定常离散系统的能控性 定常连续系统的能控性

第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.0.1
桥形电路(a) ，两个电容相等。选各自的电压为状态
变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则 两个状态分量恒相等。相平面图(b)中，相轨迹为一条直
线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不 论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这
条直线。显然，它是不完全能控的。
量开始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的
有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如 果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，则称 系统是状态完全能控的，简称能控。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常 离 散 系 统 的 能 控 …, 性
4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件
单输入线性定常离散系统的状态方程
2.系统能控
线性定常连续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
对于式(4.2.1)所示线性时变连续系统,指定 初始时刻 t 0 Td，如果状态空间的所有非零状态 都是在 t 0 时刻能控的, 则称系统在时刻 t 0是状态 完全能控的，简称系统在时刻 t 0 能控。如果系统 对于任意的 t 0 Td 均是状态完全能控的(即系统的 能控性与初始时刻 t 0 Td 的选取无关)，则称系 统是一致能控的。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常 离 散 系 统 的 能 控 性
例4.1.1
1 0 0 1 x (k 1) 0 2 2 x ( k ) 0u ( k ) 1 1 0 1
1 1 1 Ab A 2b rank 0 2 2 3 1 1 3
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.2 定 常 连 续 系 统 的 能 控 性
4.2.2 线性定常连续系统的能控性判据
能控性判据的第一种形式
定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要 条件是能控性矩阵
UC B AB An 1 B
的秩为n，即
rank B AB An 1 B n
在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的 关心，其一是加入适当的控制作用后，能否在有限 时间内将系统从任一初始状态转移到希望的状态上 ，即系统是否具有通过控制作用随意支配状态的能
力。其二是通过在一段时间内对系统输出的观测， 能否判断系统的初始状态，即系统是否具有通过观 测系统输出来估计状态的能力。这便是线性系统的 能控性与能观测性问题。 稳定性、能控性与能观测性均是系统的重要结 构性质。
第四章 线性系统的能控性与能观性
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性 4.2 定常连续系统的能控性 4.3 定常系统的能观性 4.4 线性时变系统的能控性及能观性 4.5 能控性及能观性的对偶关系 4.6 线性定常系统的结构分解 4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系 4.8 能控标准形和能观标准形 4.9 系统的实现
4.2 定 常 连 续 系 统 的 能 控 性
例4.2.1 考察如下系统的能控性
x1 1 2 1 x1 1 0 x 0 1 0 x 0 1 u1 2 2 u x3 1 0 3 x3 0 0 2
最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中
的应用。
第四章 线性系统的能控性与能观性
1960 卡尔曼(Kalman) 两个基础性概念：能控性与能观性 两个基本问题： • 在有限时间内，控制作用能否使系统从初 始状态转移到要求的状态？
指控制作用对状态变量的支配能力，称之为 状态的能控性问题;
• 在有限时间内，能否通过对系统输出的测 定来估计系统的初始状态？
易知
1 0 B 0 1 0 0
1 2 1 1 0 1 2 AB 0 1 0 0 1 0 1 1 0 3 0 0 1 0
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.1.2
x1 (k 1) 1 2 1 x1 (k ) 1 0 x (k 1) 1 0 2 x (k ) 0 0 u1 (k ) 2 2 u (k ) x3 (k 1) 0 1 1 x3 (k ) 0 1 2
,其状态变量图如图1所示。 系统的状态是完全能 控且完全能观测的。
图1
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常 离 散 系 统 的 能 控 性
4.1 定常离散系统的能控性
4.1.1 定常离散系统的能控性定义 4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件 4.1.3 多输入离散系统能控性的判定条件
系统的输出量（或观测量）能否反映状态变 量，称之为状态的能观性问题。
能控性与能观测性概论
如果在一个有限的时间隔内施加一个无 约束的控制向量，使得系统由初始状态x(to) 转移到任一状态，则称该系统在时刻to是能
控的。 如果系统的状态x(to)在有限的时间间隔 内可由输出的观测值确定，那么称系统在时 刻to是能观测的。
4.状态与系统能达 对于式（4.2.1）所示线性时变系统,若存在能将 状态 x (t 0 ) 0 转移到 x( t1 ) x1 的控制作用 u(t ) , t [t0 , t1 ] ,则称状态x1是 t 0 时刻能达的。若x1对所有 时刻都是能达的，则称状态x1为完全能达或一致能 达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 能达的，则称系统是 t 时刻状态能达的，简称系 t0 0 统是时刻 t 0 能达的。 对线性定常连续系统，能控性与能达性是等价的。
3.系统不完全能控
线性定常连续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
对于式(4.2.1)所示线性时变连续系统，指 定初始时刻 t 0 Td ,如果状态空间存在一个或 一个以上非零状态在时刻 t 0 是不能控的，则称系 统在时刻 t 0 是状态不完全能控的，简称系统不能 控。
对线性时变连续系统而言,其能控性与初始时刻 t 0 的选取有关, 而线性定常连续系统其能控性与初 始时刻 t 0 的选取无关。故线性定常连续系统其系统能 控性可定义为:对于任意的初始时刻 t 0 Td (一般取 t 0 0 )，存在一个有限时刻 t1 Td , t1 t0 ，和一个 无约束的容许控制 u( t ), t [t0 , t1 ],能使状态空间的任 意非零状态 x (t 0 ) 转移到 x(t1 ) 0 ，则称系统状态完 全能控，简称系统能控。
只要计算出矩阵[B,AB]的秩，即可
rank B
1 0 1 1 AB rank 0 1 1 2 3 0 0 0 0
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.2 定 常 连 续 系 统 的 能 控 性
4.2 定常连续系统的能控性
4.2.1 线性定常连续系统的能控性定义
线性定常连续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
对于式（4.2.1）所示线性时变连续系
统，如果对指定初始时刻t0的一个非零初始 状态 x(t 0 ) x 0 ,存在一个时刻t1,t1>t0 ,和一 个无约束的容许控制u(t), t [t0 ,t1 ] ,使状 态由 x 0 转移到tf 时的 x (t f ) 0 ,则称此 x 0 是 在 t 0 时刻能控的。
rank b
满足能控性的充分必要条件，故该系统能控。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常输入离散系统能控性的判定条件
多输入线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k ) Bu(k )
(4.1.9)
定理4.1.2 多输入线性定常离散系统完全能控的充 分必要条件是，矩阵[B,AB,…,An-1B]的秩为n。
第四章 线性系统的能控性与能观性
定 常 离 散 系 统 的 能 控 …, 性 4.1
4.1.1 定常离散系统的能控性定义
线性定常离散系统的状态方程
x(k 1) Ax(k ) Bu(k )
(4.1.1)
定义4.1.1 对于系统(4.1.1)，如果存在控制向量序 列u(k),u(k+1),…,u(N-1)，使系统从第k步的状态向
定义4.2.1 对于系统(4.2.1)，若存在一分段连续 控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内，将系 统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那 么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的所 有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全 能控的，简称能控。
1.状态能控
x(k 1) Ax(k ) bu(k )
(4.1.2)
定理4.1.1 单输入线性定常离散系统完全能控的充 分必要条件是，矩阵[b, Ab,…, An-1b]的秩为n。
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc 表示，
于是此能控性判据可以写成 rankUc=rank [b , Ab,…,An-1b]=n. (4.1.5)
该矩阵称为系统的能控性矩阵，以Uc 表示，
于是此能控性判据可以写成 rankUc=rank[B,AB,…,An-1B]=n. (4.1.10)
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常 离 散 系 统 的 能 控 性
多输入与单输入系统的能控性判据形式上完
全相同。但多输入系统有以下特点：
1. 多输入系统的能控性矩阵是一个nxnp矩阵.
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.0.2
选择电感中的电流以及电容上的电压作为 状态变量。当电桥平衡时，电感中的电流作 为电路的一个状态是不能由输出变量来确定 的，所以该电路是不能观测的。