人教版九年级数学上册二次函数ppt课件
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
优秀课件人教版初中数学九年级上册 22.1.4 二次函数及其图象 (共12张PPT)
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
兴趣是最好的老师
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
பைடு நூலகம்
图象特征 图象特征
a
a
决定 开口, 增减 性
a﹥0 a﹤0 b=0
开口向上,对称轴 左降右升 开口向下,对称轴 升降右降 对称轴是y轴
b
b
决定 对称 轴的 位置 决定 与y轴 交点 (0,c)
2
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
b 4ac b 2 a x . 2a 4a
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
1 2 3.若抛物线 y x mx 3 的对称轴是x 2
3 2
4 ,则
m值为
4
.
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
兴趣是最好的老师
8
6
已知二次函数如图所示,则函数 y=ax b 不经 过 四 象限.
4 2 10 5 5
2
4
6
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
兴趣是最好的老师
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT优质课件
新课讲解
新课讲解
练一练
已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 -x2+2x=-m 的解为 x1=-1，x2=3 .
分析：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x
轴的一个交点的横坐标为3， 所以另一个交点的横坐标为2×1-3=-1，
所以关于x的一元二次方程-x2+2x=-m， 即-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3．
新课讲解
知识点2 公共点的问题
例 2 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点 的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ 由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1) y=x2-x+1； (2) y=x2-6x+9； (3) y=x2+x-2.
当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.
即0 s时球从地面飞出，4 s时球落回地面.
新课讲解
从上面发现，一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程. 如：y=5 时，5=ax2+bx+c 就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y=-x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以解一 元二次方程 -x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．
第二十二章 二次函数 二次函数与一元二次方程
学习目标
1.通过探索，理解二次函数及其图象、性质确定方程的解
或不等式的解集.
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
人教版九年级数学上册《二次函数》课件
22.1.1 二次函数
［备选例题］ 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去 一个长为 2x cm，宽为（x＋1）cm 的小长方形，剩余部分的面 积为 y cm2.
（1）写出 y 与 x 之间的关系式，并指出 y 是 x 的什么函 数；
（2）当 x 的值为 2，4 时，剩余部分的面积分别是多少？
解：（1）n 名同学，其中一名同学可以打电话（n－1）次， 这样 n 名同学共打出电话 n（n－1）次.根据题意，每两个同学 之间通电话一次，则互通电话的次数
为12n（n－1），即 m＝12n2－12n.m 是 n 的二次函数.
22.1.1 二次函数
（2）当 n＝10 时，m＝12×102－12×10＝45，∴互通电 话的次数是 45 次. ［归纳总结］ 实际问题中的变量关系问题常可通过建立函数模 型来解决.常用二次函数模型来解决的实际问题有如下几种： （1）有些几何图形的面积、体积的计算问题； （2）在特定情况下，销售利润与售价的关系问题； （3）在特定情况下，银行存款本利与年利率的关系问题； （4）在特定情况下，总量与增长率（降低率）的关系问题； （5）一些物理问题.
22.1.1 二次函数
► 知识点二 用二次函数表示变量之间的关系 在一般情况下，二次函数自变量的取值范围是 全体实数 .在 实际问题中，自变量的取值要使 实际问题 有意义.
22.1.1 二次函数
重难互动探究
探究问题一 二次函数的判别
例 1 下列函数中，哪些是关于 x 的二次函数？ （1）y＝9x2－x； （2）y＝－13x2； （3）y＝4－x＋x3； （4）y＝x12＋x2； （5）y＝（x－1）2－（x＋1）（x－2）； （6）y＝ax2＋4x＋1.
［解析］ 先画出示意图，再根据“剩余面积＝正方形面积 －小长方形面积”来列关系式.
人教版九年级数学上册《二次函数的图象与性质》PPT
我们一起用描点法画二次函数y=x2的图象。 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应
的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
做一做
画出 y=-x2 的图象
y ax2
喷泉(1)
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
3.画出函数图像的一般步骤是什么？ （1）列表，（2）描点，（3）链接
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴
3
的左侧,y随着x的 增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x
的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0 ,
当x 大于或小于 0时,y<0.
（3）判断下列抛物线开口的大 小
(1)y x2,(2)y 1 x2,(3)y 2x2,(4)y 3x2,(5)y 3x2,(6)y 2x2 2
布置作业
下课了!
（1)想一想：任何一个抛物线的顶点都 是原点吗？对称轴都是y 轴吗？ (2)练习册第（12-14）页
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的 下方(除顶点外) ,它的 开口 向下 ,并且 向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小 ；在 对称轴右侧,y随着x的增大而 增大 .当x=0时函数y的值最 小.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
《实际问题与二次函数》二次函数PPT课件(第1课时)
∵0＜x＜25，
∴当x=20时，满足条件的绿化带面积ymax=200.
课堂检测
拓广探索题
某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告 设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m), 面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范 围；
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
积为y，则DG=1-x.
∴
y
12
4
1 2
x(1
x)
当x= 1 时，y有最小值
2
1 2
2
.
x
1 2
2
1 2
(0
x 1).
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
课堂检测
2. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形 绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅 栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
链接中考 （2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
解：设AD=xm，
∴S=
1 2
x（100﹣x）=﹣12（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大； 当x=a时，S的最大值为50a﹣1 a2，
2
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；
高？小球运动中的最大高度是多少？
h/m
可以看出，这个函数的图象是一条抛
4
物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个 0
函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶
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数
函 次 二
■
*7
:
、氓
:J :
…:金―
.2
V <••-
5
>r
基础回顾什么叫函数？
在某变化过程中的两个变量x、y,当变在某个范围穴取一个确定的值，另—变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x、y, 我们把y叫x的函数。
x叫自变量，y叫因变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
描述变量间 关系的数学工 具
正比例函数
= kx
伙工0)
函数知多少?
二次函数
一次函数
y-kx + b
(5
反比例函数 九年级下册
为y,则y 关于x 的关糸式
一个值，x 都有唯
（ 一的一个对应值， 即y 是x 葩函数。
此式表示了正
方体表面积y 与正 方体棱长x 之间的 关系，对于y 的每
卜加比界，毎两个队之间进行一场 [m 与球队救n 有什么关糸？
fn-lj 个球队各比赛一场，1
对甲队的比界对同一场比界, 此式表示了比赛的 场
次数m 与球队数n 之 间的关系，对于n 的每 一个值，m 都有唯一的 一个对应值，即m 是n 的函数。
问题2 : 比癱肿来 每个球附
I
对乙队的期 以比界的询
即 ]
加斗一
2
-n
2
養角线数d与边救n有什么关糸？
■ 由图可以想出，如果多边形有n ] 条边，那么它有IL个顶点，从一*个顶点出发，连接与这点不相邻■?N的各顶点,可以作凹｝条对角线.
上1 /、此式表示了多边形
.=—n(n — 3)的对斉经薮d与边( 二
2数n之间的关系，对3于n的每一值,d都
蹙一〃有唯一的对应值，
B2即d是n的函数。
I
嗣rr p.
问题4：芷工厂一种产為现在的年产量是20件，计划今后两年增加尹量。
如果毎年都比上一年的产量增加x信p那么两年后
这种产品的产量y将随计划所走的x的值而确定，y与x之
间的关糸怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是2%,+Q件■再经过一年后的产量是2%?+工卅牛,即两年后的产量妒20(1+x)2
即
此式表示了两年后的产
量y与计划增产的倍数
x 之间的关系，对于X y = 20x2 + 40% + 20
的每一个值，y都有
唯一( 的一个对应值，
即y是x] 的函数。
式子①②③④有什么共同点?
y = 20兀2 +40兀 + 20
一般地，形如y=ax
2
+bx+c （a,b,c 是常数，妙0）
的 函数叫做二次函数。
其中日为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、定义:一般地，形y =ax 2
+bx+c(a,b,c 是常数，呼0)
的函数叫做x 的二次函数。
注意.
y=6x 2
1 ---- n
2
=
2^
3
——n
2
函数都是用自 变量的二次整 式表示的
(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整我
(2)%b，c为常数，且a^O.
(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。
(4)*的取值范围是任意实数。
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数，一次项系数，常数项.
(l)y=3(x-l)2+l (3)s=3-2t2 (5)y=岂⑵y=x+3
(4)y=(x+3)2-x2 (6)v=107Zr2
二次函数的一般形式：
y=ax2+bx+c （其中a、b、c是常数,azO）二次函数的特殊形式：
心当b=0 时，y=ax2+c
心当c=0 时，y=ax?+bx
心当b=0, c=0时，y=ax2
当a、b、c为何值时函数y=ax?+bx+c是
+ bx + c (a*0) 与一元二次方程
ax 2 + bx + c = 0 (a^O)有什么联
系和区别
联系(1)等式一边都是ax? + bx+c且a HO (2)方程ax2+bx+c=0可以看成是函孙=ax2+bx+c中y=0时得到的.
区别:前者是函数•后者是方程•等式另一边前者是山證题八一…
例2、y = (m+3) x m
(1) m取什么值时，此函数是正比例函数?
(2) m取什么值时，此函数是二次函数?
例3•禁小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x耒, 宽为y 耒，面积为S平方耒，Cx>yJ •
⑴如果用18耒的建筑材料来修建绿地的边桓(即周长),求S
与x的因数关糸，并求出x的取值范圄。
(2)现根据小区的规划要求，所修建的绿地面积強须是18平方耒，庭满足CU的条件下，矩形的长和宽各为多少耒？
(x 是自变量)，哪些是二次
B y 2=x 2
-4x+l D y=2+ A /X 2
+1
2•函数y=(m-n)x 2
+ mx+n 是二次
函数的条件是(C )
A m,ri 是常数，且m#)
B m ，n 是常数，且n#)
C m,n 是常数，且m^n
D m,n 为任何实数
A y=ax 2
+bx+c C y=x 2
、下列函数中, 函数？为什么?
《检娜啲蛭练习
l. nJi球队参加此界，每两队之间进行—场
比界，写出比癱的场次数m与球队数n之
间的关糸式.
2. 圖的半徑是1cm,假谡丰徑增加xcm对,圖的面积增加
ycm2.
(1) 写出y与x之间的函數关糸表达式；
(2) 当圖的半径分别增加2 cm对,圖的面积增加多少？
3.已知关于x的二次函数,当x=—l时,函数值为10,当x=l时,函数值为4,当x=2时，函数值为7,求这个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数为y = 分+ c,由题意得:
{a—b + c = \O
a +
b +
c = 4
4a + 2b + c = 7
待定系数法
解得，a = 2,b =—3,c = 5
・・・所求的二次函数是y = 2/ _ 3% + 5
你有什么收获?你有什么疑惑?
1. m取何W
+(m・3)x+m
是二次函数
y= (m+l)x
2、_农民用4
方形
菜园'和堪垂直的一边长为Xm菜园的面积为Ym2»求y与*之间的函数关系无并说由自麦量用取值范围。
当412m时，计算菜园的面积®)
2、一农民用40m 长的篙笆围成一个一边靠堪的长方 形菜园.和墙垂
直的一边长为Xnu 菜园的面积为 Ym^求y 与*"并说出自变量的取 值范围。
当412m 时，计算菜园的面积• 1
三二\
si IM
M：由题意得：Y=x(40-2x)
BP：Y=-2x2+40x(0<x<20)
当x=12m时，菜园的面积为：(40>2x ) m Y=-2x2+40x=-2X 122+40 X12
= 192 (m2)
变换角度分析问题
3、若函数y=x2m+n- 2x m-n+3是以x为自变量
的二次函数，求m、n的值。
解答过程
3、若函数y=x2m+n- 2x m-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。
解：根据题意
得
①・・ 2m+n=2②•:
2m+n=1
m-n=1 m-n=2
・•・m=1 n=0m=1
n=-1
2m+n=2 2m+n=2 2m+n=0
m・n=2 m-n=O m-n=2
m=4/3 m=2/3 . "1=2/3
••• •
• •• •
n=-2/3 n=2/3 n=・4/3。