§7 正定二次型
§7 正定二次型
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 E A 0 1 1, 2 0 2 4 0 , 0 5 4, 3 6.
即知 A是正定矩阵， 故此二次型为正定二次型.
例3 判别二次型
f 5 x 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
§7 正定二次型
一、惯性定理 二、正定二次型的概念
三、正(负)定二次型的判别
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理9(惯性定理) 设有实二次型 f x T Ax , 它的秩
f x f Cy ki yi2 .
i 1
充分性 设 k i 0 i 1,, n.
n
任给 x , 则 y C 1 x ,
2 即 f 为正定的 . f x k y 故 i i 0. i 1
必要性
假设有 ks 0, 则当y e s (单位坐标向量) 时,
为半正定二次型 为不定二次型
四、小结
1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系．
2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法： (1)定义法； (2)顺次主子式判别法； (3)特征值判别法.
思考题
设A, B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 0 矩阵C 是否为正定矩阵. 0 B
2 2
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是数学中一个重要的概念，它在优化问题、矩阵理论、微分方程等领域都有着重要的应用。
在实际问题中，我们经常需要判断一个二次型是否是正定的，因为正定二次型在优化问题中有着良好的性质，可以帮助我们解决问题。
研究正定二次型的判别方法对于理解和应用二次型具有重要的意义。
本文将就正定二次型的判别方法进行介绍和讨论，首先我们将对正定二次型做一个简单的介绍，然后详细讨论正定二次型的判别方法，包括特征值、惯性定理以及Sylvester定理等。
一、正定二次型的定义在矩阵理论中，二次型是指一个具有形式为\[ Q(x_1,x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]的二次齐次多项式。
在这里，a_{ij}是实数或复数，x_i是变量，i,j=1,2, \cdots, n，称n元二次型。
我们知道，二次型可以表示成矩阵的形式，即\[ X^TAx \]X=(x_1,x_2, \cdots, x_n)^T是一个列向量，A是一个n \times n的实对称矩阵，其对称性确保了二次型中不同的x_ix_j和x_jx_i的系数是相同的。
而正定二次型是指对于任意非零向量x，都有\[ x^TAx > 0 \]即对应的二次型值大于0。
这里需要注意的是，在一些文献中，正定二次型的定义可能会有所不同，但在本文中，我们将采用这个定义进行讨论。
1. 特征值判别法特征值是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
对于一个n \times n的实对称矩阵A，它一定可以对角化成\[ A = PDP^{-1} \]P是一个正交矩阵，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素是A的特征值。
特征值判别法是通过矩阵A的特征值来判断二次型的正定性。
如果A的特征值都大于0，则二次型是正定的；如果A的特征值都小于0，则二次型是负定的；如果A的特征值中既有正值又有负值，则二次型是不定的。
第七节 正定二次型和正定矩阵
这是因为 C 是可逆矩阵，只要Y 0 ，就有X 0 ，
于是 XT AX 0 ，即Y T (CT AC)Y 0 。
由变换的可逆性，若Y T (CT AC )Y 正定，也可推出 XT AX 正定。
充分性是显然的；下面用反证法证必要性：
假设某个dk 0 ，取 yk 1 ，其余 yj 0 ( j k) ，
代入二次型，得 f (0,,1,,0) dk 0 ，
与二次型 f (y1, y2,, yn) 正定矛盾。
2
(1) 二 次型 f ( y1, y2,, yn) d1 y12 d2 y22 dn yn2 正 定 的充分必要条件是di 0 。
A2 2
21 0 , 5
5 2 2 A3 2 5 1 88 0 ,
2 1 5
因此 A是正定的， 即二次型 f 正定。
9
例3 设有实二次型
f x12 x22 5x32 2t x1x2 2x1x3 4x2 x3
问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？
1 t 解 f 的矩阵为 A t 1
解 （2）f 的矩阵为 顺序主子式
1 2 A2 2
0 2
0 2 , 3
1 2
1 0,
2 0 ,
2 2
所以 f 是不定的。
17
练习：
P222 习题五
18
END
19
选用例题
1、 设A, B分 别 为m阶, n阶 正 定 矩 阵, 试 判 定 分 块
矩
阵C
A 0
0 B
是
否
为
正
高等代数正定二次型
g(k1, k2, · · · , kn) = f(c1, c2, · · · , cn) > 0.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正定二次型与非退化线性替换
因为二次型 (3) 也可以经非退化线性替换 Y = C−1X
是正定的当且仅当 di > 0, i = 1, 2, · · · , n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
正定二次型与非退化线性替换
设实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
n = 1 时，1 级矩阵 (a)，已知 a > 0，从而 (a) 正定.
假设对于 n − 1 级实对称阵命题为真. 现在来看 n 级实对称矩阵
A = (aij). 把 A 写成分块矩阵：
(
)
A = An−1 α ,
(6)
α′ ann
其中 An−1 是 n − 1 级实对称矩阵. 显然 An−1 的所有顺序主子
. .. . . ..
正定矩阵
定理 实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
aijxixj = X′AX
i=1 j=1
是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主子式全大于零.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正定矩阵
定理 实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法一、正定二次型的定义二次型是一个n元变量的二次多项式，即$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，$a_{ij}\in\mathbb{R}$是常数。
1. 对于任意的列向量$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\in\mathbb{R}^n$，有$x^TAx>0$；3. 矩阵$A$的特征值全部为正数。
正定矩阵的判别方法有以下三种：1. 首项主子式判别法定义：$A$的第$k$阶主子式指的是$A$的$k$阶行列式，即$$D_k=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}$$$(1)$ 如果$A$的所有$n$个主子式都大于零，即$D_1>0,D_2>0,\cdots,D_n>0$，则$A$为正定矩阵。
$(2)$ 如果$A$的任意$k$个连续的主子式的符号交替，即$D_1>0,D_2<0,D_3>0,\cdots,D_{2k-1}>0,D_{2k}<0$，则$A$为负定矩阵。
$(3)$ 如果存在$h$个主子式大于零，$i$个主子式小于零，则$A$的正负性取决于$h-i$的奇偶性。
2. 特征值判别法定义：对于矩阵$A$，如果存在数$k$和非零向量$x$，使得$Ax=kx$，则称$k$为$A$的特征值，$x$为$k$的特征向量。
定理：如果矩阵$A$的所有特征值都大于零，则$A$为正定矩阵。
正定二次型判定方法
正定二次型判定方法正定二次型是数学中重要的概念之一，它在很多领域中都有着广泛的应用。
在线性代数中，正定二次型是指对于任意非零向量，其二次型值都大于零。
本文将介绍正定二次型的判定方法。
我们需要了解什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，通常表示为Q(x)=x^TAx，其中x是一个n维列向量，A是一个对称矩阵。
二次型在很多问题中起到了至关重要的作用，比如在优化问题、概率统计和物理学中。
对于一个二次型，我们希望能够判断它是否是正定的。
如果一个二次型是正定的，那么它具有以下性质：1. 二次型的所有特征值都大于零；2. 对于任意非零向量x，有x^TAx>0。
那么如何判断一个二次型是否正定呢？有以下几种方法：1. 特征值判定法：计算对称矩阵A的所有特征值，如果所有特征值都大于零，则二次型是正定的。
这是一种常用的判定方法，但需要计算所有的特征值，计算复杂度较高。
2. Sylvester判准则：根据A的主子式的符号判断。
一个n阶矩阵A的主子式是A的前k行和前k列所组成的子矩阵的行列式，记作Dk。
如果A的所有主子式Dk的符号交替，即D1>0，D2<0，D3>0，...，(-1)^(n-1)Dn>0，则二次型是正定的。
这种方法通过计算主子式的符号来判断二次型的正定性，计算复杂度较低。
3. 正定矩阵的定义：如果一个矩阵A满足对任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵，对应的二次型是正定的。
这种方法直接使用正定矩阵的定义进行判断，判断过程较为直观。
总结起来，判断二次型是否是正定的方法有特征值判定法、Sylvester判准则和正定矩阵的定义。
这些方法各有优缺点，我们可以根据具体情况选择合适的方法。
在实际应用中，正定二次型的判定方法可以帮助我们解决很多问题。
比如在优化问题中，我们希望找到一个使目标函数取得最小值的向量，可以通过判断二次型的正定性来确定是否存在最小值。
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f y12 y p 2 y p12 yr 2 .
科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为 n
或负惯性指数为 n 的 n 元二次型，我们有下述定 义. 定义 10 设二次型 f x xT Ax ，如果对任何 ，则称 f 为正 x 0 ，都有 f x 0 （显然 f 0 0 ） 定二次型，并称对称矩阵 A 是正定的；如果对任何
的特征值全为正.
A 的各阶主子式都为正，即
a11 a11 0, a21 a12 a22 a11 a1n 0, , 0, an1 ann
对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式 为负，而偶数阶主子式为正，即
1
r
a11 a1r 0 r 1, 2, , n . ar 1 arr
§7 正定二次型 二次型的标准形显然不是惟一的，只是标准形中 所含项数是确定的（即是二次型的秩） . 不仅如此， 在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不 变的（从而负系数的个数也不变） ，也就有 定理 7 逆变换 设二次型 f xT Ax 的秩为 r ， 且有两个可
x Cy 及 x Pz
使
f k1 y12 k2 y22 kr yr 2 ki 0
及
f 1 z12 2 z22 r zr 2 i 0 ，
则 k1 , k2 , , kr 中正数的个数与 1 , 2 , , r 中正数的个 数相等. 这个定理称为惯性定理. 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的 正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数. 若二次 型 f 的正惯性指数为 p ，秩为 r ，则 f 的规范形便可确 定为
x 0 都有 f x 0 ，则称 f 为负定二次型，并称矩阵
A 为负定的.
定理 8
n 元二次型 f xT Ax 为正定的充分必要
条件是：它的标准形的 n 个系数全为正，即它的规范 形的 n 个系数全为 1 ，亦即它的正惯性指数等于 n .
推论 定理 9
对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：
这个定理称为赫尔维茨定理. 例 17 的正定性. 判断二次型
f 5 x12 6 x22 4 x3 2 4 x1 x2 4 x1 x3
解
f 的矩阵为
5 2 2 A 2 6 0 , 2 0 4
其中
a11 5 0,
a12
a12
a21 a22
5 2
2 6
26 0, A 80 0,
根据定理 9 知 f 为负定