初三数学旋转相似讲义

专题：旋转相似
模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。

条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。

结论：⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD。

即连接对应点所得的一对新三角形相似。

⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）
模型特例：共直角顶点的直角三角形相似
当∠AOB=∠COD=90°时，除
⑴、△OCD ∽△OAB ⇔ △OAC ∽△OBD
⑵、延长AC 交BD 于点E ，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明） 外，还有结论 ⑶、
OAB OCD OA
OB
OC OD AC BD ∠=∠===tan tan ⑷、因为AC ⊥BD 于点E ，那么，若连AD 、BC ，则四边形ABCD 对角线互相垂直，则 ①BD AC S ABCD ⋅=
2
1
四边形 ②2
2
2
2
CD AB BC AD +=+
D
B
B C
例题讲解
例1.已知△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角∠ACB=∠EDF. （1）如图1，若∠ACB=900
,探究BF 与CD 间的数量关系； （2）如图2，若tan ∠ACB=
4
3
，求BF CD 的值；
（3）如图3，若△ABC 中AC=BC=a ，将△DEF 绕点O 旋转，设直线CD 与直线BF 交于点H ，则BCH S ∆最大值为__________（用含a 的式子表示）。

分析：
（1）连OC ，OD ，△OBF ≌ △OCD ，BF=CD
（2）构造手拉手旋转相似。

可证△OBC ∽ △OFD, △ODC ∽ △OFB
BF CD =OB OC =tan ACB ∠21
问题转化为已知tan ∠ACB=
43，求tan ACB ∠2
1
的问题，必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。

由右图提示可得tan ACB ∠2
1
=
3
1
； （3）由（2）△OBC ∽ △OFD, △ODC ∽ △OFB ，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a ，定边定角，点H 在以BC 为直径的圆上，易求()2max 4
12121a a a S BCH =⋅⋅=∆
例2.如图１，已知在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，①求证：AG ＝CE ；②求
AG
DF
的值
分析：①如图2，证CBE ABG △△≅，∴AG=CE ②如图2，连接BD ，BF ，DF ， 易证
2==BE
BF
BC BD ，︒=∠=∠45FBE DBC ， C B E ∠=D B F ∠∴ ∴CBE DBF △△~ ∴
2==BC
BD
CE DF CE =AG ∵ ∴
2==CE
DF
AG DF 变式：如图3，正方形ABCD 和EFGH 中，O 为BC ，EF 中点(1)求证：AH=DG;(2)求
CF
AH
的值。

A
E
D
B
C 分析：(1)连接OG,OD,OH,OA, 易证：DOG AOH △△~ DG AH =∴
5,COF BOE 5,
~,
,
,,~,21
)2(=∴=∴≅==∴
∴=∠=∠∴∠=∠∴∴==CF
AH CF BE BO
AO
BE AH OAH OBE OA
OH OB OE BOE AOH HOE AOB HEO ABO AB OB EH OE ，
△易证△△△又△△
例3.如图，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ABC ＝∠CED ＝∠CAE ＝30°，AC ＝3，AE ＝8，求AD 的长。

分析：
连接BE ，由基本图形易得 可证△ACD ∽△BCE ，AD ＝
3
3
BE ，∠BAE ＝90°
在Rt △ABE 作，由勾股定理求得BE ＝10 则AD ＝ 103
3
A
E
D
B
C
练习1.如图，点A 是△DBC 内一点，,12060,8,320
0AC AD DAC ABC BC AB ==∠=∠==，，求BD
得长。

分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.
练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针旋转，直线AF与直线BG交于点I.
(1) 求证：AF⊥BG；
(2) 当旋转角小于90°时，求
CI BI
AI
2
的值；
(3) 若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________.
分析：
（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。

A
D
B
C
E
P
练习3．将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A ＝90°，AD 边与AB 边重合，AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD 的延长线交直线CE 于点P ． （1）如图2，BD 与CE 的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求CP 的长；
（3）当点D 落在BA 的延长线上时，求点P 所经过的路径的长．
分析：
（1）BD ＝CE BD ⊥CE
（2）∵BD ⊥CE ，AD ⊥BD ，∴∠ADP ＝∠DPE ＝90° 又∠DAE ＝90°，AD ＝AE ，∴四边形ADPE 为正方形 ∵AB ＝2AD ＝4，∴PE ＝AD ＝2 ∴CE ＝BD ＝AB 2－AD
2
＝2 3
∴CP ＝23－2
（3）取BC 中点O ，连接OA 、OP
∵在旋转过程中，BD ⊥CE ，∴∠BPC ＝90° ∴OP ＝
1
2
BC ＝2 2
∴点P 的运动路径是以O 为圆心、半径为22的一段圆弧 即△ABC 外接圆的一部分 则∠AOP ＝2∠ABP
易知点D 在以A 为圆心、半径为2的半圆上运动
当BP 与半圆A 相切于点D 时，∠ABP 最大，从而∠AOP 最大 ∵AD ＝
1
2
AB ，∴∠ABP ＝30°，∴∠AOP ＝60°
即当△ADE 从初始位置旋转60°时，点P 沿圆弧从A 点运动到∠AOP ＝60°
A E
D
B C A
E
B
C
图1
图2
D
A
E
B
C
D
O
P
当△ADE继续旋转，直至点D落在BA的延长线上时，∠ABP＝0°，∠AOP＝0°∴点P从∠AOP＝60°处又回到A点
∴点P所经过的路径的长为：2×＝。