4.3抛物线的平移(2015年)
抛物线平移、对称变换
抛物线平移、对称变换专题一：抛物线平移、对称变换学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系2. 利用对称性求点的坐标知识框架：【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。
【2】求抛物线2=++（0a≠）沿坐标轴平y ax bx c移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后利用抛物线平移变换的有y a x h k关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。
抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。
【3】抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。
【4】求抛物线2=++（0a≠）绕其顶点旋转y ax bx c180°后的解析式，同样可先将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后将二次项系数直接改变成y a x h k其相反数即可。
【5】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。
⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。
【6】求抛物线2=++（0a≠）沿某条坐标轴y ax bx c翻折后的解析式，首先仍应将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后再根据翻折的方向来确定y a x h k新抛物线的解析式——若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。
真 题 汇 编：第一部分（选择题）（2013-2014海淀）二次函数22+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为( ) A ．221y x =-- B ．221y x =+ C ．22y x = D ．221y x =-【方法总结】（2015-2016北师大实验二龙路中学） 将抛物线22y x =向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线解 析式是（ ）．A ．22(1)3y x =-- B ．22(1)3y x =++C ．22(1)3y x =-+ D ．22(1)3y x =+-【方法总结】（2015-2016北京三中）将抛物线 224=+y x绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A ． 224=--y x B ． 224=-+y xC ．224=-y xD ． 22=-y x【方法总结】（2015-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x 2-3沿x 轴翻折，所得的抛物线是（ ）A.y ＝－2x 2－3B. y ＝2x 2-3C. y ＝2x 2＋3D. y ＝－2x 2+3【方法总结】（2015-2016北京三帆中学）二次函数23+1y x =-的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为 A ．231y x=-- B ．23y x =C ．231y x=+ D ．231y x=-【方法总结】丰台区2017-2018中，抛物线221x y =x x y 2212-=，的阴影部分的面积是( )A ．2 B. 4 C. 8 D. 16【方法总结】第二部分（填空题）海淀区2017-201822y x =平移后经过点(0,3)A，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【方法总结】（2013-2014海淀）已知点P（-1，m）在二次函数21y x=-的图象上，则m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .【方法总结】（2015-2016年北京市第三十一中学）抛物线图像22x=xx-y，平=经过平移得到抛物线图像5y-422--移方法是______【方法总结】朝阳区2015-2016如图，抛物线y=4-x2通过9平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-9x2交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为 ．【方法总结】丰台区2014-2015如图，⊙O 的半径为2, 1C 是函数的221x y =的图象，2C 是函数的221x y -=的图象，3C 是函数的x y =的图象，则阴影部分的面积是______【方法总结】第三部分（解答题）（2013-2014东城）二次函数2y axbx c=++的图象与x轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）. （1）求此二次函数的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．【方法总结】（2016-2017北京四十四中初三上期中）抛物线22y x =向上平移后经过点(0,3)A ，求平移后的抛物线的表达式．【方法总结】（2016-2017北京西城铁路第二中学初三上期中） 如图，一段抛物线：(2)y x x =-（0≤x ≤2），记为1C ，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2 ，交x 轴于点A 2 ；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；… ，如此进行下去，直至得C 10．（1）请写出抛物线C 2的解析式： ；（2）若P （19，a ）在第10段抛物线C 10上，则a =_________．【方法总结】西城区2014-2015已知：抛物线1C ：2y axbx c=++经过点()10A -，、()30B ，、()03C -，．⑴ 求抛物线1C 的解析式；⑵ 将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点，并写出2C 的解析式；⑶ 把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180︒，写出所得抛物线3C 顶点D 的坐标．【方法总结】【纠错回顾】。
例析抛物线的平移
G 其 实 就 是 P N 关 于 点 Q 成 中 tl 对 称 根 据
,
，
，
对 称 性 可 设 字母 探究 以点
．
m
Ⅳ E
、
、
F
各 点 的坐 标
P
、
N
、
F
为顶 点 的 三 角 形 是 直 角 三 角
，
形 时 要 进 行 分 类 考 虑 三 个 角都 有 可 能 为 直 角
．
再 利 用 勾 股 定 理 确 定 其 中所 设 字 母
3
，
位 则 得 到抛 物线
，
y
*
(x
(z
一
^ ) 2+ 6
(z ^ ) + c
；
例
bx
2
+ c
1
y
=
a x
2
+
(2 ) 若 把 它 沿
轴 向左 平 移
=
h (h > O) 个 单
；
的 图 象 先 向右平 移
，
个 单位 再 向下 平 移
y ≈
。
位 则得 到抛 物 线
，
y
0
札
)
bx
。
+6
(卅 ^ ) + c
m
，
一
位 则 得 到 抛 物线
，
y
z
a
(x (x (x
—
m
一
^)
。
+ n ：
点的
．
(2 )若 把 它 沿
轴 向左 平 移
=
h (^ > 0
)个 单
横坐 标
0
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题
二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题二次函数是高中数学中重要的概念之一，它的表达式为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，而x、y为变量。
在二次函数的图像中，a决定了抛物线开口的方向和大小，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
在解决二次函数平移旋转的问题时，我们可以根据抛物线的特性来进行总结和归纳。
下面我们将介绍二次函数的平移、旋转以及一些典型习题。
一、平移：1. 抛物线y = ax^2 + bx + c向左平移h个单位的公式为：y =a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
同样地，向右平移h个单位的公式为：y = a(x + h)^2 + b(x + h) + c。
例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向左平移2个单位，则平移后的二次函数为y = (x - 2)^2 + 2(x - 2) + 1。
2. 抛物线y = ax^2 + bx + c向上平移k个单位的公式为：y =a(x^2 + bx + c + k)。
同样地，向下平移k个单位的公式为：y = a(x^2 + bx + c - k)。
例如：若原二次函数为y = x^2 + 2x + 1，现在向上平移3个单位，则平移后的二次函数为y = (x^2 + 2x + 1) + 3。
二、旋转：对于二次函数的旋转，我们需要使用变量替换的方法。
假设原二次函数y = ax^2 + bx + c按照逆时针旋转α角，则旋转后的二次函数可表示为：x = x'cosα - y'sinαy = x'sinα + y'cosα其中，(x', y')是旋转前的坐标，(x, y)是旋转后的坐标。
三、典型习题：1. 设二次函数y = ax^2 + bx + c的图像通过点(1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，求a、b、c的值。
解：将三个点分别代入二次函数中，我们可以得到3个方程： a + b + c = 2 (1)4a + 2b + c = 3 (2)9a + 3b + c = 4 (3)解方程组(1)(2)(3)，得到a = 1/2，b = -3/2，c = 2。
二次函数--抛物线的平移、翻折、旋转
22.1.4(5)---抛物线的平移、翻折、旋转
一．【知识要点】
1.抛物线的平移、翻折、旋转：图像平移.口诀：左加右减，上加下减.
二．【经典例题】
1.①将抛物线223y x x =-+向左平移3个单位,再向下平移5个单位后所得抛物线的解析式为________.
三．【题库】
【A 】
1．抛物线y=﹣x 2向左平移1个单位长度得到抛物线的解析式为（ ）
A ．y=﹣（x+1）2
B ．y=﹣（x ﹣1）2
C ．y=﹣x 2+1
D ．y=﹣x 2﹣1
【B 】
【C 】
1．将抛物线y=（x ﹣1）2+3关于y 轴对称后所得抛物线的表达式为（ ）
A ．y=-（x+1）2 +3
B ．y=（x+1）2+3
C ．y=-（x-1）2-3
D ．y=（x+1）2-3
【D 】
1．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点B（﹣2，0）和C，O 为坐标原点．
（1）求抛物线解析式；
（2）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．。
抛物线的平移规律
抛物线平移规律是指将抛物线沿着平移轴进行平移时，各点的坐标发生的变化规律。
设抛物线的标准方程为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，x和y分别为点的水平坐标和垂直坐标。
当将抛物线沿水平方向平移h个单位，垂直方向平移k个单位后，新抛物线的方程为：y=a(x-h)^2+b(x-h)+c+k。
通过对比新旧抛物线的方程，可以发现平移前后的变化规律如下：
-抛物线在水平方向上平移h个单位，即将x的值都减去h；
-抛物线在垂直方向上平移k个单位，即将整个方程中的常数c加上k。
在抛物线平移过程中，各点沿平移轴的移动距离相等，这是因为平移是等距变换。
同时，平移不会改变抛物线的形状，只是将整个抛物线整体地移动到新的位置上。
需要注意的是，抛物线的平移规律适用于一般情况下的平移，即平移轴与抛物线不平行的情况。
若平移轴与抛物线平行，即垂直平移或水平平移，抛物线的规律可能有所不同。
在数学中，我们常常使用抛物线平移规律来研究抛物线的性质和方程的变化。
这种规律的应用广泛且重要，可以帮助我们深入理解抛物线的特点和相应的数学原理。
九年级奥数：抛物线的平移、翻折与旋转
九年级奥数：抛物线的平移、翻折与旋转阅读思考类似平面几何，在直角坐标系中，我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换．抛物线在变换中，开口大小未变，只是位置或开口方向发生改变．解与此相关问题的关键是：确定变换前后顶点坐标及开口方向．问题解决例1 一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线则平移前抛物线的解析式为_____________．例2 有3个二次函数，甲：丙：．则下列叙述中正确的是（ ）．A ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合B ．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合C ．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合D ．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合例3 如图，抛物线E ：y =x 2+4x +3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点。
抛物线E 关于y轴对称的抛物线F 交x 轴于C 、D 两点．（1）求F 的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线F 或E 上是否存在一点N ，使以A 、C 、N 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由；，（3）若将抛物线E 的解析式改为，试探索问题（2）．例 4 对于任意两个二次函数，当时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有记过三点的二次函数抛物线为“C □□□”（“□□□”填写相应三个点的字母）． ,422x x y +-=;1:;122+-=-=x y x y 乙122-+=x x y c bx ax y ++=2)0(,212222211211=/++=++=a a c x b x a y c x b x a y 21|||a a =)0,1(),0,1(,B A ABM -∆（1）若已知M （0，1），△ABM ≌△ABN （图1），请通过计算判断C ABM 与C ABN 是否为全等抛物线；（2）在图2中，以A 、B 、M 三点为顶点，画出平行四边形．①若已知M （0，n ），求抛物线C ABM 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线解析式．②若已知M （m ，n ），当m ，n 满足什么条件时，存在抛物线C ABM ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C □□□”；若不存在，请说明理由．例5 已知二次函数的图象是c 1（1）求c 1关于R （1，0）成中心对称的图象c 1的函数解析式；（2）设曲线c 1 、c 2与y 轴的交点分别为A ，B ，当AB =18时，求a 的值．数学冲浪1． 抛物线如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式为_________．2．已知抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y =x 2，则b 与c 的值分别为_____________．3．如图，将抛物线沿x 轴翻转到虚线的位置，那么，所得到的抛物线的解析式为（ ）．A 、B 、C 、D 、4．作抛物线c 1关于x 轴对称的抛物线c 2，再将抛物线c 2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线c 的函数解析式是y =2（x +1）2-1，则抛物线c 1所对应的函数解析式是（ ）．A 、B 、1442-++=a ax ax y c bx x y ++=2αc bx x y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++-=2c bx ax y +--=2c bx ax y ---=2c bx ax y -+-=22)1(22-+-=x y 2)1(22++-=x yC 、D 、5．已知抛物线，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得 到一条新的抛物线．（1）求平移后的抛物线的解析式；（2）若直线与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m 的取值范围；（3）若将已知的抛物线解析式改为，并将此抛物线沿x 轴方向向左平移个单位长度，试探索问题（2）．6．如图，已知抛物线如：．y =x 2-4的图象与x 轴交于A 、C 两点．（1）若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式；（2）若点B 是抛物线l 1上的一动点（B 不与A 、C 重合），以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D ，求证：D 点在l 2上；（3）探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图象上，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．2)1(22---=x y 2)1(22+--=x y 142+-=x x y m y =)0,0(2<>++=b a c bx ax y ab-。
抛物线的平移、轴对称和旋转
A
C
o
B y=x+b
x
将抛物线y=x2向下平移3个单位，平移后交 x轴于A、B两点，交y轴于点C. （3）点Q是x轴正半轴上一点,将平移后抛物线绕Q 旋转180°后得到新抛物线，顶点为N，与x轴相交 于E、F两点（点E在点F的左边），当以点C、N、 F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标． y
将抛物线y=x2向下 平移3个单位，平移后 交x轴于A、B两点，交y 轴于点C.
（1）直接写出平移后的抛物 线的解析式，判断△ABC 的形状并说明理由.
A
y=x2 y
o
B
x
C
将抛物线y=x2向下平移3个单位，平移后交 x轴于A、B两点，交y轴于点C. （2）将平移后抛物线的图象 在x轴下方的部分沿x轴翻折， 图象的其余部分保持不变，得 到一个新的图象： ①画出示意图； ②写出该函数图象的解析式； ③当直线y=x+b与此图象有两 个公共点时，求b的取值范围. y y=x2-3
转 化
x 顶点的轴对称
P (-2, -1)
P2(2, -1)
y =-2(x+2)2 +1
抛物线y =2(x+2)2 -1关于x轴对称 的解析式是什么？关于y轴呢？
3.旋转变换
把抛物线y =2(x+2)2 -1绕其顶点旋 y 转180°后的解析式是什么？绕原点 旋转180°呢？
抛物线的旋转
y =2(x+2)2 -1 P1 (2, 1) 转 化 x 顶点的旋转
·
Q B
N
A C
O
· E ·
·
F
x
·
1.同学们想说的话
2.老师想说的话
抛物线的变换→顶点的变换 注意分类讨论思想，方程思想，数形结合 思想
【备考2023江苏中考】江苏省徐州市近三年中考(含一模、二模)真题重难点汇编——选择题
5．（2019·江苏徐州·统考一模）如右图，矩形ABCD的边BC在x轴的负半轴上，顶点D（a，b）在反比例函数 的图像上，直线AC交y轴点E，且S△BCE＝4，则k的值为()
A．－16B．－8C．－4D．－2
6．（2018·江苏徐州·统考一模）如图，在矩形 中， ， ，动点 满足 ，则点 到 、 两点距离之和 的最小值为（）
A．9B．12C．15D．18
40．（2022·江苏徐州·统考一模）如图，在四边形ABCD中，AD BC， ，则 的值为（）．
A． B． C． D．
41．（2022·江苏徐州·校联考一模）下在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像平移后经过点 和点 ，则所得抛物线对应的函数表达式为（）
A． B． C． D．
▊▊备考2023中考▊▊
徐州市历年中考数学（含一模、二模）真题重难点汇编
选择题
1．（2022·江苏徐州·统考中考真题）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏徐州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）
A．（﹣1，1）B． C．（﹣1，﹣1）D．
3．（2022·江苏徐州·校联考一模）如图，点A，B的坐标分别为 ，点C为坐标平面内一点， ，点M为线段 的中点，连接 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏徐州·统考一模）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（）
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1. (2015 湖北省荆州市) 将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）
A．y=（x﹣1）2+4 B．y=（x﹣4）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x﹣4）2+6
答案：B
2. (2015 黑龙江省绥化市) 把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 _____________。
答案：y=2（x+1）2﹣2
3. (2015 四川省攀枝花市) 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）
A．y=﹣2（x+1）2B．y=﹣2（x+1）2+2
C．y=﹣2（x﹣1）2+2
D．y=﹣2（x﹣1）2+1
答案：
分析：利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
解答：解：∵抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位长度，
∴平移后解析式为：y=﹣2（x﹣1）2+1，
∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y=﹣2（x﹣1）
2+2．
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
y 的图象沿z轴向左平移2个单位，则平移后的抛物4. (2015 四川省眉山市) 将二次函数2x
线对应的二次函数的表达式为_________
答案：
分析：利用平移规律：左加右减，确定出平移后二次函数解析式即可．
解答：解：平移后二次函数解析式为：y=（x+2）2=x2+4x+4，
故答案为：y=x2+4x+4
点评：此题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解本题的关键．
5. (2015 四川省成都市) 将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）
A．y=（x+2）2﹣3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3
答案：
分析：先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．故选：A．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6. (2015 山东省临沂市) 要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（）
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
答案：
分析：原抛物线顶点坐标为（﹣1，2），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律．解答：解：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线y=x2+2x+3向左平移1个单位，再向上平移2个单位．
故选：A．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
7. (2015 黑龙江省牡丹江市) 抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（）
A． y=3x2+2x﹣5 B． y=3x2+2x﹣4 C． y=3x2+2x+3 D． y=3x2+2x+4
答案：
分析：利用平移规律“上加下减”，即可确定出平移后解析式．
解答：解：抛物线y=3x2+2x﹣1向上平移4个单位长度的函数解析式为y=3x2+2x﹣1+4=3x2+2x+3，故选C．
点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移规律是解本题的关键．。