2003年数学中考分析
2003年江苏省泰州市中考数学试卷
2003年江苏省泰州市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）下列实数：，﹣3.14，，sin45°，，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（4分）下列运算正确的是（）A．x2+x2＝2x4B．a2•a3＝a5C．（﹣2x2）4＝16x6D．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y23．（4分）2003年6月1日，世界最大的水利枢纽﹣﹣三峡工程正式下闸蓄水．三峡水库的库容可达393 000 000 000立方米，用科学记数法表示该水库库容为（）A．0.393×1012立方米B．0.393×1011立方米C．3.93×1011立方米D．3.93×1012立方米4．（4分）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可分裂为（）A．8个B．16个C．32个D．64个5．（4分）某省为了解决老百姓看病难的问题，决定大幅度降低药品价格．某种常用药品降价30%后的价格为a元，则降价前此药品价格为（）A．元B．元C．70%•a元D．30%•a元6．（4分）一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k＜2且k≠1C．k＜2D．k＞2且k≠1 7．（4分）圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°8．（4分）如图，某防洪大坝的横断面是梯形，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则斜坡AB的坡角α为（精确到1°）（）A．24°B．22°C．68°D．66°9．（4分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（）A．等腰梯形B．直角梯形C．矩形D．菱形10．（4分）在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有（）A．1条B．2条C．3条D．4条11．（4分）下列四个命题中，正确的命题有（）①三角形中至少有一个角不小于60度；②用边长相等的正五边形与正六边形的组合能镶嵌成一个平面；③如果a＞4，那么不等式（a﹣4）x＞4﹣a的解集是x＞﹣1；④Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB只有一个公共点，那么r．A．1个B．2个C．3个D．4个12．（4分）向一容器内均匀注水，最后把容器注满．在注水过程中，容器的水面高度与时间的关系如图所示，图中PQ为一线段，则这个容器是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）一个数的倒数是，这个数的相反数是．14．（3分）以3和﹣2为根的一元二次方程是．15．（3分）用计算器探索：按一定规律排列的一组数：1，，，2，，，，…，如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于5，那么至少要选个数．16．（3分）已知圆锥的底面直径为8cm，母线长为9cm，则它的表面积是cm2（结果保留π）．17．（3分）如图所示，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，请你补充条件（只要填写一个你认为合适的条件）．18．（3分）某市开展“保护母亲河”植树造林活动．该市金桥村有1000亩荒山绿化率达80%，300亩良田视为已绿化，河坡地植树绿化率已达20%，目前金桥村所有土地的绿化率为60%，则河坡地有亩．19．（3分）在5月24日《中国青年报》上刊登了这样一幅图：请用简洁的语言描述出2003年5月13日到5月23日我国内地新发现SARS病例的变化情况：．20．（3分）如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC；在网格上画出一个与△ABC相似且面积最大的△A1B1C1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则△A1B1C1的最大面积是．三、解答题（共10小题，满分78分）21．（6分）计算：．22．（6分）先化简，再计算，其中a＝3．23．（6分）解方程：x2+x+1．24．（8分）如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD 于点F．（1）若AB＝4，BC＝8，求DF的长；（2）当DA平分∠EDB时，求的值．25．（6分）初一年级某班教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的五次数学成绩如表Ⅰ所示，这五次数学成绩的平均数、中位数、众数如表Ⅱ所示：表1表2现在这三位同学都说自己的数学成绩是最好的，（1）请你猜测并写出他们各自的理由；（2）三人似乎都有道理，你对此有何看法？请运用统计知识作出正确的分析．26．（6分）为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；（2）四块图形形状相同；（3）四块图形面积相等．现已有两种不同的分法：（1）分别作两条对角线（图1）（2）过一条边的三等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法（只要求正确画图，不写画法）．27．（8分）某校举行庆祝十六大的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个．学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？（2）学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍；在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需要多少钱？28．（10分）点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线P A交双曲线于点A，连接OA．（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设△AOP的面积是S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1S2（选填“＞”、“＜”、“＝”）；（3）如图丙，AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一个常数．29．（10分）已知：如图，⊙O与⊙O1内切于点A，AO是⊙O1的直径，⊙O的弦AC交⊙O1于点B，弦DF经过点B且垂直于OC，垂足为点E．（1）求证：DF与⊙O1相切；（2）求证：2AB2＝AD•AF；（3）若AB，cos∠DBA，求AF和AD的长．30．（12分）已知：如图，抛物线y＝x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y1＝﹣2x+m+6经过点N，交y轴于点F．（1）求这条抛物线和直线的解析式．（2）又直线y2＝kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．①试用含有k的代数式表示；②求证：．（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．2003年江苏省泰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）下列实数：，﹣3.14，，sin45°，，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：sin45°，2．∴无理数是，sin45°共2个．故选：B．2．（4分）下列运算正确的是（）A．x2+x2＝2x4B．a2•a3＝a5C．（﹣2x2）4＝16x6D．（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2【解答】解：A、应为x2+x2＝2x2，故本选项错误；B、a2•a3＝a5，正确；C、应为（﹣2x2）4＝16x6，故本选项错误；D、应为（x+3y）（x﹣3y）＝x2﹣3y2，故本选项错误；故选：B．3．（4分）2003年6月1日，世界最大的水利枢纽﹣﹣三峡工程正式下闸蓄水．三峡水库的库容可达393 000 000 000立方米，用科学记数法表示该水库库容为（）A．0.393×1012立方米B．0.393×1011立方米C．3.93×1011立方米D．3.93×1012立方米【解答】解：根据题意393 000 000 000立方米，n＝11，∴393 000 000 000立方米＝3.93×1011立方米．故选：C．4．（4分）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个）．经过3个小时，这种细菌由1个可分裂为（）A．8个B．16个C．32个D．64个【解答】解：26＝2×2×2×2×2×2＝64．故选：D．5．（4分）某省为了解决老百姓看病难的问题，决定大幅度降低药品价格．某种常用药品降价30%后的价格为a元，则降价前此药品价格为（）A．元B．元C．70%•a元D．30%•a元【解答】解：a÷（1﹣30%）a．故选A．6．（4分）一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞2B．k＜2且k≠1C．k＜2D．k＞2且k≠1【解答】解：∵a＝1﹣k，b＝﹣2，c＝﹣1，一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2，∵（1﹣k）是二次项系数，不能为0，∴k≠1且k＜2．故选：B．7．（4分）圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【解答】解：圆内接正三角形的三个内角均为60°，一条边所对的圆周角有两个且互补，即60°或120°．故选：D．8．（4分）如图，某防洪大坝的横断面是梯形，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，则斜坡AB的坡角α为（精确到1°）（）A．24°B．22°C．68°D．66°【解答】解：∵坡度tanα 铅直高度水平距离1：2.5＝0.4．∴α＝21.8°≈22°．故选：B．9．（4分）顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（）A．等腰梯形B．直角梯形C．矩形D．菱形【解答】解：四边形EFGH是菱形．已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≡CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形证明：连接AC、BD∵E、F分别是AB、BC的中点∴同理又∵四边形ABCD是等腰梯形∴AC＝BD∴EF＝FG＝GH＝HE∴四边形EFGH是菱形故选：D．10．（4分）在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【解答】解：1、过点P作AB的垂线2、过点P作AC的垂线3、过点P作AB的平行线4、过点P作∠PDC＝∠A，这时△PCD∽△BCA所以共有4条，故选：D．11．（4分）下列四个命题中，正确的命题有（）①三角形中至少有一个角不小于60度；②用边长相等的正五边形与正六边形的组合能镶嵌成一个平面；③如果a＞4，那么不等式（a﹣4）x＞4﹣a的解集是x＞﹣1；④Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB只有一个公共点，那么r．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①三角形中至少有一个角不小于60度；正确．②用边长相等的正五边形与正六边形的组合不能镶嵌成一个平面；故②错误．③如果a＞4，那么不等式（a﹣4）x＞4﹣a的解集是x＞﹣1；正确．④Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB只有一个公共点，那么r．，故正确．故正确的有3个答案．故选：C．12．（4分）向一容器内均匀注水，最后把容器注满．在注水过程中，容器的水面高度与时间的关系如图所示，图中PQ为一线段，则这个容器是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图象，水面高度增加的先逐渐变快，再匀速增加；故容器从下到上，应逐渐变小，最后均匀．故选：C．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）一个数的倒数是，这个数的相反数是．【解答】解：∵的倒数是，∴这个数是，的相反数是．14．（3分）以3和﹣2为根的一元二次方程是x2﹣x﹣6＝0．【解答】解：将x1＝3，x2＝﹣2代入公式，可得到x2﹣（﹣2+3）x+3×（﹣2）＝0，即x2﹣x﹣6＝0，故填x2﹣x﹣6＝0．15．（3分）用计算器探索：按一定规律排列的一组数：1，，，2，，，，…，如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于5，那么至少要选7个数．【解答】解：根据无理数的估算方法，得1＜＜||＜2＜＜||＜＜3，再根据数的加减运算法则，则若要保证和大于5，至少要选7个数．16．（3分）已知圆锥的底面直径为8cm，母线长为9cm，则它的表面积是52πcm2（结果保留π）．【解答】解：圆锥的表面积＝4π×9+16π＝52πcm2．17．（3分）如图所示，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，要使△ABO≌△DCO，请你补充条件∠BAO＝∠CDO（只要填写一个你认为合适的条件）．【解答】解：∵AB＝DC，∠AOB＝∠COD，∴当∠BAO＝∠CDO或∠ABD＝∠ACD时，△ABO≌△COD．18．（3分）某市开展“保护母亲河”植树造林活动．该市金桥村有1000亩荒山绿化率达80%，300亩良田视为已绿化，河坡地植树绿化率已达20%，目前金桥村所有土地的绿化率为60%，则河坡地有800亩．【解答】解：由题意设河坡地有x亩，依题意得方程：1000×80%+300+x×20%＝（1000+300+x）×60%，解得：x＝800亩．19．（3分）在5月24日《中国青年报》上刊登了这样一幅图：请用简洁的语言描述出2003年5月13日到5月23日我国内地新发现SARS病例的变化情况：人数逐渐的减少．【解答】解：从2003年5月13日到5月23日我国内地新发现SARS病例的变化情况是人数逐渐的减少．20．（3分）如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC；在网格上画出一个与△ABC相似且面积最大的△A1B1C1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则△A1B1C1的最大面积是5．【解答】解：如图所示，∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为，∵S△ABC＝1，∴S△A1B1C1＝5．故答案为：5．三、解答题（共10小题，满分78分）21．（6分）计算：．【解答】解：原式＝4+2﹣（﹣1）﹣7﹣44．22．（6分）先化简，再计算，其中a＝3．【解答】解：原式＝（）＝（）••，当a＝3时，原式．23．（6分）解方程：x2+x+1．【解答】解：设x2+x＝y，原方程变形为y2+y﹣6＝0，即（y﹣2）（y+3）＝0，∴y1＝2，y2＝﹣3．∴x2+x＝2或x2+x＝﹣3，其中方程x2+x＝﹣3无解，解x2+x＝2得x1＝﹣2，x2＝1．经检验x1＝﹣2，x2＝1是原方程的根．24．（8分）如图，将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD 于点F．（1）若AB＝4，BC＝8，求DF的长；（2）当DA平分∠EDB时，求的值．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB，又∵∠DBC＝∠DBE，∴∠FDB＝∠FBD，∴BF＝FD，设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得到42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴DF＝8﹣3＝5；（2）∵DA平分∠EDB，即∠EDA＝∠ADB，设∠EDA＝∠ADB＝y°，则∠EDB＝2y°，∴∠BDC＝2y°，∵∠ADC＝90°，∴3y＝90°，解得y＝30°，∴∠DBC＝30°，在Rt△CDB中，tan∠DBC tan30°，又∵AB＝CD，∴．25．（6分）初一年级某班教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的五次数学成绩如表Ⅰ所示，这五次数学成绩的平均数、中位数、众数如表Ⅱ所示：表1表2现在这三位同学都说自己的数学成绩是最好的，（1）请你猜测并写出他们各自的理由；（2）三人似乎都有道理，你对此有何看法？请运用统计知识作出正确的分析．【解答】解：（1）①小泉成绩平均数最高，所以他认为自己数学成绩最好；②小吉的成绩中位数最高，所以他认为自己数学成绩最好；③小祥的成绩众数最高，所以他认为自己数学成绩最好．（2）小泉的平均数最高，因此可看出小泉的成绩最稳定；小吉的中位数最高，因此可看出小吉的成绩是稳步提高的；而小祥虽然众数最高，但是平均数和中位数都较低，因此小祥的成绩最不稳定．26．（6分）为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；（2）四块图形形状相同；（3）四块图形面积相等．现已有两种不同的分法：（1）分别作两条对角线（图1）（2）过一条边的三等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）请你按照上述三个要求，分别在下面三个正方形中给出另外三种不同的分割方法（只要求正确画图，不写画法）．【解答】解：答案不惟一．27．（8分）某校举行庆祝十六大的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个．学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？（2）学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍；在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？花费最多的一种方案需要多少钱？【解答】解：（1）由题意，可将一、二、三等奖的奖品定为相册、笔记本、钢笔即可．答：此时所需费用为5×6+10×5+15×4＝140（元）．（2）设三等奖的奖品单价为x元，则二等奖奖品单价应为4x元，一等奖奖品单价为20x元，由题意得：5×20x+10×4x+15×x≤1000，解得x≤6．因为最少的奖品价格为4元所以x最小为4元，故x可取6元、5元、4元．故4x依次应为24元，20元，16元，则20x依次应为：120元、100元、80元．再看表格中所提供各类奖品单价可知，120元、24元、6元以及80元、16元、4元这两种情况适合题意，故有两种购买方案：方案一：奖品单价依次为120元、24元、6元，所需费用为930元；方案二：奖品单价依次为80元、16元、4元，所需费用为620元．从而可知花费最多的一种方案需930元．答：花费最多的一种方案需930元．28．（10分）点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线P A交双曲线于点A，连接OA．（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设△AOP的面积是S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1＞S2（选填“＞”、“＜”、“＝”）；（3）如图丙，AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一个常数．【解答】解：（1）Rt△AOP的面积不变，S△AOP＝xy＝x；（2）根据△AOP的面积等于S1，△BOD的面积大于S2，S1＞S2；（3）设A的坐标是（a，b），根据反比例函数是中心对称图形，因而F点的坐标是（﹣a，﹣b），则AP＝b，HP＝2a，则四边形APFH的面积是2ab，据（a，b）在双曲线的图象上，因而ab＝1，则四边形APFH的面积是2ab＝2．29．（10分）已知：如图，⊙O与⊙O1内切于点A，AO是⊙O1的直径，⊙O的弦AC交⊙O1于点B，弦DF经过点B且垂直于OC，垂足为点E．（1）求证：DF与⊙O1相切；（2）求证：2AB2＝AD•AF；（3）若AB，cos∠DBA，求AF和AD的长．【解答】（1）证明：连接O1B，∵O1B＝O1A，∴∠O1AB＝∠O1BA．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∴∠O1BA＝∠OCA．∴O1B∥OC．∵OC⊥DF，∴O1B⊥DF．∴DF与⊙O1相切．（2）证明：连接OB，则OB⊥AC，∴AC＝2AB＝2BC．∵OC⊥DF，∴弧DC＝弧CF．∴∠CAD＝∠CAF．∵∠D＝∠ACF，∴△ABD∽△AFC．∴．∵AC＝2AB，∴2AB2＝AD•AF．（3）解：直角△BEC中，BC＝AB＝2，cos∠CBE＝cos∠DBA，∴BE＝2，CE＝4．∵直角△OBE中，∠BOE＝∠CBE＝90°﹣∠BCO，BE＝2，∴BO，OE＝1．∴AO＝OC＝OE+EC＝5．连接OF，直角△OEF中，OF＝OA＝5，OE＝1，根据勾股定理有EF＝2，∴BF＝22．∵弧DC＝弧CF，∴∠CAF＝∠BFC．∴△ACF∽△FCB．∴CF2＝CB•CA＝2AB2＝40．∴CF＝2．∴．即，∴AF＝42．由（2）知：2AB2＝AD•AF．∴AD＝42．30．（12分）已知：如图，抛物线y＝x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y1＝﹣2x+m+6经过点N，交y轴于点F．（1）求这条抛物线和直线的解析式．（2）又直线y2＝kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H．①试用含有k的代数式表示；②求证：．（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：N点的坐标为（，0）．已知抛物线过N点，则有：3（m﹣1）+0即m2﹣8m＝0，解得m＝0，m＝8．∵M，N在原点两侧，因此3（m﹣1）＜0，m＜1；因此m＝8不合题意舍去∴m＝0．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，直线的解析式为y1＝﹣2x+6．（2）已知抛物线与直线y2交于A、B两点，因此kx＝x2﹣2x+3，即x2﹣（2+k）x﹣3＝0设C、D的坐标为（x1，0），（x2，0）．∴x1+x2＝2+k，x1•x2＝﹣3∴．已知直线y2与y1交于P点，则：﹣2x+6＝kx，x∴H点的坐标为（，0）因此，∴．（3）本题要分三种情况：①PB＝BE，则有∠OFD＝∠OPF，∵∠OFD＜45°，∴∠FOB为钝角，此时y2的斜率k＜0，因此不合题意，不存在这种情况．②PB＝PE，则有PF＝PO，设P点的坐标为（x，y），∴y OF＝3．已知直线y1过P点，因此P点的坐标为（，3）．∴3k，k＝2．因此直线y2的解析式为y2＝2x．③PE＝BE，则有PF＝OF＝6．过P作PG⊥y轴于G，设点P的坐标为（x，y）．在直角三角形OEF中，OE＝3，OF＝6，根据勾股定理可得：EF＝3．∵PG∥x轴∴，即．∴x，由于直线y1＝﹣2x+6过P点，因此P点的坐标为（，）．∴k•，k2．∴y2＝（2）x．综上所述y2的解析式为y2＝2x或y2＝（2）x．。
2003年重庆市中考试题评析
2003年重庆市中考试题评析
夏远志
【期刊名称】《重庆电子工程职业学院学报》
【年(卷),期】2004(013)001
【摘要】本文就2003年重庆市中考数学试题进行评析,阐明该卷在考查学生对"三基"的掌握以及创新能力的培养、导向作用等方面的特点.
【总页数】3页(P124-126)
【作者】夏远志
【作者单位】重庆铁路中学,重庆,400053
【正文语种】中文
【中图分类】G632
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5.2003年中考探索性试题评析 [J], 王清华;韩挺
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中考数学试题分类分析汇编专题3：方程(组)和不定式(组)
中考数学试题分类分析汇编（12专题） 专题3：方程（组）和不定式（组）一．选择题1. （2001年福建福州4分）随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低。
某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为【 】 A. 4(n m )5+元B. 5(n m )4+元 C. (5m n)+元D. (5n m)+元【答案】B 。
【考点】一元一次方程的应用。
【分析】设电脑的原售价为x 元，则()()x m 120%n --=，∴x=5n m 4+。
故选B 。
2. （2003年福建福州4分）不等式组2x 4x 30≥⎧⎨+>⎩的解集是【 】（A ） x>－3 （B ）x≥2 （C ）－3<x≤2 （D ） x<－3 【答案】B 。
【考点】解一元一次不等式组。
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。
因此，2x 4x 2x 2x 30x 2≥≥⎧⎧⇒⇒≥⎨⎨+>>-⎩⎩。
故选B 。
3.（2003年福建福州4分）已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是【 】（A ）2x 5x 60++= （B ）2x 5x 60-+= （C ）2x 5x 60--= （D ）2x 5x 60+-=【答案】B 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵所求一元二次方程的两根是α、β，且α、β满足α+β=5、αβ=6，∴这个方程的系数应满足两根之和是b 5a-=，两根之积是c 6a =。
当二次项系数a=1时，一次项系数b=－5，常数项c=6。
故选B 。
4. （2005年福建福州大纲卷3分）如图，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10度．设∠AOC 和∠BOC 的度数分别为x ，y ，则下列正确的方程组为【 】A 、x+y=180x=y+10⎧⎨⎩错误！未找到引用源。
2003年中考数学试卷
2003年中考数学试卷
2003年中考数学试卷指的是在2003年中考中使用的数学科目的试卷。
这份试卷将由当地教育部门或考试机构组织专家进行命题，并按照中考数学科目的要求进行设计。
以下是 2003年中考数学试卷具体的题目示例：
选择题1：若关于 x 的一元二次方程 x^2 + 4x + k - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ()
A. k < 5
B. k > 5
C. k < -5
D. k > -5
选择题2：下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ()
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
填空题1：计算：√4 + | -2| - (1/2)^(-1) = ___．
填空题2：若反比例函数 y = (m - 1)/x 的图象在每一个象限中，y随着x 的增大而减小，则m的取值范围是 ___．
计算题1：计算：(π - 3)^0 - 4sin 45° + | -2| + (1/3)^(-1)．
计算题2：解方程组：{ 3x + y = 2, 4x - 3y = 15 }．
总结：2003年中考数学试卷指的是在2003年中考中使用的数学科目的试卷。
这份试卷旨在测试学生对数学基础知识的掌握程度和问题解决能力，通过选择题、填空题和计算题等多种题型进行考查。
考生需要通过系统的数学学习和复习，掌握基础知识和应试技巧，以提高自己的数学水平，应对这份试卷的挑战。
2003年数学建模试卷分析
2003年《数学建模》试卷分析这一套题目设计为开卷考试，阅卷依据“假设的合理性，结果的正确性，建模的创新性，表述的清晰性”判分，对完成较好的解答酌情加分.一、总得分情况1．各试题分数分配 一 二 三 四 五 六 七 八 15 12 15 12 12 15 10 10 2. 分段得分情况班级 不及格 及格 中 良 优 平均成绩2 7 5 13 3 76.271 4 13 8 3 76.693 13 9 5 0 69.62 8 11 7 2 73.4共计(人数)8 32 38 33 8 119 百分比 6.7% 26.9% 31.9% 27.7% 6.7% 分析: ① 分数的分布呈正态分布,试题难易程度适中;② 成绩有较大差异,优良率偏低,一定程度反映该班到课情况较差(后面各试题分析进一步说明).二、各试题情况分析1． 设有一个容积为1500升的圆柱型的桶，桶内盛有900升水。
如果将它水平地放置在地，问水面有多高？请你用自己的方法给出问题的近似解答.解答 设圆桶的高度为L ，底半径为R ，水面高度H . 解法一 （近似求根法）因9002/1500 ，故桶内未装水的部分的容积为并且 ,1500,150022π==πL R L R 得函数方程 另 )2(),2cos 1(x R H += 用牛顿切线法可求出方程（1）的近似根为 8248.2≈x ，代入（2）式得解法二 （以直代曲法）分析:此题的及格率过低,主要原因如下: ① 较多学生审题时未注意到关键语句“给出问题的近似解答”, 因此采用复杂的积分运算,实际却无法求出问题的精确解. ② 此题可以利用课堂上介绍的“以直代曲法”或“微元法”以及“泰勒近似”等方法做近似计算，反映部分学生习惯于精确计算的固定思维，未能掌握一定的工程计算思想.2. 请阐述如何理解随机数概念，说明模拟模型的本质作用. 分析：该题是基本概念题，要求在理解的基础上，用自己H R x因600)sin 2121(22=-L x R x R ， 或 600)sin (212=-x x L R ， 因 2RhL ≈150， 故 π=π=≈201500215021502R R R RL h , 从而R R R R H 1571.1)201(20≈π+=π+=.的语言表述清楚，但有部分学生照抄教案，或语言表述含混.3．某地区的人口众多，可将人口数Ｎ(t) 视为一个连续变量，仅考虑该地区个体的出生与死亡的条件下建立微分方程模型如下：d b t t N t t N t N t -∆-∆+=→∆)()()(10lim ， （1）请写出参数b ，d 的实际意义，并对此模型进行量纲一致性检验； （2）更进一步，考虑该地区人口的迁入和迁出情况建立一个数学模型，并分析人口的变化情况.分析：①优良率超过不及格率，② 多数学生能正确理解并描述参数的实际意义，建立平衡式基本模型，从而正确建立微分方程，更进一步分析出人口的变化情况.③ 部分学生未理解题目,出现抄书现象.半期考试情况；1. 实际意义a —出生率，单位时间内的平均出生人数；b —死亡率，单位时间内的平均死亡人数.2.量纲分析1） 常数是否有量纲？2） 量纲和单位的概念差别？3） DimN(t)=1,即N(t)是否是纯量？是否有单位和量纲？4. 某地区内有12个气象观察站,有10年各观察站的年降水量数据. 为了节省开支要适当减少气象站，同时使得到的降水量的信息量仍然足够大. 请你用问题分解法给出问题的整体把握，(注意：不必给出解决问题的思路与方法).分析:此题考察学生分析问题并能整体把握问题的能力. 曾作为集体作业完成，题目中特别写明注意:不必给出解决问题的思路与方法，仍有学生抄作业.正确审题的学生基本上能用问题分解法给出正确把握.5.一个收银台为顾客计算货款的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费2秒钟）.假设顾客购买的商品件数是按以下频率表分布：件数≤8 9～1920～29 30～3940～49≥50相对频率0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12请考虑如何模拟为顾客计算货款的时间.分析: 此题考核学生从实际数据出发,提取分布的有关信息,利用概率论知识给出随机变量的模拟原理及相应的算法的能力.①反映部分学生仅能机械套用讲义中离散型随机变量的模拟方法,却不能灵活应用概率论中的直方图概念,确定出所模拟随机变量应服从正态分布.②部分学生仅给出模拟算法或仅给出算法原理.6.记x(t)为t时刻X方存活的士兵数，y(t)为t时刻Y方存活的士兵数，已建立微分方程组如下：讨论：(1) 哪一方将会获胜？（2）战斗至少持续多少时间？分析: 利用微分方程的定性分析方得到方程的实际解答，部分学生去求方程的精确解，未能求出结果.7.已建立了海浪潮高度随时间变化的经验模型:),511.0sin(7.2)511.0cos(4.2)(≥-=ttttx，现实际测得如下数据时间（小时）0 1 2 3 4 5 6 8 9 10潮高（米） 3.1 2.0 0.6 0.6 -2.2 -3.6 -3.2 -2.5 -0-1.1 2.9绘出数据残差图，并分析此经验模型对数据的拟合优度.分析: 考核学生是否掌握经验模型的拟合优度检验,但由于计算量过大,致使较多学生放弃此题或运算未完成.8.尽可能多地列举出现实中服从均匀分布的随机变量，并对其中一种阐述理由，进行说明.分析:此题考察学生对实际问题中变量的随机类型判别能力和发散思维能力,得分情况表明效果良好.。
数学阅读理解型问题(专题4)
阅读理解型问题（专题4）——合情推理【考点透视】阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理， 【典型例题】例1．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a ＋b ＝2，ab ≤1； （2）a ＋b ＝3，ab ≤23； （3）a ＋b ＝6，ab ≤3．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，ab ≤ ．（2000年北京市东城区中考试题）分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．解：ab ≤29． 说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论． 例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①322322=+（ ）；②833833=+（ ）； ③15441544=+（ ）； ④24552455=+（ ）． （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．图4—1AD nB CD 1 D 2D 3E 1 E 2 E 3 E n 图4—2（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．（2000年江苏省常州市中考试题）分析：判断式子①、②、③、④内在的规律时可以发现：①中3＝2 2－1；②中8＝3 2－1；③中15＝4 2－1；④中24＝5 2－1．这样就可以统一用含n 的式子表示出来．解：（1）①√；②√；③√；④√．（2）12-+n n n ＝n 12-n n．其中n 为大于1的自然数． （3）12-+n n n ＝123-n n ＝122-⋅n n n ＝n 12-n n ． 说明：本题虽然需要说明所写式子的正确性，但本题主要考查学生的合情推理能力，即用含有n 的式子将规律表示出来．例3．下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n (n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数是S ．按此规律推断，S 和n 的关系式是 ．（2000年山西省中考试题）分析：由正三角形每条边的花盆数n 与花盆的总数S 之间的关系，可以看出S 总是比n 的3倍少3． 解：S ＝3n －3．说明：本题的答案不唯一，其它形式也可以． 例4． 如图4—2所示，在△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝a 21； 若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝a a a 43)2(21=+； 若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝a a a 87)43(21=+；…………若D n 、E n 分别是D 1-n B 、E 1-n C 的中点，则D n E n ＝ （n ≥1，且n 为整数）．（2001年山东省济南市中考试题）分析：因为12121=；2221243-=；3321287-=；……，所以D n E n 也可以用含数字2的式子来表示．解：D n E n ＝11212---n n （n ≥1，且n 为整数）．说明：寻找数字规律，应把已给的数写成有规律的一组数．n ＝2，S ＝3 n ＝3，S ＝6 n ＝4，S ＝9例5．问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数可写成10•n＋5，即求（10•n＋5）2的值（n为自然数）．你试分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）．（1）通过计算，探索规律：152＝225可写成100×1（1＋1）＋25，252＝625可写成100×2（2＋1）＋25，352＝1225可写成100×3（3＋1）＋25，452＝2025可写成100×4（4＋1）＋25，……752＝5625可写成，852＝7225可写成，……（2）从第（1）的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝．（1999年福建省三明市中考试题）分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子的序号变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．解：（1）100×7（7＋1）＋25；100×8（8＋1）＋25．(2)100n2＋100n＋25100n（n＋1）＋25．(3) 100×199（199＋1）＋25＝3980025．说明：本题不仅要求归纳猜想和探索规律，而且要运用归纳猜想得出的结论解决问题．例6．如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．图4—3 图4—4（1） 如图4—4，⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ＇和B ＇．求证：∠A ＇＝∠B ； （2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线l 与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是（ ）． (A)一个圆 (B)一条直线 (C)一条线段 (D)两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．（2001年江苏省南京市中考试题）分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．（1）证明：∵A 、B 的反演点分别是A’、B’，∴OA ·OA’＝r 2，OB ·OB’＝r 2． ∴OA ·OA’＝OB ·OB’，即''OA OBOB OA ． ∵∠O ＝∠O ，∴△ABO ∽△B’A’O ． ∴∠A’＝∠B ．． （2）解：①A ．②圆；内切．说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：如果直线⊙O’与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是什么？该图形与圆O 的位置关系是是什么？例7．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图4—5中的三角形被一个圆所覆盖，图4—6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ， 这两个圆的圆心距是 cm.（2003年江苏省南京市中考试题）图4—5图4—6分析：本题首先要理解图形被圆所覆盖的定义，其次，可以推测正方形、等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 取最小值时，显然这个圆就是正方形、等边三角形的外接圆．而第（3）题可把长为2cm ，宽为1cm 的矩形分割成两个边长为1 cm 的正方形，根据第（1）题，不难得到结论．解：（1）22； （2）33； （3）22，1． 说明：本题的合情推理是建立在空间想象的基础上，并把问题转化为多边形的外接圆问题．另外，还可以研究下列问题：1．如果边长为1cm ，有一个锐角是60°的菱形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？2．如果上低和腰长都是1cm ，下低长是2cm 的梯形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？【习题4】1．观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42－1； 5×7＝35，而35＝62－1；11×13＝143，而143＝122－1； ……请你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： ．（2000年山东省济南市中考试题）2．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为 ．（2003年北京市中考试题）3．观察下列各式： 1×3＝12＋2×1， 2×4＝22＋2×2， 3×5＝32＋2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： ．（2003年福建省福州市中考试题）4．观察以下等式：1×2＝31×1×2×3；1×2＋2×3＝31×2×3×4；1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5；1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝31×4×5×6；……根据以上规律，请你猜测：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝ ．（2001年山东省威海市中考试题）5．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面的排列规律，则2000应在（ ）．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列（2001年湖北省荆州市中考试题）6．细心观察图形4—7，认真分析各式，然后解答问题． 21,21)1(12==+S ； 22,31)2(22==+S ； 23,41)3(32==+S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2的值．（2003年山东省烟台市中考试题）7．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点， 如图4—8，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图4—9，当点A 、B 都在原点右边时，则 |AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |； ②如图4—10，当点A 、B 都在原点左边时，则O (A ) B图4—8O B A图4—9O A B 图4—10O A 2 A 4A 1 …1 A 5S 3 S 5 S 2S 1 S 41 1 1A 6 A 3…图4—7|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4—11，当点A 、B 在原点的两边时，则 |AB |＝|OA |+|OB |＝|a |+|b |＝a +(－b )＝|a －b |. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |.(2)回答相应问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB |=2，那么x 为 ． ③当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，x 相应的取值范围是 .（2002年江苏省南京市中考试题）8．如图4—12，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点， AF =21AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ． （2）阅读下面材料：如图4—13，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置； 如图4—14，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置； 如图4—15，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． （3）回答下列问题：①在图4—12中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置？答： ． ②指出图4—12中线段BE 与DF 之间的关系．答： ．（2000年江苏省南京市中考试题）9．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生研究这一问题时，发现了如下事实．EDCBADCBAEDCA图4—13 图4—14 图4—15FABC D E图4—12OA B a 图4—11图4—16E A B C O D图4—17 B C A D EOB C A 图4—18 D E O C A 图4—19 D F EO①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO （如图4－16）； ②当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图4－17）； ③当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图4－18）． 在图4－19中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．（2001年河北省中考试题）10．某厂要制造能装250毫升(1毫升＝1厘米3 )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部的厚度都是0.02厘米，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“呯”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来．设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是y 厘米3． （1）利用用铝量＝底圆面积×底部厚度＋顶圆面积×顶部厚度＋侧面积×侧壁厚度)求y 与x 之间的函数关系式；（2②根据上表推测：要使用铝量y （厘米）的值尽可能小，底面半径x （厘米）的值所在范围是( )．A ．1.6≤x ≤2.4B ．2.4＜x ＜3.2C ．3.2≤x ≤4（2002年江苏省南京市中考试题）11．如图20，正方形ABCD 和正方形EFGH 对角线BD 、FH 都在直线l 上．O 1、O 2 分别是正方形的中心，O 1D ＝2，O 2F ＝1，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．．．．当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2 ＝ ． （2）随着中心O 2在直线l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程 ）．（2003年江苏省徐州市中考试题）图4—20【习题4】1．解：（2n －1）（2n ＋1）＝（2n ）2－1． 2．解：9（n －1）＋n ＝10（n －1）＋1． 3．解： n （n ＋2）＝n 2 ＋2n ．4．解：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝31×n ×（n ＋1）×（n ＋2）．5．解：选C ．6．解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+． （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， ∴OA 10＝10．（3）S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2＝2)21(＋2)22(＋2)23(＋…＋2)210(＝41（1＋2＋3＋…＋10） ＝455． 7．解：（1）3，3，4；（2）∣x ＋1∣，－3或1； （3）－1≤x ≤2． 8．解：（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵ AB=AD ，AD ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAF =90°．∵AE =21AD ，AF =21AB ， ∴AE =AF ．∴△ABE ≌△ADF ．（3）①答：△ABE 绕点A 逆时针旋转90度到△ADF 的位置． ②答：BE =DF ，且BE ⊥DF ．9．解：根据题意，可以猜想：当n AC AE +=11时，有n AD AO +=22成立． 证明：过D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∵D 是BC 的中点， ∴F 是EC 的中点． ∵n AC AE +=11， ∴n EC AE 1=． ∴nEF AE 2=．∴nAF AE +=22． ∵DF ∥BE ， ∴nAF AE AD AO +==22． 10．解：（1）解：222250202.0302.0xx x x y ππππ⋅+⋅⋅+⋅=·0.02 =xx 102522+π． （2）B ．11．解：．（1）2，1． （2）3．（3）①当1＜O 1O 2＜3时，两个正方形有2个公共点；②当O 1O 2＝1时，两个正方形有无数个公共点；③当O 1O 2 ＜1，或O 1O 2＞3时，两个正方形没有公共点．。
2003年江苏省南京市中考数学试卷
2003年江苏省南京市中考数学试卷一、选择题（共15小题，每小题2分，满分30分）1．（2分）计算2﹣1的结果是（）A．B．﹣ C．2 D．﹣22．（2分）若a与﹣5互为相反数，那么a是（）A．﹣5 B．C．D．53．（2分）计算（a2）3的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．3a24．（2分）已知是方程kx﹣y=3的一个解，那么k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣15．（2分）如果，那么x的取值范围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞26．（2分）如果一元二次方程3x2﹣2x=0的两个根是x1和x2，那么x1•x2等于（）A．2 B．0 C．D．﹣7．（2分）抛物线y=（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）8．（2分）观察下列“风车”的平面图案：其中是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2分）在△ABC中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB等于（）A．B．C．1 D．10．（2分）在比例尺是1：38 000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实际长度约为（）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km11．（2分）用换元法解方程x2+x+1=时，若设x2+x=y，则原方程可化为（）A．y2+y+2=0 B．y2﹣y﹣2=0 C．y2﹣y+2=0 D．y2+y﹣2=012．（2分）如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径等于（）A．B．3 C．4 D．13．（2分）正方形ABCD的边长是2cm，以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（）A．16πcm2B．8πcm2C．4πcm2D．4cm214．（2分）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）米．A．B．C．D．15．（2分）如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（）A．：1 B．1：C．：1 D．1：二、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）16．（2分）4的平方根是．17．（2分）计算：+=．18．（2分）在实数范围内分解因式：=．19．（2分）如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是cm．20．（2分）如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，PD=2PB，PC=2cm，则PA= cm．三、解答题（共13小题，满分80分）21．（5分）计算：22．（5分）解方程组：23．（5分）已知二次函数y=ax2﹣2的图象经过点（1，﹣1），求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．24．（5分）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．25．（5分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V=2m3时求氧气的密度ρ．26．（5分）一个长方形足球场的长为xm，宽为70m．如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m 之间）27．（5分）公交508路总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：20 23 26 25 29 28 30 25 21 23（1）计算这10个班次乘车人数的平均数；（2）如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？28．（7分）如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离．29．（6分）只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：（1）在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：＜1＞量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；＜2＞画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．（2）在图2中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．30．（8分）阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．这两个圆的圆心距是cm31．（7分）某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．32．（8分）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M、N．（1）求M、N两点的坐标；（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=﹣x+4相切，求点P的坐标．33．（9分）如图，⊙O与⊙O1相交于A、B两点，点O在⊙On上，⊙On的弦OC交AB于点D．（1）求证：OA2=OC•OD；（2）如果AC+BC=OC，⊙O的半径为r，求证：AB=．2003年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题2分，满分30分）1．（2分）计算2﹣1的结果是（）A．B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：原式=．故选A．【点评】幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．2．（2分）若a与﹣5互为相反数，那么a是（）A．﹣5 B．C．D．5【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．【解答】解：根据概念，（﹣5的相反数）+（﹣5）=0，则﹣5的相反数是5．故选：D．【点评】理解互为相反数的概念．3．（2分）计算（a2）3的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．3a2【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3=a6．故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．4．（2分）已知是方程kx﹣y=3的一个解，那么k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．【解答】解：把代入方程kx﹣y=3，得：2k﹣1=3，解得k=2．故选：A．【点评】解题的关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程，利用方程的解的定义可以求方程中其它字母的值．5．（2分）如果，那么x的取值范围是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2【分析】已知等式左边为算术平方根，结果x﹣2为非负数，列不等式求范围．【解答】解：如果，必有x﹣2≥0，即x≥2．故选C．【点评】本题主要考查二次根式的化简方法的运用：a＞0时，=a；a＜0时，=﹣a；a=0时，=0．6．（2分）如果一元二次方程3x2﹣2x=0的两个根是x1和x2，那么x1•x2等于（）A．2 B．0 C．D．﹣【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=，x1x2=．【解答】解：这里a=3，c=0，则x1•x2==0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．7．（2分）抛物线y=（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A．（1，1） B．（﹣1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）【分析】二次函数的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标为（h，k）；直接写出顶点坐标．【解答】解：因为y=（x﹣1）2+1是抛物线解析式的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是（1，1）．故选：A．【点评】本题主要是对二次函数中对称轴，顶点坐标的考查．8．（2分）观察下列“风车”的平面图案：其中是中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据中心对称图形的定义结合各图形的特点即可解答．【解答】解：是在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合的图形的有第2个与第4个，即中心对称图形是第二个与第四个，其它两个不是．故选B．【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合；和正偶数边形有关的一般是中心对称图形．9．（2分）在△ABC中，∠C=90°，tanA=1，那么cotB等于（）A．B．C．1 D．【分析】根据tan45°=1得出∠A的值，再根据三角形内角和180°得出∠B的值，代入cotB即可．【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，tanA=1，∴∠A=45°，∠B=180°﹣90°﹣45°=45°．∴cotB=cot45°=1．故选：C．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．10．（2分）在比例尺是1：38 000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实际长度约为（）A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km【分析】比例尺=图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．【解答】解：根据：比例尺=图上距离：实际距离．得它的实际长度约为7×38000=266000（cm）=2.66（km）．故选B．【点评】理解比例尺的概念，正确进行有关计算，注意单位的转换．11．（2分）用换元法解方程x2+x+1=时，若设x2+x=y，则原方程可化为（）A．y2+y+2=0 B．y2﹣y﹣2=0 C．y2﹣y+2=0 D．y2+y﹣2=0【分析】根据方程的特点，设y=x2+x，可将方程中的x全部换成y，转化为关于y的分式方程，去分母转化为一元二次方程．【解答】解：把x2+x=y代入原方程得：y+1=2•，方程两边同乘以y整理得：y2+y ﹣2=0．故选：D．【点评】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径等于（）A．B．3 C．4 D．【分析】因为PC，PA分别是圆的切线与割线，根据切割线定理PC2=PB•PA可求得PC=3，PB=1；从而求得AB=8，即可求得半径的长．【解答】解：∵PC，PA分别是圆的切线与割线，∴PC2=PB•PA，∵PC=3，PB=1，∴PA=9，AB=8，∴半径为4．故选：C．【点评】此题主要考查学生对切线的性质及勾股定理的理解运用．13．（2分）正方形ABCD的边长是2cm，以直线AB为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（）A．16πcm2B．8πcm2C．4πcm2D．4cm2【分析】根据圆柱的侧面积公式=底面周长×高计算．【解答】解：圆柱的侧面面积=π×2×2×2=8πcm2．故选B．【点评】本题主要是根据圆柱的侧面积公式进行计算．14．（2分）一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为（）米．A．B．C．D．【分析】根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为米．【解答】解：∵1﹣=，∴第2次后剩下的绳子的长度为米；依此类推第六次后剩下的绳子的长度为米．故选：C．【点评】此题主要考查了乘方的意义．其中解题是正确理解题意是解题的关键，能够根据题意列出代数式是解题主要步骤．15．（2分）如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（）A．：1 B．1：C．：1 D．1：【分析】根据题意，得b：=a：b，根据比例的基本性质，得a2=2b2．则可求得a=b，故a：b可求．【解答】解：∵b：=a：b，∴a2=2b2，∴a=b，则a：b=：1．故选：A．【点评】能够根据题意正确写出比例式，再根据比例的基本性质表示两个字母之间的关系，即可求解．二、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）16．（2分）4的平方根是±2．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．17．（2分）计算：+=．【分析】运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=+2=3．【点评】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．18．（2分）在实数范围内分解因式：=．【分析】把3写成的平方，然后利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x2﹣2x+3，=x2﹣2x+（）2，=（x﹣）2．故答案为：（x﹣）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两项平方项的符号相同；另一项是两底数积的2倍，把3写成平方的形式是运用公式的关键．19．（2分）如图，正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是2cm．【分析】由已知易得，△ADI、△BEF、△CHG是等边三角形，从而可证AD=DE=BE，由正三角形ABC的边长即可求得正六边形的边长．【解答】解：∵正六边形DEFGHI∴DI∥BC∵正三角形ABC∴∠B=∠C=∠A=60°∴△ADI是等边三角形∴AD=DI=AI同理，BE=EF=BF∵DE=EF∴AD=DE=BE∴DE=6÷3=2cm．故填2．【点评】此题考查等边三角形和正六边形的性质．20．（2分）如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点P，PD=2PB，PC=2cm，则PA= 4cm．【分析】由相交弦定理可以得到PA•PB=PC•PD，然后利用已知条件即可取出PA．【解答】解：由相交弦定理得PA•PB=PC•PD，∴PA===4cm．【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．三、解答题（共13小题，满分80分）21．（5分）计算：【分析】先对括号内的异分母分式加减，需要通分，再把除法转化为乘法运算进行计算，约分就可以了．【解答】解：原式=（2分）=（4分）=．（5分）【点评】本题有两个考查点：（1）异分母分式加减；（2）分式的除法．熟练掌握运算法则是解题的关键．22．（5分）解方程组：【分析】由（1）得y=x（3），把（3）代入（2）得x2+2x2=12，解这个方程再代入求值即可．【解答】解：由（1）得y=x（3），把（3）代入（2）得x2+2x2=12，解得x=±2，当x=2时，y=2；当x=﹣2时，y=﹣2．∴原方程组的解是．【点评】此题主要是用代入消元法求解．23．（5分）已知二次函数y=ax2﹣2的图象经过点（1，﹣1），求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．【分析】①首先利用待定系数法求出a值，继而求出二次函数解析式．②利用△可以解答与x轴的交点的个数．【解答】解：根据题意，得a﹣2=﹣1，（1分）∴a=1．（2分）∴这个二次函数解析式是y=x2﹣2．（3分）因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，﹣2）故该函数图象与x轴有两个交点．（5分）【点评】本题考查的是二次函数的有关性质，难度一般．还可以根据判别式△的值得出函数图象与x轴的交点的个数．24．（5分）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B=∠C，D又是BC的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD．（2）利用（1）的结论可知，DE=DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE 是正方形．【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵D是BC的中点，∴BD=CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°．∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE=DF．∴四边形DFAE为正方形．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质以及矩形、正方形的判定．解答此题的关键是利用等腰三角形的两个底角相等，从而证明Rt△BED和Rt△CFD中的两个锐角对应相等．25．（5分）一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3．（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V=2m3时求氧气的密度ρ．【分析】首先根据题意，一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V （m3）的反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．【解答】解：（1）设ρ=，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3，所以1.43=，即k=14.3，所以ρ与V的函数关系式是ρ=；（2）当V=2m3时，把V=2代入得：ρ=7.15（kg/m3），所以当V=2m3时，氧气的密度为7.15（kg/m3）．【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．26．（5分）一个长方形足球场的长为xm，宽为70m．如果它的周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．（注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m 之间）【分析】由题意，得．解这个不等式组可得长x的取值范围，再与国际比赛的足球场进行比较，看是否适合．【解答】解：由题意，得，解得105＜x＜108．答：这个足球场可用于国际足球比赛．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．27．（5分）公交508路总站设在一居民小区附近，为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：20 23 26 25 29 28 30 25 21 23（1）计算这10个班次乘车人数的平均数；（2）如果在高峰时段从总站共发车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少人？【分析】利用平均数计算公式先求出样本平均数，再用平均数乘以发车班次就是乘客的总人数．【解答】解：（1）平均数=（20+23+26+25+29+28+30+25+21+23）=25（人）∴这10个班次乘车人数的平均数是25人．（2）60×25=1500（人）∴估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1500人．【点评】正确理解算术平均数的概念和学会运用样本根据总体的思想方法．28．（7分）如图，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离．【分析】过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，根据已知角的度数和正方形的性质．可以得到两个30度的Rt△ABE，Rt△CDG，然后根据锐角三角函数的知识进行求解．【解答】解：过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°∵∠OBC=30°∴∠ABE=60°，在Rt△AEB中，AE=ABsin60°=2×，∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO，∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°，在Rt△DCG中，CG=CD•cos30°=2×，在Rt△BOC中，OC=BC=1（cm），∴DF=GO=OC+CG=（+1）cm，答：点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为（+1）cm．【点评】能够发现30度的直角三角形，熟知30度的直角三角形的各边关系：从小到大的比是1：：2．29．（6分）只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：（1）在图1中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：＜1＞量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；＜2＞画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴．（2）在图2中画∠AOB的对称轴，并写出画图的方法．【分析】（1）按题中所给的条件画即可；（2）∠AOB的对称轴是∠AOB角平分线所在的直线．如果用度量的方法，应由（1）得到启发，作出一个等腰三角形，作出中心即可．【解答】解：（1）；（2分）（2）．（4分）画图方法：＜1＞利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC、OD，使OC=OD；＜2＞连接CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E；＜3＞画直线OE，直线OE即为∠AOB的对称轴．（6分）【点评】用到的知识点为：等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线．30．（8分）阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是cm；（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是cm．这两个圆的圆心距是1cm【分析】当一个图形被一个圆覆盖时，当圆是这个图形的外接圆时，圆最小；当矩形被两圆覆盖，圆最小时，两圆的公共弦一定是1cm，则每个圆内的部分是一个边长是1的正方形．【解答】解：（1）以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r 的最小值=；（2）边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB=1，BD=，因为三角形是正三角形，所以∠ABC=60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD=OB，设OA=OB=x，则OD=x，在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：x2=（）2+（x）2，解得：x=．（3）如图：矩形ABCD中AB=1，BC=2，则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F 两点，由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r=，两圆心距=1．【点评】正确理解什么情况下圆最小是解决本题的关键．31．（7分）某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏以超出进价4元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价．【分析】根据题目的问题，设每盏灯的进价为x元，400元可以买灯个，实际卖出的是（）个；单价每盏灯（x+4）元，卖出金额（）•（x+4）元；用所得的钱又采购了一批这种节能灯（）个，需要的金额（+9）•x元，根据题意，列方程．【解答】解：设每盏灯的进价为x元．依题意，列方程：（）•（x+4）=（+9）•x．解方程得：x1=10，x2=（舍去）．经检验，x=10符合题意．答：每盏灯的进价为10元．【点评】本题可以从卖出的节能灯金额=又采购的节能灯金额，建立等量关系．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．32．（8分）如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M、N．（1）求M、N两点的坐标；（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线y=﹣x+4相切，求点P的坐标．【分析】第一问简单，已知直线解析式，易求M，N点坐标；由题意知点P在坐标轴上，说的很模糊，所以要分类讨论，再根据圆的性质及相切的条件，又知道圆的半径，从而求出每种情况的P点坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=4，当y=0时，﹣x+4=0∴x=3．∴M（3，0），N（0，4）．（2）①当P1点在y轴上，并且在N点的下方时，设⊙P1与直线y=﹣x+4相切于点A，连接P1A，则P1A⊥MN，∴∠P1AN=∠MON=90°．∵∠P1NA=∠MNO，∴△P1AN∽△MON，∴在Rt△OMN中，OM=3，ON=4，∴MN=5．又∵，∴P1N=4，∴P1点坐标是（0，0）；②当P2点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得P2点坐标是（0，0）；③当P3点在x轴上，并且在M点的右侧时，设⊙P3与直线y=﹣x+4上切于点B，连接P3B．则P3B⊥MN，∴OA∥P3B．∵OA=P3B，∴P3M=OM=3，∴OP3=6．∴P3点坐标是（6，0）；④当P4点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得P4N=ON=4．∴OP4=8，∴P4点坐标是（0，8）；综上，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）．【点评】此题考查一次函数的基本性质及圆的性质，把直线与圆连接起来，不免有相切的关系，还考查相似三角形的性质及分类讨论的思想．33．（9分）如图，⊙O与⊙O1相交于A、B两点，点O在⊙On上，⊙On的弦OC交AB于点D．（1）求证：OA2=OC•OD；（2）如果AC+BC=OC，⊙O的半径为r，求证：AB=．【分析】（1）欲证OA2=OC•OD，通过证明△AOC∽△DOA可以得出；（2）因为AC+BC=OC，⊙O的半径为r，欲证AB=，只需证明（AC+BC）：OC=AB：OA；通过证明△AOC∽△DOA，△OBD∽△OCB，得出比例形式相加，即可得出．【解答】证明：（1）连接OB．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠OCA=∠OBA，∴∠OAB=∠OCA．∵∠AOC=∠DOA，∴△AOC∽△DOA．∴，∴OA2=OC•OD．（2）∵△AOC∽△DOA，∴．同理可得，．∴，即．∵AC+BC=OC，OA=r，∴AB=．【点评】本题考查了相似三角形的性质．特别注意：第（2）小题构思巧妙，解答此类题关键是综合两个相似比，得出结论．。
2003年中考代数试题精选与简析
2003年中考代数试题精选与简析
金维冬;周以宏
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2003(000)011
【摘要】@@ 一.选择题rn1.(北京海淀区试题)2003年5月19日,国家邮政局特别发行"万众一心抗击‘非典'"邮票,收入全部捐赠给卫生部门,用以支持抗击"非典"斗争,其邮票发行量为12 500 000枚,用科学记数法表示正确的是( ).
【总页数】6页(P41-46)
【作者】金维冬;周以宏
【作者单位】江苏省苏州国际外语学校,215131;江苏省苏州中学,215007
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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体现素质要求发挥导向作用——2003年数学中考分析镇海区教育局教研室高立斌李雪明03年中考前，有相当一部分的师生对03年的数学试题的难易程度难以把握，当时盛传03年的中考数学试题必定要难，为此，宁波市教育局教研室初中数学教研员沃苏青老师在2003年5月13日宁波东南商报第20版发表了题为《二OO三年中考复习指南·数学》，在此文中沃老师指出03年中考要彻实落实市教育局《关于2003年宁波市初中毕业升学考试工作的若干意见》的精神，切实体现素质教育的要求，更好地发挥中考试题对中学数学教学的导向作用，促进学生生动、活泼、主动学习。
并指出03年的中考数学试题的热点是“继承与改革”、“基础与创新”、“实践与应用”、“探索与开放”、“课改与传统”、“难度与区分度”。
现在03年中考“面纱全揭”，从03年宁波市中考数学试题中我们可以清楚地看到试题很好地秉承02年命题的一些好的做法，体现了素质教育的要义，具有鲜活的时代特征。
也使教师们普遍存在的认识——中考试题总是“忽冷忽热”、“时易时难”得以纠正，给人以“春风拂面”之感。
下面结合我区实际简要地对03年数学中考进行分析，供教师们参考。
一、03年中考数学试题的特点综观03年宁波市中考数学试题，笔者认为有以下几个特点：一是秉承，03年中考数学试题吸取了02年中考数学试题中一些好的做法，其一是试题“入口”宽、起点低，这是符合学生的心理特征的，也充分体现了命题者“以生为本”的人本主义理念；其二是注重考查学生的基础知识和基本能力，据笔者对今年中考数学试题理解，试题考查双基的权重为0.7左右；其三是注重实践和应用，如02年中考试题“峰谷”电问题，取材于近年来城乡采用的用电收费制度——分时用电，03年的电话费计费问题，这类题型背景贴近现实，关注社会发展，取材鲜活，既有地方特色又有人民群众较为关心的生活问题；其四是关注课改，如03年填空题第9题：下图表示某班21位同学衣服上口袋的数目，若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5的概率是（图略）。
又如选择题18题图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是----------（）A、25 B、66 C、91 D、120 (图略)；其五是探索开放，细细分析03年中考试题，不难发现整份试题探索开放题约占20%，如第7、11、17、26、27、28题，开放性、探索性试题对促进教学课程改革、培养学生的创新能力具有重要的导向作用，必然成中考的热点，当然03年也不例外。
二是回归，03年中考数学命题者非常注意发挥课本例题、习题、配套作业本、复习指导用书及考纲的作用，如第10题选自复习指导用书，第19题来自考纲的例卷，第21题选自课本的例题，第23、24题选自课本习题，第26题也来自考纲的样卷。
三是改革，02年中考后，广大初中师生都拍手称快，媒体也反映积极，《浙江日报》对杭甬等地中考的变化（难度降低）以“吹皱一池春水”为题辟专题进行了报导，并预示“基础教育改革的春天到了”。
由于难度大幅度地降低不可避免出现高分较多，从成绩分段统计图看，分布高峰落在顶端（110-120），且从90分以后陡然增加，高分过于集中，区分不够，这样不利于高一级学校的选拔，为此在03年中考数学试题命题人员认真研究了各方面的反应，在继承上几年命题工作中的一些优点的基础上进行了改革，03年试题主要做了二方面的工作，一是体现能力立意，如试题中第27题：某市对电话费作了调整，原市话费为每3分钟0.2元（不足3分钟按3分钟计算）。
调整后，前3分钟为0.2元，以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）。
设通话时间x分钟时，调整前的话费为元，调整后的话费为元。
（1）填写下表，并指出x取何值时，；(2)当x=11时，请设计三种通话方案(可以分几次拨打)，使所需话费元，满足。
这题对知识要求并不高，小学生都能解，但对考生的能力要求较高，事实也证明了这一点，从阅卷后统计这题的得分率并不高。
二是不在通法通则上下太大的功夫，而是考查学生运用所学的知识灵活地解决问题，如第12题：已知抛物线经过点（a，）和（-a，），则的值是。
又如第28题：已知：如图，，AB=BC=CA=6，BC在x轴上，BC边上的高线AO在y轴上，直线L绕A点转动（与线段BC没有交点）。
设与AB、L、x轴相切的⊙O1的半径为，与AC、L、x轴相切的⊙O2的半经为（1）当直线L绕点A转动到何位置时，⊙O1、、⊙O2的面积之和最小，为什么？（2）若-=，求图象经过点O1、O2的一次函数解析式。
（图略）此二道题如通过通法通则难以求解，而是要根据题中所提供的信息，通过知识的整合，灵活地选取合适的方法方能得到正确的答案。
如第12题，只要的把点（a，）代入函数，经过配方先求出a、b，然后再求出。
而第28题，如果一味按教师平时提供的方法，先构建一个直角三角形，则犹然进入一个“万花筒”—一点头绪都没有，这题正确的解法是利用二条外公切线相等和切线长定理先确定，然后利用二次函数求解。
有了这一结果第（2）小题就不难求得。
从我区数学中考下来的实际情况看，各档分数基本趋于正态分布，达到了命题者原先的愿望，正是沃苏青老师所提出的：难度应适中，区分度要有，惟有如此，才能使难调的“众口”都“有菜可吃”。
（下附区数学中考分数段统计表）区数学中考分数段统计表二、03年我区数学中考的一些概况2003年中考已经结束，，全区共有3206名的学生参加了这次中考，从数学阅卷的结果上看，平均分为81.53，合格率为69.41%，优秀率为19.65。
，这样的成绩在全大市名列前茅。
在阅卷的过程中笔者随机抽取了90份试卷进行分析其结果是：各题得分率统计表一方面说明我区的初中数学教学是令人鼓舞的，是广大初中数学教师无私奉献，兢兢业业的结晶。
另一方面，我们要清醒地看到，我区的初中数学教学质量很不均衡，有的学校教学质量相当高，有的学校从各项指标上看却不甚理想，暴露出一些问题，为此，我们要认真分析2003年中考情况，找出其中存在的问题，端正教育思想，不断改进教学方法，提高初中数学教学质量。
从卷面上分析，考生在考试时所出现的错误呈现以下几个特征：1、部分学生双基欠扎实。
如第2题把因式分解当成方程来解，第14题把“、”当作有理数等。
2、审题不清。
如第8题，题中的要求是确定整数a的值，有的学生却求a的取值范围3、解决实际问题的能力较差。
试题中涉及到实际应用的题目是第9题、23题、24题、25题和27题，分值共29分，占24%，得分率都不是很理想，尤其是27题得分率最低（得分率见上表），4、灵活运用数学思想方法能力较弱。
考查学生运用数学思想、方法是这几年中考命题的重要趋势之一，也是衡量一个学生数学素质优劣的重要途径之一。
如今年宁波市中考试题中第28题、三、中考的几点启示1、在阅卷的过程中，我们发现有些学生什么都不会，叫人匪夷所思，出现这样的问题显然不能把原因归结在这些学生的基础和大脑素质上，而是他们厌学，根本没有去学的结果。
因此，在教学中我们不但要重视学生的智力因素培养，还要重视学生的非智力因素培养。
为此，有必要在初中数学教学中倡导“快乐数学”，即要让学生在愉悦的氛围中，快乐地接受数学知识，使每个学生学有兴趣，并使他们在原有的基础上有不同程度的提高。
真正实现区教育局提出的“均衡发展”理念。
2、由于我市采用毕业、升学两考合一的做法，中考命题者都十分注重对学生基础知识、基本能力的考查，今年的试题的难度较02年大致相同，所以，在今后的教学中，要摒弃以往那种“速度快、容量大、难度深”的做法，引导每个学生积极参与到知识的发生、形成、发展的过程中来，扎扎实实地把“双基”落实到实处。
同时还必须注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系，将新知识及时纳入已有的知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，从整体上构建一套完整的、有条理化的、有序的和网络化的认知结构。
3、注重实际应用，强化应用意识。
培养学生用数学的能力，要从学生熟悉的情境中引出数学问题，增加与生产、生活、市场经济等联系密切的事例、习题，培养学生的数学观念和应用意识以及解决问题的能力。
真正能够体验、理解数学是什么，认识到社会各类活动中，数学可以怎样帮助他们成功。
这正是素质教育和数学教学的目的之所在。
如03年第27题，如果学生能真正理解电话费收费过程，我想其结果就不会是这样的结果了。
因此，我们建议一线教师要了解我市生产、生活发展形势，学习教育部有关中考命题的指导意见，明确考试方向，加大结合实际编制应用题的力度，把初中数学应用问题教学扎扎实实地落实在课堂上，把培养学生的创新精神和实践能力，当作推行素质教育的一项重要目标，分步、分层地落实到课堂教学中来。
4、要学习新课标，用新课标中的理念指导当前的教学，目前，市三区和慈溪市都采用了新课程标准下的新教材，我区也将在04年实施新教材，新教材与传统的教材相变最大的区别是要改变学生的学习方式，即变要我学为我要学，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程，变接受学习为有意义的学习。
为此，我们倡导教师是学生学习过程中的引导者、参与者和合作者，在平时的数学教学中，要结合教学内容，引导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生的搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力。
2003年数学中考分析镇海区教育局教研室李雪明高立斌03年中考前，有相当一部分的师生对03年的数学试题的难易程度难以把握，当时盛传03年的中考数学试题必定要难，为此，宁波市教育局教研室初中数学教研员沃苏青老师在2003年5月13日宁波东南商报第20版发表了题为《二OO三年中考复习指南·数学》，在此文中沃老师指出03年中考要彻实落实市教育局《关于2003年宁波市初中毕业升学考试工作的若干意见》的精神，切实体现素质教育的要求，更好地发挥中考试题对中学数学教学的导向作用，促进学生生动、活泼、主动学习。
并指出03年的中考数学试题的热点是“继承与改革”、“基础与创新”、“实践与应用”、“探索与开放”、“课改与传统”、“难度与区分度”。
现在03年中考“面纱全揭”，从03年宁波市中考数学试题中我们可以清楚地看到试题很好地秉承02年命题的一些好的做法，体现了素质教育的要义，具有鲜活的时代特征。
也使教师们普遍存在的认识——中考试题总是“忽冷忽热”、“时易时难”得以纠正，给人以“春风拂面”之感。
下面结合我区实际简要地对03年数学中考进行分析，供教师们参考。
一、03年中考数学试题的特点综观03年宁波市中考数学试题，笔者认为有以下几个特点：一是秉承，03年中考数学试题吸取了02年中考数学试题中一些好的做法，其一是试题“入口”宽、起点低，这是符合学生的心理特征的，也充分体现了命题者“以生为本”的人本主义理念；其二是注重考查学生的基础知识和基本能力，据笔者对今年中考数学试题理解，试题考查双基的权重为0.7左右；其三是注重实践和应用，如02年中考试题“峰谷”电问题，取材于近年来城乡采用的用电收费制度——分时用电，03年的电话费计费问题，这类题型背景贴近现实，关注社会发展，取材鲜活，既有地方特色又有人民群众较为关心的生活问题；其四是关注课改，如03年填空题第9题：下图表示某班21位同学衣服上口袋的数目，若任选一位同学，则其衣服上口袋数目为5的概率是（图略）。