中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

已知①△EFD∽△ABD；②③④.6.在△ABC中，AB=9，AC=6，点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上。

当AN=4时，求△AMN与原三角形相似的比值。

7.在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，求线段AP的长度。

8.在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点A、B分别在x、y轴上，OA=1，OB=2.若点D在x轴下方，且使得△AOB与△OAD相似，求点D的坐标。

9.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm。

动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动。

如果点P的运动速度均为4cm/s，Q点的运动速度均为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC与△PCQ相似。

23.在图中，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F。

要证明：AC×CF=BC×DF。

24.在图中，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥XXX且与AC的延长线交于点E。

要证明：1）△AED∽△CBM；2）AE×CM=AC×CD。

25.在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H。

给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP²=PH×PC。

正确的结论是：B．②③。

26.在△ABC中，AB=AC=x，BC=4，点E为BC边上一动点，连接AE，作∠AEF=∠B，EF与△XXX的外角∠ACD 的平分线交于点G，当EF⊥AC时，EF的长为：x²/2AE。

27.在Rt△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E。

要证明：2BC×CE=AD²。

三角形内接矩形模型】1.在△ABC中，CD⊥XXX于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△XXX的边上。

要证明：CE²+AE²=AC²。

2.在图1中，相似三角形有：△ABC∽△AFG、△ABD∽△AEC、△BDC∽△FEC、△DGF∽△DAB、△GFE∽△CBA。

在图2中，相似三角形有：△APB∽△ACQ、△APB∽△BCP。

1.如图，点D是直角三角形ABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE、CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延长线于点F，连接AF。

证明：AF⊥AB。

解决问题：首先，我们可以利用相似三角形来证明△ADE∽△BCD。

由于∠ADE=∠BCD，又有∠AED=∠BDC=90°，所以△ADE和△BCD有一个角相等，且两个直角，因此它们是相似三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到：frac{AD}{BD}=\frac{AE}{BC}$又因为BC=AB，所以有：frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AB}$即：frac{AD}{AE}=\frac{BD}{AB}$根据正弦定理，我们可以得到：frac{AD}{sin\angle ADE}=\frac{AE}{sin\angle AED}$frac{BD}{sin\angle BDC}=\frac{BC}{sin\angle BCD}$因为∠ADE=∠BCD，所以sin∠ADE=sin∠BCD，代入上式得：frac{AD}{AE}=\frac{BD}{BC}$结合之前的式子，可得：frac{AE}{AB}=\frac{BD}{BC}$因此，我们证明了△ACF∽△BEC，进而可以证明AF⊥AB。

具体证明过程如下：由于∠ACF=∠BEC，所以△ACF和△BEC有一个角相等。

又因为AC=BC，所以它们有一个边相等。

因此，根据相似三角形的性质，我们可以得到：frac{AF}{BE}=\frac{AC}{BC}=1$即AF=BE，因此AF⊥BE。

2.如图1，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，且点E、G分别在边BC上、CD上，连接DE、BG，点M是BG中点，连接CM。

猜测CM与DE的数量关系与位置关系。

解决问题：我们可以利用旋转模型来证明CM与DE的数量关系与位置关系。

具体证明过程如下：将△ADE绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF。

因为AC=CE，所以△ACF和△XXX有一个边相等。

又因为∠ACF=∠CEG=90°，所以它们有一个角相等。

因此，根据相似三角形的性质，我们可以得到：frac{AF}{CG}=\frac{AC}{CE}=1$即AF=CG。

又因为M是BG的中点，所以AM=MC。

因此，我们可以得到：CM=AM+AC=AF+CE=AF+DE$因此，CM与DE的数量关系为CM=DE+AF，位置关系为CM⊥DE。

3.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE。

将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α。

当α=0°时，求DE的长度；当0°≤α＜360°时，判断CM与DE的位置关系。

解决问题：当α=0°时，△EDC重合于△ABC，因此DE=AC=BC/2=4.当0°≤α＜360°时，我们可以利用旋转模型来判断CM与DE的位置关系。

具体证明过程如下：将△EDC绕点C顺时针旋转α度，得到△E'D'C'。

因为CD=C'D'，所以△EDC和△E'D'C'有一个边相等。

又因为∠XXX∠E'D'C'=90°，所以它们有一个角相等。

因此，根据相似三角形的性质，我们可以得到：frac{DE}{E'C'}=\frac{DC}{D'C'}=\frac{BC}{B'C'}$因为BC=8，所以B'C'=8.又因为∠B'C'C=α，所以B'C'的长度是固定的。

因此，当0°≤α＜360°时，E'C'的长度是固定的。

因此，我们可以得到：frac{DE}{E'C'}=\frac{BC}{8}$即：DE=\frac{BC}{8}E'C'$因此，当0°≤α＜360°时，CM与DE的位置关系为CM⊥DE。

3) 如图3，将图2中的角$\angle$MON沿OA方向平移，当顶点落在线段OA的中点P时，再继续绕点P逆时针旋转$\angle$MPN，此时点E,F分别在边AB,BC的延长线上。

求此时PE和PF的值。

十字模型】1.在直角三角形ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE$\perp$BD，且AD=CD。

求CE的长度。

2.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A 落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，则折痕FG的长度为（）。

3.如图，已知直线$y=-x+2$与x轴、y轴分别交于B、A 两点，将△AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点D时，则k的值为()。

另外，CF 的值为（）。

4.在矩形ABCD中，AB=5-1，BC=2，过D点作DE$\perp$AC交BC于F点，则$\frac{AF}{FC}$的值为()。

5.如图，在直角三角形ABC中，$\angle ABC=90^\circ$，BA=BC，点D为BC边上的中点，BE$\perp$AD于点E，延长BE交AC于点F，则$\frac{AF}{FC}$的值为()。

6.如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形对折，使点B和D重合，则折痕MN的长度为()。

7.如图，把边长为AB=22，BC=4且$\angle B=45^\circ$的平行四边形ABCD对折，使点B和点D重合，则折痕MN的长度为()。

8.在直角三角形ABC中，AB=AC，$\angleBAC=90^\circ$，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE$\perp$BD于E，交BC于F。

1）如图1，若AB=4，CD=1，求AE的长度；2）如图2，点G时AE上一点，连接CG，若BE=AE+AG，求证：CG=AE；9.证明：（1）在矩形ABCD中，EF$\perp$GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则$\frac{EF}{AD}=\frac{GH}{AB}$；2）在满足（1）的条件下，又AM$\perp$BN，点M，N分别在边BC，CD上，若$\frac{BN}{AM}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，则$\frac{AB}{AD}=\sqrt{3}$。