北京市延庆区2021届高三数学上学期9月统测考试试题 [含答案]
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
2021年高一上学期9月月考数学试题含答案
2021年高一上学期9月月考数学试题含答案 一、选择题（每小题5分，共50分）1．下列四个集合中，空集是（ ）A ．{x ∈R|x 2＋2=0}B ．{0}C ．{x|x ＞8或x ＜4}D ．{∅}2．已知集合A ＝{x|－1≤x<1}，B ＝{－1，0，1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{－1，0} C ．{0} D ．{－1，1}3．设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则C U (M ∩N) = （ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{1，4}4．下列函数中，在区间(0， 1)上是增函数的是（ ）A ．y=｜x ｜B ．y=3－xC ． y=D ．y=－x 2+4 5．定义在R 上的偶函数f(x)在上的偶函数，则f(x)的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．与a ，b 有关，不能确定7．设全集U=R ，集合A={x | |x|≤2}，B={x|＞0}，则(C U A)∩B=（ ）A ．B ．(2，+∞)C ．(1，2]D ．(－∞，－2)8．函数y=－x 的图象只可能是（ ）9．若函数f(x)= 是奇函数，则实数a 的值是（ ）A ．－10B ．10C ．－5D ．5 10． 已知函数y=f(x)+x 是偶函数，且f(2)=1，则f(－2)=（ ）x 2 －5x ， x ≥0，－x 2＋ax ， x ＜0A．－1 B．1 C．－5 D．5第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知全集U={1，2，3，4， 5}，集合A={1， 3， 5}，B=={3， 4， 5} 则集合C U(A∪B) = ．12．已知集合A={1，2，3， 4}，集合B＝{x|x≤a， a∈R}，若A∪B=(－∞，5]，则a的值是．13．已知f(x－1)=x2＋2，则f(3)= ．14．设A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7}，则满足S⊆A且S∩B=∅的集合S的个数是．15．函数f(x)=的定义域是．三、解答题（16至19题每题12分，20题13分，21题14分）16．设U={x∈Z|0<x≤10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，求A∩B，A∪B，(C U A)∩(C U B)．17．设集合A={x∈R|2x－8=0}，B={x∈R|x2－2(m+1)x+m2=0}，（1）若m=4，求A∪B;（2）若B ⊆A，求实数m的取值范围．18．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x(2－x)．（1）在给定的图示中画出函数f(x)的图象（不需列表）；（2）求函数f(x)的解析式；（3）讨论方程f (x)－k=0的根的情况。
2021年高三暑假自主学习测试(9月)数学试题含答案
2021年高三暑假自主学习测试（9月）数学试题含答案数学 xx.09正题注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差，其中．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上．1．已知集合，，则___▲___.2．设R，向量且，则x= ___▲___．3．设复数z满足（i为虚数单位），则=___▲___.4．若，则的最小值为▲．5．样本数据18，16，15，16，20的方差＝___▲___.6．已知双曲线的离心率为2，则m的值为 ___▲___．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为___▲___.8．已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为9．已知实数x，y满足不等式组0,0,26,312xyx yx y⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则的最大值是▲．10．已知函数，则满足的x的取值范围是___▲___．E FA B CD PFED1C1B1BCDA1A11．如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为3：2，则三棱锥和的体积比= ___▲___.12．已知P是直线l：上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，切点分别为A，B．若四边形PACB的最小面积为2，则k= ▲．13．已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是▲．14．已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）已知向量，，，其中为的内角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，且，求的长．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，，，分别是的中点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．17．（本小题满分14分）设数列的前n项和为，对任意满足，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前2n项和．18．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将与接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于的角为． （Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．19．（本小题满分16分）已知椭圆的长轴两端点分别为A ，B ，是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．（Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，的面积为12，点O 到直线PD 的距离为，求椭圆的方程；（Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．图（1）l 2l 1BAC图（2）20．（本小题满分16分）对于函数，若在定义域内存在实数x ，满足，则称为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．xx 届高三暑假自主学习测试试卷数学 xx.09附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选．定其中．．．两题．．，并在．．相应的．．．答题区域．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，， PC 平分，交⊙O 于点C ．求证：为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵A =，B =，求矩阵．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．试求曲线C和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数a，b满足，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设，是x轴上的两点，过点分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定了．现已知，求的值．23．（本小题满分10分）设a，b为实数，我们称（a，b）为有序实数对．类似地，设A，B，C为集合，我们称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A，B，C满足，且，则我们称有序三元组（A，B，C）为最小相交（表示集合S中的元素的个数）．（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合的子集构成的所有有序三元组中，令N为最小相交的有序三元组的个数，求N的值．xx 届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准 xx.09正 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 2． 3． 4．4 5．3.2 6．3 7．9 8． 9． 10． 11． 12．2 13． 14．54二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， ………………… 2分 所以，即， ………………… 4分 故或（舍），又，所以． ………………… 7分 （Ⅱ）因为，所以． ① ………………… 9分由余弦定理，及得，． ② …………………12分 由①②解得． …………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取中点G ，连，因为、分别为、的中点，所以∥，且． ……… 2分又因为为中点，所以∥，且． ………………… 3分所以∥，．故四边形为平行四边形． ………………… 5分 所以∥，又平面，平面，故∥平面． ………………… 7分 （Ⅱ）设，由∽及为中点得，又因为，，所以，．所以，又为公共角，所以∽．所以，即． ……………… 10分又，，所以平面． ……………… 12分 又平面，所以平面平面． ……………… 14分 17．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵，①∴当时，，②以上两式相减得， ………………… 2分 即，∵，∴当时，有． ………………… 5分又当时，由及得，所以数列{ a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n ． ………………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得． ………………… 9分所以13212(242)3(222)n n T n n -=++++++++ ………………… 10分． ………………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得， 故有，，．………………… 4分所以 … 5分． ………… 8分 （Ⅱ）设（其中，则2cos cos (sin )(sin 2)()cos f αααααα---'== 令得，即，得． ………………… 11分列表所以当时有，此时有．………………… 15分答：排管的最小费用为万元，相应的角． ………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵的面积为12，∴，即．① ………………… 2分 此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为． ∴点O 到PD 的距离＝． ② …… 4分 由①②解得． …………… 6分 ∴所求椭圆方程为． ………… 7分 （Ⅱ）如图，当k ＝2时，，设，由D ，E ，P 三点共线，及，（说明：也可通过求直线方程做） 得，∴，即．…… 9分l 2M由C ，F ，P 三点共线，及， 得，∴，即．…… 11分又，∴． ………………… 13分而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b ⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分 ∴，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：为“局部奇函数”等价于关于x 的方程有解．（Ⅰ）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”． ……………… 3分 （Ⅱ）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解．………… 5分 令，则． 设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数． ………………… 7分 所以时，．所以，即． ………………… 9分 （Ⅲ）当时，可化为 ．，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”．……… 11分令， 1° 当，在有解，由，即，解得； ……………… 13分 2° 当时，在有解等价于解得． ………………… 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为． ………………… 16分附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：由得为直径，所以． …………………… 2分 由，得，同理． …………………… 4分又因为PC 平分，所以． …………………… 6分所以，故． …………………… 8分从而，为等腰直角三角形． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为，则=， ………………… 1分即=， ………………… 4分 故，从而A 的逆矩阵为=． ………………… 7分 所以==． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由得曲线C 的直角坐标方程为． ………………… 2分由得曲线的直角坐标方程为． ………………… 5分曲线C 表示以为圆心，5为半径的圆；曲线表示以为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分 所以圆C 和圆的位置关系是内含． ………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分 ＝＝ …………………… 4分＝． …………………… 6分 因为，所以a ，b 不同时为0，故，， 所以，即有． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为曲线C 上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义知，曲线C 是以点为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为． ……………… 4分（Ⅱ）由题意知，，，则，故：． ……………… 6分 令，得，即． ……………… 8分同理，， ……………… 9分于是． ……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设，，，则，，，，且．所以（A ，B ，C ）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分 （Ⅱ）令，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的，使得，，（如图），要确定共有种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数N =．……………… 10分>40052 9C74 鱴El26211 6663 晣d2_24425 5F69 彩28805 7085 炅 27912 6D08 洈22639 586F 塯28081 6DB1 涱21215 52DF 募CBA zyx。
北京市2022届高三上学期期中数学备考训练题——函数
高三上学期期中备考题目分类-函数一．函数的三要素1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）函数()21log 1f x x x =+-的定义域为___________.2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为_______． 二．函数的性质1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．2yxB ．ln y x =C ．2x y =D ．sin y x x =2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．ln ||y x =C ．2x y -=D ．22y x x =- 3. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2ln y x =B ．3||y x =C ．1y x x=- D ．cos y x =4. （2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题）下列函数值中，在区间(0,)+∞上不．是．单调函数的是（ ）A ．y x =B ．2yxC ．y x =D ．1y x =-5. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）下列函数中为偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．1y x=B ．lg y x =C ．cos y x =D ．2xy =6. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）设函数f(x)={3x −1,x ⩽a|x +1|,x >a .①若a =1，则f (x )的值域为___________；②若f (x )在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是___________.7. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()(1)f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________. 8. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,4三．函数与方程-零点问题1. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）2. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）设函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若方程()0f x k -=有且只有一个根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[0,2]3. （2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中数学试题）函数11()1f x x x x=-+-,设1x 、2x 、3x 是曲线()y f x =与直线y a =的三个交点的横坐标,且123x x x <<，则下列命题错误的是（ ）A ．存在实数a ，使得324x x ->B ．任给实数a ，都有314x x ->C ．存在实数a ，使得211x x ->D ．任给实数a ，都有321x x ->4. （2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题）已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞5. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞)C ．[-1，3]D ．(-∞，3]6. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知函数2,0,(),0.x a x f x x x ⎧->=⎨-<⎩若()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞7. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]0,a 上可找到()2,n n n N *≥∈个不同的数1x 、2x、、n x ，使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯⋯=f (x n )x n，则n 的取值为（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}2,4,5C ．{}3,4,5D ．{}2,3,4四．函数的应用1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）当强度为x 的声音对应等级为f (x )分贝时，有0()10lgxf x A =(其中A 0为常数)，装修电钻的声音约为120分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ） A ．2B ．lg 2C ．102D ．1062. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y (mg/m³)随时间t (h)变化的规律可表示为1 ,02 11 ,0)2(at ty aat t⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥>⎪⎩，如图所示，则a=_____;实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入. 五．初等函数：指数与对数1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）已知a =log 34，πb =3，c 3=9，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知ln3a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<3. （2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>4. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈(-∞，0]时，1()2,3xf x =+则23(log )2f =（ ）A ．12B ．1C ．77D ．11115. （2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中数学试题）已知,a b 为不相等的两个正数，且lg 0ab =，则函数x y a =和x y b =的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称6. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知函数f(x)=log 2(x +a)，若f(2)=2，则a =________．【答案】一．函数的三要素 ：1. 由题意得010x x >⎧⎨-≠⎩，解得：0x >且1x ≠，故函数()f x 的定义域是()()0,11,+∞.故答案为：()()0,11,+∞.2. ∵x >1，10x ∴->，411151y x x ∴=-++≥=-，当3x =时，等号成立.所以函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为5.故答案为：5二．函数的性质1. 对于A ，函数是偶函数，在()0,∞+递减，不合题意；故A 错误，对于B ，函数是偶函数，在()0,∞+递增，合题意；故B 正确， 对于C ，函数不是偶函数，不符合题意；故C 错误，对于D ，函数在()0,∞+不是单调递增，不符合题意；故D 错误. 故选：B.2. 因为3y x =为奇函数，函数2x y -=和函数22y x x =-不具有奇偶性，故排除A ，C ，D ， 又ln ||y x =为偶函数且在(0,)+∞上递增，故B 符合条件.3. 对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；对于B ，∵()3f x x =的定义给域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；对于C ，()1f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，故1y x x =-是奇函数，故C 错误；对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.4. 由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2yx 在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．5. A. 1y x=，是奇函数，排除；B. lg y x =，是偶函数，0x >时，lg y x =，单调递增，正确；C. cos y x =，偶函数，0x >时，是周期函数，排除；D. 2x y =，非奇非偶函数，排除；故选B6.解：①若a =1，则31,1()1,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩，当x ≤1时，f (x )=3x ﹣1∈(﹣1，2]， 当x >1时，f (x )=|x +1|>2，∴f (x )的值域为(﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣1，+∞)；②在同一平面直角坐标系内作出函数y =3x ﹣1与y =|x +1|的图象如图：由图可知，要使函数31,()1,x x af x x x a ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩在R 上的增函数，只需-1≤a ≤1，则实数a 的取值范围是[﹣1，1]. 故答案为：①(−1,+∞)；②[﹣1,1].7. 证明：()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证. 故答案为：①②推出③8. 解：根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B三．函数与方程-零点问题1. 函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f < 所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．2. 22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩方程()0f x k -=有且只有一个根，等价于()f x k =图像有一个交点. 画出函数图像：根据图像知：2k > 故选：B3. 解：函数11()1f x x x x=-+-的定义域为()()(),00,11,-∞+∞，易知()f x 在这三段定义域上分别单调递增， 其大致图象如下曲线()y f x =与y a =的三个交点的横坐标1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则12301x x x <<<<，取0.5a =时，即()0.5f x =得(1)(2)(0.5)0x x x +--=，所以11x =-，20.5x =，32x =，21 1.51x x -=>，3134x x -=<，存在0.5a =时，3134x x -=<，所以B 不成立，对于D ：要证321x x ->，即321x x -> ①当32x ≥显然成立②当()31,2x ∈时()310,1x -∈，321x x -> 又()f x 在()0,1上单调递增()()()3231f x f x f x ->=令()()()1111111112112F x f x f x x x x x x x x x=--=-+--+-=+----- 当()1,2x ∈时112x>- ()30F x ∴>即()()3310f x f x --> 即321x x ->即任给实数a ，都有321x x ->，故D 正确；显然A 、C 也成立； 故选：B ．4. ∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ．5.作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e--⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C6.设00x >，则00x -<，()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则0020x a x -+=在()0,∞+上有解，即002x a x =+在()0,∞+上有解，由002x y x =+在()0,∞+上的值域为(1,)+∞，则实数a 的取值范围是(1,)+∞.故选：D7.∵f (x )x =f (x )−0x−0，则代数式()f x x表示曲线()y f x =上的点()(),x f x 与原点连线的斜率， 设()()()1212n n f x f x f x k x x x ====，可知直线y kx =与函数()y f x =的图象有()2,n n n N *≥∈个交点，作出函数()y f x =与直线y kx =的图象如下图所示：由图象可知，直线y kx =与函数()y f x =的图象有2或3或4或5个交点， 因此，n 的可能取值的集合为{}2,3,4,5.故选：A.四．函数的应用1. 解：根据题意，0()10lg x f x A =， 装修电钻的声音约为120分贝，此时对应的声音强度为x 1，则有1012010lgx A =，变形可得121010x A =，普通室内谈话的声音约为60分贝，此时对应的声音强度为x 2，则有206010lg x A =，变形可得62010x A =，变形可得：61210x x =， 故选：D.2. 由题知：当12t =时，1y =，即21a ，解得2a =. 所以1( 12,021,0)22t t y a t t⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥>⎪⎩，. 当102t <<时，2y t =，单调递增，当12t ≥时，12y t =，单调递减， 令10.752t<，解得23t >， 所以经过23小时后方可进入房间. 故答案为：2；23五．初等函数：指数与对数1.∵a =log 34>1，且a <log 39=2，即a ∈(1，2). ∵πb =3，∴b =log π3<log ππ=1， ∵c 3=9，∴c =√93>√83=2， 则b <a <c ，故选：D.2.由函数单调性可知ln3ln 1a e =>=，0.3log 20b =<， 0.200.30.31c =<=，01c ∴<<， 所以b c a <<.故选：C3. 因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 4. 23log 02>，∴22log 3222332121(log )(log )(log )21223333f f f =-==+=+=． 故选：B ．5. ∵a ，b 为不相等的两个正数， 1b a∴=， 则x x y b a -==，函数x y a =和x y a -=的图象关于y 轴对称， ∴函数x y a =和x y b =的图象关于y 轴对称． 故选：B ．6.∵f(x)=log 2(x +a)，()()22log 22f a ∴=+=，得24a +=，解得2a = 故答案为：2.。
2020-2021 上学期初三数学9月月考试题
22. （5 分）用总长为
的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边长 的变化而变化．
（1）当矩形边长 为多少米时，矩形面积为
；（2 分）
（2）求出 关于 的函数关系式，并直接写出当 为何值时，场地的面积 最大．（3 分）
18. 已知二次函数
中，函数 与自变量 的部分对应值如表：
23. （5 分）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位 时，水面宽 ，水位上升
，交 轴于点
，交 轴于点 ．
（1）求抛物线和直线 的解析式；（4 分）
（2）求
的铅垂高 及
；（2 分）
（3）抛物线上是否存在一点 ，使
存在，请说明理由．（3 分）
，若存在，求出 点的坐标；若不
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，就达到警戒水位 ，这时水面宽 ，若洪水到来时，水位以每小时
的速度
上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
则当
时， 的取值范围是
．
三、解答题（共 8 小题；19-24 题每小题 5 分，25 题 7 分，26 题 9 分，共 46 分）
19. （5 分）解方程：
．
20. （5 分）一个口袋中放有 个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑 球个数的 倍多 个．从袋中任取一个球是白球的概率是 ． （1）求袋中红球的个数；（4 分） （2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．（1 分）
24. （5 分）某班“数学兴趣小组”对函数
的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整．
（1）自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表：
其中，
．（1 分）
（2）根据表格数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请
2021-2022年高三上学期9月月考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期9月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则等于( )A. B. C. D.2.已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3.函数的图像大致是( )4.已知，则等于( )A. B.7 C. D.5.已知中，，则B等于( )A. B.或 C. D.或6.要得到函数的导函数的图像，只需将的图像( )A.向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的（横坐标不变）B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）C.向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的（横坐标不变）D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）7.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果，那么向量等于( )A. B. C. D.8.若，则( )A. B. C. D.9. 如果，那么以A,B,C为内角的是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形10.在钝角中，角A,B,C所对的边分别为，且满足，，则的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知函数的周期为2，当时，那么函数与函数的图像的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个12.已知．现有下列命题：①；②；③. 其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13若，则的值是。
14. 如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且和互补，则AC 的长为 km 。
15.规定运算：，例如：，则函数的值域为 。
16.关于函数，有下列命题： ①若，则必是的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称.其中正确的是 。
北京市海淀区北京一零一中学23届高三上学期9月月考数学含答案
北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合M ＝｛x ∈Z |1g （x -1）≤0｝，N ＝｛x ∈Z|x |＜2}，则M N ＝（ ） A.φB. （1，2）C. （-2，2］D. {-1，0，1，2｝2. 如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么（ ） A. b ＝3，ac ＝9B. b ＝-3，ac ＝9C. b ＝3，ac ＝-9D. b ＝-3，ac ＝-93. 设)(x f ，)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递减。
其中，正确的命题是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 若ab ＞0，且a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22b a <B.a 1＜b1C.2>+ba ab D.2ba +＞ab 5. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形6. 已知函数)(x f ＝cos 2ωx -sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，则（ ） A. )(x f 在（0，2π）内单调递增B. )(x f 在（0，2π）内单调递减 C. )(x f 在（4π，43π）内单调递增D. )(x f 在（4π，43π）内单调递减7. 若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足f （1）＝1，f （2）＝2，则f （3）-f （4）＝（ ）A. -1B. 1C. -2D. 28. 下图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3，3］的大致图像，则该函数是（ ）A. 1323++-=x xx yB. 123+-=x xx yC. 1cos 22+=x xx yD. 1sin 22+=x xy 9. 已知函数)(x f ＝x 3+x 2-2|x |-k 。
北京市延庆区2021届高三一模考试数学试题Word版含解析
北京市延庆区2021届高三一模考试数学试题第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( )A. 0B. 1C. 1-D. 1± 【答案】C【解析】【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-.故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.2.已知向量()()1,,,2,a k b k ==若a 与b 方向相同，则k 等于( )A. 1B.C. 【答案】D【解析】【分析】依题a //b ，且a 与b 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为a 与b 方向相同，则存在实数λ使(0)a b λλ=>，因为()()1,,,2a k b k ==，所以(,2)b k λλλ=，所以12k k λλ=⎧⎨=⎩，解之得22k =，因为0λ>，所以0k >，所以k =故答案选：D【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.3.下列函数中最小正周期为π的函数是( )A. y sinx =B. 12y cos x = C. 2y tan x = D. y sinx = 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】A 选项的最小正周期为221T ππ==；B 选项的最小正周期为2412T ππ==；C 选项的最小正周期为2T π=；D 选项的最小正周期为1T ππ==.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A. 1y x = B. y tanx = C. x xy e e -=- D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.【详解】对于A 选项，反比例函数1y x =，它有两个减区间，对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()x x f x e e -=-知()x x f x e e --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x x f x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增，所以函数x x y e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩， 所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为433，则它的表面积为( )A. 8B. 12C. 443+D. 20【答案】B【解析】【分析】 由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为h ，则依题意有1223V h =⨯⨯=所以h =12h === 所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯， 所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯.故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，锥体体积公式应用，表面积的求法，属于基础题. 6.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是( ) A. 160B. 80C. 50D. 10【答案】B【解析】【分析】由二项式定理公式1C r n r r r n T a b -+=即可得到结果. 【详解】依题5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为: 2551031551(2)()2r r r r r r r T C x C x x---+==， 当1034r -=时，2r，此时523552280r r C C -==， 所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80. 故选：B【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A. 5-B. 5-C. 5D. 25- 【答案】A【解析】【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβ，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β 依题有OA OB ⊥,则90αβ，所以25cos cos(90)sin αββ，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.8.已知直线,a b ，平面,//b a a b αβαβα⋂=⊥，，，，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若//a α，则在平面α内必定存在一条直线a '有//a a '，因为a b ⊥，所以a b '⊥，若a β⊥，则a β'⊥，又a α'⊂，即可得αβ⊥，反之，若αβ⊥，由b αβ=，a b '⊥，a α'⊂可得a β'⊥，又//a a '，则有a β⊥.所以“a β⊥”是“αβ⊥”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属中档题.9.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）( )A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年 【答案】B【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310()2x ，640()5x ，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22x x+=） B 产品的年产量为1640(140()55x x +=）， 依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量， 则3610()40()25x x >化简得154x x +>，即lg5(1)lg 4x x >+， 所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 2 6.206213lg 2≈- 所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.10.已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )C. 32D. 92【解析】【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出1F BF 的面积，根据1F BF 和BOF 的关系即可得到答案. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分， 则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒， 依题可知12||2216910F F c ==+=， 由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠= 即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=； 又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=. 两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF 的面积为： 111113||||sin 123322F BF S BF BF F BF =∠=⨯=因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BFS S ==【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分11.已知集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈，则k 的取值范围是____________. 【答案】(,3)-∞【解析】【分析】由集合元素与几何的关系即可得到答案. 【详解】因为集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈， 所以13k >--，解得3k <， 所以k 的取值范围是(,3)-∞.故答案为：(,3)-∞【点睛】本题考查集合的基本定义，属基础题.12.经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.【答案】(2)3y x =±+ 【解析】【分析】 设直线l 方程为(2)y k x =+，根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案.【详解】依题满足条件的直线斜率存在，设直线l 方程为：(2)y k x =+即20kx y k -+=.又221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1,又直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，1=，解之得：k =所以直线的方程为(2)3y x =±+.故答案为：(2)3y x =±+ 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离解决问题，属于基础题.13.已知函数()222f x sin x sin x cos x =+-，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.【解析】【分析】利用倍角公式化简，代入即可得到答案.【详解】()222sin 2cos2f x sin x sin x cos x x x =+-=-所以11sin cos 1266222f πππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：12 【点睛】本题考查三角函数的倍角公式，代入法求值，属基础题.14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29【解析】【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为A ，第二天售出商品的种类集为B ，第三天售出商品的种类集为C ，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为①16；②29．【名师点睛】本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.15.在ABC 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若4562CAD AC ∠=︒=，，则ABC 的面积等于____________.【答案】 (1). 7 (2). 42【解析】【分析】（1）依题可得1()2AD AB AC =+，则有1||||2AD AB AC =+，利用向量运算即可得到答案. （2）在ADC 和ADB △中分别用正弦定理，求出AD DB ，，再利用AD DB =，180ADB ADC ∠+∠=，即可求得sin BAC ∠，再利用三角形的面积公式即可得到答案.【详解】（1）依题在ABC 中，D 是AB 的中点， 所以1()2AD AB AC =+所以1||||2AD AB AC =+ 又6,60AC A =∠=所以22||2AB AC AB AB AC AC +=+⋅+ 22102106cos60619614=+⨯⨯+==所以1||||72AD AB AC =+= 所以AD 的长等于7. （2）在ADC 中，由正弦定理有：sin sin AC DAC D A C C D =∠∠ 所以sin 62456sin sin sin AC DAC DC ADC ADC ADC ∠===∠∠∠；在ADB △中，由正弦定理有：sin sin BD AB BAD ADB=∠∠ 所以sin 10sin sin sin AB BAD BAD BD ADB ADB ∠∠==∠∠ 因为D 是AB 的中点，则AD DB =，180ADB ADC ∠+∠=,所以sin sin ADB ADC ∠=∠，所以10sin 6BAD ∠=即3sin 5BAD ∠=，所以4cos 5BAD ∠==± 当4cos 5BAD ∠=时， sin sin(45)sin cos 45cos sin 45BAC BAD BAD BAD ∠=∠+=∠+∠34cos )()55BAD BAD =∠+∠=+=当4cos 5BAD ∠=-时，sin sin(45)BAC BAD ∠=∠+34)55=-=不符合题意， 所以ABC 的面积为：11sin 10422210ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= 故答案为：（1）7；（2）42【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及模的运算，考查正弦定理和三角形的面积公式，考查学生推理和计算能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，4AB PD PC O =⊥，，是CD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点，//PA 平面BDE .（1）求证：E 是PC 的中点；（2）求证：PD 和BE 所成角等于90.︒【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）因为//PA 平面BDE ，由线面平行的性质定理及三角形中位线的判定即可得证.（2）由PO ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形可证BC ⊥平面PDC ,从而可证PD ⊥平面PBC ，从而得证结论. 【详解】（1）如图，联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ，因//PA 平面BDE ，平面PAC 平面BDE =EF ,所以//PA EF .又因为四边形ABCD 是正方形，所以F 是AC 的中点，所以EF 是PAC 的中位线，所以E 是PC 的中点（2）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以BC CD ⊥又PO CD O =，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC PD ⊥又因为PD PC ⊥且BC PC C ⋂=，所以PD ⊥平面PBC因为BE ⊂平面PBC ，所以PD BE ⊥，所以PD 与BE 成90︒角.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面平行的判定定理的运用，考查学生逻辑推理能力，属中档题.17.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，1016a =.（1）判断2024是否是数列{}n a 中的项，并说明理由；（2）求n S 的最值.从 ①810a =；②88a =；③820a =中任选一个，补充在上面的问题中并作答.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）n S 最小值-26，无最大值 .【解析】【分析】（1）选择①，用等差数列的通项公式即可求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出数列{}n a 的通项，令2024n a =，求出的n 若为整数则2024是数列{}n a 中的项，否则不是.（2）令0n a >，求出n 的范围，从而可确定n S 的最大最小值情况.【详解】选①810a =（1）选①810a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1081610a a =⎧⎨=⎩，所以11916710a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1311d a =⎧⎨=-⎩ 所以1(1)11(1)3n a a n d n =+-=-+-⨯314n =-令 3142024n -=，则32038n =，此方程无正整数解所以2024不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a >，即3140n ->，解得：142433n >= 所以当5n ≥时，0,n a >当4n ≤时，0,n a <所以当4n =时，n S 的最小值为41185226S =----=-.n S 无最大值.选②88a =设等差数列{}n a 的公差为d ，因为108168a a =⎧⎨=⎩，所以1191678a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1420d a =⎧⎨=-⎩ 所以1(1)20(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯424n =-令 4242024n -=，则512n =，此方程有正整数解所以2024是数列{}n a 中的项.（2）令0n a >，即4240n ->，解得：6n >所以当7n ≥时，0,n a >当6n ≤时，0,n a ≤所以当5n =或6n =时，n S 的最小值为56656(20)4602S S ⨯==⨯-+⨯=-. n S 无最大值.若选②820a =设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1081620a a =⎧⎨=⎩，所以11916720a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1234d a =-⎧⎨=⎩ 所以1(1)34(1)(2)n a a n d n =+-=+-⨯-362n =-令 3622024n -=，则994n =-，此方程无正整数解所以不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a ≥，即3620n -≥，解得：18n ≤，所以当18n >时，0n a <，当18n >时，0n a < ，所以当17n =或18n =时，n S 的最大值为171818171834(2)3062S S ⨯==⨯+⨯-=. n S 无最小值. 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，以及等差数列的前n 项和的最值问题，主要考查学生的计算能力和直观想象能力，属于基础题.18.A B C ，，三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：（1）试估计A 班的学生人数；（2）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（3）从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.【答案】（1）36；（2）920；（3）1135. 【解析】【分析】（1）利用分层抽样的方法即可得到答案；（2）利用古典概率的公式即可得到答案；（3）利用分类和分步计数原理和组合公式即可得到答案.【详解】（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自A 班的学生有6名．根据分层抽样的方法可知A 班的学生人数估计为61203620⨯=人． （2）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法， 设此人一周上网时长超过15小时为事件D, 其中D 包含的选法有3+2+4=9种，所以 9()20P D =. 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为920. （3）设从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)i i ≤≤人一周上网超过15小时为事件i E ,从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F ，则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C C C C C P E F E F C C ++⋃===⨯. 【点睛】本题主要考查分层抽样，古典概型及计数原理和组合公式，属基础题.19.已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【答案】（1）2y x =；（2）(,1](0,1]-∞-⋃.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用直线的点斜式即可得到答案；（2）利用导数求出函数的极值及单调区间，列表求出函数的最值，根据题意即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）解：2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a x f x x +-'+-=+ ()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-= 则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()f x 的最大值为21()f a a=， 若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立， 所以2102a a-≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a=-= 则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+， 所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立， 所以2102a a-≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最大值和最小值，考查学生的运算求解能力，分类讨论和转化与化归的能力，属中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b G +=>>：的左焦点为(),F 且经过点(),,C A B 分别是G 的右顶点和上顶点，过原点O 的直线l 与G 交于,P Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M .（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若3PQ =，求直线l 的方程；（3）若BOP △的面积是BMQ 的面积的4倍，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）2y x =；（3）814y x =. 【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义即可求出a 的值，从而求出b ，从而得到答案.（2）根据题意设出直线方程，联立方程由根与系数的关系可得1212,x x x x +，再利用弦长公式即可得到答案.（3）依题设出点,,P Q M 的坐标以及直线l 的斜率，根据题目条件即可得坐标之间的关系，从而求出直线l 的斜率，从而求出直线直线l 的方程.【详解】（1）依题知c =1F ），因为点()C 在椭圆上，且1||CF =， 又||1CF =，所以12||||4a CF CF =+=，所以2a =所以222422b a c =-=-=， 所以椭圆的标准方程为22142x y +=. （2）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为(0)k k >，则直线l 的方程为y kx =，设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， 易知>0∆，且1212240,12x x x x k -+==+，则PQ ==3===，所以27,22k k ==±， 又0k >，所以直线l的方程为2y x =. （3）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A，B ，所以直线AB的方程为12x +=，即20x +-=. 若BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，则||4||OP MQ =,由,P Q 关于原点对称，可得||||OP OQ =,所以||4||OQ MQ =，所以3||||4OM OQ =即034m x x = ① . 设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得m x =， 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得0x =34=,化简得21470k-+=，解得814k=，所以直线l的方程为：814y x=.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式等，考查运算求解能力，方程思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.21.在数列{}n a中，若*,na N∈且()1,?1,2,3,?··23,nnnn naaa na a+⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数，是奇数则称{}n a为“J数列”.设{}na为“J数列”，记{}n a的前n项和为.n S（1）若110a=，求3nS的值；（2）若317S=，求1a的值；（3）证明：{}n a中总有一项为1或3.【答案】（1）3716nS n=+；（2）15a=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据递推公式列出数列{}n a中的项，找规律，发现周期性即可得到答案;（2）根据题意分情况进行求解即可得到答案;（3）首先证明：一定存在某个i a，使得6ia≤成立，再进行检验即可得到答案.【详解】（1）当110a=时，{}na中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,，即数列{}n a从第四项开始每三项是一个周期，所以312323S a a a=++=，634564217S S a a a-=++=++=，9678933(1)42177n nS S a a a S S--=++=++=-=，所以3237(1)716nS n n=+-=+.（2）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==， 由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意. ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =， 得2172k k k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解.综上，15a =.（3）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立. 否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i a a a +=<. 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a 单调递减，注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个i a ，使得6i a ≤成立. 经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；当6i a =时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3.【点睛】本题主要考查递推数列以及推理知识的综合应用，考查学生逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力，属中档题.。