2015八年级下数学讲义 第二讲
八年级数学下册 第2章 四边形 2.2.1 平行四边形的性质(第2课时)教案 (新版)湘教版
平行四边形的判定．知识与技能：掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”“对角线互相平分的四边形是平行四边形”角分别相等的四计算能力、、重点：理解掌握“对角、难点：判定定理课前、．用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么？．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？？结论又是什么？探究方法做，让学生判定这判定方法三：对角线互相平分的四边形是OA=OC（较简单的）平分，可判定这个四边形是平行四边形。
互相平分的四边形解“两组对角分别几何语言表达：∵OA=OC， OB= OD ∴四边形ABCD是分析：由题意可得是平行四A BD C是平行四边形（让学生板书，然后小结、CE，如图，ABCE为平行四边形，可得∠边形的互相平分；夹在平昨天我所在学校期中考试成绩，有个别同学考的不太理想，跟我发微信，自己在期中考试前已经非常努力的做题了，但最后的成绩却很差。
部分家长也反映孩子很努力，却始终考不出成绩，问到底如何才能学好物理？回答这个问题前，我们先讨论以下，努力和好成绩之间的关系，是不是努力了就一定会有好成绩？答案是否定地！按照这个逻辑，如果有学生24小时不断地学习就得保送清华北大；中国足球只要训练的足够刻苦，就一定能踢赢巴西；我作为老师只要足够的努力就能当上教育局局长？很显然，努力和最后的结果并不是必然的关系，在努力和结果之间，还有存在一桥梁，那就是方法。
高中生普遍认为物理难。
一遇到多过程的物理问题头就疼，其实是因为他不会学物理。
高中所有课程，每一门都有自己的特点，都需要大家根据这些特点，制定相应的方法。
那学物理有什么方法呢？方法是根据特点制定出来的。
所以，我们首先要了解物理这门课的特点。
物理最大的特点就是，大多数的研究对象以及研究对象的变化过程都是形象的，是可以在我们脑海呈现出来并且通过图像画出来。
八年级下册数学第二章《一元二次方程》讲义
【八年级下册数学第二章《一元二次方程》讲解 】【书本相关知识点:】1、一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2、 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥. （注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：① 将方程的右边化为 ；② 将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③ 令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程 的解. （注意：方程要先化成一般形式.） 3、一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
【相关练习题讲解：】 知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
2、已知关于x 的方程(m+3)x 2－mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程， 则 m 的取值范围是 。
第2讲质数与完全平方数教师讲义
八年级数学竞赛第二讲 质数和完全平方数一．质数与合数一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除，就叫做质数（素数），如果能被1和本身 以外的自然数整除，就叫做合数.特别注意1即不是质数也不是合数，叫做单位数.有时候质数的相反数也叫质数，合数的相反数也叫合数，不过，在本讲中，如没有特别说明，都是指正的质数和正的合数.例1. 求出符合以下条件的所有质数：这样的质数既是两个质数的和，又是两个质数的差. 分析：设所求质数为p ，因为p 是两个质数的和，所以p 必是奇数，于是必有s p +=2，s 是奇质数；又因为p 是两个质数的差，所以必有2-=q p ，q 是奇质 数，由此看来，2,,2+-p p p 是三个差为2的连续奇（质）数，其中必有一个是3 的倍数，而3是最小的奇质数，故5=p .例2. （1996年希望杯初二赛题）三个质数c b a ,,的乘积等于这三个质数和的5倍，则_____222=++c b a .分析：()c b a abc ++=5，所以有一个质数是5，不妨设5=a ，于是有25555++=c b bc ，得出()()611=--c b ，又61326⨯=⨯=，不妨设⎩⎨⎧=-=-3121c b ① 或⎩⎨⎧=-=-6111c b ② .由①得4,3==c b ，不合题意.由②得 7,2==c b ，符合题意.故所求的三个质数是5，2，7.于是78222=++c b a .例3. 质数中无最大数，也就是说，不存在最大的质数.试证之.分析：可以用反证法.若有最大的质数，设为p ，观察从2到p 的所有质数乘积 加1的和式1532+⨯⨯⨯⨯=p n Λ，因为质数2，3，5，…，p 中没有一个是 n 的因数，若n 是一个合数，它肯定有质因数，但不在2，3，5，…，p 中，故 n 的质因数比p 还要大，与假设矛盾；若n 是一个质数，易知n 大于p ，也与假设矛盾.例4. 求证：若正整数p 使得12-p 是一个质数，则p 一定是质数.分析：利用公式()()122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a Λ二．质因数的分解我们经常把一个大于1的整数分解为若干个质数的连乘积形式，这就是所谓的分解质因 数，乘积中的每一个质数，都叫做这个整数的质因数.关于质因数分解有以下定理：算数基本定理 任意一个大于1的整数N 都可以分解为质因数的乘积.如果不考 虑这些质因数的次序，那么这种分解是唯一的.通常可以表示成以下形式：在上式中，n p p p ,,,21Λ都是质数且互不相同，n ααα,,,21Λ都是正整数.这种分解式称为 正整数N 的标准分解式.例如540的标准分解式是53254022⨯⨯=.推论1 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示，那么N 共有 正约数()()()11121+++n αααΛ个，这些约数包括1和N 本身.推论2 如果对于大于1的整数N ，其标准分解式如()*式所示，那么N 是一 个完全平方数的充要条件是n ααα,,,21Λ都是偶数，即N 的正约数个数是奇数.质数有如下整除性质：（1）p 是质数，b a ,都是整数，如果ab p ，则a p 或b p ，特别地2a p 时，a p ；（2）n p p p ,,,21Λ是不同的质数，a 是整数，如果a p 1，a p 2，a p n ,Λ，则a p p p n Λ21.例5. 不大于200的正整数中，有哪些数恰好有15个不同的正约数（包括1和本身）. 分析：由推论1，考虑这个约数个数是怎么算来的.5315115⨯=⨯=,因此有两种形式：14p N =或42q p N =，q p ,均为质数且q p ≠.对于第一个知不成立，第二个取,2=q 则p 可取3，取,3=q 则p 取任何质数都将超过200.例6. 求473360⨯和361172⨯这两个积的最大公约数和最小公倍数.分析：先对两个数进行质因数分解.例7. 证明在无限整数序列Λ,0011000100010,100010001,10001中没有质数. 分析：要证明一个数为合数，即证明它有除了1和本身以外的因数，只需证明它能表示成两个大于1的整数的乘积即可，以前的专题曾经涉及到一些特别的数，比如：.7313710001⨯=序列Λ,0011000100010,100010001,10001可以改写成 Λ,10101,101844+++根据例题4所用的公式知其通项为 n npp p N αααΛ2121=()*11011044--=n n a ，Λ,3,2=n 2=n 时即10001已经不需再证，因此只需证明3≥n 的情况.当n 为偶数时，令k n 2=，Λ,3,2=k ，则1101101101101101104888482--•--=--=k k ka ，根 据公式是两个大于1的整数相乘，故为合数.当n 为奇数时，令12+=k n ，Λ,2,1=k 则 ()()()11011011011011011021222122412412++•--=--=++++k k k k a .同样地根据公式知是两个整数的乘积. 例8. 求所有的质数p ，使得142+p 和162+p 也都是质数.分析：对此无从下手，可以先从最小的质数验算，寻找灵感.经验算，5是满足条件的一个质数.因此估计只有5是所求，从而可以将整数按照 模5来分类：当k p 5=时，要使其为质数，只能1=k ，而5=p 满足条件；当15+=k p 时，()1452+p ；当25+=k p 时，()1652+p ；当35+=k p 时，()1652+p ；当45+=k p 时，()1452+p ；故本题只有一解5=p .例9. 在100到200之间有3个连续的自然数，其中最小的数是3的倍数，中间的数是5的倍数，最大的数是7的倍数.试求这三个数中的最大数.分析：在100到200之间能被7整除的数依次是：105，112，119，126，133，140，147，154，161，168，175，182，189，196.其中只有1601161=-能被5整除，而 159也能被3整除，故所求的三个数是159，160，161，最大的是161.三．完全平方数如果N 是整数，且M N =2，则称整数M 为完全平方数（简称平方数），平方数M 有 以下常用性质：（1） 若M 是整数，则平方数2M 与()21+M 之间不存在其他平方数，即两个连续平方数之间任何一个数都不是平方数；（2） 平方数M 的末尾数只能是0，1，4，5，6，9，而不能是2，3，7，8；（3） 偶数的平方必是4的倍数，而奇数的平方必是8的倍数加1；（4） 平方数的末尾数是奇数时，其十位数必为偶数，平方数的末尾是6时，其十位数必为奇数；（5） 两个平方数的乘积还是平方数，一个平方数与一个非平方数的乘积肯定不是平方数；（6） 任何平方数除以3，余数不可能是2；除以4，余数不可能是2，3；除以5，余数不可能是2，3；除以8，余数不可能是2，3，5，6，7；除以9,余数不可能是2，3，5，6，8.例10. 证明：4个连续正整数之积不可能是完全平方数.分析： ()()()()()N N N N N N N N S 323321222+++=+++=. 则 ()()2222133++<<+N N S N N ，两个连续的完全平方数之间不存在第三个平方数.例11. 将七个连续奇数1，3，5，7，11，13，17任意排成一列，得到一个十位数.试问在这些自然数里有平方数吗？若有，请找出一个.若没有，请说明理由.分析：任意一个数都是3的倍数，但不是9的倍数，故没有.例12. [1985年上海市初三数学竞赛题]已知直角ABC ∆的两条直角边的长b a ,均为整数，且a 是质数，若斜边长也是整数，求证：()12++b a 是完全平方数.证明：设斜边长为c ，()()b c b c b c a -+=-=222Θ，a 是质数，b c b c ->+， 所以⎩⎨⎧=-=+12b c a b c ，消去c 可得122-=a b ，于是有()()()22211221222212+=++=+-+=++=++a a a a a b a b a . 由此命题得证.习题（二）1． 在不大于50的正整数中，求出恰有5个正约数的自然数.分析略.2． 在三个连续的正整数中，其中最小的数能被3整除，中间的数能被5整除，最大的数能被7整除，求出符合以上条件的最小的三个连续的自然数.试问：有这样三个最大的连续自然数吗？分析：如例题9，只需再到不大于100的正整数中去找即可，54，55，56为所求.又[]1057,5,3=，所以56105,55105,54105+++k k k 都满足前面的要求，但k 可以取 任意的正整数，故没有最大的.3． [原苏联竞赛题]分别很久的两位老朋友相遇了，其中第一个人说，他有3个孩子，他们的年龄乘积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在的房子的窗户数，第二个人说，他还是不能确定这些孩子的年龄，于是第一个人又补充说，他的岁数最大的孩子是黑色头发，之后第二个人立刻说出了孩子的年龄，试问每个孩子的年龄是多少岁？分析：先把36分解成3个正整数的乘积，按照从小到大找，43363292266194112311821361136⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=已知有8种情况，每一种情况都对应一个和，由于屋子里的窗户数是他们知道的，但是第二个人还不能确定孩子的年龄，那么肯定是因为这时年龄的和有一样的（窗户数是13时），即 2，2，9；1，6，6.最后由于知道了有最大的孩子，那么1，6，6可以排除，剩下2，2，9.4．[1992年上海市初中数学竞赛题]已知正整数n m ,满足2222222991n m =++++，则 ._________=n分析：()()167=+-m n m n ，再把167分解成两个正整数的乘积，结果发现167是质数.5．[1990年湖北黄冈地区初中数学竞赛题]已知n m ,都是质数，方程02=+-n mx x 有两个正整数根t k ,，求k l m n t k n m +++的值.分析：由韦达定理知n kt =，由于n 是质数，不妨设n t k ==,1，于是m n t k =+=+1， 可见1,+=n m n 是两个连续的质数，所以3,2==m n . 6．[35届美国中学生数学竞赛题]满足方程组⎩⎨⎧=+=+2344bc ac bc ab 的正整数组()c b a ,,的组数___. 分析：()23=+b a c ，知23,1=+=b a c ，于是方程组化为()()⎩⎨⎧=++=+241441b a b a ，解之⎩⎨⎧==+2221b a 或⎩⎨⎧==+2221b a ，于是方程共两组解：（1，22，1）和（21，2，1）. 7．证明：如果2,+p p 都是大于3的素数，那么6是1+p 的因数.分析：把p 按照模6分类即可.8．已知513-n 是一个质数，求正整数n 的值. 分析：()()5115123++-=-n n n n 是一个整数，故有k n 51=-或k n n 512=++， 当k n 51=-时，()()()151151223++=++-=-n n k n n n n ，要使其为质数，只能取1=k ，从而6=n ，这时43513=-n 为质数.同样分析另一种情况知不合题意. 9．[2004年全国初中数学联赛题]已知q p ,均为质数，且满足59352=+q p ，则以3+p ， q p +-1，42-+q p 为边长的三角形是 （ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案是直角三角形，分析略10．[2001年全国初中数学竞赛题]一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数，则这个正整数为___________.分析：填156.设这个数为x ，则22168,100n x m x =+=+.其中n m x ,,皆为正整数.两式相减得6822=-m n ，即()()1722⨯⨯=+-m n m n .因为m n m n +<-，且二 者奇偶性相同，故必有34,2=+=-m n m n .11．[1998年湖南省高中理科实验班招生题]已知正整数y x ,都是质数，并且y x +7与11+xy 也都是质数，试求()()y x x y y x u ++=22的值.解：由11+xy 是质数知，11+xy 必为奇数，故y x ,至少有一个数是2.若2==y x ，则1511=+xy 不是质数,从而y x ,又且只有一个等于2；若2=x ，即y +14，112+y 均为质数，此时如果y 被3除余1，则y +14被3整除，如果y 被3除余2，则112+y 被3整除，这与y +14与112+y都是质数不符，于是3=y ，经检验，2=x ，3=y 符合要求.若2=y ，即27+x ，112+x 均为质数，此时如果x 被3除余1，则27+x被3整除，如果x 被3除余2，则112+x 被3整除，这与27+x 与112+x都是质数不符，于是3=x ，经检验，3=x ，2=y 符合要求.综上，不论2=x ，3=y 还是3=x ，2=y 都有221=u .全国中学生数学冬令营简介全国中学生数学冬令营是在全国高中数学联赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛。
第二讲 初等数列
暑期课堂讲义第2讲初等数列2.1引入小朋友你们可知道数学天才高斯小时候的故事吗？高斯念小学的时候，有一次老师在教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+···+98+99+100=?老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要找借口出去时，却被高斯叫住了！原来呀，高斯已经算出来了。
小朋友你可知道他是如何算出来的吗？高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说：1+2+3+···+98+99+100100+99+98+···+3+2+1=101+101+101+···+101+101+101共100项,结果就是5050。
共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以等式就等于101002在数学中，大部分的数列都毫无规律可言，更别谈求出它们的和了。
今天我们要介绍的数列都是数学中最基础的数列。
2.2数列找规律1.顺（逆）等差数列：后一个数减去前一个数的差相等（或前一个数减去后一个数的差相等）1,3,5,...,2n−1,2n+1, (1)10,8,6,...,12−2n,10−2n, (2)2.跳跃数列：即单数序号的数与双数序号的数分别形成规律。
8,15,10,13,12,11,14,9, (3)这里8,10,12,14成规律，15,13,11,9成规律。
想一想,能不能让更多不同序号的数分别形成规律？比如说3个，4个，或更多？3.质数数列，即将所有的质数放在一起形成一个数列。
什么是质数？是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
2,3,5,7,11,13,17,19, (4)4.平方数列或立方数列：由有序的数的平方或者立方构成的数，如1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,即12,22,32,42,52,62,72,82,92,102, (5)1,8,27,64,125,...,即13,23,33,43,53, (6)5.斐波那契数列：即任意连续两个数字之和等于第三个数字1,1,2,3,5,8,13,21,34, (7)拓展知识：斐波那契数列又因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
数学八年级下册第2章四边形2.2平行四边形 教学课件
EFCD的周长
为:CD+DE+EF+FC=CD+BC+EF=4+5+3=12.
3.如图，□ABCD中，AC，BD为对
角线，BC＝6，BC边上的高为4，
则阴影部分的面积为( )
（A）3
（B）6
（C）12
（D）24
【解析】选C.观察图形会发现，每一小块阴影三角形都
与它相对的三角形全等，则阴影部分的面积等于平行四
B
C
答案：合理，因为四块地面积相等.
2.小明家有一块平行四边形菜地，菜地中间有一口井，为
了浇水方便，小明建议妈妈经过水井修一条路，可以把菜
地分成面积相等的两部分. 同学们，你知道聪明的小明是
怎么帮妈妈分的吗？
A
D
●M
B
C
A
D
●M O
B
C
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相 等的两部分.
5.（苏州•中考）如图,在平行四边形ABCD中，E是AD边 上的中点.若∠ABE=∠EBC，AB=2，则平行四边形ABCD的 周长是______.
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AD∥ BC，AB∥ DC. 因为∠ABE=∠EBC, 所以∠ABE=∠AEB， 所以AB=AE=2， 又E是AD边上的中点, 所以AD=2AE=4， 所以平行四边形的周长为AB+BC+CD+AD=2+4+2+4=12. 答案：12
平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图：□ABCD的对角线
AC、BD相交于点O.
A
D
1O 3
求证：OA=OC，OB=OD.
北师大版数学八年级下证明二经典讲义
等腰三角形一、主要知识点1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。
2、等腰三角形的有关知识点。
等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
〔三线合一〕3、等边三角形的有关知识点。
判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形。
性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。
4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法二、重点例题分析例1:如以下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点〔M与A不重合〕MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.例2 如右图，△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.例3：如图：AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。
图2 图1A B CDO O DCB A例4 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，〔1〕在图1中，AC 与BD 相等吗？请说明理由〔4分〕〔2〕假设△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？〔8分〕例5 如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。
〔1〕猜测DF 与EF 的大小关系；〔2〕请证明你的猜测。
例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.2．直角三角形一、主要知识点1、直角三角形的有关知识。
2014-2015学年八年级数学下册北师大版教案6.1平行四边形的性质(二)
第六章平行四边形１. 平行四边形的性质（二）西安市高新一中初中校区邹国胜一、学生起点分析学生经历了对平行四边形性质探索的过程，掌握了平行四边形对边、对角的性质特征，并能简单应用，因此对平行四边形具有了一定的观察分析的能力和合情推理能力,具备了自行得出平行四边形对角线的性质的基础。
二、学习任务分析本节的学习任务主要是进一步掌握平行四边形的性质，因此教学目标为：1．进一步掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质；2．在应用中进一步发展学会合情推理能力，增强学生逻辑推理能力，使学生掌握说理的基本方法。
3．通过解决问题，探究并归纳：“平行线间的距离处处相等”这一性质。
教学重点：平行四边形性质的应用教学难点：发展合情推理及逻辑推理能力教学方法：启发诱导法，探索分析法三、教学过程设计本节课分5个环节第一环节回顾思考，引入新课第二环节探索发现，灵活运用第三环节观察分析，理性升华第四环节巩固反馈，总结提高第五环节评价反思，目标回顾第一环节回顾思考，引入新课活动内容：以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四这形的性质。
温故知新。
1．平行四边形都有哪些性质？2．回顾思考选择题（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°（2）平行四边形ABCD的周长为40cm，三角形ABC的周长为25cm, 则对角线AC长为（）A．5cm B．15cm C．6cm D．16cm（3）平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则全等三角形的对数有参考答案：1．C．2．A．3．4对．活动目的：1．通过（1）~（3）的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用，同时总结结论：平行四边形对角线互相平分。
活动效果：能真实客观反馈学生对上节“平行四边形性质”的情况，并有针对性的在本节补救强化。
初中复习方略数学第二讲 整式、因式分解
第二讲整式、因式分解列代数式及求代数式的值1．代数式：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的__字母__连接起来的式子，叫做代数式．2．求代数式的值：用__数__代替字母，并按照运算关系求出结果．代数式求值的两种方法1．直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的顺序计算求值．2．整体代入法：观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值．整式的相关概念1．52的次数是2.(×)2．x3y2的系数是0，次数是5.(×)3．多项式3x2y－m2的次数是5.(×)1．同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．2．所有常数项都是同类项．3．只有同类项才能合并，如x2与x3不能合并．整式的运算1．整式的加减2.幂的运算3．整式的乘法4.整式的除法单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式 先用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加5.整式混合运算的顺序先算__乘方__，再算__乘除__，最后算__加减__，同级运算按照从左到右的顺序计算．遇到幂的乘方时，需要注意：(1)当括号内有“－”号时，(－a m )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a mn （n 为奇数）a mn （n 为偶数）； (2)当含有系数时，一定也要给系数进行乘方运算．1．3a(5a －2b)＝15a －6ab.(×)2．(1＋x)(－1＋x)＝x 2－1.(√)3．(－3a －2)(3a －2)＝9a 2－4.(×)1．6m÷3m＝2m.(×)2．(6a 2b －4a 2c)÷(－2a 2)＝－3b ＋2c.(√)3．(2a 3－a 2)÷(－a)2＝2a －1.(√)因式分解的定义1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个__整式__的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解．2．基本方法：(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．(2)公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2.3．因式分解的步骤：(1)因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止；(2)有数字因式时，不要忘记提取；(3)结果必须是乘积的形式．考点一列代数式及其求值【典例1】(2021·自贡中考)已知x2－3x－12＝0，则代数式－3x2＋9x＋5的值是(B)A．31 B．－31C．41 D．－41【思路点拨】由已知可得：x2－3x＝12，将代数式适当变形，利用整体代入的思想进行运算即可得出结论．【例题变式】(变换条件)(2020·连云港中考)按照如图所示的计算程序，若x＝2，则输出的结果是__－26__．【思路点拨】把x＝2代入程序中计算，当其值小于0时将所得结果输出即可．1．(2021·温州中考)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米(a＋1.2)元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为(D)A．20a元 B．(20a＋24)元C．(17a＋3.6)元 D．(20a＋3.6)元2．(2021·金华中考)某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是(B)A.先打九五折，再打九五折B．先提价50%，再打六折C．先提价30%，再降价30% D．先提价25%，再降价25% 3．(2021·台州中考)已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝(C)A．24 B．48 C．12 D．2 6考点二整式的相关概念【典例2】(2021·青海中考)已知单项式2a4b－2m＋7与3a2m b n＋2是同类项，则m＋n＝__3__．【思路点拨】根据同类项的定义，列方程求解即可．1．单项式是表示省略了乘法符号的乘法运算．2．多项式是单项式之间的加减运算．1．(2020·日照中考)单项式－3ab的系数是(B)A．3 B．－3 C．3a D．－3a2．(2021·上海中考)下列单项式中，a2b3的同类项是(B)A．a3b2 B．3a2b3 C．a2b D．ab33．(2020·滨州中考)若8x m y与6x3y n的和是单项式，则(m＋n)3的平方根为(D)A．4 B．8 C．±4 D．±84．(2020·绵阳中考)若多项式xy|m－n|＋(n－2)x2y2＋1是关于x，y的三次多项式，则mn＝__0或8__．考点三整式的运算【典例3】(2021·自贡中考)下列运算正确的是(B)A．5a2－4a2＝1 B．(－a2b3)2＝a4b6C．a9÷a3＝a3 D．(a－2b)2＝a2－4b2【思路点拨】按照合并同类项的运算方法、整数指数幂的运算法则、完全平方公式逐个验证即可．【例题变式】(变化问法)(2021·北京中考)已知a2＋2b2－1＝0，求代数式(a－b)2＋b(2a＋b)的值．【思路点拨】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答案．【自主解答】原式＝a2－2ab＋b2＋2ab＋b2＝a2＋2b2，∵a2＋2b2－1＝0，∴a 2＋2b 2＝1，∴原式＝1.1．幂的运算要注意区分幂的乘方和同底数幂的乘法．2．单项式的乘法是利用交换律和结合律转化为幂的运算．3．多项式的乘法是利用分配律转化为单项式的乘法．4．整式的除法与乘法互为逆运算．5．乘法公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．1．(2021·连云港中考)下列运算正确的是(D)A ．3a ＋2b ＝5abB ．5a 2－2b 2＝3C ．7a ＋a ＝7a 2D ．(x －1)2＝x 2＋1－2x2．(2021·遂宁中考)若|a －2|＋a ＋b ＝0，则a b＝__14 __． 3.(2021·重庆中考A 卷)计算：(x －y)2＋x(x ＋2y).【解析】(x －y)2＋x(x ＋2y)＝x 2－2xy ＋y 2＋x 2＋2xy ＝2x 2＋y 2.4．(2021·长沙中考)先化简，再求值：(x －3)2＋(x ＋3)(x －3)＋2x(2－x)，其中x ＝－12. 【解析】原式＝x 2－6x ＋9＋x 2－9＋4x －2x 2＝－2x ， 当x ＝－12时， 原式＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝1. 考点四 因式分解【典例4】(2021·恩施中考)分解因式：a －ax 2＝__a(1＋x)(1－x)__．【思路点拨】直接提取公因式，再利用公式法分解因式．公因式的确定1．系数：取各项系数的最大公约数；2．字母：取各项相同的字母；3．指数：取各相同字母的最低次数．1．(2021·杭州中考)因式分解1－4y2＝(A)A．(1－2y)(1＋2y) B．(2－y)(2＋y)C．(1－2y)(2＋y) D．(2－y)(1＋2y)2．(2021·盐城中考)分解因式：a2＋2a＋1＝__(a＋1)2__．3．(2021·北京中考)分解因式：5x2－5y2＝__5(x＋y)(x－y)__．4．(2020·内江中考)我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n(m，n是正整数，且m≤n)，在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)＝mn .例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)＝36＝12.(1)填空：f(6)＝________；f(9)＝________．(2)一个两位正整数t(t＝10a＋b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数)，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有符合条件的两位正整数；并求f(t)的最大值．(3)填空：①f(22×3×5×7)＝________；②f(23×3×5×7)＝________；③f(24×3×5×7)＝________；④f(25×3×5×7)＝________．【解析】(1)6可分解成1×6，2×3，∵6－1＞3－2，∴2×3是6的最佳分解，∴f(6)＝23 .9可分解成1×9，3×3，∵9－1＞3－3，∴3×3是9的最佳分解，∴f(9)＝33 ＝1.答案：23 1(2)设交换t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b ＋a ， 根据题意，得t′－t ＝(10b ＋a)－(10a ＋b)＝9(b －a)＝54， ∴b ＝a ＋6.∵1≤a≤b≤9，a ，b 为正整数，∴满足条件的t 为：17，28，39；∵f(17)＝117 ，f(28)＝47 ，f(39)＝313 ，∵47 >313 >117 ，∴f(t)的最大值为47 .(3)①∵22×3×5×7的最佳分解为20×21，∴f(22×3×5×7)＝2021 .答案：2021 ②∵23×3×5×7的最佳分解为28×30， ∴f(23×3×5×7)＝2830 ＝1415 . 答案：1415③∵24×3×5×7的最佳分解是40×42，∴f(24×3×5×7)＝4042 ＝2021 . 答案：2021④∵25×3×5×7的最佳分解是56×60，∴f(25×3×5×7)＝5660 ＝1415. 答案：1415人教版七年级上册 P112 T4先化简，再求值：(2x ＋3y)2－(2x ＋y)(2x －y)，其中x ＝13 ，y ＝－12 . 【思路点拨】利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【自主解答】原式＝4x 2＋12xy ＋9y 2－4x 2＋y 2＝10y 2＋12xy ，当x ＝13 ，y ＝－12，原式＝0.5.(变换条件)(2021·南充中考)先化简，再求值：(2x＋1)(2x－1)－(2x－3)2，其中x＝－1.【解析】原式＝4x2－1－(4x2－12x＋9)＝4x2－1－4x2＋12x－9＝12x－10. ∵x＝－1，∴12x－10＝12×(－1)－10＝－22.(变换条件与问法)(2020·邵阳中考)已知：|m－1|＋n＋2 ＝0，(1)求m，n的值；(2)先化简，再求值：m(m－3n)＋(m＋2n)2－4n2.【解析】(1)根据非负性得：m－1＝0且n＋2＝0，解得：m＝1，n＝－2.(2)原式＝m2－3mn＋m2＋4mn＋4n2－4n2＝2m2＋mn，当m＝1，n＝－2，原式＝2×1＋1×(－2)＝0.人教版七年级上册P120 T10观察下列式子：2×4＋1＝9＝32；6×8＋1＝49＝72；14×16＋1＝225＝152；…你得出了什么结论？你能证明这个结论吗？【思路点拨】式子可以整理为：(22－2)×21＋1＋1＝(22－1)2；(23－2)×22＋1＋1＝(23－1)2；(24－2)×23＋1＋1＝(24－1)2；…得到第n个式子的结论即可．【自主解答】(2n＋1－2)·2n＋1＋1＝(2n＋1－1)2.证明：(2n ＋1－2)·2n ＋1＋1＝22n ＋2－2n ＋2＋1＝(2n ＋1)2－2×2n ＋1＋1＝(2n ＋1－1)2.(变换条件)(2020·青海中考)观察下列各式的规律：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1.请按以上规律写出第4个算式__4×6－52＝24－25＝－1__．用含有字母的式子表示第n 个算式为__n(n ＋2)－(n ＋1)2＝－1__．(变换条件与问法)(2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ； x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ； x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4 ； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021 __.。
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（1）证明：过 A 的直线与斜边 BC 不相交时，则有 EF=BE+CF，如图 1。 （2）如图 2，过 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。
２
练习
判断下列命题的真假，并说明理由： （1）两边分别相等的两个直角三角形全等；（ ） ）
（2）一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．（ 1.满足下列条件的三角形不一定是直角三角形的是（ A．三条边的比为 5：12：13 C．有一边等于另一条边的一半 ）
在△ABC 中，AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F，垂足为 D，若 AC=6，BC=4，求△BCF 的周长____________。 例 2．已知：如图所示，A、B 两村庄在一条小河的同一侧，要在河边建一自来水厂（用点 P 表示）向 A、 B 两村庄供水．（1）若要使厂址到 A、B 两村的距离相等，厂址 P 应设在哪个位置？ （2）若要使厂址到 A、B 两村的水管最省料，厂址 P 应设在哪个位置，为什么？
4.如图，等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，且 BD=AE，AD 与 CE 交于点 F．求证：∠DFC=60°
１
知识点一：直角三角形
（1）勾股定理及逆定理 （2）HL 的运用：前提条件：在两直角三角形中 满足：一组直角边与斜边对应相等
例 1.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD。求证：OB=OC
2.已知：如图，D 是等腰 ABC 底边 BC 上一点，它到两腰 AB、AC 的距离分别为 DE、DF。当 D 点在什么位 置时，DE=DF？并加以证明.
3.如图，已知 AB=DC，DB=AC（1）求证：∠ABD=∠DCA，注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． （2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
6.如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，求证：BC=2BD．
7.如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求 AD、CD 的长.
３
8. 已知，如图，△ABC 中，∠A = 90°，AB =AC，D 是 BC 边上的中点，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 BE = AF，求证：ED⊥FD
练习 1．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 ） C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点 ）
2． 如图， 在△ABC 中， ∠B=30°， BC 的垂直平分线交 AB 于 E， 垂足为 D． 若 ED=5， 则 CE 的长为 （ A．10 B．8 C．5 D．2.5
八年级数学下学期讲义 第二讲 授课时间： 2015 年 3 月 14 日 授课时段：13:30—15:00 学生：冯友恒 授课老师： 徐 峰 备注
科目：直角三角形、垂直平分线 课时：2 课时 教学过程（内容）
复习回顾 1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB 的依据是 （ ） A．（S、S、S） B．（S、A、S） C．（A、S、A） D．（A、A、S）
3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，DE 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20°， 则∠C=________________ 4．如图，在 Δ ABC 中， AB AC 10, BC 8 ．用尺规作图作 BC 边上的中线 AD，并求 AD 的长．
A
F E
B
D
C
9.如图，AB=AC，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE 与 CD 相交于点 O. （1）图中有几对全等的直角三角形？请你选择其中一对进行证明； （2）连接 OA、BC，试判断直线 OA、BC 的关系并说明理由．
10．如图所示、△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D 在 AB 上． （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）若 AD=1，BD=2，求 CD 的长．
例 2.如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E、F，BE=CF． （1）图中有几对全等的三角形请一一列出； （2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．
例 3.如图，已知：△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过 B，C 向过 A 的直线作垂线，垂足为 E，F。
５
5.如图，在 ABC 中，已知 AC=27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E， BCE 的周长等于 50， 求 BC 的长。
6.如图所示，AC=AD，BC=BD，AB 与 CD 相交于点 E。求证：直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。
7.如图，已知在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 D 胶 AC 于点 E，CE 的垂直平分线正好经过点 B，与 A 相交于点 F，求∠A 的度数。
６
４
知识点二：垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 逆命题是: 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 例 1.如图， 在△ABC 中， ∠A=50°， AB=AC， AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D， 则∠DBC 的度数是___________
B．三个角的度数比为 2：3：5 D．三角形的三边长分别是 24、25 和 7 ）
2.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ A．一锐角和斜边对应相等 C．斜边和一直角边对应相等
B．两条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
3．已知△ABC 的三边长分别是 6cm、8cm、10cm，则△ABC 的面积 是（ ） 2 2 2 2 A.24cm B.30cm C.40cm D.48cm 4．在△ABC 中，三边长分别是 3,4,5，则最长边上的高_____________________ 5.如图，已知 BE⊥AD，CF⊥AD，且 BE=CF．请你判断 AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明理由．