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不等式选讲经典习题
知识网络§1 绝对值型不等式典例精析题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果?x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为?；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件.若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3.综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ?B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2?－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0?(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0， ①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ?B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ?B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ?B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1?1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.§2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得 lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac .而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0. 故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立， 即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).① 因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0). (1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa-1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln(1＋x )x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.§3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b )＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，则 a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a 2＋(1－a )2＋12＜252.所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a 2 ＋ b 2≥ 2(a ＋ b 2)2来证明比较好，它可以将具备a 2＋b 2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0， 求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2，(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜a k ＋1＜(k ＋2)22.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N *，都有n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081，观察上述结果推测出计算S n 的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时，S 1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2.则S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.即当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立. 题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a 1＝a (1＋14)－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54(54a －b )－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a 3＝54a 2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54＋1]b ＝(54)n a －4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时).(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a 2＋1＞||a ，n (n ＋1)＞n ； (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2；(4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k，1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k； 1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.§4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a 1，a 2，…，a n 都为正实数，证明：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】方法一：由柯西不等式，有(a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1)(a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)≥ (a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 1)2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2. 不等式两边约去正数因式a 1＋a 2＋…＋a n 即得所证不等式.方法二：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式有a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有 a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9. 【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b ac b c b b a ++++∙＋2b a a c a c b a ++++∙＋2c b ac a c c b ++++∙＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4 (当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x ＋2y ＋z )2，所以(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【证明】(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和得 1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即x ＋x 3＋…＋x 2n －1＋x n ≥(n ＋1)x n ，②将①和②相加得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .③ (2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n . 由①②仍然成立，于是③也成立. 综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a、b、c，则a＋b＋c＝3，且这三个正三角形面积和S满足：3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934?S≥334.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.。
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法2.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为不等式，故选Ｃ．【考点】绝对值不等式．3.若不等式|x-a|-|x|<2－a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是。
【答案】【解析】,所以原式恒成立，即,即,解得【考点】不等式恒成立问题4.若函数的最小值3，则实数的值为（）A．5或8B．或5C．或D．或【答案】D【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.【考点】1.绝对值函数的最值；2.分类讨论思想应用.5.已知定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有.若对所有，，则k的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨令，则法一：，即得，另一方面，当时，，符合题意，当时，，故法二：当时，，当时，，故【考点】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.6.若关于的不等式的解集为，则________.【答案】【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根, 即,故填.【考点】绝对值不等式绝对值方程7.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.8.已知函数（1）当a=1时，解不等式（2）若存在成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）.【解析】（1）当时，原不等式等价于，可采用零点分段法解不等式，即分成,,三种情况去绝对值，分别解不等式，最后求并集；属于基础题型；（2）,分和两种情况去绝对值，得到分段函数，得到函数的最小值为,若存在成立,只需的最小值小于6，得到的取值范围，此问属于比较简单的恒成立问题.（1）当时，不等式可化为，当时，不等式即当时，不等式即所以，当时，不等式即，综上所述不等式的解集为 5分（2）令所以函数最小值为，根据题意可得，即，所以的取值范围为. 10分【考点】1.解不等式；2.恒成立问题.9.设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分所以． 6分（2）由（1）得，．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分【考点】绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.10.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.11.设，且满足：，，求证：.【答案】详见解析【解析】根据题中所给条件：，，结合柯西不等式可得出：，由此可推出：，即可得出三者的关系：，问题即可求解．，，，又，，. 10分【考点】不等式的证明12.设函数,其中。
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则的最大值是，此时a+b+c= .【答案】【解析】由柯西不等式得，所以，当且仅当且，即，所以的最大值是，此时.【考点】柯西不等式.2.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.3.若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的最小值为．【答案】【解析】因为对任意正实数，不等式恒成立，所以，因此【考点】不等式恒成立4.设,则的最小值为。
【答案】9【解析】由柯西不等式可知。
5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤(2).【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】(1)由得.由题设得,即.所以3(ab+bc+ca)≤1,即.(2)因为+b≥2a,+c≥2b，+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c，所以.6.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.7.满足不等式的的取值范围是________.【答案】{或}【解析】不等式等价于，即，故的取值范围是．【考点】解不等式．8.不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．∪（1，+∞）【答案】D【解析】原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D9.如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，欲加工成一个面积不小于cm2的内接矩形玻璃（阴影部分），则其边长（单位：cm）的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设矩形的另一边长为，由图，三角形相似可知，，解得，则矩形面积，解得，故选D.【考点】1.一元二次不等式的求解.10.下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log32【答案】B【解析】选B.因为log32<log33=1,log23>log22=1,所以log32<log23,又因为log23<log25,所以log32<log23<log25.11.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A．b-a>0B．a3+b3<0C．a2-b2<0D．b+a>0【答案】D【解析】选D.因为a-|b|>0,所以a>|b|≥0.所以不论b正或b负均有a+b>0.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.实数x,y,z满足x2-2x+y=z-1且x+y2+1=0,试比较x,y,z的大小.【答案】z≥y>x【解析】x2-2x+y=z-1⇒z-y=(x-1)2≥0⇒z≥y;x+y2+1=0⇒y-x=y2+y+1=+>0⇒y>x,故z≥y>x.14.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.【答案】[9,+∞)【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab≥9,当a=b=3时取等号.15.若a,b,c为正数,且a+b+c=1,则++的最小值为()A．9B．8C．3D．【答案】A【解析】选A.因为a,b,c为正数,且a+b+c=1,所以a+b+c≥3,所以0<abc≤,≥27,所以++≥3≥3=9.当且仅当a=b=c=时等号成立.16.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A．3B．2C．12D．12【答案】C【解析】选C.因为2x>0,4y>0,8z>0,所以2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3=3=3×4=12.当且仅当2x=22y=23z,即x=2y=3z,即x=2,y=1,z=时取等号.17.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算,即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是.【答案】a+(b*c)=(a+b)*(a+c)【解析】由题意知a+(b*c)=a+=,(a+b)*(a+c)==,所以a+(b*c)=(a+b)*(a+c).18.已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.【答案】见解析【解析】【证明】因为x>0,y>0,x-y>0,2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+≥3=3,所以2x+≥2y+3.19.已知函数f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R,求m的取值范围.【答案】(-∞,-3]【解析】【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三角不等式.f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6,解：因为x∈R,由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2,于是有m+1≤-2,得m≤-3,即m的取值范围是(-∞,-3].20.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）a＝2（2）{m|m≤5}【解析】(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|≥|(2－x)＋(x＋3)|＝5，当且仅当(2－x)(x＋3)≥0即当－3≤x≤2时等号成立．所以实数m的取值范围是{m|m≤5}．21.设a、b∈R＋，试比较与的大小．【答案】≥【解析】∵()2－＝≥0，∴≥22.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【答案】【解析】(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即＋＋的最大值为23.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝＋，N＝＋，求M与N的大小关系．【答案】M>N【解析】∵a≠b，∴＋>2，＋>2，∴＋＋＋>2＋2，即＋>＋，即M>N.24.已知a>0，求证：－≥a＋－2.【答案】见解析【解析】要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．25.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.【答案】（1）m＝1（2）见解析【解析】(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥(·＋·＋·)2＝9.26.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.27.设a,b,c均为正数,证明:++≥a+b+c.【答案】见解析【解析】证明：方法一:+++a+b+c=(+b)+(+c)+(+a)≥2a+2b+2c,当且仅当a=b=c时等号成立.即得++≥a+b+c.方法二:利用柯西不等式的一般形式得|a1b1+a2b2+a3b3|≤.取a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=代入即证.28.已知a,b,c∈(1,2),求证:++≥6.【答案】见解析【解析】证明：∵≥=,≥=,≥=.∴y=++≥++.又由柯西不等式可得[(a-b+1)+(b-c+1)+(c-a+1)](++)≥18,即++≥=6.∴y=6,当且仅当a=b=c=时取到最小值,min原不等式得证.29.“a<4”是“对任意的实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为|2x－1|＋|2x＋3|≥a，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点x到点和－的距离之和≥2，所以当a<4时，有<2，所以不等式成立，此时为充分条件要使|2x－1|＋|2x＋3|≥a恒成立，即恒成立，则有≤2，即a≤4综上，“a<4”是“|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的充分不必要条件，故选B.30.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.31.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．【答案】2.【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)( bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2) ＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a＋b)2＝2，当且仅当m＝n＝时，取“＝”．∴所求最小值为2.32.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)( a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）（2）≤x≤【解析】(1)f(x)＝图象如图．(2)由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)得≥f(x)．又因为≥＝2.则有2≥f(x)．解不等式2≥|x－1|＋|x－2|得≤x≤. 即x的取值范围为≤x≤33. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．34.若对任意的a∈R，不等式|x|＋|x－1|≥|1＋a|－|1－a|恒成立，则实数x的取值范围是________．【答案】x≤－或x≥【解析】由|1＋a|－|1－a|≤2得|x|＋|x－1|≥2，当x<0时，－x＋1－x≥2，x≤－；当0≤x≤1时，x＋1－x≥2，无解；当x>1时，x＋x－1≥2，x≥.综上，x≤－或x≥35.在R上定义运算，若关于的不等式的解集是的子集，则实数a的取值范围是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】，设A为关于的不等式的解集，当A为时，则即；当即时，，则即，所以；当即时，，则即，所以；综上可知.【考点】新定义、含参数不等式的解法.36.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.37.[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设，实数满足，求证：．【答案】．【解析】，，又． 10分【考点】本题主要考查绝对值不等式的证明，绝对值不等式的性质。
不等式选讲随堂练习(含答案)
不等式选讲基础巩固强化1.若关于x 的不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4[答案] D[解析] 由条件知－1、2都是方程|ax ＋2|＝6的根，代入解得a ＝－4.2．(文)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b，则M 、N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定[答案] B[解析] ∵0<a <1b ，∴ab <1，a >0，b >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b＝(1－a )(1＋b )＋(1＋a )(1－b )(1＋a )(1＋b )＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0， ∴M >N .(理)若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，M ＝a b ＋b a，N ＝a ＋b ，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ≥ND ．M ≤N[答案] A[解析]解法一：∵a≠b，∴ab＋b>2a，ba＋a>2b.∴ab＋b＋ba＋a>2a＋2b，∴ab＋ba>a＋b.即M>N，故选A.解法二：∵a>0，b>0，a≠b，∴M－N＝a－bb＋b－aa＝(a－b)(a－b)ab＝(a－b)2·(a＋b)ab>0，∴M>N.3．(文)(2011·皖南八校联考)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[－2,5] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)[答案] A[解析]由绝对值的几何意义易知：|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.(理)已知命题p：∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m，命题q：∃x∈R，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由绝对值不等式的几何性质可知，∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，故若命题p 为真命题，则m ≤3；当命题q 为真命题时，方程x 2－2mx ＋m 2＋m －3＝0有根，则Δ＝(－2m )2－4(m 2＋m －3)＝12－4m ≥0，解得m ≤3；所以“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的充要条件．4．若a ，b ∈R 且a ≠b ，则在①a 2＋ab >2b 2；②a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)；④b a ＋a b >2.这四个式子中一定成立的有() A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个[答案] D[解析] ①中a 2＋ab －2b 2＝(a ＋b 2)2－94b 2>0不一定成立，②中a 5＋b 5－a 3b 2－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)．当a ＋b <0时，不等式不成立，③中a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0故③成立，④中ab <0时不成立，故只有③正确．5．若不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 2－a 对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] ∵|x －4|＋|x ＋5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1， x≥4，9， －5<x <4，－2x －1， x ≤－5，∴|x －4|＋|x ＋5|≥9，∴log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，由题设条件知a 2－a <2，∴－1<a <2.6．(2012·济南二模)对于实数x 、y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( )A ．5B ．4C ．8D ．7[答案] A[解析] 由题得，|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋|2(y －2)|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.7．(2011·郑州二检)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为________．[答案] (－∞，－3)[解析] 解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式等价于|P A |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，∴－3≤P (A )－P (B )≤3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－12x －1，－1<x <2，3，x ≥2要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k <－3即可．故k <－3满足题意．8．已知a 、b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则4a ＋1＋4b ＋1的最大值是________．[答案] 2 3[解析] ∵a 、b ∈R ＋，a ＋b ＝1， ∴4a ＋1＋4b ＋1 ≤2[(4a ＋1)2＋(4b ＋1)2]＝2 3.9．设m ＝a 2b 2＋5，n ＝2ab －a 2－4a ，若m >n ，则实数a ，b 满足的条件是________．[答案] ab ≠1或a ≠－2[解析] ∵m －n ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a )＝a 2b 2－2ab ＋1＋a 2＋4a ＋4＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0，∴ab ≠1或a ≠－2.10．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )>a 恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x >32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6，或⎩⎨⎧ －12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6，或⎩⎨⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6.解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12，∴不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．(2)∵|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，若不等式f(x)>a恒成立，只需a＜4，故a的取值范围是(－∞，4)．(理)(2012·昆明一中测试)已知函数f(x)＝|x－a|＋a，若不等式f(x)≤4的解集为{x|2≤x≤4}．(1)求a的值；(2)若不等式f(x)≤mx的解集非空，求m的取值范围．[解析](1)由|x－a|＋a≤4得：|x－a|≤4－a，∴a－4≤x－a≤4－a，即∴2a－4≤x≤4，又不等式f(x)≤4的解集为{x|2≤x≤4}，∴2a－4＝2，∴a＝3.(2)由函数y＝f(x)与函数y＝mx的图象可知，当且仅当m≥1或m<－1时，函数y＝f(x)与函数y＝mx的图象有交点．故不等式f(x)≤mx的解集非空时，m 的取值范围为：(－∞，－1)∪[1，＋∞).能力拓展提升11.(文)(2011·课标全国文，24)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0，(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集．(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．[解析] (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎨⎧ x ≥a ，x ≤a 4，或⎩⎨⎧ x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以x ≤－a 2，所以原不等式的解集为{x |x ≤－a 2}．由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.(理)(2011·大同市高三模拟)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．[解析] (1)不等式f (x )＋a －1>0即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a >1时，解集为R ；当a <1时，解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)(2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立，又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．12．(文)(2011·山西省四校联考)设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12.[解析] (1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|，则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －6－2x ，x ≤－78，－7<x <12x ＋6，x ≥1.当x ≤－7时，f (x )有最小值8，当－7<x <1时，f (x )恒等于8，当x ≥1时，f (x )有最小值8，综上可知，f (x )有最小值8，所以m ≤8.(2)当m 取最大值8时，原不等式等价于：|x －3|－2x ≤4.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3x －3－2x ≤4或⎩⎨⎧x <33－x －2x ≤4， 解得x ≥3或－13≤x <3.所以原不等式的解集为{x |x ≥－13}．(理)(2012·河北保定市模拟)设f (x )＝ln(|x －1|＋m |x －2|－3)(m ∈R )．(1)当m ＝0时，求函数f (x )的定义域；(2)当0≤x ≤1时，是否存在m 使得f (x )≤0恒成立，若存在求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由．[解析] (1)当m ＝0时，|x －1|－3>0，∴x >4或x <－2，∴函数f (x )的定义域为 {x |x >4或x <－2}．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝ln[2m －(m ＋1)x －2]，f (x )≤0恒成立等价于0<2m －(m ＋1)x －2≤1恒成立，∴m >2＋x 2－x 且m ≤x ＋32－x. ①∵0≤x ≤1，∴2＋x 2－x ＝－1＋42－x∈[1,3]， ∴m >(2＋x 2－x )max＝3， ②∵0≤x ≤1，∴x ＋32－x ＝－1＋52－x ∈[32，4]， ∴m ≤(x ＋32－x )min ＝32， ∴不存在m 使得f (x )≤0恒成立．13．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .[证明] 因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z (x y ＋y x )≥2z .同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2得， x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .14．(2011·福建质检)已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x(0<x <1)的最小值． [解析] (1)证法一：∵a >0，b >0，∴(a ＋b )(a 2b ＋b 2a )＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立．证法二：∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab ＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)ab ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab. 又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )ab≥0， 当且仅当a ＝b 时等号成立．∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b .(2)∵0<x <1，∴1－x >0，由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x≥(1－x )＋x ＝1. 当且仅当1－x ＝x 即x ＝12时等号成立．∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 21－x (0<x <1)的最小值为1.15．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.[证明] 证法一：∵a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＋1ab ＝2＋b a ＋a b ＋1ab ≥2＋2b a ·a b ＋1(a ＋b 2)2＝8，等号成立时，⎩⎨⎧b a ＝a b ，a ＝b ，a ＋b ＝1，∴a ＝b ＝12.综上1a ＋1b ＋1ab ≥8.证法二：∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝a ＋b ＋1ab ＝2ab ≥8.1．(2011·山东烟台调研)实数x 满足log 3x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为( )A ．8B ．－8C ．0D ．10[答案] A[解析] ∵－1≤sin θ≤1，∴log 3x ＝1＋sin θ∈[0,2]，∴1≤x ≤9， ∴|x －1|＋|x －9|＝(x －1)＋(9－x )＝8，故选A. 2．f (x )＝2x ＋31－x 的最大值为( )A ．5 B.121313 C.13 D.522[答案] C[解析] (2x ＋31－x )2≤(22＋32)[(x )2＋(1－x )2]＝13， ∴2x ＋31－x ≤13，等号在x2＝1－x 3， 即x ＝413时成立．3．已知M ＝a 2＋b 2，N ＝ab ＋a ＋b －1，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ≥ND ．M ≤N[答案] C[解析] ∵(a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2)＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1，故选C.4．(2011·南昌调研)若不等式|x －2|＋|x ＋3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] a <0或1≤a ≤4[解析] 令y ＝|x －2|＋|x ＋3| (x ∈R )，易知y ≥5，由题意可知，a ＋4a ≤5， 变形为(a －1)(a －4)a ≤0， 解之得，a <0或1≤a ≤4.5．若a >0，b >0，则p ＝(ab )a +b 2，q ＝a b ·b a 的大小关系是________．[答案] p ≥q[解析] ∵a >0，b >0，∴p ＝(ab )a +b 2>0，q ＝a b ·b a >0，pq ＝(ab )a +b2a b b a ＝aa -b 2·bb- a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba +b 2.若a >b ，则ab >1，a －b 2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a +b 2>1；若a <b ，则0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a +b 2>1；若a ＝b ，则ab ＝1，a －b 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a +b 2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a +b 2≥1，即pq ≥1.∵q >0，∴p ≥q .[点评] 可运用特值法，令a ＝1，b ＝1，则p ＝1，q ＝1，有p ＝q ；令a ＝2，b ＝4，有p ＝83＝512，q ＝24×42＝256，∴p >q ，故填p ≥q .。
数学不等式选讲试题答案及解析
数学不等式选讲试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围。
【答案】（1）或（2）或【解析】（1）当时，不等式为，所以或或，解得或． 4分故不等式的解集为或． 5分．（2）因为（当时等号成立）， 8分所以．由题意得，解得或． 10分【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查基本运算求解能力.2.不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．(2)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.①画出函数y＝f(x)的图象；②若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a，b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．【答案】（1）{x|x≥1}（2）①②【解析】(1)令x＋3＝0得x＝－3；令x－2＝0得x＝2.当x≤－3时，原不等式变为：－x－3＋x－2≥3，解集为∅.当－3＜x＜2时，原不等式变为：x＋3＋x－2≥3，解得x≥1，∴1≤x＜2；当x≥2时，原不等式变为：x＋3－x＋2≥3，解集为R，∴x≥2.综上所述：原不等式的解集为{x|x≥1}．(2)①f(x)＝其图象如图所示．②由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)，得≥f(x)．又因为≥＝2，则有2≥f(x)，即2≥|x－1|＋|x－2|.解得≤x≤即x的取值范围为.3.已知实数x、y、z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是1，求a的值．【答案】【解析】由柯西不等式知：[x2＋(2y)2＋(3z)2][12＋()2＋()2]≥(x＋×2y＋×3z)2(当且仅当x＝4y＝9z时取等号)．因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.因为x＋y＋z的最大值是1，所以＝1，a＝，所以当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值1，所以a的值为.点评：用柯西不等式证明或求值时要注意两点，一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二要注意等号成立的条件．4.若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是【答案】【解析】因为所以存在实数解，有或5.设不等式的解集为M．（1）求集合M；（2）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．【答案】（1）（2）【解析】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。
不等式选讲测试
广水一中高二年级文科数学不等式选讲测试（一）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的选项中只有一个是符合题意的，请把答案涂在答题卡上）1.已知集合{}2560A x x x =-+≤，集合{}213B x x =->，则集合A B = （ ） A.{}23x x ≤≤ B.{}23x x ≤< C.{}23x x <≤ D.{}13x x -<<2．若,a b 是任意的实数,且a b >,则( )(A)22b a > (B)1<a b (C) lg()0a b -> (D)b a )21()21(< 3．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x xC ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+ 4．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y++的最小值是（ ） A．．1+．6 D ．75．设P =Q =R =,,P Q R 的大小顺序是（ ）A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >>6．函数46y x x =-+-的最小值为（ ）A ．2 B．4 D ．67．若(,1)x ∈-∞，则函数22222x x y x -+=-有（ ） A 最小值1 B 最大值1 C 最大值1- D 最小值1-8．若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是 （ ）A ．3B ．27C ．4D ．299．设0,0,1x y x y A x y +>>=++, 11x y B x y =+++，则,A B 的大小关系是（ ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >10．已知M 是ABC ∆内的一点，且32=∙，030=∠BAC ，，若MBC ∆MAB MCA ∆∆，的面积分别为y x y x 41,,,21+则的最小值为( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．9二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案写在答题纸上）11．若0,0,0a b m n >>>>，则b a , a b , m a m b ++, n b na ++按由小到大的顺序排列为_____________________________________。
高三数学不等式选讲试题
高三数学不等式选讲试题1.已知函数.（Ⅰ）解不等式: ；（Ⅱ）当时, 不等式恒成立,求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由于，可以转化为，所以分3种情况，，进行讨论去掉绝对值符号解不等式；第二问，，所以利用不等式的性质得到最大值代入上式，解不等式，得到a的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于:当时, ,即；当时, ,即；当时, ,即.综上所述,原不等式的解集为. （5分）（Ⅱ）当时,=所以（10分）【考点】绝对值不等式的解法、不等式的性质.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.若不等式|x-a|-|x|<2－a2对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是。
【答案】【解析】,所以原式恒成立，即,即,解得【考点】不等式恒成立问题4.对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .【答案】【解析】法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……①因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，取最大值时，或，当时，，当时，，综上可知当时，法二：柯西不等式：由可得：，当且仅当时取等号，即时，取等号，这时或当时，，当时，，综上可知当时，【考点】柯西不等式.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.不等式的解集为 .【答案】.【解析】解不等式，得，解得，故不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的求解7.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由函数，及解不等式，通过将x的区间分为3类可解得结论.（2）由当时，不等式恒成立，令函数.所以原题等价于，由.通过绝对值不等式的公式即可得到函数的最大值，再通过解绝对值不等式可得结论.（1）原不等式等价于：当时，，即.当时，，即当时，，即.综上所述，原不等式的解集为. 4分（2）当时，=所以 7分【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.3.分类的数学思想.8.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1）， 2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.9.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为10.已知函数f(x)=|x－a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.【答案】(1){x|x≤1或x≥5}.(2)3【解析】(1)当a=2时, f(x)+|x－4|=当x≤2时,由f(x)≥4－|x－4|得－2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时, f(x)≥4－|x－4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4,解得x≥5;所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)－2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}.所以=1且=2于是a=3.11.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是()A．<B．>C．a>b2D．a2>2b【答案】C【解析】选C.令a=2,b=-,验证可得选项A不正确,令a=2,b=,则B不正确,若a=1.1,b=0.9,则D 不正确,对选项C,由-1<b<1得:0≤b2<1,又a>1,故b2<a,故C项正确.12.已知a,b,c为三角形的三边长,则a2与ab+ac的大小关系是.【答案】a2<ab+ac【解析】因为a,b,c为三角形的三边长,所以a<b+c,又因为a>0,所以a2<a(b+c),即a2<ab+ac.13.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A．10B．6C．4D．18【答案】D【解析】选D.3x+3y≥2=2=2=18,当且仅当x=y=2.5时,等号成立.14.已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,那么2x+4y的最小值为()A．2B．4C．16D．不存在【答案】B【解析】选B.过A,B两点的直线方程为y=-(x-3),所以x=3-2y,所以2x+4y=+4y≥4,当且仅当=4y时,等号成立.,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b.15.已知a,b,x,y∈R+【答案】或【解析】因为x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2,=(+)2=18,当且仅当=时取等号.又(x+y)min即a+b+2=18,①又a+b=10,②由①②可得或16.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是.【答案】(-∞,-3]∪[3,+∞)【解析】因为f (x)=|x+1|+|x-2|=所以f(x)≥3,要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,故|a|≥3,即a≤-3或a≥3.17.已知a、b、m、n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求(am＋bn)(bm＋an)的最小值．【答案】2【解析】利用柯西不等式求解，(am＋bn)(an＋bm)≥()2＝mn·(a＋b)2＝2·1＝2，且仅当即m＝n时取最小值2.18.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．【答案】（1）x＝，y＝，z＝（2）t≥6【解析】(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)()≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.∴t≥6.19.若对恒成立,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】当为偶数时，，而；当为奇数时，，而.所以的取值范围是.【考点】不等式.20.若关于x的不等式的解集为(-1,4)，则实数a的值为_________.【答案】【解析】由已知得，，，当时，不等式解集为，故，无解；当时，不等式解集为，故，解得．【考点】绝对值不等式解法．21.已知函数，m∈R，且的解集为．（1）求的值；（2）若，且，求的最小值.+【答案】（1）.（2）的最小值为9.【解析】（1）由已知，得到所以根据的解集是，得到.（2）由(1)知，，由柯西不等式即得所求.试题解析：（1）因为，所以.所以又的解集是，故. 5分（2）由(1)知，，由柯西不等式得∴的最小值为9 10分【考点】绝对值不等式解法，柯西不等式.22.已知a,b,c,d均为正实数,且a+b+c+d=1,求证:+++≥.【答案】见解析【解析】证明：因为[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)]·(+++)≥(·+·+·+·)2=(a+b+c+d)2=1,当且仅当===即a=b=c=d=时取等号.又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+(a+b+c+d)=5,所以5(+++)≥1.所以+++≥.23.设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．【答案】（1）a＝1（2）3.【解析】(1)因为∈A，且∉A，所以<a，且≥a，解得<a≤.又因为a∈N*，所以a＝1.(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.24. (1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy；(2)1＜a≤b≤c，证明loga b＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．由条件x≥1，y≥1，得(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设loga b＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy.其中x＝loga b≥1，y＝logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．25.已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．【答案】a＝1【解析】由|2x－a|＋a≤6得，|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.26.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()．A．B．C．5D．6【答案】C【解析】∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy，得＝5.∴5(3x＋4y)＝(3x＋4y) ＝13＋≥13＋2＝25.因此3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时等号成立．∴当x＝1，y＝时，3x＋4y的最小值为5.27.设实数均不小于1，且，则的最小值是．（是指四个数中最大的一个）【答案】9【解析】设，则，当时上式两等号都能取到，所以的最小值为9.【考点】多元函数最值的求法.28.已知（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）+a3（x﹣1）3+…+an（x﹣1）n，（其中n∈N*）（1）求a及；（2）试比较Sn与（n﹣2）2n+2n2的大小，并说明理由．【答案】（1）Sn=3n﹣2n（2）当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2【解析】（1）令x=1，则a=2n，令x=2，则，∴Sn=3n﹣2n；（3分）（2）要比较Sn与（n﹣2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n﹣1）2n+2n2的大小，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n=4，5时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；（5分）猜想：当n≥4时n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3n＞（n﹣1）2n+2n2，两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k﹣1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2]而（k﹣3）2k+4k2﹣4k﹣2=（k﹣3）2k+4（k2﹣k﹣2）+6=（k﹣2）2k+4（k﹣2）（k+1）+6＞0∴3k+1＞[（k+1）﹣1]2k+1+2（k+1）2即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n﹣1）2n+2n2成立．综上得，当n=1时，3n＞（n﹣1）2n+2n2；当n=2，3时，3n＜（n﹣1）2n+2n2；当n≥4，n∈N*时，3n＞（n﹣1）2n+2n2﹣﹣（10分）【考点】用数学归纳法证明不等式；数列的求和；二项式定理的应用点评：本题是中档题，考查与n有关的命题，通过赋值法解答固定项，前n项和，以及数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，常考题型29.选修4—5：不等式选讲已知函数（1）若不等式的解集为，求实数a，m的值。
不等式选讲专题练习(含解析)【最新】
不等式选讲专题练习1．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.2．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.3．已知函数()1f x ax =+，若不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）求a 的值；（2）若存在x ∈R ，使得不等式()f x a x a k <++成立，求k 的取值范围.4．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<（1）求实数,a b 的值；（2.5．已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2，求a 的取值范围.6．已知函数()|21|f x x =+．（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；（2）求证：()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-„．7．已知函数()|22||1|f x x x =+--．（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围．8．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．9．已知函数()2f x x a x =-+-.（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .10．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.11．若x R ∃∈，使得不等式221sin 4sin 4t x x -<--成立.（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）求证：1113221t t t ++>-+.12．已知函数()f x =R .（1）求实数t 的取值范围；（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111123a b c +++++的最小值.13．已知函数()221f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值．14．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.不等式选讲专题练习1．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-，所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <， 综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=， 当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞.2．已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.因此，()6f x ≤的解集为.（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.所以a 的取值范围是[2,)+∞.3．已知函数()1f x ax =+，若不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （1）求a 的值；（2）若存在x ∈R ，使得不等式()f x a x a k <++成立，求k 的取值范围.【答案】（1）2a =（2）3k >-【详解】解：（1）∵()1f x ax =+， ∴()f x a ≤，即01a ax a >⎧⎨+≤⎩，解得11a a x a a ---≤≤， 又∵不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴2a =. （2）依题意，()21f x x =+，故不等式()f x a x a k <++可化为2122x x k +<++， 要使不等式存在解，即1122k x x +<++存在解，即1122k x x +--<存在解， 令()1,0211112,022231,22x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=+--=->≥-⎨⎪⎪-<-⎪⎩， ∴()g x 的最小值为32-，依题意得322k >-， ∴3k >-.4．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<（1）求实数,a b 的值；（2.【答案】（1）3,1a b =-=；（2）4【详解】（1）由x a b +<，得b a x b a --<<- 则2,{4,b a b a --=-=解得3a =-,1b = （2=≤4===，即1t =时等号成立，故max 4=．5．已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2，求a 的取值范围.【答案】（1）(,3][4,)-∞-+∞U ；（2）[22]-，. 【详解】当1a =时，21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩„…，当1x ≤-时，由()7f x ≥得217x -+≥，解得3x ≤-；当12x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x -≥，解得4x ≥，所以()7f x ≥的解集为(,3][4,)-∞-+∞U（2）()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[0]2，等价于|||2||4||2|x a x a x x +-+---„在[0]2，上恒成立，当[02]x ∈，时，|||2||4||2|2x a x a x x +-+---=„等价于max |(2|||)2x a a x ++-„恒成立， 而|||2||()(2)|||x a x a x a x a a +-++-+=„，∴2a ≤，故满足条件的a 的取值范围是[22]-，6．已知函数()|21|f x x =+．（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；（2）求证：()222(1)232f x a f x x a x a a +--++++-„．【答案】（1）{|12}x x -剟； （2）见解析. 【详解】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，于是原不等式化为|21||23|6x x ++-„， 若21x <-，则21(23)6x x ----„，解得112x -<-„； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-„，解得1322x -剟； 若32x >，则21(23)6x x ++-„，解得322x <„． 综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟． （2）由已知条件，对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+„． 又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…， 由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以222232323x a x a a a a ++++--+…． 又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…， 于是2232322a a a -++…．所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-„．7．已知函数()|22||1|f x x x =+--．（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）见解析，2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）21m -<<- 【详解】（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩结合图象可知，当1x ≤-时，33x --≥，6x ≤-；当11x -<<时，313x +≥，解得2,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当1x ≥时，33x +≥成立．综上，不等式()3f x ≥的解集为2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭．（2）若函数2()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，则()0>g x 恒成立， 即2()3f x m m >+恒成立，只需2min ()3f x m m >+． 由（1）中图象可知min ()(1)2f x f =-=-．所以232m m +<-，解得21m -<<-．8．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．详解：（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．9．已知函数()2f x x a x =-+-.（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.【详解】（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()()20x a x --≤时取等，故()f x 最小值为2a -， 235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，()22f =，即22a -=，解得：0a =或4.0a =时，如图所示：不合题意舍去.4a =时，如图所示：由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，综上，4a =，6m =.10．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析.试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤，所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+， 所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).11．若x R ∃∈，使得不等式221sin 4sin 4t x x -<--成立.（Ⅰ）求t 的取值范围；（Ⅱ）求证：1113221t t t++>-+. 【答案】（Ⅰ）()0,1；（Ⅱ）证明见解析【详解】（Ⅰ）设sin x m =，[]1,1m ∈-，故()222sin 4sin 44428y x x m m m =--=--=--， max 1y =，故211t -<，解得01t <<，即()0,1t ∈.（Ⅱ）()()222111+1111111322122133t t t t t t t t t -++++⎛⎫++=++≥= ⎪-+-+⎝⎭， 等号成立的条件是111221t t t ==-+，方程无解，故1113221t t t ++>-+.12．已知函数()f x =R .（1）求实数t 的取值范围；（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222111123a b c +++++的最小值.【答案】（1）4t ≥；（2）922【详解】（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立 5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪-++-=--<<⎨⎪--≥⎩由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥；（2）由（1）知4m =，22216a b c ++=， 由柯西不等式知()()22222221111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++=⎪+++⎝⎭所以222111912322a b c ++≥+++，即222111123a b c +++++的最小值为922. 当且仅当2193a =，2163b =，2133c =时，等号成立13．已知函数()221f x x x =-+-．（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且12a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值． 【答案】（1）{x |x ≥2或x ≤0}．（2）最小值为1．【详解】（1）3321()2211221332x x f x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪=-+-=+≤≤⎨⎪⎪-+⎪⎩，＞，，＜． ∵()3f x ≥，∴3332x x -≥⎧⎨⎩＞或13122x x +≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或33312x x -+≥⎧⎪⎨⎪⎩＜， 解得2x ≥或0x ≤，∴不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤0}．（2）由（1）知，函数()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在1[,)2+∞上单调递增， 所以min 13()()22f x f ==，则1322a b c m ++==， 由柯西不等式，有222222211()[()9411]()22a b c a b c ++≥++=++， ∴2221a b c ++≥，当且仅当2a ＝b ＝c ，即a 13=，b ＝c 23=时取等号， ∴222a b c ++的最小值为1．14．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围； （2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析【详解】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+-- Q ()g x m ≥恒成立∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩其图像如图所示:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=， 当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=， 原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c ++≥， 当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立，∴ 48ab bc ac abc ++≥成立.。
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不等式选讲习题
1. （ 2014 全国新课标 I 卷）若a 0, b 0, 且1
1 ab.
a b
（ I ）求a3 b3 的最小值；
（ II ）是否存在a, b, 使得2a 3b 6? 并说明理由.
2. （ 2014 全国新课标 II 卷）设函数
f ( x) x 1 x a (a 0).
a
（I ）证明：f ( x) 2;
（II ）若f (3) 5,求a的取值范围 .
3. （ 2013 全国新课标I 卷）已知函数 f ( x) 2x 1 2x a , g( x) x 3.
（ I ）当a 2 时，求不等式 f ( x) g( x) 的解集；
（ II ）设a 1, 且当 x a , 1 时， f ( x) g( x) ，求 a 的取值范围.
2 2
4. （ 2013 全国新课标 II 卷）设 a,b,c 均为正数，且 a b c 1,证明：
（ I ）ab bc ac 1 ;
a2 b2 c2
（ II ）
c
1. .
3 b a
5. （ 2012 全国新课标卷）已知函数 f ( x) x a x 2.
（ I ）当a 3 时，求不等式 f (x) 3 的解集；
（ II ）若f ( x)x 4 的解集包含1,2 ，求a的取值范围.
6. （ 2011 全国新课标卷）设函数 f (x) x a 3x ，其中 a 0 .
（ I ）当a 1时，求不等式 f ( x) 3x 2 的解集；
（ II ）若不等式f ( x) 0的解集为{ x | x 1}, ，求 a 的值.
7. （ 2015 第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式 | x 1| | 2 x | a | x 1| | 2x |
都成立 .
（ I ）求a的值；（ II ）设m n 0, 求证： 2m
1
2n a. m2 2mn n2
8. 设函数f ( x) 2x 4 1.
（ I ）画出函数y f ( x) 的图象；（ II ）若不等式f (x) ax 的解集非空，求 a 的取值范围.
y
1
o
1x
不等式选讲习题参考答案
1. （ 2014 全国新课标 I 卷）
解：（I ）由
1 1
2 得 ab 2 ，当且仅当 a b
2 时等号成立
ab
b
a
ab
所以 a 3 b 3 2 a 3b 3 2 8 4 2, 当且仅当 a b
2 时等号成立
所以 a 3 b 3 的最小值为 4 2 . ⋯⋯⋯ 5 分
（ II ）由（ I ）知 2a 3b 2 2a 3b 2 6 ab 4 3
由于 4
3 6 ，从而不存在 a,b, 使得 2a 3b 6.
⋯⋯⋯ 10 分 2. （ 2014 全国新课标 II 卷）
解：（I ）由 a 0 ，有 f ( x)
x
1 x a
x
1 x
1 1 a 2
1 a
a
a
a
a 2.
a
a
a
所以， f (x) 2. ⋯⋯⋯ 4 分
（ II ） f (3)
1 3
a .
3
a
当 0
a 3 时， f (3)
6
a
1 ，由 f (3)
5, 得 6 a
1 ，解得
1 5 3.
a 5 2 a
a
当 a
3 时， f (3) a 1 由 f (3) 5, 得 a 1 5 ，解得 3 a
5 21 .
a
a
2
综上所述， a 的取值范围是 (
1
5
a
5
21
). ⋯⋯⋯ 10 分
2
2
y
3. （ 2013 全国新课标 I 卷）
解：（I ）当 a
2 时， f ( x) 2x 1 2x 2.
1
1
由 f ( x) g( x) ，得 2x 1 2x 2 x 3 0
2 2
O
x
设 f ( x) 2x 1 2x 2 x 3, 则
5x, x 1 ,
2 f ( x)
x 1
x 1,
2,
2
3x 6, x 1.
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当
x (0,2) 时， f ( x)
0.
所以，不等式 f ( x) g (x) 的解集为 (0, 2) . ⋯⋯⋯ 5 分
（ II ）当 x
a , 1 时， f ( x) 1
a. 不等式 f (x) g( x) 可化为 1 a x 3.
2 2
所以， x a
2 对 x
a , 1
都成立 . 故 a a 2,即 a 4 .
2 2
2 3 所以， a 的取值范围是
( 1,
4
]. . ⋯⋯⋯ 10 分
3
4. （ 2013 全国新课标 II 卷） .
证明：（ I ） Q a 2 b 2
2ab , b 2 c 2 2bc, a 2 c 2 2ac
a 2
b 2 b 2
c 2 a 2 c 2 2ab 2bc 2ac ，即 a 2 b 2 c 2 ab bc ac
又 Q (a b c)
1 ，即
a 2
b 2
c 2 2ab 2bc 2ac
1
1 2ab 2bc 2ac ab bc ac ，即 3(ab bc ac)
1
ab bc 1
ac
⋯⋯⋯ 5 分
3
a 2
b b 2
c c 2 2c
（ II ）Q
2a, 2b,
a
b
c
a
a 2
b 2
c 2 b c) 2( a
a 2
b 2
c 2 b c
(a
b c) ，即
c
a b c 1.
a
b
a
a 2
b 2
c 2
b
c
1. ⋯⋯⋯ 10 分
a
5. （ 2012 全国新课标卷）
解：（I ）不等式 f ( x) 3 的解集为 ( ,1] U [4,
)
（ II ）Q f ( x)
x 4
x a x 2 x 4 ，即 x 4 x 2 x a
当 x 1,2
时，由 x 4 x 2
x a ，得 4
x x 2 x a ，即 x a 2
解得 2 a x 2 a
又因为 f (x)
x 4 的解集包含
1,2
所以，
2 a 1 且 2 a 2，即
3 a 0.
所以， a 的取值范围是 [
3,0].
6. （ 2011 全国新课标卷）
解：（Ⅰ）当 a 1时， f ( x)
3x 2 可化为
x 1 2 ，由此可得 x
1或x
3
故不等式 f ( x) 3x 2
的解集为 { x | x 1或 x 3} .
( Ⅱ ) 由 f (x)
0 得 x a
3x 0 此不等式化为不等式组
x a
x a
x
a
x a
a
或
a
a x 3x 0
或
a 3x 0
即
x
x
2 x
4 又因为 a
0 ，所以不等式 x a
3x 0 的解集为 a
x | x
2
由题意知
a 1，解得 a 2.
2
7. （ 2015 第一次省统测）
（ I ）解： | x 1|
| 2 x | | x 1 2 x | 3
对任意实数 x ，不等式 | x
1| | 2 x | a 都成立 .
a 3.
| x 1 | | 2 x | | x 1 2 x | 3
对任意实数x ，不等式 a | x 1 | | 2x | 都成立.
a 3.
a 3.
（ II ）证明：由（ I ）知 a 3.
2m 1 2n ( m n) ( m n) 1 m 2 2mn n 2 (m n)2
又 m n 0,
( m n) ( m n) 1 33 (m n)(m n) 1 3
n) 2 n) 2
(m (m
2m
1
2n a. m 2 2mn n 2
8. 设函数f ( x) 2x 4 1.
（ I ）画出函数y f ( x) 的图象；（ II ）若不等式f (x) ax 的解集非空，求 a 的取值范围.
2x 5, x
f ( x) 的图像如图所示:
（Ⅰ）由于 f ( x) 则函数 y
2x 3, x 2
（Ⅱ）由函数 y f ( x) 与函数y ax 的图像可知，当且仅当 a 1
2 时，函数y f ( x) 与函数
或 a
2
1 ,
y ax 的图像有交点，故不等式 f ( x) ax 的解集非空时， a 的取值范围为, 2 U [ ) .
2。