函数的表示法(2)
函数的表示法
1.2.2 函数的表示法1．函数的表示法(1)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．比如，计划建成的京沪高速铁路总长约1305 km，设计时速300～350 km/h．建成后，若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x时后，路程为y km，则y 是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．(2)图象法以自变量x的值为横坐标，与之对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点(x，f(x))，这些点组成的图形称为函数f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法．比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比)与天数之间的函数关系．(3)列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量取的值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．H与Q 之间的对应关系，也就是函数关系．2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是( )解析：根据函数的定义，观察图象，对于选项A，B，值域为{y|0≤y≤2}，不满足题意，而C中当0＜x＜2时，一个自变量x对应两个不同的y，不是函数．故选D．答案：D【例1－2】购买某种饮料x听，所需钱数是y元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域．分析：购买x听，需钱数2x元，但需注意函数的定义域是{1,2,3,4}，只有4个元素．解：(解析法)y＝2x，x∈{1,2,3,4}．(列表法)(图象法)2．分段函数(1)定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段．谈重点 学习分段函数两要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是自变量x 的不同取值范围的并集，值域是每段的函数值y 的取值范围的并集．(2)【例2－①f (x )＝211521.x x x x ⎧+≤≤⎨<⎩，，， ②f (x )＝21 2.x x x x +∈⎧⎨≥⎩R ，，，③f (x )＝223151.x x x x +≤≤⎧⎨≤⎩，，， ④f (x )＝2301 5.x x x x ⎧+<⎨-≥⎩，，，A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④解析：对于①，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．对于②，当x ＝2时，f (2)＝3或4，故不是函数．对于③，当x ＝1时，f (1)＝5或1，故不是函数．对于④，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系． 答案：B谈重点 分段函数的判断 不能从形式上判断一个式子是否为分段函数，关键看其是否符合函数的定义．【例2－2】如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为__________，值域为__________．解析：由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．因此该分段函数的定义域为[－1,0) [0,2]＝[－1,2]，值域为[0,1) [－1,0]＝[－1,1)．答案：[－1,2] [－1,1)【例2－3】已知函数f(x)＝2000x xx⎧>⎨≤⎩，，，，求f(2)，f(－3)的值．解：∵2＞0，∴f(2)＝22＝4．∵－3≤0，∴f(－3)＝0．点技巧处理分段函数问题有技巧(1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系；(2)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．3．映射(1)映射的定义一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．谈重点对映射的理解(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在集合A中没有元素与之对应；(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．(2)映射与函数的联系【例3－1】下列对应是A 到B 上的映射的是( ) A ．A ＝N *，B ＝N * f ：x →|x －3|B ．A ＝N *，B ＝{－1,1，－2} f ：x →(－1)xC ．A ＝Z ，B ＝Q f ：x →3xD ．A ＝N *，B ＝R f ：x →x 的平方根解析：对于A 项，A 中的元素3在B 中没有与之对应的元素，故不符合．对于B 项，对任意正整数，(－1)x 为1或－1，在B 中都有唯一的1或－1与之对应，故符合．对于C 项，A 中的0在f 作用下无意义，故不符合．对于D 项，正整数在实数集R 中有两个平方根与之对应，故不符合． 答案：B【例3－2】已知集合A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →21x x +．(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？ 分析：已知对应关系，分别代入求值即可． 解：(1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得11212113x x ==+⨯+，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13．(2)B 中元素49，即4219x x =+，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4．4．函数解析式的求法求函数的解析式的常用方法有：(1)代入法：如已知f (x )＝x 2－1，求f (x ＋x 2)时，有f (x ＋x 2)＝(x 2＋x )2－1． (2)待定系数法：已知f (x )的函数类型，要求f (x )的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．例如，一次函数可以设为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)；二次函数可以设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)等．(3)拼凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(4)换元法：令t ＝g (x )，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替f (g (x ))解析式中所有的t 即可．(5)方程组法：已知f (x )与f (g (x ))满足的关系式，要求f (x )时，可用g (x )代替两边的所有的x ，得到关于f (x )及f (g (x ))的方程组．解之即可得出f (x )；例如，已知f (x )＋2f (－x )＝4x 2－x ，求f (x )的解析式． 解：以－x 代替x 可得：f (－x )＋2f (x )＝4x 2＋x ， 联立方程组：()()222()4()24f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-⎪⎨-+=+⎪⎩，，解得f (x )＝243x ＋x ． (6)赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ 【例4】求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )； (2)已知f1)＝x＋f (x )；(3)已知12f x ⎛⎫⎪⎝⎭＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )；(4)已知对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y ，求f (x )． 分析：(1)已知f (x )是二次函数，可用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件求出待定系数即可；(2)1＝t ；也可用拼凑法，将x＋＋1的式子；(3)用x 替换1x，构造关于f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭的方程组，解方程组求出f (x )；(4)利用赋值法，令x －y ＝0，求出f (0)的值，再令y ＝0，求得f (x )，也可令x ＝0，求出f (y )，进而可得f (x )．解：(1)设所求的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1，则f (x )＝ax 2＋bx ＋1． 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x 对任意x ∈R 成立，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ．由恒等式性质，得220a a b =⎧⎨+=⎩，，∴11.a b =⎧⎨=-⎩，∴所求二次函数为f (x )＝x 2－x ＋1．(2)(方法一)＋1＝t ，则t ≥1，即x ＝(t －1)2，则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1．故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(方法二)∵＋1)2＝x＋＋1， ∴x＋＋1)2－1．∴f1)＝1)2－1＋1≥1． ∴f (x )＝x 2－2，x ≥1．(3) 12f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (x )＝x ，将原式中的x 替换为1x，得2f (x )＋1f x ⎛⎫⎪⎝⎭＝1x． 于是得关于f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭的方程组12(),112(),f f x x x f x f x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩解得f (x )＝233xx -(x ≠0)．(4)(方法一)∵f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y 对任意x ，y ∈R 都成立，故可令x ＝y ＝0，得f (0)－2f (0)＝0，即f (0)＝0．再令y ＝0，得f (x )－2f (0)＝x 2＋3x ，∴f (x )＝x 2＋3x ．(方法二)令x ＝0，得f (y )－2f (y )＝－y 2－3y ，即－f (y )＝－y 2－3y ． 因此f (y )＝y 2＋3y ．故f (x )＝x 2＋3x ．点技巧 解含有两个变量的解析式的方法—赋值法 所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，可以根据函数特征来定．5．函数图象的作法(1)作函数图象的常用方法： ①描点法：描点法是作函数图象的基本方法．根据函数解析式，列出函数中x 与y 的一些对应值的表，然后分别以它们为横、纵坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象，即“列表—描点—连线”．②利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象有：常数函数的图象，例如f (x )＝1的图象为平行于x 轴的一条直线；一次函数的图象，例如f (x )＝－3x ＋1的图象是一条经过一、二、四象限的直线；二次函数的图象，例如f (x )＝2x 2－x ＋1的图象是一条抛物线；反比例函数的图象，f (x )＝kx(k ≠0，且k 为常数)，当k ＞0时，其图象是在一、三象限内，以原点为对称中心的双曲线；当k ＜0时，其图象是在二、四象限内，以原点为对称中心的双曲线．③变换作图法：1°平移：y ＝f (x )――-------------→向左平移a 个单位长度y ＝f (x ＋a )y ＝f (x )――------------→向右平移a 个单位长度y ＝f (x －a ) y ＝f (x )――------------→向上平移b 个单位长度y ＝f (x )＋b y ＝f (x )――----------→向下平移b 个单位长度y ＝f (x )－b 2°对称：y ＝f (x )―----------―→关于x 轴对称y ＝－f (x )y ＝f (x )――--------→关于y 轴对称y ＝f (－x )y ＝f (x )――---------→关于原点对称y ＝－f (－x )y ＝f (x )――-------------→保留x 轴上方图象，再把x 轴下方图象对称到上方y ＝|f (x )|； y ＝f (x )――-------------→保留y 轴右边的图象，再在y 轴左边作其关于y 轴的对称图象y ＝f (|x |)． (2)分段函数图象的作法画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，x ∈D 1，f 2(x )，x ∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：①画函数y ＝f 1(x )的图象，再取其在区间D 1上的图象，其他部分删去不要； ②画函数y ＝f 2(x )的图象，再取其在区间D 2上的图象，其他部分删去不要； ③依次画下去；④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象．注意：在作每一段的图象时，先不管自变量的限制条件，作出其图象，再保留自变量限制条件内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，若端点包含在内，则用实点表示；若端点不包含在内，则用虚点表示，要保证不重不漏．________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________【例5－1】作出下列函数的图象：(1)y＝1＋x，x∈Z；(2)y＝x2－2x，x∈[0,3)．解：(1)函数y＝1＋x，x∈Z的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图①所示；(2)因为0≤x＜3，所以函数y＝x2－2x，x∈[0,3)的图象是抛物线y＝x2－2x位于0≤x＜3之间的一部分，如图②所示．图①图②辨误区作函数图象三注意(1)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，例如函数y＝1＋x，x∈Z的图象就是一些离散的点；(2)画函数的图象时要注意函数的定义域，例如函数y＝x2－2x，x∈[0,3)的定义域为区间[0,3)，故其图象不是整条抛物线，而应是抛物线的一部分；(3)一般用描点法作图象，作图时要先找出关键点，再连线．例如本题画函数y ＝x2－2x，x∈[0,3)的图象时，要先描出两个端点及顶点，再依据二次函数的图象特征作出函数图象，注意3不在定义域内，从而点(3,3)处用空心点．【例5－2】作下列各函数的图象．(1)1,01,,1xy xx x⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩；(2)y＝|x－1|； (3)y＝|x|－1．解：(1)这个函数的图象由两部分组成：当0＜x＜1时，为双曲线1yx=的一段；当x≥1时，为直线y＝x的一段，如图①．图①图②(2)(方法一)所给函数可写成1111x xyx x-≥⎧=⎨-<⎩，，，，是端点为(1,0)的两条射线，如图②．(方法二)可以先画函数y＝x－1的图象，然后把其在x轴下方的图象对称到上方．如图③．图③图④图⑤(3)(方法一)所给函数可写成1010x xyx x-≥⎧=⎨--<⎩，，，，如图④．(方法二)可以先画出函数y＝|x|－1在y轴右侧，即y＝x－1(x≥0)的图象，然后按照关于y轴对称作出函数y＝|x|－1在y轴左侧的图象即可．如图⑤．【例5－3】作出下列函数的图象．(1)y＝|x＋2|－|x－5|；(2)y＝|x－5|＋|x＋3|．分析：要画图象，先化简解析式，据x不同的取值范围去掉绝对值符号．解：(1)7(2]23(25]7(5)xy x xx-∈-∞-⎧⎪=-∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，，；其图象如图a．图a图b(2)22(3)8[35]22(5).x xy xx x-+∈-∞-⎧⎪=∈-⎨⎪-∈+∞⎩，，，，，，，，其图象如图b．点技巧含绝对值的函数图象的作法含有绝对值的函数，可以根据去绝对值的法则去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式画出图象．6．与分段函数有关的问题(1)已知自变量的取值，求函数值．已知分段函数f(x)的解析式，求f(a)时，首先要根据a所在的范围来确定函数的对应关系，再将x＝a代入相应的对应关系即可，如：已知f(x)＝10π000x xxx+>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，，，，求f(－1)．因为－1＜0，此时f(x)＝0，所以f(－1)＝0．(2)已知函数值，求自变量的取值．f (x )是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量x 属于哪一个区间，所以要对x 的可能取值范围逐段进行讨论．即：设分段函数f (x )＝1122()()f x x I f x x I ∈⎧⎨∈⎩，，，，已知f (x 0)＝a ，求x 0．步骤如下：①当x 0∈I 1时，由f 1(x 0)＝a ，求出x 0；②验证x 0是否属于I 1，若是则留下，反之则舍去；③当x 0∈I 2时，由f 2(x 0)＝a ，求出x 0，判断x 0是否属于I 2，方法同上； ④写出结论．(3)已知f (x )，解不等式f (x )＞a ．在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围(即解不等式)的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的某段上，然后相应求出在这段定义域上自变量的取值范围，再与这段定义域求交集即可．即对于分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1 x ，x ∈I 1，f 2 x ，x ∈I 2，f (x )＞a 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ∈I 1，f 1 x >a ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ∈I 2，f 2 x >a .其他分段函数仿照解决．【例6－1】已知函数f (x )＝21222221 2.x x x x x x x +≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，， (1)求f (－5)，f (，52f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．解：(1)由－5∈(－∞，－2]，∈(－2,2)，52-∈(－∞，－2]知，f (－5)＝－5＋1＝－4，f()＝()2＋2()＝3－，52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝52-＋1＝32-，∵32-∈(－2,2)，∴253333222224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，即a ＋1＝3，a ＝2＞－2，不合题意，舍去； 当－2＜a ＜2时，f (a )＝a 2＋2a ，即a 2＋2a ＝3，a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a＝－3．∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1，即2a －1＝3，a ＝2，符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2．【例6－2】已知f (x )＝222 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩，，，若f (x )＞2，求x 的取值范围．解：当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )＞2，得x ＋2＞2，解得x ＞0，故x ＞0；当x ＜－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )＞2，得－x －2＞2，解得x ＜－4，故x ＜－4．综上可得，x ＞0或x ＜－4．辨误区 求解分段函数问题三注意 (1)求f (f (a ))的值时，应从内到外．．．．依次取值，直到求出值为止． (2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．．．．例如本题(2)易忽略对所得值的验证而得到三个解，解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f (x )，解关于f (x )的不等式时，要先在每一段内求交集．．，最后求并集．．．．例如【例6－2】中，在x ≥－2时，由x ＋2＞2，解得x ＞0后，需与x ≥－2求交集，得x ＞0；当x ＜－2时，由－x －2＞2，得x ＜－4，与x ＜－2求交集，得x ＜－4．然后求x ＞0与x ＜－4的并集得最后结果．7．函数图象的简单应用函数图象可以直观地显示函数的变化规律，使抽象的问题变得更加形象．图形与数的结合(数形结合)是解决数学问题的一件利器．函数图象的应用主要体现在以下几个方面： (1)由图象确定解析式解决“已知函数图象，求函数的解析式”的问题关键在于充分挖掘图形信息，也就是曲线的形状如何(据此设定相应的函数解析式的类型——定性)，图象有关特征点坐标如何(据此确定解析式的系数——定量)．例如，若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其表达式f (x )为__________．解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别在各区间内写出其函数表达式．答案：f(x)＝[)[)[)33,2,0, 213,0,2, 22,2,4.x xx xx⎧+∈-⎪⎪⎪-+∈⎨⎪⎪∈⎪⎩(2)根据具体问题所表示的函数关系判断函数的图象解决此类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，把它转化为曲线的变化情况，问题即可解决．(3)利用函数的图象，求函数的值域或最值．解决这类问题的关键在于能正确作出函数的图象．例如，若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )A．2 B．1 C．－1 D．无最大值解析：由题目可获取的信息是：①两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；②f(x)是两个函数中的较小者．解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出f(x)的图象，再求其最大值．在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图象．故x＝1时，f(x)max＝1，应选B．答案：B(4)研究函数图象的交点个数解决这类问题的关键是正确画出函数的图象，结合图象分析．【例7－1】已知函数y＝f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点．根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x ＜1)．∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴12k b b +=⎧⎨=⎩，，解得12k b =-⎧⎨=⎩，，∴左侧射线对应的函数的解析式为y ＝－x ＋2(x ＜1)．同理，x ＞3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ＞3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a ＜0)． ∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1．∴1≤x ≤3时，函数的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)．综上可知，函数的解析式为y ＝22(1)42(13)2(3).x x x x x x x -+<⎧⎪-+-≤≤⎨⎪->⎩ ， ， 点技巧 分段函数解析式的写法 如果所求的解析式是分段函数，则应综合在一起，写成分段形式，且各段的自变量的取值范围写在各段后的括号内．【例7－2】如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于一个选择题而言，求出每一个图中水面的高度h 和时间t 之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两个图作定性分析，即充分利用数形结合．对于第一个图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二个图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此高度变化趋势愈加平缓，正确；同理可分析第三个图、第四个图都是正确的． 故只有第一个图不正确，因此选A ． 答案：A【例7－3】设x ∈R ，求函数y ＝2|x －1|－3|x |的值域． 分析： 解：当x ≥1时，y ＝2(x －1)－3x ＝－x －2． 当0≤x ＜1时，y ＝－2(x －1)－3x ＝－5x ＋2． 当x ＜0时，y ＝－2(x －1)＋3x ＝x ＋2．因此y＝21520120.x xx xx x--≥⎧⎪-+≤<⎨⎪+<⎩，，，，，其图象如下图．由图象可知，该函数的值域为(－∞，2]．【例7－4】当m为何值时，y＝m和y＝x2－4|x|＋5的图象有四个交点？_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________解：画出y＝x2－4|x|＋5＝22450450x x xx x x⎧-+≥⎪⎨++<⎪⎩，，，的图象，如图．再画出y＝m的图象，由图象可以看出：当1＜m＜5时，两个函数图象有四个交点．8．函数在生活中的应用(1)求实际问题中函数的解析式，其关键是充分利用已知条件建立关于变量x，y 的等式．确定函数的定义域时，除了考虑函数解析式自身的限制条件外，还要考虑到它的实际意义和其他限制条件．正确建立关于变量x，y等式的前提是找到含有变量x，y的关键词，如，长度、面积、体积、利润、总费用、路程＝速度×时间等等，往往依赖于已有的生活经验．比如，某客运公司确定客运票价的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)是行程数x(km)的函数，借助于生活经验：票价＝路程×单价，则当0＜x≤100时，y＝0.5x，当x＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x ，则有0.50100100.4100.x x y x x <≤⎧=⎨+>⎩，，，(2)解实际问题时常用到分类讨论和数形结合的思想，这是历年的高考热点，也是今后高考命题的方向．其解题步骤是：①审题，弄清题意，恰当设未知数，分析变量及其取值范围； ②建立函数模型，将实际问题转化为数学问题； ③解决数学问题即函数问题；④将数学问题的结论还原为实际问题的结论．【例8－1】将长为a 的铁丝折成矩形，其中一条边长为x 时，矩形的面积为y ． 求：(1)y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(2)如果矩形的面积为216a ，那么矩形的两边长分别是多少？解：(1)由于矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )．则面积y ＝122a x x ⎡⎤(-)⎢⎥⎣⎦＝－x 2＋2a x ． 又020x a x >⎧⎨->⎩，，解得0＜x ＜2a ，即函数的定义域为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． (2)令－x 2＋2216a a x =，解得4ax =．由于0＜4a ＜2a ，则12(a －2x )＝4a ．故此时矩形的两边长都是4a．【例8－2】某汽车以52 km/h 的速度从A 地行驶到260 km 远处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．分析：因为行驶速度不一样，所以s 与t 的关系需用分段函数表示． 解：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)， 所以，当0≤t ≤5时，s ＝52t ； 当5＜t ≤6.5时，s ＝260；当6.5＜t ≤10.5时，s ＝260＋65(t －6.5)．所以52052605 6.526065( 6.5)6.510.5.t t s t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪+-<≤⎩，，，，， 辨误区 “先分后合”求分段函数的解析式 首先根据不同定义域写出相应的函数解析式，最后再合并．因为分段函数是一个函数，而不是几个函数．。
函数的表示法 第二课时
• 作业：P25
3
f
3 32 13 － ＝1＋－ ＝ .所以 4 2 2
f
1 13 f ＝ . 4 2
(2)若 x≥0，由 x＋1＝2，得 x＝1； 1 1 1 若 x<0，由 ＝2，得 x＝± ，由于 >0，舍 x＝ |x| 2 2 1 1 ，所以 x＝－ . 2 2 1 故 x＝1 或－ . 2
误区解密
因忽视分段函数自变量的范围而出错
x2－1 f(x)＝ 2x＋1
【例 4】 已知函数 若 f(x)＝3，求 x 的值．
x≥0 ， x<0
错解：由x2－1＝3得x＝±2； 由2x＋1＝3，得x＝1，故x的值为2，－2或1. 错因分析：本题是一个分段函数问题，在解决 此类问题时，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义 域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函 数，而是一个函数，求值时不能忽视x的取值范围．
－x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ ＝1－x， 2
1 ∴f(x)＝ 1－x
0≤x≤2 . －2<x<0
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
点评：1.对含有绝对值的函数，要作出其图象， 首先应根据绝对值的意义脱去绝对值符号，将函数 转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式 不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点 的实虚之分．
3.1.2一函数的表示法二
则 b＝________.
答案
1 2
解析 f 56＝3×56－b＝52－b，∴f 52－b＝4，
52－b<1，
①
325－b－b＝4，
无解；
52－b≥1，
②
225－b＝4，
综上，b＝12.
解得 b＝12.
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产； ④第三年后，年产量保持不变． 答案 ②③ 解析 由于纵坐标表示八年来前 t 年产品生产总量， ②③正确．
2x，x≥2，
若 f(x)＝3，则 x 等
于( )
A．1
B．± 3
3 C.2
D. 3
4.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含
端点)，则 f13等于( )
2x，0≤x≤1， 8．函数 f(x)＝2，1<x<2，
3，x≥2
的定义域是___．
9．若定义运算 a⊙b＝ab，，aa<≥bb. ， 则函数 f(x)＝
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2020 学年第一学期高一数学课时练习
班级
姓名
由图①中函数取值的情况，结合函数 φ(x)的定义， 可得函数 φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x 得 x＝－2 或 x＝1. 结合图②，得出 φ(x)的解析式为
函数的表示法 教案 (2)
3.1.2 函数的表示方法教学设计教 学 过 程知 识 师生活动设计意图一、小测检验（检测上节课所学内容）题目:画出下列函数.54;22--=-=x x y x y 二、新授课 （一）创设情景，启发思考 活动一 教材例题 表3.1-4是某校高一 （1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 表3.1-4 姓名 测试序号 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王伟 98 87 91 92 88 95张城 90 76 88 75 86 80赵磊 68 65 73 72 75 82班级平均分 8 .278.3 85.4 80.3 75.7 82.6请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.思考：可以用什么函数表示方法分析问题？解：从表3.1-4中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的 “成绩”与 “测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为６个离散的点）表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级教师展示题目，学生作答。
教师组织，学生思考。
学生口述，教师总结评价。
回忆上节课所学知识点。
建立联系。
通过具体例题，巩固函数表示方法的特征。
加深理解并巩固函数表示法特征。
（2）小王全年综合所得收入额为189６00元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8％，2％， 1％，9％，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是45６0元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：第一步，根据②计算出应纳税所得额t ；第二步，由t 的值并根据表3.1-5得出相应的税率与速算扣除数；第三步，根据①计算出个税税额y 的值. 由于不同应纳税所得额t 对应不同的税率与速算扣除数，所以y 是t 的分段函数.解：（1）根据表3.1-5，可得函数y ＝f （t ）的解析式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<-≤<-≤<-≤<-≤≤=.960000,18192045.0,960000660000,8592035.0,660000420000,529203.0,420000300000,3192025.0,300000144000,169202.0,14400036000,25201.0,360000,03.0t t t t t t t t t t t t t t y 函数图象如图3.1-7所示.教师引导并口述思路，学生自主作答。
函数的表示法知识点总结
函数的表示法知识点总结本节知识点（1）函数的表示法. （2）分段函数. （3）函数的图象变换. 说明:新课标对映射不作要求. 知识点一 函数的表示法函数的表示法有三种,分别是解析法、图象法和列表法. 解析法用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法,记作)(x f y . 这个数学表达式叫做函数解析式、函数表达式或函数关系式.解析法是不是函数的一种重要方法,这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了两个变量之间的数量关系.图象法在平面直角坐标系中,用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法能形象、直观地反映因变量随自变量的变化趋势,从“形”的方面刻画了两个变量之间的数量关系.函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.列表法的优点是不用通过计算,就可以得出与自变量对应的函数值.知识点二 分段函数 分段函数的定义有些函数在其定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数. 关于分段函数:（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集;（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集;（3）分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;（4）分段函数是一个函数,而不是几个函数;（5）分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;（6）处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.几种常见的分段函数1.取整函数[]xy=（[]x表示不大于x的最大整数）.其图象如图（1）所示.图（1）取整函数的图象图（2）绝对值函数的图象2.绝对值函数含有绝对值符号的函数.如函数()()⎩⎨⎧-<---≥+=+=22222xxxxxy,其图象如图（2）所示,为一条折线.解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决.3.自定义函数如函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<----≤--=2221211)(2xxxxxxxxf为自定义的分段函数,其图象如图（3）所示.4.符号函数x y sgn =符号函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn )(x x x x x f ,其图象如图（4）所示.符号函数的性质: x x x sgn =.图（3）图（4）符号函数的图象说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点. 分段函数的常见题型 1.求分段函数的函数值.求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现))((a f f 的形式时,应从内到外依次求值.例1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=,2,2,2,21)(2x x x x x x f ,则))1((f f 的值为【 】 （A ）21-（B ）2 （C ）4 （D ）11 解:∵21<,∴()32112=+=f ,∴()3))1((f f f = ∵23>,∴()423133=-+=f ,∴4))1((=f f .【 C 】. 习题1. 已知函数⎩⎨⎧>-≤++=,0,3,0,34)(2x x x x x x f ,则=))5((f f 【 】（A ）0 （B ）2- （C ）1- （D ）12.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.例2. 已知函数⎩⎨⎧<<--≤+=)21()1(2)(2x x x x x f ,若3)(=x f ,则=x _________.解:当1-≤x 时,32=+x ,解之得:1=x ,不符合题意,舍去;当21<<-x 时,32=x ,解之得:3±=x ,其中13-<-=x ,舍去,∴3=x 综上,3=x .习题2. 已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ,若5)(=x f ,则x 的值是【 】（A ）2- （B ）2或25-（C ）2或2- （D ）2或2-或25-习题3. 已知⎩⎨⎧≤+>=)0(1)0(2)(x x x x x f ,若0)1()(=+-f a f ,则实数a 的值等于________.3.求分段函数自变量的取值范围在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.例3. 已知函数⎩⎨⎧<+-≥-=)1(32)1(23)(22x x x x x x f ,求使2)(<x f 成立的x 的取值范围. 解:由题意可得:⎩⎨⎧<-≥22312x x x 或⎩⎨⎧<+-<23212x x 解不等式组⎩⎨⎧<-≥22312x x x 得:1≤371+<x ;解不等式在⎩⎨⎧<+-<23212x x 得:22-<x 或122<<x∴使2)(<x f 成立的x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧+<<-<3712222x x x 或. 习题4. 已知()()⎩⎨⎧<≥=0001)(x x x f ,则不等式x x xf +)(≤2的解集为【 】（A ）][1,0 （B ）][2,0 （C ）](1,∞- （D ）](2,∞-习题5. 设函数()()⎩⎨⎧<+≥+-=06064)(2x x x x x x f ,则不等式)1()(f x f >的解集是_______.习题6. 函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤=434212)(x x x x x x x f ,若3)(-<a f ,则实数a 的取值范围是_____.例 4. 已知0≠a ,函数()()⎩⎨⎧≥--<+=1212)(x a x x a x x f ,若()()a f a f +=-11,则a 的值为_________.解:当11<-a ,即0>a 时,11>+a∴()()a a a a f -=+-=-2121,()a a a a f 31211--=---=+ ∵()()a f a f +=-11 ∴a a 312--=-,解之得:023<-=a ,不符合题意,舍去; 当11>-a ,即0<a 时,11<+a()()a a a a f --=---=-1211,()()a a a a f 32121+=++=+∵()()a f a f +=-11∴a a 321+=--,解之得:43-=a ,符合题意.综上,a 的值为43-.习题7. 设()⎩⎨⎧≥-<<=)1(12)10()(x x x x x f ,若)1()(+=a f a f ,则=⎪⎭⎫⎝⎛a f 1_________. 习题8. 设⎩⎨⎧<≥=)0()0()(2x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=)2()2()(2x x x x x ϕ,则当0<x 时,=))((x f ϕ【 】（A ）x - （B ）2x - （C ）x （D ）2x图（5）习题9. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x xx x x f ,若a a f =)(,则实数a 的值为【 】（A ）1± （B ）1- （C ）2-或1- （D ）1±或2-4.求分段函数的定义域分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.例5. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+≤≤=)2(12)21(1)10(2)(x x x x x x x f 的定义域是_________.解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为[]())[)[∞+=∞+,0,22,11,0 .5.求分段函数的值域分段函数的值域是各段函数值域的并集.对于某些简单的分段函数,可画出其图象,象法）.例6. 设∈x R ,求函数x x y 312--=的值域. 解:当x ≥1时,()2312--=--=x x x y ; 当0≤1<x 时,()25312+-=--=x x x y ; 当0<x 时,()2312+=+-=x x x y .综上所述,⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y其图象如图（5）所示,由图象可知其值域为](2,∞-. 另解:由上面可知:⎪⎩⎪⎨⎧<+<≤+-≥--=)0(2)10(25)1(2x x x x x x y 当x ≥1时,函数2--=x y 的值域为](3,-∞-;图（6）当0≤1<x 时,函数25+-=x y 的值域为(]2,3-; 当0<x 时,函数2+=x y 的值域为)(2,∞-.∴函数x x y 312--=的值域为]( 3,-∞-(] 2,3-)(=∞-2,](2,∞-.例7. 若∈x R ,函数)(x f 是x y x y =-=,22这两个函数值中的较小者,则函数)(x f 的最大值为【 】（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）无最大值 解:解不等式22x -≥x 得:2-≤x ≤1 ∴当2-≤x ≤1时,x x f =)(,其值域为[]1,2-; 解不等式x x <-22得:1>x 或2-<x∴当1>x 或2-<x 时,22)(x x f -=,其值域为()1,∞-综上所述,⎩⎨⎧-<>-≤≤-=)21(2)12()(2x x x x x x f 或 函数)(x f 的值域为[] 1,2-()](1,1,∞-=∞- ∴函数)(x f 在其值域内的最大值为1. 函数)(x f 的图象如图（6）所示.习题10. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<<=)2015(5)1510(4)100(2)(x x x x f ,则函数)(x f 的值域是【 】（A ）{}5,4,2 （B ）()5,2 （C ）()4,2 （D ）()5,4习题11. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤≤=)2(3)21(2)10(2)(2x x x x x f 的值域是【 】（A ）R （B ）)[∞+,0 （C ）[]3,0 （D ）[]{}32,0 习题12. 已知函数()2221)(≤<--+=x xx x f . （1）用分段函数的形式表示该函数;（2）画出该函数的图象; （3）写出该函数的值域.习题13. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=)0(21)0(2)0(3)(2x x x x x x f .（1）画出函数)(x f 的图象;（2）求))(1(2R a a f ∈+,))3((f f 的值; （3）当)(x f ≥2时,求x 的取值范围.图（7）知识点三 函数的图象变换 函数图象的平移变换在平面直角坐标系中,函数图象的平移变换分为上下平移变换和左右平移变换两种.图象变换后,函数的解析式也发生了有规律的变化. （1）上下平移变换将函数)(x f y =的图象沿y 轴方向向上()0>b 或向下()0<b 平移b 个单位长度,得到函数b x f y +=)(的图象,即遵循“上加下减”的原则. （2）左右平移将函数)(x f y =的图象沿x 轴方向向左()0>a 或向右()0<a 平移a 个单位长度,得到函数)(a x f y +=的图象,即遵循“左加右减”的原则.例1. 将函数x y =的图象向上和向下平移2个单位长度,画出平移后的函数的图象.解:函数x y =,即函数()()⎩⎨⎧<-≥=00x x x x y .将函数x y =的图象向上平移2个单位长度,得到函数2+=x y 的图象,如图（1）所示;将函数x y =的图象向下平移2个单位长度,得到函数2-=x y 的图象,如图（2）所示.图（1）图（2）例2. 将函数x y 1=的图象向左平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. 解:将函数x y 1=的图象向左平移1个单位长度,得到函数11+=x y 的图象,如图（3）所示.图（3）说明:在图（3）中,反比例函数xy 1=的图象无限趋近于x 轴和y 轴,但不相交.因此把x 轴和y 轴叫做双曲线x y 1=的两条渐近线.所以,函数11+=x y 的图象的两条渐近线分别是x 轴和直线1-=x .例3. 将函数221)(x x f =的图象向右平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象. 解:将函数221)(x x f =的图象向右平移1个单位长度,得到函数()2121)(-=x x f 的图象,如图（4）所示.图（4）1)2函数图象的对称变换在同一平面直角坐标系中,下列函数图象的对称关系为: （1）函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于x 轴对称; （2）函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于y 轴对称;（3）函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于原点对称（即关于原点成中心对称）. 根据以上两个函数图象的对称关系,作出其中一个函数的图象,可以作出相应的另一个函数的图象.例4. 已知函数)(x f y =的图象如图（5）所示,画出函数)1(x f y -=的大致图象.图（5）解:∵ ()[]1)1(--=-=x f x f y ,∴先作出函数)(x f y =的图象关于y 轴对称的函数)(x f y -=的图象,如图（6）所示,再把函数)(x f y -=的图象向右平移1个单位长度,即可得到函数)1(x f y -=的图象,如图（7）所示.图（6）图（7）函数图象的翻折变换在同一平面直角坐标系中,通过对函数)(x f y =图象的翻折变换,可以得到函数)(x f y =和)(x f y =的图象.（1）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留x 轴上及其上方的图象,把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可;（2）要作出函数)(x f y =的图象,可先作出函数)(x f y =的图象,然后保留y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可.例5. 画出函数132+-=x x y 的大致图象. 解:()1521512132+-=+-+=+-=x x x x x y 先作出函数,5的图象x y -=然后把函数的图象xy 5-=向左平移1个单位长度,得到函数15+-=x y 的图象,再把函数15+-=x y 的图象向上平移2个单位长度,即可得到函数132+-=x x y 的大致图象,如图（8）所示.图（8）说明:在图（8）中,直线1-=x 和直线2=y 是函数132+-=x x y 的图象的两条渐近线. 例6. 作出函数322--=x x y 的大致图象.解:先作出函数322--=x x y 的图象,然后把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方即可得到函数322--=x x y 的图象,如图（9）所示.图（9）3说明:事实上,函数322--=x x y 为绝对值函数,可化为分段函数:()()⎩⎨⎧<<-++-≥-≤--=--=3132313232222x x x x x x x x x y 或.例7. 作出函数322--=x x y 的大致图象.解:先作出函数322--=x x y 的图象,然后保留其在y 轴上及其右侧的图象,把y 轴右侧的图象翻折到y 轴左侧即可得到函数322--=x x y 的图象,如图（10）所示.x 3图（9）说明:事实上,()()⎩⎨⎧<-+≥--=--=03203232222x x x x x x x x y .习题1. 若方程m x x =+-342有四个互不相等的实数根,则实数m 的取值范围是________. 提示:根据数形结合思想,构造两个函数:342+-=x x y 和常数函数m y =,将方程的根的个数转化为两个函数图象的交点个数问题.习题2. 将函数()3122-+=x y 的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得的图象对应的函数解析式为________________.习题3. 画出函数1322--+=x x x y 的图象,并根据图象指出函数的值域.知识点四 求函数的解析式 求函数的解析式的方法（1）待定系数法; （2）换元法; （3）配凑法; （4）解方程组法; （5）赋值法. 一、待定系数法已知函数的类型,求函数的解析式，用待定系数法.例1. 已知一次函数)(x f 满足64))((+=x x f f ,求函数)(x f 的解析式. 解:设函数b kx x f +=)( ∵64))((+=x x f f∴()64)(2+=++=++=+x b kb x k b b kx k b kx f∴⎩⎨⎧=+=642b kb k ,解之得:⎩⎨⎧==22b k 或⎩⎨⎧-=-=62b k∴22)(+=x x f 或62)(--=x x f .例2. 已知)(x f 是一次函数,且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ,求函数)(x f 的解析式. 解:设函数b kx x f +=)(,则:()b k kx b x k x f ++=++=+1)1(,()b k kx b x k x f +-=+-=-1)1(∵172)1(2)1(3+=--+x x f x f ∴()()17223+=+--++x b k kx b k kx 整理得:1725+=++x b k kx∴⎩⎨⎧=+=1752b k k ,解之得:⎩⎨⎧==72b k∴72)(+=x x f .例 3. 已知函数)(x f 是二次函数,且满足1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求函数)(x f 的解析式.解:设c bx ax x f ++=2)( ∵1)0(=f∴1)(,12++==bx ax x f c∴()()()12111122+++++=++++=+b a bx ax ax x b x a x f∵x x f x f 2)()1(=-+ ∴x b a ax 22=++∴⎩⎨⎧=+=022b a a ,解之得:⎩⎨⎧-==11b a∴1)(2+-=x x x f .习题1. 已知)(x f 是一次函数,且14))((-=x x f f ,求函数)(x f 的解析式.习题2. 已知)(x f 是二次函数,且0)0(=f ,1)()1(++=+x x f x f ,求函数)(x f 的解析式.习题3. （1）已知一次函数)(x f y =,3)1(,1)1(-=-=f f ,求)3(f ; （2）已知q px x x f ++=2)(,0)2()1(==f f ,求)1(-f .二、换元法已知函数))((x g f 的解析式,求函数)(x f 的解析式，用换元法. 例4. 已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为____________. 解:设t x =+1,则()21-=t x (t ≥1)∴()()1121)(22-=-+-=t t t t f (t ≥1)∴1)(2-=x x f (x ≥1). （第二种解法见例8）注意:使用换元法求函数解析式,换元后要标明新元的取值范围,即函数)(x f 的定义域. 例5. 已知函数22)1(2++=+x x x f ,求)(x f 及)3(+x f . 解:设t x =+1,则1-=t x (∈t R ) ∴()()12121)(22+=+-+-=t t t t f∴1)(2+=x x f∴()10613)3(22++=++=+x x x x f .例6. 已知函数111+=⎪⎭⎫⎝⎛-x x f ,求函数)(x f 的解析式.解:由111+=⎪⎭⎫⎝⎛-x x f 可知:1≠x .设t x =-11,则tt x 1+=()0≠t ∴t t t t f 1211)(+=++=∴xx f 12)(+=()0≠x .习题7. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,则)(x f 的解析式为____________. 习题8. 已知函数x x x f 2)1(+=-,求函数)(x f 的解析式.习题9. 若xx x f -=⎪⎭⎫⎝⎛11,则当0≠x 且1≠x 时,)(x f 等于【 】（A ）x 1 （B ）11-x （C ）x -11 （D ）11-x三、配凑法已知函数))((x g f 的解析式,求某些函数)(x f 的解析式，也可用配凑法. 例7. 已知函数x x x f 2)1(2-=+,求函数)(x f 的解析式. 解:∵x x x f 2)1(2-=+∴()()3141)1(2++-+=+x x x f∴34)(2+-=x x x f .例8. 已知函数x x x f 2)1(+=+,则)(x f 的解析式为____________. 解:∵x x x f 2)1(+=+ ∴()11)1(2-+=+x x f∵1+x ≥1∴1)(2-=x x f (x ≥1).例9. 已知x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求函数)(x f 的解析式. 解法1（配凑法）∵x x x x x f 11122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∴111111111122+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x f∵111≠+x∴1)(2+-=x x x f (1≠x ). 解法2（换元法）:习题10. 已知22)1(2++=+x x x f ,求函数)(x f 的解析式.习题11. 已知1)1(++=-x x x f ,求函数)(x f 的解析式.习题12. 已知函数13)(-=x x f ,若32))((+=x x g f ,则函数)(x f 的解析式为【 】（A ）3432)(+=x x g （B ）3432)(-=x x g （C ）3234)(+=x x g （D ）3234)(-=x x g提示:1)(3))((-=x g x g f . 四、解方程组法已知中含有⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 1),(或)(),(x f x f -形式的函数,求函数)(x f 的解析式,用解方程组法.例10. 已知函数)(x f 满足x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12)(,则函数)(x f 的解析式为____________.解:∵x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12)(∴用x 1替换上式中的x ,得到:x x f x f 1)(21=+⎪⎭⎫⎝⎛解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+x x f x f x x f x f 1)(2112)(得:xx x f 3231)(+-=.例11. 定义在区间()1,1-上的函数)(x f 满足2)()(2x x f x f =--,求函数)(x f 的解析式. 解:∵()1,1-∈x ,∴()1,1-∈-x ∵2)()(2x x f x f =--∴用x -替换上式中的x ,得到:()22)()(2x x x f x f =-=--解方程组⎩⎨⎧=--=--22)()(2)()(2x x f x f x x f x f 得: )11()(2<<-=x x x f .习题13. 已知函数)(x f 满足2112)(+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx f x f ,则函数)(x f 的解析式为____________.习题14. 已知x x x f x f 2)(2)(2+=-+,求函数)(x f 的解析式.五、赋值法求抽象函数的解析式用赋值法.例12. 设)(x f 是R 上的函数,且满足1)0(=f ,并且对任意的实数y x ,都有:)12()()(+--=-y x y x f y x f ,求)(x f 的解析式.解:设y x =,∵1)0(=f∴()112)()0()(=+--==-x x x x f f y x f ∴1)(2++=x x x f .习题15. 已知对于任意实数y x ,都有y x y xy x y f y x f 332)(2)(22-+-+=-+,求函数)(x f 的解析式.。
函数的表示法(2)映射的概念
…
王五
… …
30
…
图像变换
一：平移变换
二：翻折变换
小组合作学习任务
问 题 1.映射的概念导学案 问题2、3 展示 点评
2映射的概念导学案
3.映射的概念导学案
例1及变式1
变式2
4.映射的概念导学案 例4变式 5.映射的概念导学案 例2（1、2）
映射的概念：
一般地，设A、B是两个非空的集合，如 果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一 的元素f(x)和它对应，这样的对应叫做从集 合A到集合B的一个映射．
思考：映射与函数有什么区别与联系？
函数 映射 建立在两个非空数集上的特殊对应
扩 展
建立在两个非空任意集合上的特殊对应
6.导学案 例2变式 （1）（2） 例3
7.映射的概念导学案
不是映射？
A 9 4 开平方 B 3 －3 2 －2 1 －1 B 1 4 9 A 30° 求正弦 B
1 2
2 2 3 2
45°
60° 90° A 乘以2 1 2 3
1
1
B 1 2 3 4 5 6
A 1 －1 2 －2 3 －3
求平方
下面对应是否为函数？映射？
Ａ={高一（1）班同学} ，Ｂ={正实数} ，f：让每位同学与 学号数对应．对应如下表所示：
映射的概念
复习:函数的概念
一般地，设A、B是两个非空的数集， 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集 合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一的 数f(x)和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B的一个函数． 函数的本质：
建立在两个非空数集上的特殊对应
2007-9-13 函数的表示法(2)
四、小结
1、分段函数
2、求解析式
3、映射的概念
1 2 2 2 3 2 1
A B
求平方
3 －3 2 －2 1 －1
9 4 1
A B
开平方
9 4 1
3 －3 2 －2 1 －1
A B
乘以 2
1 2
3
1 2 3 4 5 6
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射? (1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关系f： 数轴上的点与它所代表的实数对应； (2)集合A＝｛P|P是平面直角坐标系中的点｝，集合B ＝ ( x, y) | x R , y R ，对应关系f：平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应； (3)集合A＝｛x|x是三角形｝，集合B＝｛x|x是圆｝，对 应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； (4)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x是 新华中学的学生｝，对应关系f：每一个班级都对应班里 的学生；
问题 函数概念与映射概念之间有怎样的关系？有什么异同？
函数是从非空数集A到非空数集B的映射。映射 是从集合A到集合B的一种对应关系，这里的集 合A、B可以是数集，也可以是其他集合。函数 是一种特殊的映射。
问题 如何判断一个对应关系是不是映射？
A B
求正弦
30 45 60 90
0 0 0 0
一、复习回顾Байду номын сангаас
（1）函数的三种表示方法：
解析法、图象法、列表法
（2）用描点法画函数图象的步骤：
列表、描点、连线 （视其定义域决定是否连线）
（3）有些函数在它的定义域中，对于自变量的
不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称 为分段函数。分段函数是一个函数！
人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_第二课时ppt课件
考点一
课堂互动讲练
考点突破 分段函数图象的画法
根据分段区间及各段解析式．常用描点法画图，注意区间 端点的虚实．
例1 已知函数 f(x)＝1＋|x|－ 2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 【思路点拨】 讨论x的取值范围
→ 化简fx的解析式
例2 从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园 甲、乙两家到该公园的距离都是 2 km，甲 10 点钟 发前往乙家，如图表示甲从自家出发到乙家为止 过的路程 y(km)与时间 x(分钟)的关系．依图象回 下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多 长时间？ (2)甲到达乙家是几点钟？ (3)写出函数 y＝f(x)的解析式． (4)计算当 x＝50 分钟时，甲所走的路程．
x →y＝12x.
【思路点拨】 解答本题可由映射定义出发，观察A中任何一 个元素在B中是否都有唯一元素与之对应． 【解】 (1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对 值为0，而0∉B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在 集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
问题探究
x x≥0 1．y＝|x|＝－x x＜0 可以说 y＝|x|是两 个函数吗？ 提示：y＝|x|，x∈R，仍是一个函数，只是 x ∈[0，＋∞)与 x∈(－∞，0)的对应关系不同， 对于具体 x 值，所用的对应关系是唯一的．
2．从定义上看，函数与映射有什么关系？ 提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射， 是从非空数集到非空数集的映射．并非所有映射都为函数．
将(60,4)，(40,2)分别代入，得 k2＝110，b＝－ 2.
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x叫集合B中元素y的原象，集合B中的元素y叫集合A的元素x的象．
二、典例分析，深化理解
例1 .以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？
⑴ 集合A={P|P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它 所代表的数对应；
⑵ 集合A={P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B={(x,y)|x∈R,y∈R},对
例4
设映射f:xx2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射，若对于实数 pN，在M中不存在原象，则实数p的取值范围是（ ） A．（1，+） C．（，1） B．[1，+） D．（，1]
三、回顾反思，提炼升华
1、从知识技能上 ⑴ 映射概念； ⑵对应、映射、函数的示法（二）
北京市数学特级教师 王保东
复习巩固，推陈出新
常见的对应关系 1 对于任何一个实数a，数轴上都有惟一的点p和它对应. 2 对于坐标平面内任何一个点A，都有惟一的有序实数对(x,y) 和 它对应 3 对于任意一个三角形，都有惟一确定的面积和它对应. 4 某电影院的某场电影的每一张电影票有惟一确定的坐位与它对应 5 函数的概念
合A到集合B的映射的是（ ） A. 对集合A中的数开平方 B. 对集合A中的数取倒数 D.对集合A中的数立方 C．对集合A中的数取算术平方根
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x f(x)
x
1 1
2 3
3 1
x g(x)
1 3
2 2
3 1
则f(g(１))的值为
；满足f(g(x)) > g(f(x))的值是 ＿＿＿＿＿
1 2
观察下面几个对应关系，看这三个对应关系有什么共同特点？
求正弦
1 2
2 2 3 2
求平方
１ －１ －２ ２ ３ －３
乘２
30° 45° 60° 90°
１ ４ ９
1 2 3
1 B A B
1 2 3 4 5 6 B
A
A
一、归纳总结，抽象概念
映射的概念 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f， 使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射. 如果集合A的元素x对应集合B中的元素y，那么集合A中的元素
例2 设f：是A到B的映射,其中A=B={(x,y)|x,y R},
f: (x,y) 求
(x-y,x+y),
（1）元素（1，2）的象; （2）元素（1，2）的原象.
例3．集合M={a,b,c}，N={-1，0，1}，从M到N的映射f满足关系式
f(a)f(b)=f(c),那么映射f的个数是（ ） （A）2 （B）4 （C）5 （D）7
应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
⑶ 集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆}，对应关系f：每一个三 角形都对 应它的内切圆； ⑷ 集合A={x|x是密云二中的班级}，集合B={x|x是密云二中的学 生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.
练习
1 ． 集合A={a，b，c}，集合B=R，以下对应关系中，一定能建立集
用概念规范解题，用概念指导解题． 3、研究方法 从特殊到一般抽象概念，由一般到特殊指导解题实践．