抛物线平移变换习题
2020年中考数学专题——运用平移规律求解抛物线相关问题
运用平移规律求解抛物线相关问题由二次函数的性质可知，抛物线2()y a x h k =-+(0a ≠)的图象是由抛物线2y ax =(0a ≠)的图象平移得到的.在平移时，a 不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的h 或k 发生变化(图象的位置发生变化)。
平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿x 轴平移，上、下沿y 轴平移，即 2y ax =k −−−−→上下平移个单位2y ax k =+h −−−−→左右平移个单位2()y a x h k =-+.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，一、找平移方法例1 抛物线2245y x x =---是由抛物线224y x x =-+怎样平移得到的?分析 先将这两个抛物线的解析式都化为2()y a x h k =-+(0a ≠)的形式，得到各自的顶点坐标，再比较顶点坐标，并结合平移规律即可找到平移方法. 解 将抛物线2245y x x =---化为顶点式: 22(1)3y x =-+-，∴顶点坐标为(1,3)--.将抛物线224y x x =-+化为顶点式:22(1)2y x =--+∴顶点坐标为(1,2).由顶点(1,2)到(1,3)--可得，将抛物线22(1)2y x =--+向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线22(1)3y x =-+-，所以，抛物线2245y x x =---是由抛物线224y x x =-+向左平移2个单位，再向下平移5个单位得到的.二、写平移后的解析式例2在平面直角坐标系中，如果抛物线211422y x x =-+不动，而把y 轴、x 轴分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，写出这个抛物线在新的坐标系中的解析式. 分析 先弄清楚抛物线的平移方向和单位，再将这个抛物线都化为2()y a x h k =-+(0a ≠)形式，利用平移规律，即可写出平移后的解析式，解 抛物线的解析式改写为21(1)2y x =-. 因为把y 轴、x 轴分别向右平移3个单位、再向上平移1个单位，所以实际上是把抛物线211422y x x =-+的图象向左平移3个单位，再向下平移1个单位. 先由“左加右减”的规律可知，抛物线21(1)2y x =-的图象向左平移3个单位所得 函数图象的解析式是2211(13)(2)22y x x =-+=+. 再由“上加下减”的规律可知，抛物线21(2)2y x =+的图象向下平移1个单位所得 函数图象的解析式是21(2)12y x =+-.所以，平移后的解析式为21(2)12y x =+-. 三、算待定字母的值例3 若抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到一条新的抛物线221y x x =-+，求b 和c 的值.分析 先将新的抛物线的解析式化为顶点式的形式，题中求原抛物线的解析式，可将新的图象逆向平移，即先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，就得到原来的抛物线.解 将抛物线221y x x =-+化为顶点式为2(1)y x =-.把它先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线2(12)3y x =---，整理，得266y x x =-+，所以6b =-，6c =.四、求图形的面积例4 如图1，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,6)A ，(6,0)B ，(8,6)C ，若把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，求两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积(图1中阴影部分). 分析 先把点,,A B C 的坐标代入抛物线解析式2y ax bx c =++中，利用待定系数法求出解析式;再把抛物线解析式改写成顶点式，并写出顶点坐标;然后根据平移规律写出平移后抛物线的顶点坐标;最后利用“割补法”可将阴影部分的面积转化为平行四边形的面积即可.解 抛物线2y ax bx c =++经过点(0,6)A ，(6,0)B ，(8,6)C ，∴636606486c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得1246a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为21462y x x =-+21(4)22x =--， 其顶点坐标为(4,2)-.因为抛物线21462y x x =-+的顶点P 的坐标为(4,2)-，所以由平移规律可知，把抛物线向上平移2个单位，则抛物线顶点落在x 轴上，此时的顶点'P 的坐标为(4,0)，即'2PP =.设平移后抛物线与y 轴交于点'A ，连结''A P ，AP (如图2).由平移图形的性质，可知''//A P AP ，''A P AP =，所以四边形''A APP 是平行四边形.如图2，由“割补法”可得，阴影部分的面积=平行四边形''A APP 的面积=2×4=8. 五、探究存在问题例5 如图3所示，将抛物线沿1C ：2y =+沿x 轴翻折，得抛物线2C .(1)请直接写出抛物线2C 的表达式.(2)现将抛物线1C 向左平移(0)m m >个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为,A B ;将抛物线2C 向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为,D E .在平移过程中，是否存在以点,,,A N E M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在，请求出此时m 的值;若不存在，请说明理由.分析 (1)抛物线1C 与2C 关于x 轴对称，因此，它们的解析式中的各项系数及常数项均对应地互为相反数.(2)如图4，先利用方程求出抛物线1C 与x 轴的交点坐标，再求出其顶点坐标，然后根据平移规律，用含m 的代数式分别表示出点M 与N ，点A 与E 的坐标.连结,,,AN NE EM MA ，从而得到四边形ANEM 为平行四边形，再根据矩形的判定，即可求得m 的值.解 (1)抛物线2C 的解析式为2y =-.(2)存在以点,E M 为顶点的四边形是矩形的情形.理由如下:令20+=，解得11x =%，21x =-，所以原抛物线1C 与x 轴的交点坐标为(1,0)和(1,0)-，顶点坐标为。
抛物线的图形变化
查询，编制一两道关于抛物线变 换的问题
y
旋转变换 抛物线的旋转
y
=2(x+2)2
-1
P1 (2, 1)
x
转 化
点的旋转
P (-2,-1)
y
=-2(x+2)2 -1
ห้องสมุดไป่ตู้
y =-2(x-2)2 +1
y=a（x+m）2+k 平移变换
轴对称变换
a 不变
顶点（－m，k） 变
（－m，－k） （m，k） （－m，k） （m，－k）
x轴 y轴
绕顶点 （1800） 绕原点 （1800）
则平移后的抛物线
再向上平移1个单位 _____________________________
经过原点
3.已知二次函数 y = x2 2x 3 .
D
y
(0,3)
x
(0,-3)
4.已知二次函数 y=2（x+3）2－1 .
(1) 将图象绕原点旋转 180°后得到的函数图 y=－2（x-3）2+1 象的解析式为______________. (2)将图象绕点（0,1）旋转180°后得到的函 y=2（x-3）2+3 数图象的解析式为______________.
y
平移变换 抛物线的平移
y =2(x+2)2 -1
y =2(x-3)2 -1
x
转 化
点的平移
P (-2,-1)
(3,-1)
y
轴对称变换 抛物线的轴对称
y
=2(x+2)2
-1
(-2,1)
P1
y =2(x-2)2 -1
x
二次函数典型例题——平移
二次函数典型例题——平移1、如图，把抛物线2y x =沿直线y x =平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ C ）A ．2(1)2y x =+-B ．2(1)2y x =-+C ．2(1)1y x =-+D ．2(1)1y x =+-2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=-x 2-（m-1）x+m 2-6交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B （0，3），顶点C 位于第二象限，连接AB ，AC ，BC ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 是y 轴正半轴上一点，且在B 点上方，若∠DCB=∠CAB ，请你猜想并证明CD 与AC 的位置关系；（3）设与△AOB 重合的△EFG 从△AOB 的位置出发，沿x 轴负方向平移t 个单位长度（0＜t≤3）时，△EFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式． 解：（1）因为抛物线22(1)6y x m x m =---+-与y 轴交于点B （0,3） 所以263m -=，解得3m =±因为抛物线的顶点在第二象限，所以3m = 所以抛物线的解析式为223y x x =--+由△AGN ∽△KFN ，得AG PN KF MN =，即332t PNPN t =--，解得PN=2t ，则221113=33(3)232222FGE QAE AGN S S S S t t t t t ∆∆∆--=⨯⨯---⨯=-+阴影3、.已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m 取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）． 解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+ =2441m m ++ =2(21)m +∵2(21)m +≥0，∴无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根.（2）解关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=，得1231,= x m x m =+. 由题意得312,317,7. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 解得173m <<.（3）符合题意的n 的取值范围是91544n <<.如图，二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象与一次函数b x y +=2的图象交于)10(，A ，B 两点. C）（0,1为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的解析式；（2）定义函数f ：“当自变量x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1或y 2，若y 1≠y 2，函数f 的函数值等于y 1、y 2中的较小值;若y 1=y 2，函数f 的函数值等于y 1（或y 2）.”当直线213-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点时，求k 的值.解：（1）设抛物线解析式为2)1(-=x a y ，由抛物线过点)10(，A ，可得122+-=x x y …………2分 （2）可得)4,3(B直线21-=kx y （k >0）与函数f 的图象只有两个交点共有三种情况： ①直线21-=kx y 与直线AB ：1+=x y 平行，此时1=k ；…3分②直线21-=kx y 过点)4,3(B ，此时23=k ； ………………4分③直线21-=kx y 与二次函数122+-=x x y 的图象只有一个交点， 此时有⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=.12212x x y kx y ， 得21122-=+-kx x x , 由,0=∆可得)(26,2-621舍--==k k .…………5分综上：1=k ，23=k ，2-6=k已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．已知：二次函数2314y x mx m =-++（m 为常数）．（1）若这个二次函数的图象与x 轴只有一个公共点A ，且A 点在x 轴的正半轴上． ①求m 的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2） 当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．解：（1）①∵ 二次函数2314y x mx m =-++的图象与x 轴只有一个公共点A ，∴ ∆2341(1)04m m =-⨯⨯+=．整理，得2340m m --=．解得，14m =，21m =-． 又点A 在x 轴的正半轴上， ∴ 0m >． ∴ m =4．②由①得点A 的坐标为(20)，．∵ 四边形AOBC 是正方形，点B 在y 轴的负半轴上， ∴ 点B 的坐标为(02)-，，点C 的坐标为(22)-，．设平移后的图象对应的函数解析式为2y x bx c =++(b ，c 为常数)． ∴ 2,42 2.c b c =-⎧⎨++=-⎩解得2,2.b c =-⎧⎨=-⎩∴平移后的图象对应的函数解析式为222y x x =--（２）函数2314y x mx m =-++的图象是顶点为23(,1)244m m m -++，且开口向上的抛物线．分三种情况：(ⅰ)当02m<，即0m <时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而增大，此时函数的最小值为314m +；(ⅱ)当0≤2m≤2，即0≤m ≤4时，函数的最小值为23144m m -++；(ⅲ)当22m>，即4m >时，函数在0≤x ≤2内y 随x 的增大而减小，此时函数的最小值为554m -+．综上，当0m <时，函数2314y x mx m =-++的最小值为314m +；当04m ≤≤时，函数2314y x mx m =-++的最小值为23144m m -++；当4m >时，函数2314y x mx m =-++的最小值为554m -+（朝阳一模）27．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3.（1）求a 的值及M 2的表达式；（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF.①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围（直接写出结果）.解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M 2的表达式为x x y 2-2=. …………3分（2）①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ，∴2=4+n .解得n =－2. ………………………5分② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分已知关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=. （1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m 的取值范围；（3）抛物线22(41)3y x m x m m =-+++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．解：(1)证明： Δ=[]22(41)4(3)m m m -+-+=2441m m ++=2(21)m +∵2(21)m +≥0，∴无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根.（2）解关于x 的一元二次方程22(41)30x m x m m -+++=，得1231,= x m x m =+. 由题意得312,317,7. 2.m m m m +>+>⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 解得173m <<. （3）符合题意的n 的取值范围是91544n <<.（海淀一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）． ∵2211(232)212y x x x -+==+-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）．又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+．∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为xy O –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567F E DABC112y x =+．（2） ∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)．∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3． 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．（西城一模）已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．（1）求1C 对应的函数表达式；（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点，∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩ ………………………………1分解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩………………………………… 2分∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ．……………………… 3分 （2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)-．……………………………………………… 4分 ∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．… 5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………7分（丰台区）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++经过(13)A ，，(21)B ，两点. （1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移t （0t >）个单位后与直线AB 只有一个公共点，求t 的取值范围．解：（1）∵抛物线21y ax bx =++过(13)A ，，(21)B ，两点．∴134211a b a b ++=⎧⎨++=⎩．…….1分解得，24a b =-⎧⎨=⎩ ．∴抛物线的表达式是224+1y x x =-+．…….2分 设直线AB 的表达式是y mx n =+ ，∴321m n m n +=⎧⎨+=⎩ ，解得，25m n =-⎧⎨=⎩ ．…….3分∴直线AB 的表达式是25y x =-+．…….4分（2）∵点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3． ∴C （3，-5）．…….5分点C 平移后的对应点为点'(3,5)C t - 代入直线表达式25y x =-+，解得4t =．…….6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是04t <≤． …….7分。
二次函数图像的平移顶点对称轴练习题(附答案)
二次函数图像的平移顶点对称轴练习题一、填空题1.把抛物线2y x =先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线的表达式是 。
2.将抛物线向上平移2个单位,再向右平移4个单位,所得新抛物线的解析式为22y x =-,则原抛物线的解析式为_________.3.如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于,A B 两点，顶点C 的纵坐标为2-，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线2111y a x b x c =++，则下列结论正确的是 (写出所有正确结论的序号)①0b >；②0a b c -+<；③阴影部分的面积为4；④若1c =-，则24b a =.4.如图所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-.将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线123,,n C C C C （n 为正整数）. 则抛物线1C 与x 轴的两个交点12,A A 的距离是 ；抛物线n C 的解析式是 .5.抛物线23y x =先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得的抛物线为 .6.把抛物线2243y x x =-+向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为 .7.在平面直角坐标系中，若抛物线23y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新坐标系下，抛物线的函数解析式为 .8.将抛物线2y ax =向左平移2个单位长度后，经过点(4,4)--，则a = .9.如图,将二次函数21(2)12y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象,其中 点(1,),(4,)A m B n 平移后的对应点分别为点,A B ''.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数解析式是 .10.如图，点,D C 的坐标分别为()1,4-和()5,4-，抛物线的顶点在线段CD 上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x 轴交于,A B 两点(A 在B 的左侧)，点B 的横坐标最大值为3，则点A 的横坐标最小值为 .11.如图,将抛物线212y x =-+向右平移1个单位长度得到抛物线2y ,则图中阴影部分的面积S = .12.如图，把抛物线2y x =，沿直线y x =A 处，则平移后抛物线的解析式是 .13.把抛物线212y x =向左平移3个单位长度,就得到抛物线 ,抛物线21(3)2y x =-是由抛物线212y x =向 平移 个单位长度得到的,抛物线21(1)2y x =-可以由抛物线21(4)2y x =-向 平移 个单位长度得到. 14.抛物线2y x =-向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到图象的解析式为 。
专题二十 抛物线的平移
专题二十 抛物线的平移、翻折与旋转问题知识聚焦类似平面几何，在直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换，抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生了改变．解与此相关问题的关键是确定变换后顶点坐标及开口方向． 例题导航【例1】 把二次函数2)3(21+-=x y 的图象经过翻折、平移得到二次函数2)3(21-=x y 的图象，下列对此过程描述正确的是( ) A ．先沿y 轴翻折，再向下平移6个单位长度 B ．先沿y 轴翻折，再向左平移6个单位长度 C ．先沿x 轴翻折，再向左平移6个单位长度 D ．先沿x 轴翻折，再向右平移6个单位长度点拨：两个函数图象的开口方向相反，需先将原函数图象沿z 轴翻折，然后根据“左加右减，上加下减”的规律将函数图象进行平移．解答：二次函数2)3(21+-=x y 的图象沿x 轴翻折，得到2)3(21+=x y 的图象，再向右平移6个单位长度，得到2)3(21-=x y 的图象，故选D ．点评：本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移前的函数解析式和平移后的函数解析式，逆用平移规律“左加右减，上加下减”即可得解，【例2】 已知抛物线c bx ax y C +=+21:经过点A （-1，0）、B(3，0)、C （0，-3）． (1)求抛物线1C 的解析式；(2)将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点？荠写出抛物线2C 的解析式；(3)把抛物线1C 绕点A （-1，O ）旋转,180o 写出所得抛物线3C 的顶点D 的坐标.点拨：(1)根据c bx axy ++=2经过点A(-l,0)、)3,0()0,3(-C B 、列出三元一次方程组，解出c b a 、、的值；(2)求出原抛物线解析式的顶点式，然后运用平移知识解答；(3)根据旋转的知识，求出点D 的坐标．解答：(1)Θ抛物线cbx ax y ++=2经过点),3,0()0,3()0,1(--C B A 、、⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-∴.3,039,0c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=∴-==.3,2,1c b a 所求抛物线1C 的解析式为=y .322--x x (2)抛物线1C 的解析式为,4)1(2--=x y 如图，抛物线1C 向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线2C 经过坐标原点，所求抛物线2C 的解析式为.44)31(22x x x y +=-+-=(3)如图，点D 的坐标为(-3，4).点评：本题主要考查用待定系数法求二次函数解析式和图象的变换等知识点，根据题目条件求出函数解析式是解答本题的关键，此题难度不是很大．【例3】将抛物线33:21+-=x y C 沿x 轴翻折，得抛物线,2C 如图①所示．(1)请直接写出抛物线2C 的解析式；(2)现将抛物线1C 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为,M 与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线2C 向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为,N 与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．点拨：(1)根据翻折的性质可求抛物线2C 的解析式；(2)①求出抛物线1C 与x 轴的两个交点坐标，分当AE AD 31=和AE AB 31=时两种情况讨论求解；②存在，连接,、、、MA EM NE AN 根据矩形的判定即可得出．解答：.33)1(2-=x y (2)①令,0332=+-x 得,1,121=-=x x 则抛物线1C 与x 轴的两个交点坐标为、)0,1(-).0,1(),0,1().0,1(m B m A ---∴同理可得)0,1(),0,1(m E m D ++-，如图②．当E AD 31=时，)],1()1[(31)1()1(m m m m ---+=---+-⋅=∴21m 当AE AB 31=时，=----)1()1(m m .2)],1()1[(31=∴---+m m m 故当B 、D 是线段AE 的三等分点时，21=m 或.2=m②存在．理由：如图③，连接AN 、NE 、EM 、MA ．依题意可得、M m N m M ∴--).3,(),3,(N 关于原点0对称，,1.m A ON OM --<=∴ΘE A m E 、∴+),0,1(),0关于原点0对称，=∴OA ∴.OE 四边形ANEM 为平行四边形．=2ME Θ+++==+++-2222)1(,4)3(.)1(m m ME m m+=⋅+-++=++=22224)11(,444)3(m m m h m m &,若,48222AE ME AM m =++则+++m m 4442,1,48442=∴++=m m m 此时△AME 是直角三角形，且∴=∠.90οAME 当1=m 时，以点、、N A E 、M 为顶点的四边形是矩形．点评：本题是二次函数的综合题型，考查了翻折的性质及平行四边形和矩形的判定，注意分析题意分情况讨论结果，【例4】 已知关于x 的一元二次方程+22x 014=-+k x 有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数1.422-++=k x x y 的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)(.21k b b x y <+=与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．点拨：(1)综合根的判别式及k 的要求求出k 的取值；(2)对是的取值一一进行验证，求出符合要求的k 值，再结合抛物线平移的规律写出其平移后的解析式；(3)求出新抛物线与x 轴的交点坐标，再分别求出直线b x y +=.21经过点A 、B 时的b 的取值，进而求出其取值范围．本题第(2)问是难点，主要困难可能是不会借助计算淘汰不合题意的k 值．解答：(1)由题意，得,0)1(816≥--=∆k k k Θ.3≤∴为正整数，.3,2,1=∴k(2)设方程01422=-++k x x 的两根为、1x ,2x 则⋅-=-=+21.,22121k x x x x 当1=k 时，方程01422=-++k x x 有一个根为零；当2=k 时，,2121=⋅x x 方程01.4.22=-++k x x 没有两个非零整数根；当3=k 时，方程01422=-++k x x 有两个相同的非零实数根=1．综上所述，1=k 和=k 2不合题意，舍去，3=k 符合题意，当3=k 时，二次函数为,2422++=x x y 把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为.6422,-+=x xy (3)设二次函数6422-+=x x y 的图象与x .轴交于A 、B 两点，则).0,1(),0.3(B A --依题意翻折后的图象如图所示，当直线b x y +=21经过点A 时，可得;23=b 当直线b x y +=21经过点B 时，可得⋅-=21b 由图象可知，符合题意的)3(<b b 的取值范围为⋅<<-2321b点评：本题考查了一元二次方程根的判别式、二次函数及函数图象的平移与翻折，最后还考查了与一次函数的结合等问题，本题较为新颖，难度不大，综合性强，考查面广，是一个趋势和热点，【例5】(2013．莆田)如图①，抛物线+=2ax y c bx +的开口向下，与x 轴交于点A （-3，O ）和点B(l ，0)，与y 轴交于点C ，顶点为D. (1)求顶点D 的坐标（用含a 的代数式表示）；(2)若△ACD 的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P ，且解析式.,DAC PAB ∠=∠求平移后抛物线的点拨：(1)已知抛物线与x 轴的两交点的横坐标分别是-3和1，可设抛物线的解析式为=y ),1)(.3(-+x x a 再配方为顶点式，可确定顶点坐标；(2)①设AC 与抛物线对称轴的交点为E ，先运用待定系数法求出直线AC 的解析式，求出点E 的坐标，即可得到DE 的长，然后由⨯⨯=∆DE S ACD 21OA 列出方程，解方程求出a 的值，即可确定抛物线的解析式；②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD 中,90oACD =∠利用三角函数求出⋅=∠31tan DAC 设抛物线+-=+--=x x x y (3224)12+向右平移后的抛物线解析式为+-=x y (,4)2+m 两条抛物线交于点P ，直线AP 与y 轴交于点F ．根据正切函数的定义求出.1=OF 分两种情况进行讨论：(I)如图③，点F 的坐标为(0，1)；(Ⅱ)如图④，点F 的坐标为（O ，-1）．针对这两种情况，都可以先求出点P 的坐标，再得出m 的值，进而求出平移后抛物线的解析式．解答：(1)Θ抛物线C bx ax y ++=2与x 轴交于点A(-3，0)和点⋅),.0,1(B 抛物线解析式为+=-+=-+<=x a y a ax ax x x a y (.32)1)(32Θ∴-+=-+=-,4)1()32()1)(322a x a x x a x 顶点D 的坐标为).4,1(a --(2)①如图②，设AC 与抛物线对称轴的交点为E ．Θ抛物线a ax axy 322-+=与y 轴交于点∴,C 点C 的坐标为).3,0(a -设直线AC 的解析式为,t kx y +=则⎩⎨⎧-==+-.3,03a t t k 解得⎩⎨⎧-=∴-=.3,a t a k 直线AC的解析式为∴--=.3a ax y 点E的坐标为.2)2(4).2,1(a a a DE a -=---=∴--⨯=⨯⨯=+=∆∆∆2121OA DE S S S ADE CDE ACD ,33.33)2(=-∴-=⨯-a a a 解得∴-=.1a 抛物线的解析式为.322+--=x x y ∴+--=⋅,32.2x x y Θ②顶点D 的坐标为),4,1(-点C 的坐标为(O ，3)．),0,3(-A Θ--==-++-=∴1(,20)04()31(2222CD AD.18)03()30(,2)34()022222=-++==-+AC =∠∴=∠∴+=∴DAC ACD AC CD AD tan .90222ο=∠∴∠=∠⋅==PAB DAC PAB ACCD tan ,31182Θ⋅=∠31tan DAC 如图③，设抛物线=---=3;22x x y 4)1(2++-x 向右平移后的抛物线解析式为=y ,4)(2++-m x 两条抛物线交于点P ，直线AP 与y 轴交于点,3130tan .===∠F OA OF PAB F Θ,1=∴OF 则F 点的坐标为(0，】)或(0，-1)．分两种情况：(I)如图③，当点F 的坐标为(0，1)时，易求直线AF 的解析式为.131+=x y 由⎪⎩⎪⎨⎧+--=+=,32,1312x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==911,3211y x 或⎩⎨⎧=-=0,322y x （舍去）．∴点P 的坐标为⋅)911,32(将点P 的坐标)911,32(代入,4)(2++-=m x y 得=911.4)32(2++-m 解得1,3721=-=m m （舍去），∴平移后抛物线的解析式为.4)37(2+--=x y(Ⅱ)如图④，当点F 的坐标为（0，-1）时，易求直线AF 的解析式为.131--=x y 由⎪⎩⎪⎨⎧+--=--=,32,1312x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==913,3411y x 或⎩⎨⎧=-=0322y x （舍去）．∴点P 的坐标为⋅-)913,34(将点P 坐标)913,34(-代人,4)(2++-=m x y 得=-913,4)34(2++-m 解得1,31121=-=m m （舍去），∴平移后抛物线的解析式为.4)311(2+--=x y 综上可知，平移后抛物线的解析式为=y 4)37(2+--x 或.4)311(2+--=x y点评：此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理的逆定理、三角函数的定义、三角形的面积、两函数交点坐标的求法、函数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想与分类讨论思想的应用．◎培优训练能力达标1．（2013．恩施）把抛物线1212-=x y 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )3)1(21.2-+=x y A 3)1(.21.2--=x y B1)1(21.2++=x y C1)1(21.2+-=x y D2．如图，将抛物线342:2+-=x xy C 沿直线=y 1-翻折得到抛物线,C '则抛物线C '的解析式为( )542.2---=x x y A 342.2++-=x x y B521.2-+-=x x y C3)1(2.2---=x y D3．将二次函数1)1(22---=x y 的图象先向右平移1个单位长度，再沿x 轴翻折到第一象限，然后向右平移1个单位长度，再沿y 轴翻折到第二象限……依此类推，如果把向右平移1个单位长度再沿坐标轴翻折一次记作1次变换，那么二次函数1)1(22---=x y 的图象经过2 013次变换后，得到的图象的函数解析式为( )1)2(2.2+-=x y A 1)3(2.2++=x y B 1)2(2.2-+-=x y C 1)1(2.2---=x y D4．（2013．大连）如图，抛物线292++=bx x y 与y 轴相交于点A ，与过点A 且平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）．抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D ．平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为=y .5．已知抛物线221)2(:2211+++-=m x m x y C 与n mx x y C ++=2:222具有下面的特征：①都与x 轴有交点；②与y 轴相交于同一点． (1)求n m 、的值；(2)试写出当x 为何值时，;21y y >(3)试描述抛物线1C 通过怎样的变换得到抛物线⋅2C6．（2013．邵阳）如图，将二次函数x x y 422--=的图象E 向右平移两个单位长度后得到图象F ．(1)求图象F 所表示的抛物线的解析式；(2)设抛物线F 和x 轴相交于点0、B （点B 位于点0的右侧），顶点为C ，点A 位于y 轴负半轴上，且到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离的2倍，求AB 所在直线的解析式．7．如图，抛物线5)2(:21-+=x a y C 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 的横坐标是1． (1)求a 的值；(2)如图，抛物线2C 与抛物线、1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为,3C 抛物线3C 的顶点为M ，当点P 、M 关于点0成中心对称时，求抛物线3C 的解析式．8．（2013．眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在x 轴上，点C 、D 在y 轴上，且,3==OC OB ,1==OD OA 抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 经过A 、B 、C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点M ．(1)求这条抛物线的解析式；(2)P 为抛物线上一动点，E 为直线AD 上一动点，是否存在点P ，使以点A 、P 、E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请直接写出将该抛物线沿射线AD 方向平移√2个单位长度后得到的抛物线的解析式，拓展提升9．（2013．聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得到抛物线,2212x x y -=其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．1610．（2012．陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线62--=x x y 向上（下）或向左（右）平移m 个单位长度，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．611.（2013．宜宾）如图，抛物线121-=x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ，将此抛物线向右平移4个单位长度得抛物线,2y 两条抛物线相交于点C ．(1)请直接写出抛物线2y 的解析式；(2)若点P 是x 轴上一动点，且满足=∠CPA ,OBA ∠求出所有满足条件的点P 的坐标；(3)在第四象限内抛物线2y 上，是否存在点Q ，使得△QOC 中OC 边上的高h 有最大值？若存在，请求出点Q 的坐标及h 的最大值；若不存在，请说明理由．12．（2012．黄石）已知抛物线1C 的函数解析式为),0(32<-+=b a bx ax y 若抛物线1C 经过点),3,0(-方程032=-+a bx ax 的两根为、1x ,2x 且.4||21=-x x (1)求抛物线1C 的顶点坐标；(2)已知实数,0>x 请证明,21≥+x x 并说明x 为何值时才会有;21=+xx (3)若将抛物线先向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到抛物线,2C 设),(),(21y n B y m A 、是2C 上的两个不同点，且满足⋅<>=∠0,0,90n m AOB ο请你用含m 的式子表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时直线OA 的函数解析式[参考公式：在平面直角坐标系中，若,),(211x Q y x P <、),2y 则 P 、Q 两’点间的距离为⋅-+-])(）（21212y y x x13．（2013．株洲）已知抛物线1C 的顶点为P(l ，0)，且过点⋅)41,0(将抛物线1C 向下平移一个单位长度)0(>h 得到抛物线⋅2C 一条平行于x 轴的直线与两条抛物线交于A 、B 、C 、D 四点（如图），且点A 、C 关于y 轴对称，直线AB 与x 轴的距离是).0(2>m m(1)求抛物线1C 的解析式的一般形式；(2)当2=m 时，求h 的值；(3)若抛物线1C 的对称轴与直线AB 交于点E ，与抛物线2C 交于点F ．求证：-∠EDF tan ⋅=∠21tan ECP◎魔法赛场【例】 如图①，已知点B(l ，3)，C(l ，O)，直线k x y +=经过点B ，且与z 轴交于点A ，将△ABC 沿直线AB 折叠得到△ABD．(1)写出点A 、D 的坐标；(2)若抛物线c bx x y ++=231经过C 、D 两点，求抛物线的解析式； (3)将(2)中的抛物线沿y 轴向上平移，设平移后所得抛物线与y 轴的交点为E ，M 是平移后的抛物线与直线AB 的一个公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线x EM //轴？若存在，此时抛物线向上平移了几个单位长度？若不存在，请说明理由，点拨：(1)A 、D 两点的坐标可由图象看出；(2)抛物线c bx x y ++=231经过C(1，0)、D （-2,3)，将两点坐标代入解析式，解得6、c ；(3)当点M 在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当 M 、E 重合时，它们的纵坐标相等，故知道EM 不会与x 轴平行，设抛物线向上平移h 个单位长度能使x EM //轴，写出平移后的解析式，根据抛物线的对称性，可知点M 的坐标为)31,2(h +时，直线//EM x 轴，将点M 代入直线,2+=x y 解得.h 解答：).3,2(),0,2()1(--D A Θ)2(抛物线c bx x y ++=231经过C(l ，0)、D(-2，3)，将C 、D 两点的坐标代人解析式，解得∴⋅=-=31,32c b 所求抛物线的解析式为=y ⋅+-3132312x x (3)存在．如图②，Θ当点M 在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M 、E 重合时，它们的纵坐标相等．∴EM 不会与x 轴平行；当点M 在抛物线的右侧时，设抛物线向上平移一个单位长度能使x FM //轴，则平移后抛物线的解析式为=y ∴+-,)1(312h x 抛物线与y 轴的交点为⋅+)31,0(h E 根据抛物线的对称性，可知当点M 的坐标为)31,2(h +时，直线x EM //轴，将)31,2(h +代人,2+=x y 得,2231+=+h 解得=h ∴.311抛线向上平移311个单位长度能使//EM x 轴．点评：本题是二次函数的综合题，要求会求二次函数的解析式，考查平移等知识点，本题步骤有点多，做题时要细心，思考题如图，抛物线c bx x y ++=2过点A(3，O)和原点0．正方形BCDE 的顶点B 在抛物线+=2x y c bx +上，且在对称轴的左侧，点C 、D 在x 轴上，点E 在第四象限，且.1=OD(1)求这条抛物线的解析式；(2)求正方形BCDE 的边长；(3)若正方形BCDE 沿x 轴向右平移，当正方形的顶点落在抛物线c bx x y ++=2上时，求平移的距离；(4)若抛物线c bx x y ++=2沿射线BD 方向平移，使抛物线的顶点P 落在x 轴上，求抛物线沿BD 平移的距离．。
二次函数平移、旋转、轴对称变换汇总
二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。
y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。
（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。
2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。
（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。
（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。
练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。
九年级奥数：抛物线的平移、翻折与旋转
九年级奥数：抛物线的平移、翻折与旋转阅读思考类似平面几何，在直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换．抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变．解与此相关问题的关键是：确定变换前后顶点坐标及开口方向．问题解决例1 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线则平移前抛物线的解析式为_____________．例2 有3个二次函数，甲：丙：．则下列叙述中正确的是（ ）．A ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合B ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合C ．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合D ．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合例3 如图，抛物线E ：y =x 2+4x +3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点。
抛物线E 关于y轴对称的抛物线F 交x 轴于C 、D 两点．（1）求F 的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线F 或E 上是否存在一点N ，使以A 、C 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由；，（3）若将抛物线E 的解析式改为，试探索问题（2）．例 4 对于任意两个二次函数，当时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有记过三点的二次函数抛物线为“C □□□”（“□□□”填写相应三个点的字母）． ,422x x y +-=;1:;122+-=-=x y x y 乙122-+=x x y c bx ax y ++=2)0(,212222211211=/++=++=a a c x b x a y c x b x a y 21|||a a =)0,1(),0,1(,B A ABM -∆（1）若已知M （0，1），△ABM ≌△ABN （图1），请通过计算判断C ABM 与C ABN 是否为全等抛物线；（2）在图2中，以A 、B 、M 三点为顶点，画出平行四边形．①若已知M （0，n ），求抛物线C ABM 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线解析式．②若已知M （m ，n ），当m ，n 满足什么条件时，存在抛物线C ABM ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C □□□”；若不存在，请说明理由．例5 已知二次函数的图象是c 1（1）求c 1关于R （1，0）成中心对称的图象c 1的函数解析式；（2）设曲线c 1 、c 2与y 轴的交点分别为A ，B ，当AB =18时，求a 的值．数学冲浪1． 抛物线如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式为_________．2．已知抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y =x 2，则b 与c 的值分别为_____________．3．如图，将抛物线沿x 轴翻转到虚线的位置，那么，所得到的抛物线的解析式为（ ）．A 、B 、C 、D 、4．作抛物线c 1关于x 轴对称的抛物线c 2，再将抛物线c 2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线c 的函数解析式是y =2（x +1）2-1，则抛物线c 1所对应的函数解析式是（ ）．A 、B 、1442-++=a ax ax y c bx x y ++=2αc bx x y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++-=2c bx ax y +--=2c bx ax y ---=2c bx ax y -+-=22)1(22-+-=x y 2)1(22++-=x yC 、D 、5．已知抛物线，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得 到一条新的抛物线．（1）求平移后的抛物线的解析式；（2）若直线与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m 的取值范围；（3）若将已知的抛物线解析式改为，并将此抛物线沿x 轴方向向左平移个单位长度，试探索问题（2）．6．如图，已知抛物线如：．y =x 2-4的图象与x 轴交于A 、C 两点．（1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式；（2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D ，求证：D 点在l 2上；（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图象上，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．2)1(22---=x y 2)1(22+--=x y 142+-=x x y m y =)0,0(2<>++=b a c bx ax y ab-。
抛物线图像的平移
抛物线图像的平移
一、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2,平移的方法是
二、二次函数y=x 2+bx+c 的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数y=x 2-2x+1的图像，求b 与c
三、二次函数y=21x 2+3x+25的图像是由函数y=2
1x 2的图像怎样平移得到的
抛物线图像的平移
四、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2,平移的方法是
五、二次函数y=x 2+bx+c 的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数y=x 2-2x+1的图像，求b 与c
三、二次函数y=21x 2+3x+25的图像是由函数y=2
1x 2的图像怎样平移得到的
抛物线图像的平移
六、抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2,平移的方法是
七、二次函数y=x 2+bx+c 的图像向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到二次函数y=x 2-2x+1的图像，求b 与c
三、二次函数y=
21x 2+3x+25的图像是由函数y=21x 2的图像怎样平移得到的。