【配套K12】九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版1

辽宁省鞍山市台安县2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根为（）A．x1=0，x2=﹣1 B．x1=0，x2=1 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=22．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1D．k＞2且k≠13．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（）A．35° B．55° C．70° D．110°5．点A（2，y1），B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2大大小关系为（）A．y1＞y2B．y1=y2 C．y1＜y2D．无法判断6．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30° B．35° C．40° D．50°7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜08．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D． n二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是．10．已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为．11．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是．12．已知点A（2a+2，﹣3）与点B（0，3b+6）关于坐标原点对称，则a+b的值是．13．如图，已知圆周角∠ACB的度数为100°，则圆周角∠D的度数等于．14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ．15．已知点（﹣3，2），（﹣1，2）在二次函数y=﹣x2﹣4x﹣1的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标为．16．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是．三、解答题（共10小题，满分102分）17．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．18．已知x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2=0的另个实数根，且（x1+1）（x2+1）=8．求k的值．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列各问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）画出的△A1B1C1和△A2B2C2有什么样的位置关系？20．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离．（2）求∠APB的度数．21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．22．如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 经过x轴上的点A，B．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．23．某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．24．某公司销售一种进价为每个20元的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元）的变化如表：（1）观察并分析表中的x与y之间对应关系，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元）的函数表达式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元）的函数表达式，并说明销售价格定为多少元时，净利润最大？最大值是多少？25．已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：．（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：．并证明你的结论．（3）运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是cm2．26．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年辽宁省鞍山市台安县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根为（）A．x1=0，x2=﹣1 B．x1=0，x2=1 C．x1=1，x2=2 D．x1=﹣1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故选B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．2．一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2 B．k＜2 C．k＜2且k≠1D．k＞2且k≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的根的判别式，以及二次项系数不等于0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．【解答】解：∵a=1﹣k，b=﹣2，c=﹣1，方程有两个不相等的实数根．∴△=b2﹣4ac=4+4（1﹣k）=8﹣4k＞0∴k＜2又∵一元二次方程的二次项系数不为0，即k≠1．∴k＜2且k≠1．故选C．【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．【解答】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．4．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（）A．35° B．55° C．70° D．110°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB=90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=35°，∴∠ABC=180°﹣90°﹣35°=55°，∴∠ADC=∠ABC=55°．故选B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．5．点A（2，y1），B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，则y1与y2大大小关系为（）A．y1＞y2B．y1=y2 C．y1＜y2D．无法判断【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右面y随x的增大而增大，∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上两点，2＜3，∴y1＜y2．故选C．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键6．如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′，再利用平行线的性质得∠C′CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC′中，根据内角和定理求∠CAC′．【解答】解：∵CC′∥AB，∠CAB=70°，∴∠C′CA=∠CAB=70°，又∵C、C′为对应点，点A为旋转中心，∴AC=AC′，即△ACC′为等腰三角形，∴∠BAB′=∠CAC′=180°﹣2∠C′CA=40°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．7．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（）A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b2＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴x=﹣=1＞0，则b＜0．抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，所以abc＞0．故A选项错误；B、∵x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0．故B选项错误；C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．故C选项错误；D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．故D选项正确；故选D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．8．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D． n【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】规律型．【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选：B．【点评】此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是﹣3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根．【解答】解：∵方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，设另一个为a，∴2a=﹣6，解得：a=﹣3，则方程的另一根是﹣3．故答案为：﹣3【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．10．已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为﹣1 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】把x=﹣a代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a，即可得出答案．【解答】解：把x=﹣a代入方程得：（﹣a）2﹣ab+a=0，a2﹣ab+a=0，∵a≠0，∴两边都除以a得：a﹣b+1=0，即a﹣b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程的解的应用，解此题的关键是理解一元二次方程的解的定义，题型较好，难度适中．11．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是（0，1）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【专题】压轴题．【分析】根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．【解答】解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．故答案为（0，1）．【点评】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，关键是对旋转性质的把握．12．已知点A（2a+2，﹣3）与点B（0，3b+6）关于坐标原点对称，则a+b的值是﹣2 ．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得2a+2=0，3b+6=3，解出a、b的值，然后可得a+b的结果．【解答】解：由题意得：2a+2=0，3b+6=3，解得：a=﹣1．b=﹣1，a+b=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．13．如图，已知圆周角∠ACB的度数为100°，则圆周角∠D的度数等于80°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质进行解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接⊙O，∴∠D+∠BCA=180°，∴∠D=180°﹣∠ACB=180°﹣100°=80°．故答案为：80°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补，属于基础题，直接利用定理即可求解．14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=125°．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】计算题．【分析】连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=70°，∵D是BC弧的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．15．已知点（﹣3，2），（﹣1，2）在二次函数y=﹣x2﹣4x﹣1的图象上，则此二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，3）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的顶点坐标公式，可得答案．【解答】解：y=﹣x2﹣4x﹣1的顶点横坐标为﹣=﹣=﹣2，纵坐标为==3，y=﹣x2﹣4x﹣1的顶点坐标为（﹣2，3）故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用了二次函数的顶点坐标公式：y=ax2+bx+c的顶点横坐标为﹣，纵坐标为．16．已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是x1=1，x2=2 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．【解答】解：∵二次函数的解析式是y=x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=．又∵二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2．故答案是：x1=1，x2=2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根．三、解答题（共10小题，满分102分）17．用配方法解方程：2x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：原方程化为配方得即开方得∴，．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．已知x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2=0的另个实数根，且（x1+1）（x2+1）=8．求k的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2和x1x2的值，再把（x1+1）（x2+1）=8整理，代入数据进行计算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2=0的另个实数根，∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2+2，∵（x1+1）（x2+1）=8，∴x1x2+（x1+x2，）+1=8，∴2（k+1）+k2+2+1=8，解得k1=﹣3，k2=1，当k=﹣3时，得方程x2+4x+11=0，△=42﹣4×11＜0，舍去；当k=1时，得方程x2﹣4x+3=0，△=（﹣4）2﹣4×3＞0，∴k的值为1．【点评】本题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，掌握根与系数的关系是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列各问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；（3）画出的△A1B1C1和△A2B2C2有什么样的位置关系？【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征分别写出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）然后网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对称点A2、B2、C2，则△A2B2C2为所作；（3）根据中心对称的定义进行判断．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标的坐标为（2，﹣4）；（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为（﹣2，4）；（3）△A1B1C1和△A2B2C2关于原点中心对称．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．20．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB．（1）求点P与点Q之间的距离．（2）求∠APB的度数．【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．【分析】（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△QAB，可得△PAC≌△P′AB，PA=QA，旋转角∠QAP=∠BAC=60°，所以△APQ为等边三角形，即可求得PQ；（2）由△APQ为等边三角形，得∠APQ=60°，在△PQB中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠QPB=90°，可求∠APB的度数．【解答】解：（1）连接PQ，由题意可知BQ=PC=10，AQ=AP，∠PAC=∠QAB，而∠PAC+∠BAP=60°，所以∠PAQ=60度．故△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=AQ=4；（2）因为PA=3，PB=4，PC=5，利用勾股定理的逆定理可知：PQ2+BP2=BQ2，所以△BPQ为直角三角形，且∠BPQ=90°可求∠APB=90°+60°=150°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．21．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO=∠BCD；（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠BCD与∠ACE互余；又∠ACE与∠CAE互余∴∠BCD=∠BAC．（3分）∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠ACO=∠BCD．（5分）（2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB﹣EB=（R﹣8）cm，CE=CD=×24=12cm，（6分）在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2=OE2+CE2，即R2=（R﹣8）2+122（8分）解得R=13，∴2R=2×13=26cm．答：⊙O的直径为26cm．（10分）【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．22．如图，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 经过x轴上的点A，B．（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．【考点】二次函数综合题．【专题】代数综合题；压轴题．【分析】（1）在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质，CD∥AB且CD=AB=4，且C的纵坐标与D相同，运用平行四边形的性质，结合图形得出；（2）先根据题（1）求出抛物线的解析式，再在次抛物线基础上平移，即抛物线的对称轴不变．根据抛物线的性质特点，可设平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+8+k，平移后抛物线经过D点，将D（0，8）代入解析式，求出即可．【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，CD∥AB且CD=AB=4，点D的坐标是（0，8），∴点C的坐标为（4，8）（1分）设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH=BH=2，（2分）∴点A，B的坐标为A（2，0），B（6，0），C（4，8）．（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（4，8），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+8，（5分）把A（2，0）代入上式，解得a=﹣2．（6分）设平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+8+k，把（0，8）代入上式得k=32，（7分）∴平移后抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+40，（8分）即y=﹣2x2+16x+8．【点评】考查二次函数顶点，对称轴的性质，以及抛物线上下平移时的特征．23．某超市去年12月份的销售额为100万元，今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；销售问题．【分析】（1）题中有一个等量关系：12月份的销售额×（1+每个月销售额的增长率）2=1月份的销售额+24，根据等量关系列方程，求出解．（2）把所求结果代入（1）中方程的任何一边，可以求出答案．【解答】解：设每个月销售额的增长率为x，由题意得：（1）100（x+1）2=100（x+1）+24，解得：x1=﹣1.2（不合题意舍去），x2=0.2=20%．故所求百分数为20%．（2）2月份的销售额：100×1.22=144万元．【点评】题目根据二月份的销售额不变列方程，找等量关系是解应用题的关键．24．某公司销售一种进价为每个20元的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元）的变化如同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的x与y之间对应关系，用所学过的一次函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元）的函数表达式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元）的函数表达式，并说明销售价格定为多少元时，净利润最大？最大值是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据z=（x﹣20）y﹣40得出z与x的函数关系式，求出即可．【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则，解得：，故函数解析式为：y=﹣x+8；（2）根据题意得出：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40=﹣x2+10x﹣200，=﹣（x2﹣100x）﹣200=﹣ [（x﹣50）2﹣2500]﹣200=﹣（x﹣50）2+50，故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键．25．已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）发现：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：相等．（2）引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图2），△AB E与△ADG的面积关系是：相等．并证明你的结论．（3）运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图3），则图中阴影部分的面积和的最大值是22.5 cm2．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】综合题．【分析】（1）由于当E点旋转到DA的延长线上时，根据图形和三角形的面积公式容易得到△ABE与△ADG的面积关系；（2）相等．如图延长BA到点P，过点E作EP⊥BP于点P；延长AD到点Q，过点G作GQ⊥AQ于点Q，由此得到∠P=∠Q=90°，而四边形AGFE，ABCD均为正方形，根据正方形的性质可以得到AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，这样得到∠1=∠3，然后就可以证明△APE≌△AQG，接着得到EP=GQ，然后利用三角形的面积公式即可证明题目的问题；（3）根据（2）的几个可以得到三个阴影部分的面积都和三角形ABC的面积相等，而AB=5cm，BC=3cm，若图中阴影部分的面积和的最大值，则三角形ABC的面积最大，则其是直角三角形即可求解．【解答】解：（1）相等；（2）相等，证明：如图，延长BA到点P，过点E作EP⊥BP于点P；延长AD到点Q，过点G作GQ⊥AQ于点Q．∴∠P=∠Q=90°∵四边形AGFE，ABCD均为正方形∴AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△APE≌△AQG（AAS）∴EP=GQ又∵S△ABE=AB•EPS△AGD=AD•GQ∴S△ABE=S△AGD（7分）（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和的最大值，则三角形ABC的面积最大，∴△ABC是直角三角形，∠B是直角，∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×3×5÷2=22.5cm2，故答案为：相等；相等；22.5．【点评】此题分别考查了旋转的性质、正方形的性质及全等三角形的判定与性质，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．26．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；探究型．【分析】（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3），可以求得抛物线的表达式；（2）根据函数的解析式可以求得点B的坐标，从而可以求得直线BC的解析式，设出点P、D的坐标从而可以表示出△BDC的面积，从而可以得到点P的坐标；（3）根据题意可知AC可能为平行四边形的边，也可能为对角线，从而可以分为两种情况，从而可以分别求得点E、F的坐标．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），点C（0，3）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴解得b=2，c=3．即抛物线的表达式是y=﹣x2+2x+3；（2）令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∵点A（﹣1，0），∴点B的坐标为（3，0）．设过点B、C的直线的解析式为：y=kx+b，解得k=﹣1，b=3．小初高试卷教案类∴过点B、C的直线的解析式为：y=﹣x+3．设点P的坐标为（a，﹣a+3），则点D的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∴PD=（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）=﹣a2+3a．∴S△BDC=S△PDC+S△PDB===．∴当a=时，△BDC的面积最大，∴点P 的坐标为（）．（3）存在．当AC是平行四边形的边时，则点E的纵坐标为3或﹣3，∵E是抛物线上的一点，∴将y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2；将y=﹣3代入y=﹣x2+2x+3，得．∴．则点．当AC为平行四边形的对角线时，则点E的纵坐标为3，∵E是抛物线上的一点，∴将y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x1=0（舍去），x2=2；即点E4（2，3）．则F4（﹣3，0）．由上可得，点E 的坐标为：，E4（2，3），与之对应的点F 的坐标是：，F4（﹣3，0）．【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是根据题意找出其中的相关联的量，利用分类讨论的数学思想解答各个问题．K12小学初中高中。