6-2交互作用双因子方差分析

i 1 j 1 k 1 r s t
i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1
可以验证上式右边所有的交叉乘积项皆为零 记
SE xijk xij 2 称为误差平方和。
2
r
s
t
SA xi x 2
2
i 1 j 1 k 1 r s t
称为因素A 的主效应偏差平方和。 称为因素B 的主效应偏差平方和。
（4）随机因素引起的随机波动 ij .
1 r s i ui u s uij ru 0 i 1 i 1 i 1 j 1
r r
1 s r j u j u r uij su 0 j 1 j 1 j 1 i 1
类似地，要鉴别因素B 是否对结果有显著影响， 等价于检验假设
H 02 : 1 2 s
（6.29）
是否成立。 要鉴别因素 A 与因素B 是否存在交互效应，等价于 检验假设
H 03 : ij i 1,2, , r ; j 1,2, , s 全相等
（6.30）
是否成立。
xijk xij xi x x j x
2 r s t 2 r s t
i 1 j 1 k 1 r s t
2
xij xi x j x +（交叉乘积项）
2 i 1 j 1 k 1
仍只能依据试验观测值 xijk （i 1,2, , r ; j 1,2, , s; k 1, , t ） 并且仍是从分析这组数据的离散性着手。
三、离差平方和的分解
记
1 r s t x xijk rst i 1 j 1 k 1
称为样本总平均；
1 t xij xijk t k 1

Ar
……
x r11 , x r12 , , x r1t
……
x r 21 , x r 22 , , x r 2 t
……
x rs1 , x rs 2 , , x rst
在水平组合 Ai , B j 下的 t 次试验，由于所有可控制 因素均没有发生变化，试验结果 xij1 , xij 2 ,, xijt 的差异 纯粹是由随机因素引起的，故可将数据 xij1 , xij 2 ,, xijt 看成是来自正态总体
例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想 了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区， 销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不 同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地 区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低 的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、 接受该生产线。
双因 素方 差分 析的 类型
无交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素 B的效应之间是相 互独立的，不存 在相互关系
有交互作用的 双因素方差分析
假定因素A和因素B 的结合会产生出一 种新的效应
二、数据结构
r 设因素 A 有 个不同的水平 A1 , , Ar ，
s 因素 B 有 个不同的水平B1 , , Bs ，
现对因素 A 、B 的每一种不同的水平组合: Ai , B j i 1,2,, r; j 1,2,, s 都安排t t 2 次试验（称为等重复试验） ，假 定各次试验是相互独立的，得到如下试验结 果：
显然
记： i = ui u
记： j = u j u
它是水平 它是水平 Ai 下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平 Ai 下的效应；
Bj
下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平 B j 下的效应；
记：rij uij ui u j u uij u i j
， i 1,2, , r ; j 1,2, , s
这表明，在因素 A, B 的不同水平组合下，试验结果的相对差异
u ij u （视为总效应）是由如下四部分组成：
（1）水平 Ai 下的效应 i ；
（2）水平B j 下的效应 j ；
（3）水平组合 Ai , B j 的交互效应 ij ；
x j x 可作为 j u j u 的估计值； xij xi x j x 可作为 rij u ij u i u j u 的
估计值。
若 H 01 成立，即 1 2 r 0 ，那么，虽然 不能苛求做为诸 i 的估计值之平方和的若干倍的 S A
xi 1 s t xijk st j 1 k 1
称为水平组合 Ai , B j 下的样本均值； 称为水平 Ai 下的样本均值； 称为水平 B j 下的样本均值。
2
x j
1 r t xijk rt i 1 k 1
考虑总变差平方和 ST
x
r s t i 1 j 1 k 1
rs t 1 2 S A B r 1s 1 ~ F r 1s 1, rs t 1 2 S E rs t 1
2
SB s 1
r s t 2 r 2 i 1 j 1 k 1 i 1
2
（ xi x st xi x ）恰好等于零，
S E 来说一定不应太大，倘若S A 超过某个界 但相对于 2 SE
2
2
H 限值 k1 ，我们就有理由拒绝 01 ，故
H 01 的拒绝域为 W01 S A k1 取 2 SE
2
（6.32）
经过类似的分析，
SB2 取 H 02 的拒绝域为 W02 2 k 2 SE
2
（6.34）
S A B H 03 的拒绝域为 W03 2 k 3 （6.35） SE 为了确定界限值 k1 、k 2 、k 3 ，按照显著性检验的一般
所以 r ij
是总效应 uij u 减去 Ai 的效应 i 和 B j 的效应 j 后的剩余部分，称为水平组合 Ai , B j 的交互效应。
于是 X ij ~ N u ij , 2 可以等价的表示为：
X ij uij ij u i j ij ij ij ~ N 0, 2
j 1 j 1 j 1
所以，如果 H 02 成立，那么因素 B 各效应的水平皆为零； 如果 H 03 成立，那么 ij 0
i 1,2,, r ; j 1,2,, s .
H 以上 3 个假设H 01 、 H 02 、 03 中的三组参数 i 、 j 、
ij 都是未知的，为了对三个假设成立与否进行检验，
1 r s 由于 i ui u uij ru 0 ， s i 1 j 1 i 1 i 1
r
r
因此，如果 H 01 成立，那么因素 A 各水平的效应必皆为 0.
1 s r 类似地，由 j u j u uij su 0 r j 1 i 1 j 1 j 1
ij 相互独立同分布N (0, 2 )
1 r s 记：u uij ——理论总均值 rs i 1 j 1
1 s 记：ui uij —因素A在i水平下的理论平均 s j 1
1 r 记：u j uij —因素B在j水平下的理论平均 r i 1
uij u ui u u j u uij ui u j u
第二节
双因素方差分析
双因素方差分析的类型 数据结构 离差平方和的分解 应用实例
一、 双因素方差分析的类型
如果在试验中有两个可控制因素 A, B ，同时发生变 化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为 双因素试验。 双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素 对结果可能产生的影响。
SB
2
x j x
2
i 1 j 1 k 1 r s t
2
S A B
2 xij xi x j x 称为A B 的交互效应 i 1 j 1 k 1
i 1 j 1 k 1 r s t
偏差平方和。
则得到总变差平方和的分解式：
t 2 k 1
素引起的，因此，在各种水平组合下总的误差平方和
S E 就基本上刻划了整个试验中随机因素作用的强
度，以它为尺度来比较各种效应的大小应该说是合理 的。
2
从矩估计的角度看，
x 、 xi 、 x j 、xij 分别是 u 、ui 、u j 、uij 的估计值，因此，
xi x 可作为 i u i u 的估计值；
1.双因素方差分析的数据结构如表所示：
B1 B2
x121 , x122 , , x12t x 221 , x 222 , , x 22t
…… …… …… …… ……
Bs
x1s1 , x1s 2 , , x1st x 2 s1 , x 2 s 2 , , x, x11t x 211 , x 212 , , x 21t
步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统 计量的分布，
可以证明， 在 H 01 成立时 在 H 02 成立时 在 H 03 成立时
S A r 1
2 2
SE SE
rs t 1
2
~ F r 1, rs t 1 ~ F s 1, rs t 1
（6.36） （6.37） （6.38）
ST SE S A SB S A B
2 2 2 2
r s t
2
（6.31）
下面分析 S E xijk xij
2
i 1 j 1 k 1
2
在 i 、 j 给定时，t 个数据 xijk （ k 1,2,, t ）与其 平均值 xij 的偏差平方和 xijk xij 纯粹是由随机因