抛物线的平移
抛物线的几何变换
抛物线的几何变换抛物线是一种常见的曲线形状，它在几何学中有着重要的应用。
通过对抛物线进行几何变换，我们可以得到一系列有趣的结果和应用。
本文将就抛物线的几何变换进行详细探讨。
我们来讨论抛物线的平移变换。
平移是指将图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离。
对于抛物线来说，平移变换可以使得抛物线在平面上的位置发生改变，但其形状和大小保持不变。
通过平移变换，我们可以将抛物线的顶点从原点移动到任意位置，从而得到不同位置的抛物线。
接下来，我们来探讨抛物线的缩放变换。
缩放是指改变图形的大小，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。
对于抛物线来说，缩放变换可以使得抛物线的形状变得更加扁平或者更加瘦长。
通过缩放变换，我们可以调整抛物线的曲率和尺寸，从而满足不同的需求。
除了平移和缩放变换，我们还可以对抛物线进行旋转变换。
旋转是指将图形绕着某个点或者某个轴进行旋转，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。
对于抛物线来说，旋转变换可以使得抛物线沿着顶点或者其他点进行旋转，从而改变抛物线的朝向和方向。
通过旋转变换，我们可以得到不同方向的抛物线，具有更多的应用场景。
我们还可以对抛物线进行镜像变换。
镜像是指通过某个直线将图形的各个部分对称翻转，使得图形的对称轴上的点保持不变。
对于抛物线来说，镜像变换可以使得抛物线关于某个直线对称，从而得到与原抛物线关于对称轴对称的抛物线。
通过镜像变换，我们可以得到一对关于对称轴对称的抛物线，具有更多的几何特性。
我们来谈论一下抛物线的平移、缩放、旋转和镜像的组合变换。
通过将这些变换结合起来，我们可以得到更加复杂的抛物线图形。
例如，我们可以先进行平移变换，将抛物线移动到指定位置，然后再进行缩放变换，调整抛物线的大小，最后进行旋转变换，改变抛物线的方向。
这样，我们可以得到一个全新的抛物线图形，具有丰富的几何特征。
抛物线的几何变换是一种有趣且实用的数学工具。
通过对抛物线进行平移、缩放、旋转和镜像变换，我们可以得到各种不同形状和特性的抛物线图形。
例析抛物线的平移
G 其 实 就 是 P N 关 于 点 Q 成 中 tl 对 称 根 据
,
，
，
对 称 性 可 设 字母 探究 以点
．
m
Ⅳ E
、
、
F
各 点 的坐 标
P
、
N
、
F
为顶 点 的 三 角 形 是 直 角 三 角
，
形 时 要 进 行 分 类 考 虑 三 个 角都 有 可 能 为 直 角
．
再 利 用 勾 股 定 理 确 定 其 中所 设 字 母
3
，
位 则 得 到抛 物线
，
y
*
(x
(z
一
^ ) 2+ 6
(z ^ ) + c
；
例
bx
2
+ c
1
y
=
a x
2
+
(2 ) 若 把 它 沿
轴 向左 平 移
=
h (h > O) 个 单
；
的 图 象 先 向右平 移
，
个 单位 再 向下 平 移
y ≈
。
位 则得 到抛 物 线
，
y
0
札
)
bx
。
+6
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m
，
一
位 则 得 到 抛 物线
，
y
z
a
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—
m
一
^)
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+ n ：
点的
．
(2 )若 把 它 沿
轴 向左 平 移
=
h (^ > 0
)个 单
横坐 标
0
抛物线
（二）抛物线在平面直角坐标系中的轴对称变换。抛物线在平面直角坐系中的轴对称变换主要有两种变换。即关于x轴对称的抛物线和关于y轴对称的抛物线变换。
其变换的一般规律是：抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线解析式为y=-ax2-bx-c。变化的实质是：只改变抛物线的开口方向，对称轴保持不变。
一、抛物线在平面直角坐标系中的平移、旋转、轴对称、中心对称变换
（一）抛物线在平面直角坐标系中的平移。我们知道，抛物线y=ax2+bx+c的形状（包括开口方向与开口大小）是由其二次项系数决定的，具体来说，a的符号决定了其开口方向。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，其开口越大。因此抛物线在平面直角坐标系中的平移，并不会改变抛物线的形状，即在平移过程中其开口方向与抛物线开口的大小保持不变。平移中改变的是抛物线在平面直角坐标系中的位置，即对称轴和顶点坐标的改变。其一般变化规律是：把抛物线y=ax2向左平移h个单位后其解析式为y=a（x+h）2，向右平移h个单位后其解析式为y=a(x-h)2，向上平移k个单位后其解析式是y=ax2+k，向下平移k个单位后其解析式是y=ax2-k。平移中解析式变化的实质是：左右平移时只要自变量x加减某个量即可，即抛物线上每个点的横坐标发生变化，纵坐标保持不变。上、下平移时抛物线上每个点的纵坐标发生改变，横坐标保持不变。
二、在知识探索中，认定归类整理的教学方法
由以上综述可知，抛物线在平面直角坐标系中的变换非常灵活。无论是抛物线在平面直角坐标系中的平移变换，轴对称变换，还是抛物线在平面直角坐标系中的旋转变换，中心对称变换，其形状和大小均保持不变。即归类整理就有头绪。只要我们在数学课堂教学中注意引导学生探索发现它们变化的一般规律，就能发现它们的奥妙所在，那么学生们在学习本单元内容时会充满兴趣。把本来比较枯燥难以理解掌握的抛物线在平面直角坐标系中的变换内容，变得生动有趣，使同学们对学好本单元内容充满自信，为我们提高数学课堂效率，大面积提为学生长远发展打好坚实基础。
抛物线平移规律
抛物线的平移实际上是抛物线顶点的平移，其它如开口方向、大小、现状都保持不变，也就是点的平移规律。
设顶点坐标为D﹙h，k﹚：
1、如果水平移动，即向左或向右平移，h进行加减，k不变。
2、如果竖直移动，即向上或向下平移，k进行加减，h不变。
3、如果斜线移动，即先左右后上下，或先上下后左右，这时候，顶点坐标的横、纵坐标h，k都要变，仍然是平移几个单位就加减几。
抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行光束，使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。
这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。
抛物线的平移与解析式
抛物线的平移与解析式Parabolas are a classic shape that appear frequently in nature and mathematics. They have a unique curved shape that can be translated, or shifted, across a coordinate plane. When a parabola is translated, it moves horizontally or vertically to a new location while maintaining the same shape. This process is important in geometry and algebra, as it allows us to explore the properties of parabolas in different positions.抛物线是一个经典的形状，在自然和数学中经常出现。
它们具有独特的曲线形状，可以在坐标平面上平移，或者移动。
当一个抛物线被平移时，它在水平或垂直方向上移动到一个新的位置，同时保持相同的形状。
这个过程在几何学和代数学中至关重要，因为它允许我们在不同位置探索抛物线的属性。
In mathematical terms, translating a parabola involves shifting its vertex and axis of symmetry to a new location. The vertex of a parabola is the point where its curve reaches a maximum or minimum value, and the axis of symmetry is the line that divides the parabola into two symmetrical halves. By translating a parabola, wecan change the values of the vertex and axis of symmetry, which affects the overall position and orientation of the curve.在数学术语中，平移抛物线涉及将其顶点和对称轴移动到一个新位置。
抛物线的平移规律
抛物线平移规律是指将抛物线沿着平移轴进行平移时，各点的坐标发生的变化规律。
设抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，x和y分别为点的水平坐标和垂直坐标。
当将抛物线沿水平方向平移h个单位，垂直方向平移k个单位后，新抛物线的方程为：y=a(x-h)^2+b(x-h)+c+k。
通过对比新旧抛物线的方程，可以发现平移前后的变化规律如下：
-抛物线在水平方向上平移h个单位，即将x的值都减去h；
-抛物线在垂直方向上平移k个单位，即将整个方程中的常数c加上k。
在抛物线平移过程中，各点沿平移轴的移动距离相等，这是因为平移是等距变换。
同时，平移不会改变抛物线的形状，只是将整个抛物线整体地移动到新的位置上。
需要注意的是，抛物线的平移规律适用于一般情况下的平移，即平移轴与抛物线不平行的情况。
若平移轴与抛物线平行，即垂直平移或水平平移，抛物线的规律可能有所不同。
在数学中，我们常常使用抛物线平移规律来研究抛物线的性质和方程的变化。
这种规律的应用广泛且重要，可以帮助我们深入理解抛物线的特点和相应的数学原理。
抛物线图像的平移
抛物线图像的平移
一、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2,平移的方法是
二、二次函数y=x 2+bx+c 的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数y=x 2-2x+1的图像，求b 与c
三、二次函数y=21x 2+3x+25的图像是由函数y=2
1x 2的图像怎样平移得到的
抛物线图像的平移
四、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2,平移的方法是
五、二次函数y=x 2+bx+c 的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数y=x 2-2x+1的图像，求b 与c
三、二次函数y=21x 2+3x+25的图像是由函数y=2
1x 2的图像怎样平移得到的
抛物线图像的平移
六、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2,平移的方法是
七、二次函数y=x 2+bx+c 的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数y=x 2-2x+1的图像，求b 与c
三、二次函数y=
21x 2+3x+25的图像是由函数y=21x 2的图像怎样平移得到的。
抛物线的旋转翻折和平移
抛物线的旋转翻折和平移一、抛物线的平移求抛物线（）沿坐标轴平移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式（），然后利用抛物线平移变换的有关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。
抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。
1. 简单的平移问题例1、将抛物线向右平移3个单位，再向上平移5个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
2. 平移后与已知线段相交例2、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在坐标平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点G的坐标；（3）在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？例3.如图1，已知△ABC为直角三角形，∠ACB，AC BC，点A、C在x轴上，点B的坐标为（3，m）（m>0），线段AB与y轴相较于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过B、D两点。
（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将（1）中的抛物线沿y轴向上平移k个单位，平移后的抛物线交线段BD于E、F两点，若EF BD，求k的值；例4.如图1，抛物线y a 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，抛物线的对称轴交抛物线于点D ，交轴于点E ，若AB 2DE 。
（1）求抛物线的解析式；（2）沿抛物线的对称轴向下平移抛物线，平移后的抛物线交后抛物线的解析线段BC 于F 、G 两点，若FG BC ，求平移式； 例5.抛物线交轴于两点，交轴于；且满足，若（1）求这个抛物线的解析式；（2）在轴上是否存在点，使得，若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由。
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90．（江西省、江西省南昌市）如图，已知经过原点的抛物线y ＝－2x
2＋4x 与x 轴的另一交
点为A ，现将它向右平移m （m ＞0）个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原
抛物线交于点P ．
（1）求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状（不要求说理）；
（2）在x 轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可
用含m 的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）设△PCD 的面积为S ，求S 关于m 的关系式．
161．（湖南省张家界市）如图，抛物线y ＝x
2－6x ＋8与x
轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的
左侧），直线y ＝
2
1
x ＋2交y 轴于点C ，且过点D （8，m ）．左右平移抛物线y ＝x
2－6x ＋8，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′． （1）求线段AB 、CD 的长；
（2）当抛物线向右平移到某个位置时，A ′D ＋B ′D 最小，试确定此时抛物线的表达式； （3）是否存在某个位置，使四边形A ′B ′DC 的周长最小？若存在，求出此时抛物线的表达式和四边形A ′B ′DC
116．（贵州省黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线x ＝2与
x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线y ＝x
2从点O 沿OA 方向平移，与直线x ＝2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．
（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ． ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短；
（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
119．（云南省曲靖市）如图，在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝x
2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x －h )2＋k ．所得抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求h 、k 的值；
（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；
（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM 与△ABC 相似．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
279．（福建省泉州市惠安县初中毕业班质量检查）如图，已知点A （－2，4）和点B （1，0）都在抛物线y ＝mx
2＋2mx ＋n 上． （1）求抛物线的解析式；
（2）向右平移抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，四边形AA ′B ′B
为菱形．
①求平移后抛物线的解析式；
②记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与ABC △
290．（福建省南平市）如图1，且与x 轴交于点A ，将△ABC 沿直线AB 折叠得到△ABD ． （1）填空：A 点坐标为（____，____），D 点坐标为（____，____）；
（2）若抛物线y ＝3
1
x
2＋bx ＋c 经过C 、D 两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y 轴向上平移，设平移后所得抛物线与y 轴交点为E ，点M 是平移后的抛物线与直线AB 的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线
EM ∥x 轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
【提示：抛物线y ＝ax
2
＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴是x ＝－a b 2，顶点坐标是（－a
b 2，a b a
c 442
）】
300．（福建省莆田市）如图1，在平面直角坐标系xO y 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正
半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝1，OC ＝2，点D 在边OC 上且OD ＝
4
5
． （1）求直线AC 的解析式；
（2）在y 轴上是否存在点P ，直线PD 与矩形对角线AC 交于点M ，使得△DMC 为等腰三
角形？若存在，直接写出．．．．所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线y ＝－x
2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D 和点E （点E 在y 轴正半轴上），且△ODE 沿DE 折叠后点O 落在边AB 上O ′
处？
332．（山东省滨州市）如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，3），以点C 为顶点的抛物线y ＝ax
2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A 、B 两点． （1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？
图1 备用图。