y 轴对称，若()f x 的相邻两条对称轴的距离是2π，则下列说法正确的是（ ）A ．()cos2g x x =B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 在[]0,π上的单调增区间是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，[2π3,π]D ．()f x 的图象关于点17,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称 三、填空题10．（2022·陕西榆林·三模（文））已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点(01)A -,，且()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的最大整数值为________.11．（2022·山东·昌乐二中模拟预测）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.12．（2022·河南郑州·二模（文））已知函数()2cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.13．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数()f x ，①函数()f x 的图象关于直线6x π=-对称，②当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的取值范围是[2,1]-，则同时满足条件①②的函数()f x 的一个解析式为________.14．（2022·北京朝阳·一模）已知直线3x π=和56x π=是曲线()()sin 0y x ωϕω=+>的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个ϕ的值是___________.15．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将得到的图象关于x 轴翻折，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在[0,2]π上的单调递增区间为________；16．（2022·山西太原·一模（理））设函数()3sin cos f x x x -，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的值域为3⎡-⎣；③()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增； ④()f x 在[],ππ-上有4个零点.其中所有正确结论的序号是__________.四、解答题17．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））设()()23sin sin cos 12f x x x x x π⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期及()y f x =图象的对称轴方程；(2)求()f x 在5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．考点三：三角恒等变换一、单选题1．（2022·重庆·二模）已知(),0,παβ∈，()5sin 6αβ-=，tan 1tan 4αβ=-，则αβ+=（ ） A ．5π6B ．πC ．7π6D ．11π62．（2022·河南焦作·二模（文））已知cos 2323x x =x 的值可以是（ ）A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））已知π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10cos θ=，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））已知()2sin cos 3παα++=，则sin2α= （ ） A ．79B ．59C ．49D ．295．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））已知4sin 5α，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247B ．247-C ．3117D ．3117-二、多选题6．（2022·广东江门·模拟预测）在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点(,)P x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值r x、r y、xy 分别叫做角α的正割、余割、余切，分别记作sec α、csc α、cot α，把sec y x =、csc y x =、cot y x =分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是( ) A ．cos sec 2αα+≥B ．sec y x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈C ．2cot 1cot 22cot ααα-=D ．22(sec cos )(csc sin )9αααα+++≥7．（2022·福建莆田·模拟预测）已知函数()()sin 3cos 0f x x x ωωω=>，其图象相邻的两条对称轴之间的距离是2π，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在π7π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 的图象关于点()π,0对称D ．()f x 的图象关于直线5π3x =-对称 8．（2022·山东临沂·一模）已知函数()()3sin 2cos20f x x x ωωω+>的零点构成一个公差为2π的等差数列，把()f x 的图象沿x 轴向右平移3π个单位得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心C ．()g x 是奇函数D ．()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]0,2三、填空题9．（2022·广东佛山·二模）已知sin π2α4⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=___________.10．（2022·山东青岛·一模）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=______．11．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．12．（2022·陕西陕西·二模（理））已知ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且()226c a b =-+，若ABC 33sin sin A B ⋅的取值范围为______. 13．（2020·四川·模拟预测（理））已知cos()2cos 2παα+=，则tan2α=________．四、解答题14．（2022·广东梅州·二模）在ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠，已知2DB =，3DC =，60BDC ∠=︒(1)求BC 的长； (2)求sin A 的值.15．（2022·重庆·二模）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，ππ1cos sin sin sin 632C A C A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求B ；(2)若△ABC 的周长为43b .16．（2022·江西宜春·模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22,2,sin b c A a c ===>． (1)求a 的值；(2)求cos()cos A B C -+的值．考点四：解三角形一、单选题1．（2021·四川省泸县第二中学模拟预测（文））命题:p 不等式()lg 110x x ⎡⎤⎣-⎦+>的解集为{}1|0x x <<，命题:q 在ABC 中，A B >是22cos cos 2424A Bππ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的必要不充分条件，则下列命题中为真命题的是( ) A ．()p q ∧⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222,cos cos 2b c a bc b C c B +-=+=，则△ABC 的面积的最大值（ ） A ．1B 3C ．2D ．23二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a =，()()cos 2cos cos a C B A ab c -=-，则以下四个命题中正确的是（ ）A ．2b c =B ．△ABC 面积的取值范围为40,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．已知M 是边BC 的中点，则MA MB ⋅的取值范围为1,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当2A C =时，ABC 的周长为23+三、填空题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2A Ca b c=-，则A =___________. 5．（2022·河南焦作·二模（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin sin 12cos cos A C A C =+，3sin a c B +=，则b 的最小值为_______.6．（2022·安徽宣城·二模（文））已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________． 7．（2022·山东潍坊·模拟预测）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知AC ，BD 为圆的内接四边形ABCD 的两条对角线，sin∠CBD ：sin∠BDC ：sin∠BAD =1：1：3AC =4，则△ABD 面积的最大值为________．四、解答题8．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2cos a b BC-=，且2c =． (1)求角C ；(2)若D 为AB 中点，求CD 的最大值．9．（2022·广东佛山·二模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，23B π=，且()sin sin sin cos21A B C C ++=(1)求证53a c =；(2)若ABC 的面积为153c .10．（2022·山西临汾·二模（文））ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4cos 5C =，sin sin 2sin A C B +=. (1)求b a； (2)求cos B 的值.11．（2022·宁夏石嘴山·一模（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AC 的中点，若2cos 2b C a c =+． (1)求B ；(2)若6a c +=，求BD 的最小值．【真题训练】一、单选题1．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473 3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2021·全国·高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．655．（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos 2c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3B ．13-C ．3或13-D ．-3或136．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．（2021·湖南·高考真题）为了得到函数sin()4y x π=+的图象，只需要sin y x =将的图象（ ） A ．向上平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向下平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 8．（2021·江苏·高考真题）若函数()()4sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则它的一条对称轴是（ ） A ．12x π=- B ．0x = C ．6x π=D ．23x π=9．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2 B ．偶函数，且最大值为2 C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为98二、多选题10．（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅11．（2020·海南·高考真题）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 三、填空题12．（2021·北京·高考真题）若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．13．（2020·山东·高考真题）已知ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若sin 0.8α=，则α=______rad .14．（2021·湖南·高考真题）已知tan 3α=-α为第四象限角，则cos α=____________15．（2021·江苏·高考真题）已知5cos 213πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()tan 9θπ-的值是_________.四、解答题16．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+； 条件③：ABC 3317．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．18．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.19．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：x6π-12π3π712π56πx ωϕ+0 2π π32π2πsin()A x ωϕ+30 -3 0根据表中数据，求： （1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.。
2023年高考数学真题分训练 三角函数定义与三角函数恒等变换(含答案含解析)
专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点 考查内容理 5 三角函数定义 文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限 的符号及两角和的正切公式 卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、 三角函数性质等根底知识 卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式 三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换 三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、 卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式 值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与 转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系． 同角三角函数根本关系与诱导公式 三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归 与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式 理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷 三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化 与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化 归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换 同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函 数值求角，运算求解能力 二倍角公式，平方关系 二倍角公式，三角函数的符号 二倍角公式 卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换 理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换 理 9 三角恒等变换 文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式 两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考 点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三 角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍 为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析） 角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1， 解 得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知， 在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角 满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角 的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角 的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ， 可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， 解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得 ，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知 是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析） 是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设 为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵， ，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论． （解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设 为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当 时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由 在第四象限可得： ，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析） 理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答 案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数， 即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1， （解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2， 可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜ ＜ ，- ＜ ＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而 ， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为： ；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ， 两 边 平 方 可 得 ： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ， 由 ① ② 得 ：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )， 则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为 ． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知 的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得 ，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系 中，角与角 均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k， 所 以（ 解 析 ） ∵ 角与 角 的 终 边 关 于 轴 对 称 ， 所 以 ；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设 为锐角，假设cossin 2 ，则 ．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析） 因为 为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以 ， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数 ，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ， 的值；，其中a R ， 0， ． 44 2 23(2)假设 f ，， ，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以 〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又 ， ，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数 ． 3 f (1) 求 的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。
高考数学总复习(三角函数押题训练)
高考数学总复习——三角函数题针对训练内容：三角函数的定义与三角变换 重点：任意角的三角函数定义 难点：三角变换公式的应用 内容安排说明及分析：本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。
把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。
即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。
由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。
有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。
知识要点及典型例题分析： 一、三角函数的定义 1．角的概念（1）角的定义及正角，负角与零角 （2）象限角与轴上角的表达 （3）终边相同的角 （4）角度制 （5）弧度制2．任意角的三角函数定义任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。
借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。
由任意角的三角函数定义直接可以得到：（1）三角函数的定义域（2）三角函数值在四个象限中的符号 （3）同角三角函数的关系（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。
3．诱导公式总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。
“奇变”是指所涉及的轴上角为2π的奇数倍时（包括4组：2π±α，23π±α）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。
使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角形式，有时也需要改变函数名称，如：sin α-icos α=cos(23π+α)+isin(23π+α)。
“偶不变”是指所涉及的轴上角为2π的偶数倍时（包括5组：2k π+α, π±α, 2π-α, -α）,函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目(附解析)
高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目（附解析） 一、三角函数的定义若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．1.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cosθ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43.[答案] －45 －43 注：利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13 B ．±13 C ．－3D ．±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)． 则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.4．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限． 解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限． 答案：三二、同角三角函数的基本关系及诱导公式①牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．②诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．5.已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)， 解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.注：三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．6．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝()A．1B．7 C．－7 D．－1解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35.又α是第三象限角，所以cos α＝－4 5，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝7.7．已知sin θ＋cos θ＝43，且0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，则2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.8．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m 2，则m 的值为________．解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m 2＝1＋m 2，即m 2＝13.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m <0，所以m ＝－33.答案：－339．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0＜α＜π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0＜β＜π，故cos β＝±32.三、简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10.已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.注：条件求值的解题策略(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3等于( )A ．－45 B ．－35 C.35D.45解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－435，所以32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，所以－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，即－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π3＝－435，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，故选D.13．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，函数f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x .∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3； 当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．。
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2014年高三数学第三轮总复习三角函数的定义与三角变换押题针对训练 内容：三角函数的定义与三角变换 重点：任意角的三角函数定义 难点：三角变换公式的应用 内容安排说明及分析：本部分内容分为两大块，一块是三角的基础与预备知识，另一块是三角变换公式及其应用。
把三角变换公式提到三角函数图象与性质之前来复习，其目的是突出“工具提前”的原则。
即众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具，也是进一步研究三角函数的图象和性质的重要工具。
由于本部分内容的基础性与工具性，这是高中数学的重要内容之一，因此，最近几年的高考试题中占有一定的比例，约占13%左右。
有试题多为选择题，有时也有解答题，难度多为容易题与中等题。
知识要点及典型例题分析： 一、三角函数的定义 1．角的概念（1）角的定义及正角，负角与零角 （2）象限角与轴上角的表达 （3）终边相同的角 （4）角度制 （5）弧度制2．任意角的三角函数定义任意角的6个三角函数定义的本质是给角这个几何量以代数表达。
借助直角坐标系这个工具，把角放进直角坐标系中完成的。
由任意角的三角函数定义直接可以得到：（1）三角函数的定义域（2）三角函数值在四个象限中的符号 （3）同角三角函数的关系（4）单位圆中的三角函数线：要充分利用三角函数线在记忆三角函数性质与公式以及解决三角函数问题中的作用。
3．诱导公式总共9组共36个公式，记忆口决为“奇变偶不变，符号看象限”，并弄清口决中的字词含义，并根据结构总结使用功能。
“奇变”是指所涉及的轴上角为2π的奇数倍时（包括4组：2π±α，23π±α）函数名称变为原来函数的余函数；其主要功能在于：当需要改变函数名称时，比如：由于“和差化积”公式都是同名函数的和差。
使用时，对于不同名的函数先化为同名函数，又如：复数化三角形式，有时也需要改变函数名称，如：sin α-icos α=cos(23π+α)+isin(23π+α)。
“偶不变”是指所涉及的轴上角为2π的偶数倍时（包括5组：2k π+α, π±α, 2π-α, -α）,函数名称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题。
二、典型例题分析：例1．（1）已知-2π<α<β<2π, 求α+β与α-β的范围。
（2）已知α的终边在第二象限，确定π-α所在象限。
解：（1）∵-2π<α<β<2π, ∴-π<α+β<π，-π<α-β<0.（2）有两种思路：其一是先把α的终边关于x 轴对称放到-α的终边（在第三象限），再将-α的终边按逆时方向旋转π放到π-α的终边即-α的终边的反向延长线，此时π-α的终边也在第二象限。
思路2：是先把α的终边（第二象限）按顺时针方向旋转π，得到α+(-π)（第四象限），再将它关于x 轴对称得到-(α-π)=π-α的终边，此时也在第一象限。
例2．若A={x|x=4πk , k ∈Z}, B={x|x=2πk +4π, k ∈Z}, 则A _____B 。
解：由B 中的x=2πk +4π=4)12(π+k 可视为4π的奇数倍所构成的集合。
而A 中的x=4πk 是4π的所有奇数倍，因此A ⊃B 。
例3．设0<θ<2π, 问5θ与角θ终边相同，求θ。
解：由已知 5θ=2k π+θ, k ∈Z, 有θ=2πk ， ∵ 0<θ<2π, ∴k=1时，θ=23；k=2时，θ=π；k=3时，θ=23π.例4．若θθcos 1cos 1+-=ctg θ-csc θ，求θ取值范围。
解：先看一看右边=ctg θ-csc θ=θθsin cos -θsin 1=θθsin 1cos -，这样就决定了左边的变形方向。
θθcos 1cos 1+-=θθ22cos 1)cos 1(--=θθ22sin )cos 1(-，∵θθ22sin )cos 1(-=θθsin 1cos -， ∴ ⎩⎨⎧>≥-0sin 01cos θθ⇒⎩⎨⎧>=0sin 1cos θθ⇒θ无解， ∴ 不存在这样的θ使所给等式成立。
例5．已知sin(π-α)-cos(π+α)=32, 2π<α<π.求：（1）sin α-cos α的值 （2）sin 3(2π+α)+cos 3(2π+α)的值解：（1）由已知，得sin α+cos α=32,平方得：1+2sin αcos α=92, ∴ 2sin αcos α=-97, ∵2π<α<π,∴ sin α-cos α=2)cos (sin αα-=ααcos sin 21-=34. （2）sin 3(2π+α)+cos 3(2π+α)=cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(cos 2α+sin αcos α+sin 2α)=-34(1-187) =-2722. 例6．已知sin(α-π)=2cos(α-2π),求下列三角函数的值：（1）)2cos()23sin(3)2cos(5)sin(απαπαπαπ+---++ （2）1+cos2α-25sin2α.解：由已知：-sin α=2cos α，有 tg α=-2, 则（1）原式=ααααsin cos 3cos 5sin +-+-=ααtg tg +-+-35=-57。
（2）1+cos 2α-25sin2α=ααααα2222cos sin 2sin 25cos 2sin +-+=1225222+⋅-+αααtg tg tg =1)2()2(52)2(22+---+-=516.评述：对于形如ααααcos sin cos sin d c b a ++为关于sin α与cos α的一次分式齐次式，处理的方法，就是将分子与分母同除以cos α，即可化为只含tg α的式子。
而对于1+cos 2α-25sin2α属于关于sin α与cos α的二次齐次式。
即sin 2α+2cos 2α-5sin αcos α. 此时若能将分母的“1”用sin 2α+cos 2α表示的话，这样就构成了关于sin α与cos α的二次分式齐次式，分子分母同除以cos 2α即可化为只含有tg α的分式形式。
例7．求函数y=225x -+log sinx (2sinx-1)的定义域。
解：使函数有意义的不等式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≠>≥-01sin 21sin 0sin 0252x x x x ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+≠∈+<<+≤≤-)(22)(6526255Z k k x Z k k x k x ππππππ 将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x ∈[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即∴因此函数的定义域为：[-5,-23π)∪(-23π,-67π)∪(2,6ππ)∪(65,2ππ)。
例8．求证：1sec 1sec +-++ααααtg tg =ααcos sin 1+.证法一（左边化弦后再证等价命题） 左边=1cos sin cos 11cos sin cos 1+-++αααααα=ααααcos sin 1cos sin 1+-++要证ααααcos sin 1cos sin 1+-++=ααcos sin 1+只需证：(1+sin α+cos α)cos α=(1-sin α+cos α)(1+sin α)左边=cos α+sin αcos α+cos 2α右边=1-sin 2α+cos α+cos αsin α=cos 2α+cos α+sin αcos α ∵左边=右边，∴原等式成立。
或证等价命题：ααααcos sin 1cos sin 1+-++-ααcos sin 1+=0证法二（利用化“1”的技巧）左边=1sec )(sec sec 22+--++ααααααtg tg tg=()1sec )sec 1(sec +--++ααααααtg tg tg =sec α+tg α=ααcos sin 1+=右边。
证法三（利用同角关系及比例的性质）由公式 sec 2α-tg 2α=1⇒(sec α-tg α)(sec α+tg α)=1⇒1sec ααtg +=ααtg -sec 1.由等比定理有：ααααtg tg -+++sec 11sec =sec α+tg α=ααcos sin 1+.证法四（利用三角函数定义）证sec α=x r , tg α=x y , sin α=ry , cos α=r x.然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。
其证明过程同学自己尝试一下。
评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：(1)若A=B ，B=C 则A=C （传递性） (2)A=B ⇔A-B=0(3)A=B ⇔B A=1 (B ≠0)(4)B A =DC⇔ AD=BC (BD ≠0)(5)比例：一些性质，如等比定理：若11b a =22b a=……=n n b a ，则n n b b b a a a ++++++ 2121=11b a =22b a =……=n n b a 。
1．如果θ是第二象限角，则2θ所在的象限是（ ） A 、第一象限 B 、第一或第三象限 C 、第二象限 D 、第二或第四象限2．在下列表示中正确的是（ ） A 、终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2k π+2π, k ∈Z}B 、终边在y=x 的直线上的角的集合是{α|α=k π+4π, k ∈Z} C 、与(-3π)的终边相同的角的集合是{α|α=k π-3π, k ∈Z}D 、终边在y=-x 的直线上的角的集合是{α|α=2k π-4π, k ∈Z}3．若π<θ<23π, 则θsin log 22等于（ ） A 、sin(θ-π) B 、-sin θ C 、cos(π-θ) D 、-csc θ 4．函数y=2sin(62π+x )在[π，2π]上的最小值是（ ） A 、2 B 、1 C 、-1 D 、-25．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A 、它的定义域是[-1，1] B 、它是奇函数； C 、它的值域是[0, 1] D 、它是周期为π的函数 6．设0<x<4π，下列关系中正确的是（ ）A 、sin(sinx)<sinx<sin(tgx)B 、sin(sinx)<sin(tgx)<sinxC 、sin(tgx)<sinx<sin(sinx)D 、sinx<sin(tgx)<sin(sinx) 7．若sin2θ=53，cos 2θ=-54，则θ∈[0, 2π]，终边在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）A 、sin 21B 、6πC 、21sin 1 D 、2sin 219．化简三角函数式tg(212+k π+76π) (k ∈Z), 结果是（ ） A 、tg 7π B 、ctg 7π C 、ctg 76π D 、-tg 7π10．设α∈(0,2π)，()ααsin cos -=A ，()ααtg B sec =的大小是（ ）A 、A>B B 、A ≥BC 、A<BD 、A ≤B答案: B B D C D A D C B C正、余弦函数的有界性在解题中的作用正、余弦函存在着有界性，即1sin ≤x ，1cos ≤x ，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。