电势及其梯度
合集下载
1-4电势及其梯度
Ui ( p)
p
ri
q3
r3 qi
注意：（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； （2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
4、电势的计算 两种方法：
1）由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 Up
零点Edl计算P点电势。
p
2）根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
A ab q0
b Edl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
注意几点：
1)电势是标量，只有正负之分。
2)电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
dn
算符 gradxiyjzk
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
电势梯度U 是一个矢量，
它的方向是沿电场线的切向 并指向电势升高的方向。
UdU
P2
nˆ
U
dn
P3
P1 dl
2
E1
如果过P1沿 dl方向的电势增加率为
为。
dU dl
，dl与nˆ 的夹角
有： dUdUcos
dl dn
(dn dcl o)s
点电荷q0所受电场力为： Fq0E
点从电r 荷到的rv场d中lv,移电动场点做电的荷功q
0
：
dA Fdlq0Edl
q0Edclos q
drdcl o,sE
q
q
4 0r 2
电势及其梯度
p
v r
q
p v E
q 4πε 0 r
2
dr =
4πε 0 rp
Up =
q 4πε 0 rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。 离电荷越远，电势越低。 负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远，电势越高。 离电荷越远，电势越高。
例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为Q 设球面半径为 ，总带电量为
V
V + ∆V
v dV v E=− en dl n
v dV 大小 E = dln
v dl
低
v en v dln
v E
电 势
高 电 势
方向 由高电势处指向低电势处
− 2. U 沿 l 方向的微商等于 En cosθ ∂U Q El = − = − E n cos θ ∂l ∂U ∂U ∂U ∴ Ez = − ; ∴ Ex = − ; ∴ Ey = − ∂z ∂y ∂x v ˆ ˆ ˆ + E y ˆ + E z k = −{∂U i + ∂U ˆ + ∂U k ) = −∇U ˆ ∴ E = E xi j j ∂x ∂y ∂z
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
（2）电场线的方向指向电势降落的方向。 ）电场线的方向指向电势降落的方向。
因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，
两个相邻等势面的电势差相等， （3）规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面 ）规定两个相邻等势面的电势差相等
在实际问题中， 在实际问题中，也常常 选地球的电势为零电势。 选地球的电势为零电势。 电势差与电势的零点选 取无关。 取无关。
v r
q
p v E
q 4πε 0 r
2
dr =
4πε 0 rp
Up =
q 4πε 0 rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。 离电荷越远，电势越低。 负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远，电势越高。 离电荷越远，电势越高。
例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为Q 设球面半径为 ，总带电量为
V
V + ∆V
v dV v E=− en dl n
v dV 大小 E = dln
v dl
低
v en v dln
v E
电 势
高 电 势
方向 由高电势处指向低电势处
− 2. U 沿 l 方向的微商等于 En cosθ ∂U Q El = − = − E n cos θ ∂l ∂U ∂U ∂U ∴ Ez = − ; ∴ Ex = − ; ∴ Ey = − ∂z ∂y ∂x v ˆ ˆ ˆ + E y ˆ + E z k = −{∂U i + ∂U ˆ + ∂U k ) = −∇U ˆ ∴ E = E xi j j ∂x ∂y ∂z
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
（2）电场线的方向指向电势降落的方向。 ）电场线的方向指向电势降落的方向。
因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，
两个相邻等势面的电势差相等， （3）规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面 ）规定两个相邻等势面的电势差相等
在实际问题中， 在实际问题中，也常常 选地球的电势为零电势。 选地球的电势为零电势。 电势差与电势的零点选 取无关。 取无关。
电势电势梯度
§ 5-4
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
《电势能和电势》电势梯度理解
《电势能和电势》电势梯度理解《电势能和电势——电势梯度理解》在物理学中，电势能和电势是非常重要的概念，而电势梯度则是对电势变化的一种描述。
理解这些概念对于深入掌握电学知识至关重要。
首先，让我们来谈谈电势能。
想象一下，有一个带电荷的粒子在电场中。
就好像这个粒子在一个有力量的“场”里，这个场能够对它做功。
当这个粒子在电场中移动时，电场对它做的功就转化为了粒子的电势能。
电势能就像是粒子在电场中储存的一种能量。
比如说，一个正电荷在正的电势区域，它就具有较高的电势能；而在负的电势区域，它的电势能就较低。
接下来是电势。
电势可以理解为电场中某一点的“电位”。
它类似于地理中的海拔高度，只不过这里的“高度”是表示电场中电势能的大小。
电势是一个相对的概念，我们通常会选择一个参考点，规定它的电势为零，然后来确定其他点的电势。
那么，什么是电势梯度呢？简单来说，电势梯度就是电势在空间中变化的快慢程度。
想象一下，你在爬山，山坡陡峭的地方就是梯度大的地方，你需要花费更多的力气才能往上爬；而平缓的地方梯度小，爬起来相对轻松。
在电场中也是一样，电势梯度大的地方，电场强度就大，电荷受到的力也就越大；电势梯度小的地方，电场强度就小，电荷受到的力也小。
为了更直观地理解电势梯度，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有两块平行的金属板，分别带有正电荷和负电荷，从而在它们之间形成了一个均匀的电场。
我们沿着电场线的方向来观察电势的变化。
如果从带正电荷的金属板向带负电荷的金属板移动，电势会逐渐降低。
而且，在这个均匀电场中，电势的变化是均匀的，也就是说电势梯度是恒定的。
但在实际情况中，电场往往不是均匀的，电势梯度也会随之变化。
比如，在一个点电荷产生的电场中，离电荷越近的地方，电势梯度越大；离电荷越远的地方，电势梯度越小。
电势梯度在许多实际应用中都有着重要的作用。
例如，在电子设备中，了解电势梯度可以帮助我们设计更有效的电路和器件。
在电力传输中，对电势梯度的掌握有助于优化输电线路，减少能量损耗。
静电场5-电势梯度和电势能
a
q
17
Aab W
取wb为电势能零点, 即: Wb=0, 则： W
势能零点 a
b
q
a
E
E dl q
a
一般取 ∞ 处为势能零点 试探电荷q在电场中a点时系统的电势能 物理意义： 大小等于: 将q从a点移至电势能零点电 场力所做的功
q距离场源点电荷Q为r时
系统的电势能:
1 Qq W 4 0 r
U1 U2 + U3
U4
E
证明：设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图）， 以点电荷为例，其电势为 1 q U (r ) 4 0 r
典型等势面
6
电偶极势场
7
电容器势场
8
三、电场强度与电势梯度
• 场有分布, 沿各方向存在不同的方向微商 • 梯度：最大的方向微商 E – 如 速度梯度 温度梯度等 U P n l • 沿l 的方向微商可以表示为 U+U
n
Δn很小,场强E变化不大
U
Q
P
E d l En
U U E lim n 0 n n
考虑方向，则有： E U
矢量微分算符
在直角坐标系中： i j k x y z
dU U U U ˆ U n i j k dn x y z
电势叠加各区域的电势分布是内外球壳单独存在时电势的叠加内壳单独存在外壳单独存在iii3511如图所示半径为r的半球面a的球心o位于oz轴上距o点r处半球面横截面与oxy面平行坐标原点o处有一电36一个细玻璃棒被弯成半径为r的半圆形沿其上半部分均匀分布有电量q沿其下半部分均匀分布有电量q
电势及其梯度
q E= 2 4πε 0 r
1
cosθ dl = dr
q o
r
c
θ
r E
a b rb 1 qq qq0 1 1 0 − ∴W = ∫ dW = ∫ 2 dr = a ra 4πε 4πε 0 ra rb 0 r
温州大学物理与电子信息学院
电势和电势差
结论：在点电荷的电场中， 结论：在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所 做的功， 做的功 ， 只与试验电荷所带电量以及起点和终点 位置有关，而与所经历的路径无关． 位置有关，而与所经历的路径无关． 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ r r r Q E = E1 + E 2 + L r r r r r r r ∴W = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ ( E1 + E2 + L) ⋅ dl r r r r = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl + L
ρR 2 r Up = − ln < 0 2εo R
P r o o
温州大学物理与电子信息学院
定义法求电势
R
r ρ r r r < R E= 2ε o
r≥R
r
.
p
ρR 2 r Up = − ln 2εo R < 0
R
r ρR 2 ˆ = λ r E= r ˆ 2πεor 2εor
r<R
r= 0处， U= Umax= ρ R 2 处 2εo ε
温州大学物理与电子信息学院
电势梯度概念 等势面 定义:电势相等的曲面 定义:
U1
+q
14电势及其梯度讲解
R) R)
4 0 R
球壳外电势分布与点电荷时相同； 球壳内电势分布为常量，与壳面等势。
第一章 静电场 恒定电流场
4.3电势叠加原理
点电荷组有
U P
E
dl
P
P E1 dl
P E2
dl
P Ek dl
r R：U
E
dl
p
rp
Edr
Q
4 0rp
r R：U
Edr
rp
R
rp E内dr R E外dr
Q
4 0R
第一章 静电场 恒定电流场
均匀带电球壳产生的电场中电势的分布
U
1
4
0
1
Q r
Q
, (r , (r
r
x
X
du dq
4 0r
edl
P
4 0 r
Z
uP
du
edl 2Re 40r 40r
4 0
q R2 x 2
第一章 静电场 恒定电流场
求电势
用电势定义求
U P
p0
E
dl
P
用电势叠加原理求 U P dU
4 0 r rp 2 4 0 rp
点电荷q产生的电场
中电势的分布公式：
U 1 q
4 0 r
第一章 静电场 恒定电流场
例12 求均匀带电球壳产生的电场中电势的分布,
6电势及其梯度
E x = − dU dx
E y = − dU dy
E z = − dU dz
2º 场中任一点沿不同方向，U的空间变化率 场中任一点沿不同方向， 的空间变化率 一般不等。 一般不等。 r r dU 有最大值： − dU = E 当 θ= 0时, 即 dn || E , dn 有最大值： dn 时
dU ——电势梯度 电势梯度 dn
电势叠加原理
4
2）连续带电体的电势： ）连续带电体的电势： 其在任意点P处的电势 处的电势： 取电荷元 dq ，其在任意点 处的电势：
dq
rp
dq dU P = 4πε orP
整个带电体在任意点P处的电势： 整个带电体在任意点 处的电势： 处的电势
+q
UP = ∫
dq 4πεorP
.
P
注： 电势是标量，积分是标量迭加。 电势是标量，积分是标量迭加。
3º 求E的三种方法 E的三种方法
r dq 点电荷电场叠加 ：E = ∫ ˆ r 2 4πεor r r 1 用高斯定理求对称场： 用高斯定理求对称场： E = ∫ E ⋅ dS = Φ ∑ qi ε o S内
r 电势梯度法： 电势梯度法： E = − gradU
11
Up = ∫ 2.电势的计算 电势的计算 (1) 用定义法求 用定义法求U 真空中一半径为R的球面 均匀带电Q， 的球面， 例2. 真空中一半径为 的球面，均匀带电 ，求带电 球所在空间任意一点P的电势 的电势U=？ 球所在空间任意一点 的电势 ？ R 解：由高斯定理已求得电场分布： 由高斯定理已求得电场分布： r< R E=0 r →∞， →∞ Q r 设 r→∞，U=0 r≥R E= ˆ 2 4πεor P点处在球外 r>R： 点处在球外 ： r r =∞ Q ∞ r r r =∞ Q r ⋅ dl = ∫ ˆ ⋅ dr = Q U p = ∫ E ⋅ dl = ∫ 4πεorp 4πεor2 4πεor2 P p P ∞ r r P点处在球内 r<R U p = ∫ E ⋅ dl E=0 =0 点处在球内 p ∞ r r r = Rr 0 r r = ∞r r = Q U p = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl 1 4πεoR p P r=R
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
原子物理中能量单位: 电子伏特eV
1eV 1.6021019 J
第五章 静电场
16
物理学
第三版
4.点电荷电场的电势
E
4
q πε0r 2
er
令 V 0 (以后是默认)
V E dl r
qdr r 4πε0r 2
V q 4πε0r
1-4 电势及其梯度
注意 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.
第五章 静电场
15
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
3. 静电场力的功,电势能,电势的关系
B
WAB q A E dl qU AB q(VA VB )
(qVB qVA) EP
dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点沿任意 路径移至电势能零点处的 过程中电场力所做的功
电势也是相对的，其值与电势的零 点选择有关。
第五章 静电场
13
物理学
第三版
电势零点的选取：
1-4 电势及其梯度
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
q1
r1
q2 q3
r2 r3
A
E3 E2
E1
第五章 静电场
18
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
电荷连续分布时(有限大带电体)
dq dV, dq ds, dq dl
dV dq 4πε0r
VA
1 4πε0
dq r
dq
r
A
已设定无穷远为电势零点
第五章 静电场
第五章 静电场
物理学
1-4 电势及其梯度
第三版
AB q0E dl EpA EpB (EpB EpA )
令 EpB 0
EpA
EB A
P
0
q0
E
dl
A EpA
B
EpB E
试验电荷q0在电场中某点的电势能，在 数值上等于把它从该点移到零势能处静电场
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
一 静电场力所做的功与路径无关
先看一个特例
点电荷的电场
erdWdlqd04Elπqcεqod00rsl 2θer
dl dr
dW
qq0 4πε0r 2
dr
B
rB
dr
dl
E
r
er
q
rA
q0 A
第五章 静电场
1
物理学
第三版
dW qq0 dr 4πε0r 2
19
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
关于电势的概念下列说法中是否正确 （1）场强相等的地方，电势必定相等。 （2）场强为零的地方，电势必定为零。 （3）电势为零处，场强一定为零。 （4）场强大的地方， 电势一定高。
第五章 静电场
20
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
试用环路定理证明：静电场电场线永不闭合。 证：若静电场电场线可看做一个闭合曲线，
WAB
q0
AB E dl (VB VA )
q0 B
令 VB 0
零点
VA A E dl
VA
A EpA
EpB VB E
第五章 静电场
12
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
电 势定义：电场中任意点 a 的电
势
VA
VA
Wa q0
P( 0)
E
则均（可沿有或见LE此静Ed曲电Er线场ddr作 电0r,场 场这EE强 线违ddr是背r的永了0积0不静分）闭电时，合场，因的环在而。路任定一理点，
第五章 静电场
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
计算电势的方法
零点
（1）利用定义式 VA
E dl
第三版
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
4
物理学
第三版
任意带电体的电场
1-4 电势及其梯度
（可认为带电体是点电荷的组合以及
由场强叠加原理得到同样结论）
E Ei
i
W
q0
E dl
l
q0 l Ei dl
i
结论：（推广）静电场力做功，与路径无关.
第五章 静电场
WA q
E dl
A
物理意义： 把单位正试验电 荷从点A移到无限远 处时静电场力作的功.
q0 A EVpAA
B
EV pBB
E
第五章 静电场
14
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
电势差
B
U AB VA VB
E dl
A
将单位正电荷从A移到B时电场力作的功
电势，电势差的单位：伏特（V）
力所作的功.
第五章 静电场
9
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
10
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
11
物理学
第三版 2.电势
电场力的功
1-4 电势及其梯度
WAB
q0
E dl
AB
(EpB EpA )
令 VA EpA / q0 A点电势，VB EpB / q0 B点电势
5
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
6
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
B
C
q0( E dl E dl ) 0
ABC
CDA
DE
A
l E dl 0
结论：沿闭合路径一周， 静电场力是保守力
电场力作功为零.
静电场是保守场
第五章 静电场
7
物理学
第三版 二 电势差与电势
1-4 电势及其梯度
1.电场力做功与电势能
静电场是保守场， 静电场力是保守力. 静 电场力所做的功就等于 EpA 电荷电势能增量的负值. A
EpB B
E
WAB EpA EpB (EpB EpA )
电场力做正功，电势能减少.
W qq0 rB dr
4πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 )
4πε0 rA rB
1-4 电势及其梯度
B
rB
dr
dl
E
r
结论: W仅与q0的始末
er
q0
位置有关，与路径无关. q rA A
第五章 静电场
2
物理学
第三版
点电荷系
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
3
物理学
E
qr
er
第五章 静电场
17
物理学
第三版
5.电势的叠加原理
1-4 电势及其梯度
点电荷系
E Ei
i
VA
E dl
A
n
A Ei dl i 1 n 1
qi 4 π ε0ri
总电势等于各点电荷电 势代数和