两指标局部鞅_霍永亮

= Z 1n∧·
Z
2 n
∩1
Zn
↑2
Zn
× 1R+2
F 现验证 XZn为 ( Zzn ) -鞅, z≤ z′∈ 1R+2 , 有
F F F E (XZz′n| Zzn )= E (X z′| | Zz′n ) Zzn
F = E (X z′| ) Zzn
F F = E (X z′| | Zz1n ) Zzn F F F = E (X z′| | Zz1n′ | Zzn1 ) Zzn
T F 显然
Tm↑
× 1R+2 . 往证 X Tm 为一致可积 (
T z
m
)
-鞅。
G 由文 [ 4]定理 2. 6及 ( F4 )条件, z≤ z′∈ 1RZ+ ,
F F F E (XTz′m|
Tzm )= E (X Tz′m |
| Rz m, m
) T
z
m
·
F F = E (X zzm′∧ | Rm, m | Rzm, m ) Tzm
z ) z∈ 1R+2 满足 F 1 - F 4, 若对任意单指标 (
1 s
)
-停
时
S,
(
2 t
)
-停
时
F F F F F G T,
1 S
和
2 T
关于
S1∩
2 T
条件独立,
则称域流
(
z ) z∈ 1R+2 满足
( F4 )条件。
2 主要结果
定理 2. 1 右连鞅为局部鞅。
证明: 设 X 为右连鞅, 取 zn= ( n, n)则由可选样本定理有
F 定义
1.
2[ 5 ] 设
X
为适应可积过程,
称过程
X
z z
E ( X z|
z z
)为
X 在停点
Z 处的停止。
T 定义 1. 3 称右连适应过程 X 为局部鞅, 若存在停点增序列 ( Zn ),
Z
↑
n
× 1R+2 , 使得对
F 任意的 n, XZn为一致可积 ( Zzn ) -鞅。
F F F 定 义 1. 4[4] 设域流 (
L oca lM artingales of Two- param eter
H uo Y ong liang
( D epartm en t, ofM athem atics, Y ul in N orm al College, Shanx i 719000 ) A rstract T h is pape r g ives the tw o- param ete r loca l m ar ting ales unedr new stopp ing co ntex t, and hence certa in resu lts a re sim ilar to the lo ca l m ar ting ales o f onepa ram e ter ob tained. U nde r g ( F 4 ) cond it io n, the sto pp ing o f tw o- param ete r lo ca l m ar ting ale s is local m ar t ing ale s. T he local m ar t ing ale s o f L lo g+ L - in teg ra ls po s-
F F = E (X | Zz1n | Zz1n ) Zzn
F = E (X | Zz1n ) Zzn
F F = E (X z| | Zz1n ) Zzn
F = E (X z| ) Zzn
=
XZ z
n
由题设
XZ
具 1
n
有一
致可
积性
,
而
F (X Zz1n )Zn=
E
(
XZz
| 1
n
) Z
z
n
F F =
ε 3
取 N= m ax {N z, N z′}, 当 n> N 时上两式成立。 由 XZn的正则性, 当 z和 z′以 Q+ - , Q - + ,
Q - - 趋于某个 z0 时, 有
|X z -
X z′|≤|Xz -
XZz n|+
|X
Zn z
-
XZZ′n|+
|X Zz′n|-
X Z′|
<
ε3+
ε3 +
G G 由 XZn为一致可积
Z z
n
-鞅,
则 X
= Zz n
E (XZ∞n|
Zzn ),
F G F 故 E (XZ∞n|
Z z
n
)=
E (XZ∞n| | ∞Zn
) Zz n
F F = E (XZ∞n|
| ·
z∧ zn
) Zzn
F = E (XZ∞n|
) · ·
z∧ zn∧ z
G = E (XZ∞n| ) Zzn
令
k
·
Tm, k= ∨ ( Zn∧ Rn, m ),
m= 1
× 1R+2 , 使得 ( XZn )Rn, m
— 14 — 延安大学学报 (自然科学版 ) 第 17卷
则由 ( Zn )和 ( Rn, n )的递增性, 有
m
·
·
Tm Tm, m= ∨ ( Zk∧ Rk, k )= Zm∧ Rm, m, k= 1
F F =
E ( ( X zz′m )Rm, m |
| Rz m, m
) T
z
m
F = E ( ( X zzm )Rm, m | ) Tzm
F = E (X Tzm | ) Tzm
=
XT z
m
由于 (X Zm ) Rm, m= XTm , 故 X Tm一致可积。
因此, X 为局部鞅。
定理 2. 5 X 为局部鞅且 L log+ L -可积, 则 X 有正则修正 。
F 证明: 由题设及文 [ 5]定理 3, XZn为 L log+ L -可积 (
Z z
n
)
-鞅
,
根据
正则
性定
理,
XZn有正则
修正 (见文 [ 6 ]定理 9. 1), 仍记为 XZn。
由文 [ 7]系 2. 18, 有
F n→lim∞ XZzn=
n→lim∞ E( X z|
) Z
z
n
F = E ( X z|∨ ) Zzn n
F T 证明: 设 X 为局部鞅。 Z 为 ( z ) -停点。 令 ( Zn )为 X 的停点增序列,
Z
↑
n
× 1R+2 。
G F 由文 [ 4]定理 2. 6及 ( F4 )条件, 有 (X z ) Zn= (XZn ) z。 而 XZn为一致可积 ( Zzn ) -鞅, 由文 [ 5 ]
G F 定理 4及 ( F4 )条件, ( XZn ) z为一致可积 ( Zzn ) -鞅, 故 XZ 为局部鞅。
定理 2. 7 X 为 Gz 局部鞅, 则在 G( F4 )条件下, X 为局部鞅。
G G T 证明: 由 X 为 z 局部鞅, 故存在 z -停点增序列 ( zn ),
Z
↑
n
× 1R+2 , 使 X Zn为一致可
G F 积 ( Zzn ) -鞅。 由文 [ 4]定理 2. 1, zn 为 z -停点。
) Zzn
F =
E ( aX z+
bY z|
) Z
z
n
F F =
aE( X z|
Z z
n
)+
bE ( Y z|
) Zz n
= aXZzn+ bXZzn
F 从而 ( aX+ bY ) Zn为一致可积 (
Z z
n
)
-鞅。
即 ( aX+ bY )为局部鞅。
定理 2. 3 在 G( F4 )条件下, 局部鞅的停止为局部鞅。
第 4期 霍永亮: 两指标局部鞅
— 15 —
T F 证明: X 为局部鞅, 则存在停点增序列 ( Zn ),
Zn↑ × 1R+2 , 使 XZn为一致可积 (
Z z
n
)
-鞅,
G G 由文 [ 5]定理 4及文 [ 4 ]定理 2. 6, ( Xz) Zn为一致可积 (
Z z
n
)
-鞅,
但
Zn 不一定为
ε 3
=ε
于是 X 具有 Q+ - , Q -+ , Q - - 三个象限极限, 由于 X 为局部鞅, 故 X 为右连续的, 因此 X
具有正则修正 。
F G F 定理 2. 6 X 为局部鞅, z为 ( z ) -停点, 则在 ( F4 )条件下, Xz 为 z 关于停点 Z 的停止 σ-域 Gz 局部鞅。
1983, 13: 561- 577. 2 陈培德. 随机场一般理论. 中国科学院应用数学研究所, 1975 3 郑东. 两参数过程的停止与局部鞅. 陕西师范大学数学系硕士论文, 1988 4 霍永亮. 两指标停点 σ-域与停点的关系. 纺织基 础学报, 1998, ( 2). 5 霍永亮. 两指标过程的停止。 湛江师范学院学报, 1977, 18( 2) 6 P. Im k er lle r. T w o - param eter m a r ting a les and their quadra tic v a ria to n. L, N, M 1308, 1980 7 严加安. 鞅与随机积分引论. 上海科技出版社, 1981