10-3 基尔霍夫定律的相量形式

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第5章正弦电流电路的稳态分析-4基尔霍夫定律、电路相量模型和电阻电感电容串并联

2 2 U UR UX
I
由UR 、UX 、U 构成的电压三角形与阻抗三角形相似。
R、L、C 串联电路的性质 Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠ |Z| = U/I = u-i +
U
I
R
jwL
+ UL 1 jω C
U
.
+.
UC

-
wL > 1/w C ， >0，电路为感性。 wL<1/w C ， <0，电路为容性。 wL=1/w C ， =0，电路为电阻性
.
560 V U
+. -
UC
-
jw L j2π 3 104 0.3 103 j56.5 1 1 j j j26.5 4 6 wC 2π 3 10 0.2 10
1 Z R jω L j 15 j56.5 j26.5 33.5463.4 o Ω ωC
正弦电流电路的稳态分析
第四讲（总第二十讲）
基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型电阻、电感和电容串并联的电路
基尔霍夫定律的相量形式和电路的相量模型
一、基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示。
i(t ) 0 u(t ) 0
I I

U
I
U
i
R
例
L + uL C
+ u -
已知：R=15, L=0.3mH, C=0.2F,
+ u 5 2 sin( wt 60)V, f 3 104 Hz uC 求 i , uR , uL , uC 。 -

基尔霍夫定律的相量形式.

电压相量，如图(c)所示，从相量图上容易看出各正弦电压
的相位关系。
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26
即一般说来
n
Uk 0
k 1Biblioteka 关于复数的几个公式1. 假设复数 c rθ a jb
则有 c a2 b2 θ arctan b a
uk (t) Re[U kme jt ] Re[ 2U k e jt ]
代入KVL方程中得到
n uk (t) n Re[Ukmejt ] 0
k 1
k 1
n
n
uk (t) Re[
2Uke jt ] 0
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
j ej180 cos180 jsin180 1 1 j2 ej180 1180
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 iS、i、i1、i2 用相应的相量符
号 IS、I、I1、I2 表示，并计算出电流相量。
I1 1060 A
I2 5 90 A
列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式
为
I I1 I2 0
§8－3 基尔霍夫定律的相量形式
一、基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式为
n
ik (t) 0
k 1
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式

第3章习题解答

解：线圈的电路模型如图3.12所示。当线圈接在48V的直流电源上，电感相当于短路状态，由题设，可求出线圈的等效电阻为
当线圈改接在交流电源上时，阻抗模
感抗
电感
3.7当30V的直流电压加到某一线圈上时，消耗的功率为150W；改用230V的交流电压加到同一线圈上时，消耗的功率为3174W。求此线圈的感抗。
谐振频率
品质因数
谐振特征
电路呈纯阻性，阻抗最小，电流最大。
电阻电压等于电源电压，电感、电容上的电压大小相等、方向相反。
电路局部过电压，有可能会出现电感电压UL（电容电压UC）远远大于电源电压U的现象，因此，串联谐振又称为电压谐振。
电源不输出无功功率，电感与电容间进行能量交换。
(2)并联谐振
谐振的条件
两个正弦量之间的相位差为
（2），
波形图及相量图如图3.8所示
3.3两正弦交流电流分别为，，试用相量法及相量图法求i=i1+i2的瞬时值三角函数式。
解：(1)相量法求解，采用幅值相量
（2）相量图法求解，如图3.9所示。
3.4图3.10所示为某电路中电压和电流的波形图。试分别写出它的三角函数表达式、相量形式，做出相量图，并求出其相位差。
3.2典型例题分析
例3.1下列各式是否正确？为什么？
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）式不正确。是随时间做正弦变化的正弦电流，而为表示该电流的相量，两者是不相等的。但相量表示了正弦电流的幅值和初相位，所以正弦量可以用相量表示。
（2）式正确。根据欧拉公式，可得
“Im”表示取复数虚部，而复数的虚部就是。
2.阻抗及其串、并联
（1）.当n个阻抗如图3.3（a）所示串联时，等效阻抗Z为

电工学版课后答案秦曾煌

图3-1 t rad f /3145014.322=⨯⨯==πωAt i Vt u )90314sin(2)45314sin(310︒-=︒+=︒=︒--︒=-=135)90(45i u ψψϕs T x 0075.0501360135360135=⨯︒︒=︒︒=25A t i i t A t t i f ）（，时，）（︒+=∴︒=∴===+=+⨯===3040sin 10305sin 10040sin 10)40sin(225402πψψψπψπππω︒∠=∠︒∠=︒∠=︒∠⨯︒∠=⋅+=+-+=-+=+++=+1.877.145657.51.53101.9857.5645657.51.531042)44()86(1210)44()86(21212121A A A A j j j A A j j j A A 2121)2(;)60sin(10,)sin(5)1(i i i A t i A t i +=︒+==ωω︒∠=︒∠+︒∠=+=︒∠=︒∠=∙∙∙∙∙89.4023.13601005)2(;6010,05)1(2121m m m m m I I I A I A I A I A I V U 25,10,22021===第三章习题3-1 已知正弦电压和正弦电流的波形如图3-1所示,频率为50Hz ，试指出它们的最大值、初相位以及它们之间的相位差，并说明哪个正弦量超前，超前多少度？超前多少时间？解： u 、i 的表达式为即：u 比i 超前135°，超前2-1 某正弦电流的频率为20Hz ，有效值为 A ，在t =0时，电流的瞬时值为5A ，且此时刻电流在增加，求该电流的瞬时值表达式。

解：3-3 已知复数A 1=6+j8Ω，A 2=4+j4Ω，试求它们的和、差、积、商。

解：3-4 试将下列各时间函数用对应的相量来表示。

解：3-5 在图3-2所示的相量图中，已知，它们的角频率是ω，试写出各正弦量的瞬时值表达式及其相量。

基本元件的相量形式(3)

电流与电压同相
电工基础
三、电感元件的相量形式：电感元件的相量形式：
i
L
Z L = ωL∠90 = jωL = j 2πfL
ɺ I
ZL
相量图
+
u
−
ɺ U
ϕi
ɺ I
+
ɺ U
−
i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) A u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
u(t ) = L ⋅
Q=
ωt
t
2 UC
XC
电源
i 电
源
(var) : 电容元件电
u
电工基础
例：求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 ɺ ZC C = 10µF i C I
+
u
解： X C =
− u (t ) = 100 2 sin(1000t + 30 )V
ɺ UC
电工基础
u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
ϕ
ɺ I +1
电流与电压同相
ɺ I = I∠ϕi (A) ɺ U = U∠ϕ u (V )
ɺ U Z= ɺ = Z ∠ϕ z I
u(t ) = R ⋅ i(t )
= R ⋅ I m sin(ωt + ϕ i )
大小关系：大小关系： m = R ⋅ I m U
ϕ z = ϕu − ϕi
电工基础
电感元件的功率：电感元件的功率：
1）瞬时功率: 瞬时功率:
p ( t ) = u ( t )i ( t )

电路相量法和正弦稳态电路的分析

故
图 (c):以电感与电容的并联电压为参考相量
I2.82A 8
U C 3 0 1 A 3 0 0 V I I C I L j - 2 j = - j A , U U R U C 4 0 j + 3 0 = 5 0 5 3 . 1 V
6.2 正弦量的相量表示法
2、正弦量的相量表示
i(t) Im c(o t si)2 Ic ( to s i)
Re
2
Ie
j(t
i
)

Re
2
Ie
ji
e
jt

Re

2

I
e
jt

Re I m
e
jt

其中：

UjLI jXLI
感抗： XL L 有效值： U LI 相位： u i 90
U j
u
I
i

I
j L
t

U
O
1
i O
电压超前于电流 90°
u
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题电路中已标明电压表和电流表的读数，试求电压 u 和电流 i 的有效值。
60V
6.3 正弦稳态电路的相量模型
例题已L=知3如H，图所C示=5电路1中0-3Fi S 。试0 . 求2 c 电o （ s 压 ut R 、4 u5 L） A 和,u C 1 0 r 。a d / s , R 2 0 ,
R
根据
iS +
uR –
C

电路定理的相量形式

i(t ) 10 2 cos( 5t 36.9 )A
0
U _ I
+
I
1
-j10 15 j20
I2
返回
I3
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3. 电容元件相量形式的VCR
iC(t)
+ u(t) -
时域形式： uC (t ) 2U sin(t Ψ u ) duC (t ) iC (t ) C 2CU cos( t Ψ u ) C dt π 2CU sin( t Ψ u ) 2 相量形式：
1 jωC
A0 ＝I0max=?
3. Z1 jX L , Z 2为何参数
A0 ＝?
A0 Z1 A1 A2 Z2
U
A0 ＝I0min=?
解
1. I 0 82 62 10A
2. Z 2 R，I 0 max 8 6 14A 3. Z 2 jX C , I 0 min 8 6 2A
|XC| 容抗和频率成反比
0， |XC| 直流开路(隔直) ，|XC|0 高频短路

1 I jX I UC C C jC
相量表达式
I C j CU C
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波形图及相量图
电流超前电压900
iC
pC u
IC
u
U
o 瞬时功率
第三节电路基本定律的相量形式
1. 基尔霍夫定律的相量形式
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和 KVL可用相应的相量形式表示：
i(t ) 0
I 0
U 0
u (t ) 0

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由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，即
U km 0
k 1 n
n
(10 16) (10 17)
U
k 1
k
0
这就是相量形式的KVL定律，它表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一回路，沿该回路全部支路电压
相量的代数和等于零。在列写相量形式KVL方程时，对于
e jt ] Re[ 2U e jt ] uk (t ) Re[U km k
代入KVL方程中得到 uk ( ) Re[U km e jt ] 0
k 1 n k 1 n
n
n
uk (t ) Re[ 2U k e jt ] 0
k 1 k 1
e jt ] Re[ 2I e jt ] ik (t ) Re[I km k
代入KCL方程中得到
ik (t ) Re[ I kme jt ] 0
k 1 k 1
n
n
ik (t ) Re[ 2 I k e jt ] 0
k 1 k 1
n
n
参考方向与回路绕行方向相同的电压取“ ＋”号，相反的电压取“ －”号。值得特别注意的是沿任一回路全部支路电压振幅(或有效值)的代数和并不一定等于零，即一般来说
U
k 1
n
km
0
U
k 1
n
k
0
例10-7 电路如图10-13(a)所示，试求电压源电压uS(t)和相应的电压相量，并画出相量图。已知
4
电路分析中采用符号应用欧拉公式
j 1
可以得到

e jθ cos jsin θ θ

e
j90
cos90 jsin 90 j
j90
j 1 e e
j90
190

cos(90 ) jsin(90 ) j 1 j90 j e 1 90 j e
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，即
I
k 1
n
km
0
(10 14)
I
k 1
n
k
0
(10 15)
相量形式的KCL定律表示对于具有相同频率的正弦电流电路中的任一结点，流出该结点的全部支路电流相量的代数和等于零。在列写相量形式KCL方程时，对于参考方
向流出结点的电流取“ +”号，流入结点的电流取“ -”号。特别注意的是
由此可求得
U S U1 U 2 U 2 6180 890 120 6 j8 12 6 j8 1053.1 V
写出相应的电压瞬时值表达式
uS (t ) 10 2 cos(t 53.1 )V
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
§10－3 基尔霍夫定律的相量形式
一、基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集总参数电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路电流的代数和等于零。其数学表达式为
i
k 1
n
k
(t ) 0
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则
可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将时域模型中各电流符号 iS、i、i1、i 2 用相应的相量符
号 I S、I、I 1、I 2 表示，并计算出电流相量。
I1 1060 A
为
I 2 5 90 A
列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式
3+j4=? 5
X Y

53.1
注意：
CASIO fx-100
553.1=?
5 P R 53.1
3 X Y 4
3+j4=?
DEG
表示度数
SHARP EL-5812
3
X Y 4
r
5
X Y
53.1
SHARP EL-5812
5=?
5
X Y 53.1
xy 3 X Y
解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量模型，并计算出电压相量。
U1 6 180 V U 890 V
2
U 3 120 V
对于图(b)相量模型中的回路，以顺时针为绕行方向，列出的相量形式KVL方程
US U1 U 2 U3 0
u1 (t ) 6 2 costV u2 (t ) 8 2 cos(t 90 )V u3 (t ) 12 2 costV
图 10-13
u1 (t ) 6 2 costV u2 (t ) 8 2 cos(t 90 )V u3 (t ) 12 2 costV
I I1 I 2 0
由此可得
I I1 I2 1060 5 90 5 j8.66 j5 5 j3.66 6.236.2 A
写出相应的电流瞬时值表达式
i(t ) 6.2 2 cos( t 36.2 )A
j180
cos180 jsin180 1
2 j180
1 j e
1180

值得特别提出的是在正弦电流电路中流出任一结点的
全部电流有效值之代数和并不一定等于零，例如本题中的
I=6.2I1+I2=10+5=15。
本题也可以用作图的方法求解。在复数平面上，画出
已知的电流相量，再用向量运算的平行四边形法则，求得
电流相量，如图(c)所示。相量图简单直观，虽然不够精确，还是可以用来检验复数计算的结果是否基本正确。从相量图上容易看出电流i超前于电流i2，超前的角度为36.2+90=126.2。容易看出 I=6.2I1+I2=10+5=15 即
I
k 1
n
k
0
二、基尔霍夫电压定律的相量形式
基尔霍夫电压定律(KVL)叙述为：对于任何集中参数电路中的任一回路，在任何时刻，沿该回路全部支路电压代数和等于零。其数学表达式为
u (t ) 0
k 1 k
n
假设电路中全部电压都是相同频率ω的正弦电压，则可以将它们用有效值相量表示如下：
U
k 1
n
k
0
关于复数的几个公式 1. 假设复数则有
2
c rθ a jb
2
b c a b θ arctan a a r cos b r sin
2. 假设复数则有
c1 r1θ 1, c2 r2θ
c1c2 r1r2θ 1 θ c1 r1 θ 1 θ c2 r2
定等于零，本题中的 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26。
本题也可以用作图的方法求解。在复数平面上，画出已知的电压相量，再用向量运算的平行四边形法则，求得电压相量，如图(c)所示，从相量图上容易看出各正弦电压的相位关系。
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26 即一般说来
I
k 1
n
km
0
I
k 1
n
k
0
例10-6 电路如图10-12(a)所示,已知
i1 (t ) 10 2 cos( t 60 ) A

i2 (t ) 5 2 sin t A
试求电流i(t)及其有效值相量。
图 10-12
解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量
2 2
2
3. 假设复数
c1 a1 jb1, c2 a2 jb2
c1 c2 (a1 a2 ) j(b1 b2 ) c1 c2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
则有
要求掌握计算器进行复数两种形式的转换。
举例
CASIO fx-100 3 RP 4