关于抛物线动态平移问题
2020年中考数学专题——运用平移规律求解抛物线相关问题
运用平移规律求解抛物线相关问题由二次函数的性质可知，抛物线2()y a x h k =-+(0a ≠)的图象是由抛物线2y ax =(0a ≠)的图象平移得到的.在平移时，a 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的h 或k 发生变化(图象的位置发生变化)。
平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿x 轴平移，上、下沿y 轴平移，即 2y ax =k −−−−→上下平移个单位2y ax k =+h −−−−→左右平移个单位2()y a x h k =-+.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，一、找平移方法例1 抛物线2245y x x =---是由抛物线224y x x =-+怎样平移得到的?分析 先将这两个抛物线的解析式都化为2()y a x h k =-+(0a ≠)的形式，得到各自的顶点坐标，再比较顶点坐标，并结合平移规律即可找到平移方法. 解 将抛物线2245y x x =---化为顶点式: 22(1)3y x =-+-，∴顶点坐标为(1,3)--.将抛物线224y x x =-+化为顶点式:22(1)2y x =--+∴顶点坐标为(1,2).由顶点(1,2)到(1,3)--可得，将抛物线22(1)2y x =--+向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线22(1)3y x =-+-，所以，抛物线2245y x x =---是由抛物线224y x x =-+向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到的.二、写平移后的解析式例2在平面直角坐标系中，如果抛物线211422y x x =-+不动，而把y 轴、x 轴分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，写出这个抛物线在新的坐标系中的解析式. 分析 先弄清楚抛物线的平移方向和单位，再将这个抛物线都化为2()y a x h k =-+(0a ≠)形式，利用平移规律，即可写出平移后的解析式，解 抛物线的解析式改写为21(1)2y x =-. 因为把y 轴、x 轴分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，所以实际上是把抛物线211422y x x =-+的图象向左平移3个单位，再向下平移1个单位. 先由“左加右减”的规律可知，抛物线21(1)2y x =-的图象向左平移3个单位所得 函数图象的解析式是2211(13)(2)22y x x =-+=+. 再由“上加下减”的规律可知，抛物线21(2)2y x =+的图象向下平移1个单位所得 函数图象的解析式是21(2)12y x =+-.所以，平移后的解析式为21(2)12y x =+-. 三、算待定字母的值例3 若抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到一条新的抛物线221y x x =-+，求b 和c 的值.分析 先将新的抛物线的解析式化为顶点式的形式，题中求原抛物线的解析式，可将新的图象逆向平移，即先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，就得到原来的抛物线.解 将抛物线221y x x =-+化为顶点式为2(1)y x =-.把它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线2(12)3y x =---，整理，得266y x x =-+，所以6b =-，6c =.四、求图形的面积例4 如图1，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,6)A ，(6,0)B ，(8,6)C ，若把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，求两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积(图1中阴影部分). 分析 先把点,,A B C 的坐标代入抛物线解析式2y ax bx c =++中，利用待定系数法求出解析式;再把抛物线解析式改写成顶点式，并写出顶点坐标;然后根据平移规律写出平移后抛物线的顶点坐标;最后利用“割补法”可将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积即可.解 抛物线2y ax bx c =++经过点(0,6)A ，(6,0)B ，(8,6)C ，∴636606486c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1246a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为21462y x x =-+21(4)22x =--， 其顶点坐标为(4,2)-.因为抛物线21462y x x =-+的顶点P 的坐标为(4,2)-，所以由平移规律可知，把抛物线向上平移2个单位，则抛物线顶点落在x 轴上，此时的顶点'P 的坐标为(4,0)，即'2PP =.设平移后抛物线与y 轴交于点'A ，连结''A P ，AP (如图2).由平移图形的性质，可知''//A P AP ，''A P AP =，所以四边形''A APP 是平行四边形.如图2，由“割补法”可得，阴影部分的面积=平行四边形''A APP 的面积=2×4=8. 五、探究存在问题例5 如图3所示，将抛物线沿1C ：2y =+沿x 轴翻折，得抛物线2C .(1)请直接写出抛物线2C 的表达式.(2)现将抛物线1C 向左平移(0)m m >个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为,A B ;将抛物线2C 向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为,D E .在平移过程中，是否存在以点,,,A N E M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在，请求出此时m 的值;若不存在，请说明理由.分析 (1)抛物线1C 与2C 关于x 轴对称，因此，它们的解析式中的各项系数及常数项均对应地互为相反数.(2)如图4，先利用方程求出抛物线1C 与x 轴的交点坐标，再求出其顶点坐标，然后根据平移规律，用含m 的代数式分别表示出点M 与N ，点A 与E 的坐标.连结,,,AN NE EM MA ，从而得到四边形ANEM 为平行四边形，再根据矩形的判定，即可求得m 的值.解 (1)抛物线2C 的解析式为2y =-.(2)存在以点,E M 为顶点的四边形是矩形的情形.理由如下:令20+=，解得11x =%，21x =-，所以原抛物线1C 与x 轴的交点坐标为(1,0)和(1,0)-，顶点坐标为。
例析抛物线的平移
G 其 实 就 是 P N 关 于 点 Q 成 中 tl 对 称 根 据
,
，
，
对 称 性 可 设 字母 探究 以点
．
m
Ⅳ E
、
、
F
各 点 的坐 标
P
、
N
、
F
为顶 点 的 三 角 形 是 直 角 三 角
，
形 时 要 进 行 分 类 考 虑 三 个 角都 有 可 能 为 直 角
．
再 利 用 勾 股 定 理 确 定 其 中所 设 字 母
3
，
位 则 得 到抛 物线
，
y
*
(x
(z
一
^ ) 2+ 6
(z ^ ) + c
；
例
bx
2
+ c
1
y
=
a x
2
+
(2 ) 若 把 它 沿
轴 向左 平 移
=
h (h > O) 个 单
；
的 图 象 先 向右平 移
，
个 单位 再 向下 平 移
y ≈
。
位 则得 到抛 物 线
，
y
0
札
)
bx
。
+6
(卅 ^ ) + c
m
，
一
位 则 得 到 抛 物线
，
y
z
a
(x (x (x
—
m
一
^)
。
+ n ：
点的
．
(2 )若 把 它 沿
轴 向左 平 移
=
h (^ > 0
)个 单
横坐 标
0
根据抛物线的平移规律解题
根据抛物线的平移规律解题山东 于秀坤有关抛物线平移的题型一般有两种情况：（1）已知抛物线关系式及要平移的单位和方向，求平移后所得的抛物线关系式；（2）已知原抛物线和经过平移后所得的抛物线，说明平移的方向和单位．解决这两类问题的关键是正确找出抛物线平移的规律．抛物线平移规律可由其顶点式2()y a x h k =-+中顶点坐标()h k ，来判断．当h 增大时．图象向右平移；当h 减小时，图象向左平移．当k 增大时，图象向上平移；当k 减小时，图象向下平移．反之，也成立．下面举例说明．一、已知抛物线的关系式求平移后所得抛物线的关系式 例1 将抛物线22y x =先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的关系式为________．析解：抛物线22y x =的顶点坐标为(00)，， 向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为(32)-，，所以所得抛物线的关系式为22(3)2y x =--． 例2 将抛物线23(1)3y x =---先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线关系式为_______．析解： 因为抛物线23(1)3y x =---的顶点坐标为(13)-，， 所以向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后所得抛物线的顶点坐标是(1235)--+，，即(12)-，，所以所得抛物线的关系式为23(1)2y x =-++．二、已知平移后的抛物线的关系式求原抛物线的关系式例3 将抛物线2()y a x h k =-+先向左平移5个单位，再向下平移4个单位后得抛物线为21(2)32y x =-+-，则原抛物线的关系式为_______． 析解：因为原抛物线的顶点坐标为()h k ，， 向左平移5个单位，再向下平移4个单位后所得抛物线的顶点坐标为(23)--，，由5243h k -=--=-，，得31h k ==，，所以原抛物线的顶点坐标为(31)，．所以原抛物线为21(3)12y x =--+． 三、已知平移前后抛物线的关系式，求平移的方式 例4 将抛物线22(2)5y x =---经过怎样的平移，可得抛物线22(4)3y x =-++？ 析解：因为抛物线22(2)5y x =---的顶点坐标为(25)-，，抛物线22(4)3y x =-++的顶点坐标为(43)-，，又因为426358-=-=-+，，所以将抛物线22(2)5y x =---向左平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度，可得抛物线22(4)3y x =-++．例5 已知抛物线223y x x =+-，如何平移此抛物线使其图象与抛物线247y x x =-+的图象完全重合．析解：首先通过配方，得2223(1)4y x x x =+-=+-，2247(2)3y x x x =-+=-+．所以平移前抛物线的顶点坐标为(14)--，，平移后抛物线的顶点坐标为(23)，．因为213=-+，347=-+，所以，只要将抛物线223y x x =+-向右平移3个单位长度，再向上平移7个单位长度，就可与抛物线247y x x =-+的图象完全重合．四、已知平移前的抛物线，求如何平移使其符合某些条件例 6 把抛物线22(1)y x =--向上平移k 个单位使其所得的抛物线经过点(210)--，．求k 的值．析解：设平移后的抛物线为22(1)y x k =--+，即2242y x x k =-++-．因为此抛物线经过点(210)--，，所以将210x y =-=-，代入关系式，得2102(2)4(2)2k -=-⨯-+⨯-+-，解得8k =．。
抛物线平移规律
抛物线的平移实际上是抛物线顶点的平移，其它如开口方向、大小、现状都保持不变，也就是点的平移规律。
设顶点坐标为D﹙h，k﹚：
1、如果水平移动，即向左或向右平移，h进行加减，k不变。
2、如果竖直移动，即向上或向下平移，k进行加减，h不变。
3、如果斜线移动，即先左右后上下，或先上下后左右，这时候，顶点坐标的横、纵坐标h，k都要变，仍然是平移几个单位就加减几。
抛物线具有这样的性质，如果它们由反射光的材料制成，则平行于抛物线的对称轴行进并撞击其凹面的光被反射到其焦点，而不管抛物线在哪里发生反射。
相反，从焦点处的点源产生的光被反射成平行光束，使抛物线平行于对称轴。
声音和其他形式的能量也会产生相同的效果。
这种反射性质是抛物线的许多实际应用的基础。
抛物线的平移
三、典例讲解
四、能力训练
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顶点从(0,0)移到了
y
(0,–2)，即x=0时， 5
y取最大值–2
4
3
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
• ∴∠MCH=∠EMD
• ∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分
• ∴ DE MD 得 DE 5…………11分
•
由(M2H)知
CM
AB10
∴⊙D的半径为5
• ∴直线CM与⊙D相切 …………12分
小结：各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x – h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解 析式；
• （3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆 心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
解: （1）由 y 1 x2 3 x
42
得
x b 3 2a
1分
∴Ｄ（3.０）2分
（2）方法一:
• 如图1, 设平移后的抛物线的解析式为
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。
1．(12分)如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2－5的顶点为P， 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1． (1)求P点坐标及a的值； (2)如图(1)，抛物线C2与抛物线C1关 于x轴对称，将抛物线C2向右平移， 平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为 M，当点P、M关于点B成中心对称时， 求C3的解析式；
抛物线的平移与解析式
抛物线的平移与解析式Parabolas are a classic shape that appear frequently in nature and mathematics. They have a unique curved shape that can be translated, or shifted, across a coordinate plane. When a parabola is translated, it moves horizontally or vertically to a new location while maintaining the same shape. This process is important in geometry and algebra, as it allows us to explore the properties of parabolas in different positions.抛物线是一个经典的形状，在自然和数学中经常出现。
它们具有独特的曲线形状，可以在坐标平面上平移，或者移动。
当一个抛物线被平移时，它在水平或垂直方向上移动到一个新的位置，同时保持相同的形状。
这个过程在几何学和代数学中至关重要，因为它允许我们在不同位置探索抛物线的属性。
In mathematical terms, translating a parabola involves shifting its vertex and axis of symmetry to a new location. The vertex of a parabola is the point where its curve reaches a maximum or minimum value, and the axis of symmetry is the line that divides the parabola into two symmetrical halves. By translating a parabola, wecan change the values of the vertex and axis of symmetry, which affects the overall position and orientation of the curve.在数学术语中，平移抛物线涉及将其顶点和对称轴移动到一个新位置。
抛物线的平移规律
抛物线平移规律是指将抛物线沿着平移轴进行平移时，各点的坐标发生的变化规律。
设抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，x和y分别为点的水平坐标和垂直坐标。
当将抛物线沿水平方向平移h个单位，垂直方向平移k个单位后，新抛物线的方程为：y=a(x-h)^2+b(x-h)+c+k。
通过对比新旧抛物线的方程，可以发现平移前后的变化规律如下：
-抛物线在水平方向上平移h个单位，即将x的值都减去h；
-抛物线在垂直方向上平移k个单位，即将整个方程中的常数c加上k。
在抛物线平移过程中，各点沿平移轴的移动距离相等，这是因为平移是等距变换。
同时，平移不会改变抛物线的形状，只是将整个抛物线整体地移动到新的位置上。
需要注意的是，抛物线的平移规律适用于一般情况下的平移，即平移轴与抛物线不平行的情况。
若平移轴与抛物线平行，即垂直平移或水平平移，抛物线的规律可能有所不同。
在数学中，我们常常使用抛物线平移规律来研究抛物线的性质和方程的变化。
这种规律的应用广泛且重要，可以帮助我们深入理解抛物线的特点和相应的数学原理。
专题二十 抛物线的平移
专题二十 抛物线的平移、翻折与旋转问题知识聚焦类似平面几何，在直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换，抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生了改变．解与此相关问题的关键是确定变换后顶点坐标及开口方向． 例题导航【例1】 把二次函数2)3(21+-=x y 的图象经过翻折、平移得到二次函数2)3(21-=x y 的图象，下列对此过程描述正确的是( ) A ．先沿y 轴翻折，再向下平移6个单位长度 B ．先沿y 轴翻折，再向左平移6个单位长度 C ．先沿x 轴翻折，再向左平移6个单位长度 D ．先沿x 轴翻折，再向右平移6个单位长度点拨：两个函数图象的开口方向相反，需先将原函数图象沿z 轴翻折，然后根据“左加右减，上加下减”的规律将函数图象进行平移．解答：二次函数2)3(21+-=x y 的图象沿x 轴翻折，得到2)3(21+=x y 的图象，再向右平移6个单位长度，得到2)3(21-=x y 的图象，故选D ．点评：本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移前的函数解析式和平移后的函数解析式，逆用平移规律“左加右减，上加下减”即可得解，【例2】 已知抛物线c bx ax y C +=+21:经过点A （-1，0）、B(3，0)、C （0，-3）． (1)求抛物线1C 的解析式；(2)将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点？荠写出抛物线2C 的解析式；(3)把抛物线1C 绕点A （-1，O ）旋转,180o 写出所得抛物线3C 的顶点D 的坐标.点拨：(1)根据c bx axy ++=2经过点A(-l,0)、)3,0()0,3(-C B 、列出三元一次方程组，解出c b a 、、的值；(2)求出原抛物线解析式的顶点式，然后运用平移知识解答；(3)根据旋转的知识，求出点D 的坐标．解答：(1)Θ抛物线cbx ax y ++=2经过点),3,0()0,3()0,1(--C B A 、、⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-∴.3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=∴-==.3,2,1c b a 所求抛物线1C 的解析式为=y .322--x x (2)抛物线1C 的解析式为,4)1(2--=x y 如图，抛物线1C 向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线2C 经过坐标原点，所求抛物线2C 的解析式为.44)31(22x x x y +=-+-=(3)如图，点D 的坐标为(-3，4).点评：本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式和图象的变换等知识点，根据题目条件求出函数解析式是解答本题的关键，此题难度不是很大．【例3】将抛物线33:21+-=x y C 沿x 轴翻折，得抛物线,2C 如图①所示．(1)请直接写出抛物线2C 的解析式；(2)现将抛物线1C 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为,M 与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线2C 向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为,N 与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．点拨：(1)根据翻折的性质可求抛物线2C 的解析式；(2)①求出抛物线1C 与x 轴的两个交点坐标，分当AE AD 31=和AE AB 31=时两种情况讨论求解；②存在，连接,、、、MA EM NE AN 根据矩形的判定即可得出．解答：.33)1(2-=x y (2)①令,0332=+-x 得,1,121=-=x x 则抛物线1C 与x 轴的两个交点坐标为、)0,1(-).0,1(),0,1().0,1(m B m A ---∴同理可得)0,1(),0,1(m E m D ++-，如图②．当E AD 31=时，)],1()1[(31)1()1(m m m m ---+=---+-⋅=∴21m 当AE AB 31=时，=----)1()1(m m .2)],1()1[(31=∴---+m m m 故当B 、D 是线段AE 的三等分点时，21=m 或.2=m②存在．理由：如图③，连接AN 、NE 、EM 、MA ．依题意可得、M m N m M ∴--).3,(),3,(N 关于原点0对称，,1.m A ON OM --<=∴ΘE A m E 、∴+),0,1(),0关于原点0对称，=∴OA ∴.OE 四边形ANEM 为平行四边形．=2ME Θ+++==+++-2222)1(,4)3(.)1(m m ME m m+=⋅+-++=++=22224)11(,444)3(m m m h m m &,若,48222AE ME AM m =++则+++m m 4442,1,48442=∴++=m m m 此时△AME 是直角三角形，且∴=∠.90οAME 当1=m 时，以点、、N A E 、M 为顶点的四边形是矩形．点评：本题是二次函数的综合题型，考查了翻折的性质及平行四边形和矩形的判定，注意分析题意分情况讨论结果，【例4】 已知关于x 的一元二次方程+22x 014=-+k x 有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数1.422-++=k x x y 的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)(.21k b b x y <+=与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．点拨：(1)综合根的判别式及k 的要求求出k 的取值；(2)对是的取值一一进行验证，求出符合要求的k 值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；(3)求出新抛物线与x 轴的交点坐标，再分别求出直线b x y +=.21经过点A 、B 时的b 的取值，进而求出其取值范围．本题第(2)问是难点，主要困难可能是不会借助计算淘汰不合题意的k 值．解答：(1)由题意，得,0)1(816≥--=∆k k k Θ.3≤∴为正整数，.3,2,1=∴k(2)设方程01422=-++k x x 的两根为、1x ,2x 则⋅-=-=+21.,22121k x x x x 当1=k 时，方程01422=-++k x x 有一个根为零；当2=k 时，,2121=⋅x x 方程01.4.22=-++k x x 没有两个非零整数根；当3=k 时，方程01422=-++k x x 有两个相同的非零实数根=1．综上所述，1=k 和=k 2不合题意，舍去，3=k 符合题意，当3=k 时，二次函数为,2422++=x x y 把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为.6422,-+=x xy (3)设二次函数6422-+=x x y 的图象与x .轴交于A 、B 两点，则).0,1(),0.3(B A --依题意翻折后的图象如图所示，当直线b x y +=21经过点A 时，可得;23=b 当直线b x y +=21经过点B 时，可得⋅-=21b 由图象可知，符合题意的)3(<b b 的取值范围为⋅<<-2321b点评：本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考查了与一次函数的结合等问题，本题较为新颖，难度不大，综合性强，考查面广，是一个趋势和热点，【例5】(2013．莆田)如图①，抛物线+=2ax y c bx +的开口向下，与x 轴交于点A （-3，O ）和点B(l ，0)，与y 轴交于点C ，顶点为D. (1)求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；(2)若△ACD 的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P ，且解析式.,DAC PAB ∠=∠求平移后抛物线的点拨：(1)已知抛物线与x 轴的两交点的横坐标分别是-3和1，可设抛物线的解析式为=y ),1)(.3(-+x x a 再配方为顶点式，可确定顶点坐标；(2)①设AC 与抛物线对称轴的交点为E ，先运用待定系数法求出直线AC 的解析式，求出点E 的坐标，即可得到DE 的长，然后由⨯⨯=∆DE S ACD 21OA 列出方程，解方程求出a 的值，即可确定抛物线的解析式；②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD 中,90oACD =∠利用三角函数求出⋅=∠31tan DAC 设抛物线+-=+--=x x x y (3224)12+向右平移后的抛物线解析式为+-=x y (,4)2+m 两条抛物线交于点P ，直线AP 与y 轴交于点F ．根据正切函数的定义求出.1=OF 分两种情况进行讨论：(I)如图③，点F 的坐标为(0，1)；(Ⅱ)如图④，点F 的坐标为（O ，-1）．针对这两种情况，都可以先求出点P 的坐标，再得出m 的值，进而求出平移后抛物线的解析式．解答：(1)Θ抛物线C bx ax y ++=2与x 轴交于点A(-3，0)和点⋅),.0,1(B 抛物线解析式为+=-+=-+<=x a y a ax ax x x a y (.32)1)(32Θ∴-+=-+=-,4)1()32()1)(322a x a x x a x 顶点D 的坐标为).4,1(a --(2)①如图②，设AC 与抛物线对称轴的交点为E ．Θ抛物线a ax axy 322-+=与y 轴交于点∴,C 点C 的坐标为).3,0(a -设直线AC 的解析式为,t kx y +=则⎩⎨⎧-==+-.3,03a t t k 解得⎩⎨⎧-=∴-=.3,a t a k 直线AC的解析式为∴--=.3a ax y 点E的坐标为.2)2(4).2,1(a a a DE a -=---=∴--⨯=⨯⨯=+=∆∆∆2121OA DE S S S ADE CDE ACD ,33.33)2(=-∴-=⨯-a a a 解得∴-=.1a 抛物线的解析式为.322+--=x x y ∴+--=⋅,32.2x x y Θ②顶点D 的坐标为),4,1(-点C 的坐标为(O ，3)．),0,3(-A Θ--==-++-=∴1(,20)04()31(2222CD AD.18)03()30(,2)34()022222=-++==-+AC =∠∴=∠∴+=∴DAC ACD AC CD AD tan .90222ο=∠∴∠=∠⋅==PAB DAC PAB ACCD tan ,31182Θ⋅=∠31tan DAC 如图③，设抛物线=---=3;22x x y 4)1(2++-x 向右平移后的抛物线解析式为=y ,4)(2++-m x 两条抛物线交于点P ，直线AP 与y 轴交于点,3130tan .===∠F OA OF PAB F Θ,1=∴OF 则F 点的坐标为(0，】)或(0，-1)．分两种情况：(I)如图③，当点F 的坐标为(0，1)时，易求直线AF 的解析式为.131+=x y 由⎪⎩⎪⎨⎧+--=+=,32,1312x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==911,3211y x 或⎩⎨⎧=-=0,322y x （舍去）．∴点P 的坐标为⋅)911,32(将点P 的坐标)911,32(代入,4)(2++-=m x y 得=911.4)32(2++-m 解得1,3721=-=m m （舍去），∴平移后抛物线的解析式为.4)37(2+--=x y(Ⅱ)如图④，当点F 的坐标为（0，-1）时，易求直线AF 的解析式为.131--=x y 由⎪⎩⎪⎨⎧+--=--=,32,1312x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==913,3411y x 或⎩⎨⎧=-=0322y x （舍去）．∴点P 的坐标为⋅-)913,34(将点P 坐标)913,34(-代人,4)(2++-=m x y 得=-913,4)34(2++-m 解得1,31121=-=m m （舍去），∴平移后抛物线的解析式为.4)311(2+--=x y 综上可知，平移后抛物线的解析式为=y 4)37(2+--x 或.4)311(2+--=x y点评：此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理的逆定理、三角函数的定义、三角形的面积、两函数交点坐标的求法、函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．◎培优训练能力达标1．（2013．恩施）把抛物线1212-=x y 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )3)1(21.2-+=x y A 3)1(.21.2--=x y B1)1(21.2++=x y C1)1(21.2+-=x y D2．如图，将抛物线342:2+-=x xy C 沿直线=y 1-翻折得到抛物线,C '则抛物线C '的解析式为( )542.2---=x x y A 342.2++-=x x y B521.2-+-=x x y C3)1(2.2---=x y D3．将二次函数1)1(22---=x y 的图象先向右平移1个单位长度，再沿x 轴翻折到第一象限，然后向右平移1个单位长度，再沿y 轴翻折到第二象限……依此类推，如果把向右平移1个单位长度再沿坐标轴翻折一次记作1次变换，那么二次函数1)1(22---=x y 的图象经过2 013次变换后，得到的图象的函数解析式为( )1)2(2.2+-=x y A 1)3(2.2++=x y B 1)2(2.2-+-=x y C 1)1(2.2---=x y D4．（2013．大连）如图，抛物线292++=bx x y 与y 轴相交于点A ，与过点A 且平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为=y .5．已知抛物线221)2(:2211+++-=m x m x y C 与n mx x y C ++=2:222具有下面的特征：①都与x 轴有交点；②与y 轴相交于同一点． (1)求n m 、的值；(2)试写出当x 为何值时，;21y y >(3)试描述抛物线1C 通过怎样的变换得到抛物线⋅2C6．（2013．邵阳）如图，将二次函数x x y 422--=的图象E 向右平移两个单位长度后得到图象F ．(1)求图象F 所表示的抛物线的解析式；(2)设抛物线F 和x 轴相交于点0、B （点B 位于点0的右侧），顶点为C ，点A 位于y 轴负半轴上，且到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离的2倍，求AB 所在直线的解析式．7．如图，抛物线5)2(:21-+=x a y C 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的横坐标是1． (1)求a 的值；(2)如图，抛物线2C 与抛物线、1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为,3C 抛物线3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点0成中心对称时，求抛物线3C 的解析式．8．（2013．眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在x 轴上，点C 、D 在y 轴上，且,3==OC OB ,1==OD OA 抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 经过A 、B 、C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点M ．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为抛物线上一动点，E 为直线AD 上一动点，是否存在点P ，使以点A 、P 、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请直接写出将该抛物线沿射线AD 方向平移√2个单位长度后得到的抛物线的解析式，拓展提升9．（2013．聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得到抛物线,2212x x y -=其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．1610．（2012．陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移m 个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．611.（2013．宜宾）如图，抛物线121-=x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ，将此抛物线向右平移4个单位长度得抛物线,2y 两条抛物线相交于点C ．(1)请直接写出抛物线2y 的解析式；(2)若点P 是x 轴上一动点，且满足=∠CPA ,OBA ∠求出所有满足条件的点P 的坐标；(3)在第四象限内抛物线2y 上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．12．（2012．黄石）已知抛物线1C 的函数解析式为),0(32<-+=b a bx ax y 若抛物线1C 经过点),3,0(-方程032=-+a bx ax 的两根为、1x ,2x 且.4||21=-x x (1)求抛物线1C 的顶点坐标；(2)已知实数,0>x 请证明,21≥+x x 并说明x 为何值时才会有;21=+xx (3)若将抛物线先向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到抛物线,2C 设),(),(21y n B y m A 、是2C 上的两个不同点，且满足⋅<>=∠0,0,90n m AOB ο请你用含m 的式子表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时直线OA 的函数解析式[参考公式：在平面直角坐标系中，若,),(211x Q y x P <、),2y 则 P 、Q 两’点间的距离为⋅-+-])(）（21212y y x x13．（2013．株洲）已知抛物线1C 的顶点为P(l ，0)，且过点⋅)41,0(将抛物线1C 向下平移一个单位长度)0(>h 得到抛物线⋅2C 一条平行于x 轴的直线与两条抛物线交于A 、B 、C 、D 四点（如图），且点A 、C 关于y 轴对称，直线AB 与x 轴的距离是).0(2>m m(1)求抛物线1C 的解析式的一般形式；(2)当2=m 时，求h 的值；(3)若抛物线1C 的对称轴与直线AB 交于点E ，与抛物线2C 交于点F ．求证：-∠EDF tan ⋅=∠21tan ECP◎魔法赛场【例】 如图①，已知点B(l ，3)，C(l ，O)，直线k x y +=经过点B ，且与z 轴交于点A ，将△ABC 沿直线AB 折叠得到△ABD．(1)写出点A 、D 的坐标；(2)若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式； (3)将(2)中的抛物线沿y 轴向上平移，设平移后所得抛物线与y 轴的交点为E ，M 是平移后的抛物线与直线AB 的一个公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线x EM //轴？若存在，此时抛物线向上平移了几个单位长度？若不存在，请说明理由，点拨：(1)A 、D 两点的坐标可由图象看出；(2)抛物线c bx x y ++=231经过C(1，0)、D （-2,3)，将两点坐标代入解析式，解得6、c ；(3)当点M 在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当 M 、E 重合时，它们的纵坐标相等，故知道EM 不会与x 轴平行，设抛物线向上平移h 个单位长度能使x EM //轴，写出平移后的解析式，根据抛物线的对称性，可知点M 的坐标为)31,2(h +时，直线//EM x 轴，将点M 代入直线,2+=x y 解得.h 解答：).3,2(),0,2()1(--D A Θ)2(抛物线c bx x y ++=231经过C(l ，0)、D(-2，3)，将C 、D 两点的坐标代人解析式，解得∴⋅=-=31,32c b 所求抛物线的解析式为=y ⋅+-3132312x x (3)存在．如图②，Θ当点M 在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M 、E 重合时，它们的纵坐标相等．∴EM 不会与x 轴平行；当点M 在抛物线的右侧时，设抛物线向上平移一个单位长度能使x FM //轴，则平移后抛物线的解析式为=y ∴+-,)1(312h x 抛物线与y 轴的交点为⋅+)31,0(h E 根据抛物线的对称性，可知当点M 的坐标为)31,2(h +时，直线x EM //轴，将)31,2(h +代人,2+=x y 得,2231+=+h 解得=h ∴.311抛线向上平移311个单位长度能使//EM x 轴．点评：本题是二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式，考查平移等知识点，本题步骤有点多，做题时要细心，思考题如图，抛物线c bx x y ++=2过点A(3，O)和原点0．正方形BCDE 的顶点B 在抛物线+=2x y c bx +上，且在对称轴的左侧，点C 、D 在x 轴上，点E 在第四象限，且.1=OD(1)求这条抛物线的解析式；(2)求正方形BCDE 的边长；(3)若正方形BCDE 沿x 轴向右平移，当正方形的顶点落在抛物线c bx x y ++=2上时，求平移的距离；(4)若抛物线c bx x y ++=2沿射线BD 方向平移，使抛物线的顶点P 落在x 轴上，求抛物线沿BD 平移的距离．。
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y
A
P
自
O
Bx
主
预
学
2、如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B。抛物线 y=- 1 3
（x-m）²+n 的顶点 P 在直线 y=-x+4 上，与 y 轴交于点 C(点 P，C 不与点 B 重合)，以 BC 为
边作矩形 BCDE，且 CD=2，点 P、D 在 y 轴同侧。
合
作
y
探
E
B
究
P
C
D
O
A
x
3 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x²-2mx+m²+ 4 m 的顶点为 A,与 y 轴交与点 B. 3
当抛物线不经过坐标原点时，分别做点 A、B 关于原点的对称点 C、D，连结 AB、BC、CD、 DA。 （1）分别用含有 m 的代数式表示点 A、B 的坐标。 （2）判断点 B 能否落在 y 轴的负半轴上，并说明理由。 （3）连结 AC，设 L=AC+BD，求 L 与 m 之间的函数关系式。
（1）n=
（用含 m 的代数式表示），
点 C 的纵坐标是
（用含 m 的代数式表示）；
（2）当点 P 在矩形 BCDE 的边 DE 上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式；
（3）设矩形 BCDE 的周长为 d（d＞0），求 d 与 m 之间的函数关系式；
（ 4 ） 直 接 写 出 矩 形 BCDE 有 两 个 顶 点 落 在 抛 物 线 上 时 m 的 值
y
应
B
用
拓
C
展
O
x
A D
课 后 反 思
农安五中（九年级）数学学科“五步”导学生本课堂教学导学案
课题 关于抛物线动态平移问题
课时 课型
1 复习
设计者 王永 备课时间 使用时间
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
周 节
1、学会抛物线沿直线平移的规律
目 学习目标
标
2、应用抛物线沿直线平移的规律解决问题
导
重点
学
探索抛物线沿直线平移的规律
难点
应用抛物线沿直线平移的规律解决问题
1.如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为（6,6）、（6,0）。抛物线 y=-(x-m)²+n 的顶点 P 在折线 OA-AB 上运动。 （1）当点 P 在线段 OA 上运动时，抛物线 y=-(x-m)²+n 与 y 轴交点坐标为（0，c）. ①用含 m 的的代数式 n。 ②求 c 的取值范围。 （2）当抛物线 y=-(x-m)²+n 经过点 B 时，求抛物线所对应的函数表达式。 （3）当抛物线与△ABO 的边有三个公共点时，直接写出点 P 的坐标。