幂函数
幂函数的性质
幂函数的性质幂函数是数学中常见的一种函数形式，由x的幂次和常数项构成。
幂函数的一般形式可以表示为f(x) = ax^n + b，其中a、n和b为常数，且n为正整数。
幂函数具有独特的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点等，下面将详细探讨幂函数的各种性质。
一、定义域幂函数的定义域取决于幂指数n的奇偶性：当n为奇数时，幂函数的定义域为实数集；当n为偶数时，幂函数的定义域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的定义域为非负实数集，即x ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的定义域为空集，即不存在实数使幂函数的结果为负数。
二、值域幂函数的值域也与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为奇数时，幂函数的值域为全体实数；当n为偶数时，幂函数的值域取决于系数a的正负性：- 若a>0，则幂函数的值域为非负实数集，即f(x) ≥ 0；- 若a<0，则幂函数的值域在实数轴上存在最大值，即存在一个唯一的实数C使得f(x) ≤ C。
三、奇偶性幂函数的奇偶性由幂指数n来决定：当n为偶数时，幂函数为偶函数，即f(x) = f(-x)，图像关于y轴对称；当n为奇数时，幂函数为奇函数，即f(x) = -f(-x)，图像关于原点对称。
四、单调性幂函数的单调性与幂指数n的奇偶性和系数a的正负性相关：当n为正整数且n为奇数时，幂函数在整个定义域上单调递增或单调递减；当n为正整数且n为偶数时，幂函数在定义域上存在极值点，若系数a>0，则为单调递增，若系数a<0，则为单调递减。
五、图像特点幂函数的图像具有一些特点：当n为正整数时：- 当n为奇数时，幂函数的图像经过点(0, 0)且从第三象限经过第一象限，右上倾斜；- 当n为偶数时，幂函数的图像经过点(0, 0)，右侧在y轴上方且上升（a>0）或下降（a<0）。
综上所述，幂函数的性质主要包括定义域、值域、奇偶性、单调性以及图像特点。
幂函数
幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.1.下列函数是幂函数的是( )(A) y=2x (B) y=2x -1 (C) y=(x+1)2(D) y=2.下列说法正确的是( )(A) y=x 4是幂函数,也是偶函数; (B) y=-x 3是幂函数, 也是减函数; (C) y=是增函数, 也是偶函数; (D) y=x 0不是偶函数. 3. 下列幂函数中,定义域为R 的是( )(A) y=x -2(B) y= (C) y= (D) y=4．下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 5．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是（ ）A ．]6,(--∞B ．),6[+∞-C ．]1,(--∞D ．),1[+∞-6．若a <0，则0.5a、5a、5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a7.比较两个数的大小 （1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--32x x 21x 41x 21x -课后作业1 ．已知3332512,(),()22R P Q -===，则P 、Q 、R 的大小关系是（ ）A ．P Q R <<B ．Q R P <<C ．Q P R <<D ．R Q P <<2 ．函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b4 ．已知,则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数(1)||xxa y a x =>的图像大致形状是6．若函数y =a x +b-1(a >0且a ≠1 )的图象经过一、三、四象限,则正确的是（ ）A ．a >1且b <1B ．0<a <1 且b <0C ．0<a <1 且b >0D ．a >1 且b <07．若10a -<<,则式子1333,,aa a 的大小关系是（ ）A ．1333aa a >> B ．1333aa a >> C ．1333aa a >> D ．1333a a a >> 8．已知函数)2008(,4)20081(2log log )(32f f x b x a x f 则且=++=的值为 （ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．2xy 2=[)∞+,0[)∞+,1()∞+∞-,),2[∞+0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===,,a b c a c b <<c a b <<a b c <<b c a <<ABC。
幂函数总结
(1)幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(1)指数为常数．(2)底数是自变量，自变量的系数为1.(3)幂x α的系数为1.(4)只有1项． (2)幂函数的图象与性质 幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1 的图象与性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R[0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)1．函数f (x )＝(m 2－m －1)x 是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．(4)若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (5)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，1、若()()22251,,4,1,1,,12xxy x y y x y x y x y x y a a ⎛⎫====+=-==> ⎪⎝⎭上述函数是幂函数的个数是( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1C.32 D ．23、幂函数224(1)m y m m x -=-+在第一象限内单调递减，求实数m 的取值集合（ ）A.(),2-∞ B.{}0 C.{}1 D.{}0,14．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式． 5．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则a 的取值范围是________．6．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1 B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1 D ．n <－1，m >15．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x 23n n－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或27．已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞ca ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .若不分离参数，其关键点是： ①不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，转化为f (x )min >A ，从而求f (x )的最小值． ②不等式f (x )<A 在区间D 上恒成立，转化为f (x )max <A ，从而求f (x )的最大值．8．设a ＝20.3，b ＝30.2，c ＝70.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <b B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 9、已知函数2243()(1)m m f x m m x -+=--是幂函数，且其图像与y 轴没有交点，则实数m =( )A.2或-1B.2C.4D.-1 10、已知点(,9)m 在幂函数()(2)nf x m x=-的图象上，设1312(),(ln ),()32a f mb fc f -===则,,a b c 的大小关系为( )A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<11、已知幂函数()y f x =的图象过12(,)22，则2log (2)f 的值为( )A ．2 B ．2- C ．12 D ．12- 12、设11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭,则使幂函数a yx =为奇函数且在()0,?+∞上单调递增的a 值的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.513、已知函数,,a b c y x y x y x ===的图像如图所示,则,,a b c 的大小关系为( )A.c b a << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<14、已知函数1()2x f x -=,则2(2)(log 12)f f +=_________________.15、幂函数()f x 的图像过点()3,3,则()22f x x -的减区间为__________.16、2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x 2-3n n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或217、已知221(2)(2)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是________.15、已知幂函数21()*()()m m f x x m N -+=∈的图象经过点(2,2)(1).试求m 的值并写出该幂函数的解析式 (2).试求满足(1)(3)f a f a +>-的实数a 的取值范围18.幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________.19.若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )20下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x )C ．y＝ln(1＋x ) D ．y ＝ln(2＋x )。
高考数学知识点幂函数知识点总结
高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。
它在求解各类问题中具有广泛的应用。
本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。
一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。
2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。
3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。
二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。
由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。
2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。
具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。
3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。
具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。
4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。
幂函数
1111.2,,,2.2,,,222221111.,2,2,.2,,2,2222--------A B CD 幂函数知识归纳：1、幂函数的定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
2、幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；（5）无论α取什么实数，幂函数在第四象限都没有图象（6）幂指数的分母为偶数时，图象只在 第一 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于y 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限关于 原点 对称．(7) 在经过点(1,1)平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由大到小的关系幂函数的图象从 上 到 下 分布；3、P78 页几种重要幂函数图象性质。
题型归类一、 幂函数定义及性质1、函数 ()21m m y m x -=- 为幂函数,则函数为( )A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数2、求下列函数的定义域和值域()()233412y x y x --==二、幂函数的图象1、如图中的曲线是幂函数y=n x 在第一象限的图象,已知n 取±2､±12四个值,则相应的曲线1234,,,C C C C 中的n 值依次为( )三、幂函数的性质1、比较下列各组中值的大小，并说明理由：(1)1.10.5，1.40.5 (2) (-π)-1, （-3.14）-1 (3)1.40.5，1.432、已知幂函数 ()39*m y x m N -=∈的图关于y 轴对称,且在区间(0,+∞)上是函数值随x 的增大而减小， 求满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围 。
幂函数的性质知识点总结
幂函数的性质知识点总结幂函数是一种常见的函数形式，其形式为$f(x)=x^a$，其中$a$为实数，$x$为正实数。
在初等数学中，我们常常使用幂函数来描述各种各样的问题。
因此，本文将全面总结幂函数的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等等。
一、定义域对于幂函数$f(x)=x^a$，其定义域为$x>0$。
这是因为，对于$x\leq 0$的情况，幂函数的值可能会在实数范围内无限制地扩大或缩小，从而变成无意义的虚数或复数。
因此，为了确保$f(x)$在实数范围内有意义，必须限定$x>0$。
二、值域当$a>0$时，$f(x)$的值域为$[0,+\infty)$。
这是因为，对于$x=0$时，$f(x)=0$；而对于$x>0$时，$f(x)$的值随着$x$的增大而增大，趋近于无穷大。
因此，$f(x)$的值域为$[0,+\infty)$。
当$a<0$时，$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$。
这是因为，对于$x\neq 0$时，$f(x)>0$；而对于$x=0$时，$f(x)=0$。
因此，$f(x)$的值域为$(0,+\infty)$。
三、单调性当$a>0$时，$f(x)$在定义域内单调递增。
这是因为，对于$x_1<x_2$的情况，$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^a-x_1^a)$。
由于$x_2>x_1$且$a>0$，因此$x_2^a>x_1^a$，仅需考虑到$x_2^a$与$x_1^a$的差异即可。
因此，$f(x)$在定义域内单调递增。
当$a<0$时，$f(x)$在定义域内单调递减。
这是因为，对于$x_1<x_2$的情况，$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^a-x_1^a)$。
由于$x_2>x_1$且$a<0$，因此$x_2^a<x_1^a$，仅需考虑到$x_2^a$与$x_1^a$的差异即可。
幂函数的知识
特殊性（2）：幂函数的单调区间(0，0）和（1，1）（2）单调区间：当a为整数时，a的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：①当a为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；②当a为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；③当a为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能幂函数的单调区间（当a为分数时）说在定义域R内单调递减）；④当a为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
当a为分数时，a的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：①当a>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；②当a>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；③当a<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；④当a<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；（3）当a>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<a<1时，幂函数图形上凸（横抛）。
当a<0时，图像为双曲线。
（4）在（0,1）上，幂函数中a越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中a越大，函数图像越远离x轴。
（5）当a<0时，a越小，图形倾斜程度越大。
（6）显然幂函数无界限。
（7）a=2n（n为整数）,该函数为偶函数{x|x≠0}。
[2]特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p／q ，且px，如果q是奇数，函数的定义域是R;如果q ／q 为既约分数（即p，q互质），q和p都是整数，则x p／q=q p是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。
当指数α是负整数时，设α=-k，则y=1／x k，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：a小于0时，x不等于0；a的分母为偶数时，x不小于0；a的分母为奇数时，x取R。
幂函数
NO21 幂函数1． 知识回顾：我们曾经学过的函数：y=,(y=),y=,(y= ),y=x,y=,y=,这些函数虽然定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数图象等都不进相同，但它们都有一个共同的特点：自变量均在底数的位置之上。
可以用一个共同的表达方式：y= (R)二．幂函数：（一）幂函数的定义：一般地，形如y= (R)的函数称为幂函数，其中a为常数。
（二）准确理解幂函数的定义：①幂函数具有严格的形式，如形如：y=m,y=,y=+m,y=等均不是幂函数；②不要把指数函数和幂函数混淆起来；（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．2、幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a 为偶数时，幂函数为偶函数；几种 重 要 的 幂 函 数 的 图象：y=x y= y=y= y=函特数征性质图像定义域 x R x R x R x[0,+)x R(R0)值域yR[0, +) y R[0, +)y R且y0奇偶性奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在x（-，0）y为减函数在x（0，+）y为增函数增函数增函数在x（-，0）y为减函数在x（0，+y为增函数定 点（1，1）、（0，0）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（0，0）、（1，1）（1，1）（五．例题详解：1．已知函数f(x)=( +2m),m为何值时，f(x)是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数2．函数f(x)=( -m-1)是幂函数，且当x（0, +)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式3． 点（，2）在幂函数f(x)的图象上，点（-2，）在幂函数g(x)的图像上。
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【例 1】 (1)y＝x5；
通过图像求下列幂函数的定义域与值域．
2 (2)y＝x 3 ； 1 (3)y＝x 3 ； (4)y＝x－2； 1 － (5)y＝x 4 .
例2 上是 证明幂函数 f ( x) x在0， 增函数。
【例 3】 比较下列各组数中两个数的大小：
2 1 0.5 (1) 与 0.5； 5 3 2 3 －1 (2)－ 与－ －1； 3 5 2 (3) 3
3 2 3 4 与 3 . 4
失误防范 1．注意区分幂函数y＝xα与指数函数y＝ax的区别． 幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰
好相反，底数为常数，指数为自变量．
2．幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内题·大思维]
1．你认为幂函数y＝xα与指数函数y＝ax
(a>0且a≠1)有何区别？
• 试试：判断下列函数哪些是幂函数.
• ①
1 y x
；②
y2
x
2
；
• ③ y
x
3
x
；④ y=1.
[小问题·大思维]
2．观察五个幂函数图像，试分析：函数
y＝xα在第一象限内的增减性与α有关系吗？ 试分类说明。 再试分析：函数y＝xα在其他象限图像 与什么有关系？怎么画？