线段角实际问题

《线段、角》实际问题热点问题精析实际应用型例1（2002年青海省中考试题）某工程队，在修建兰宁高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程( )．A. 直线的公理；B. 直线的公理或线段最短公理；C. 线段最短的公理；D. 平行公理.评析：将弯曲的道路改直能缩短路程，是因为在所有联接弯道两个端点的线中，线段最短. 这个道理即为线段最短的公理.故选C.例2（2001年安徽省中考试题）如图1，要把角钢(1)弯成120°的钢架(2)，则在角钢(1)上截去的缺口是 度.图1评析：图1（1）中的角钢可以看作一个平角，截去缺口后的图2（2）中的角变成1200，缩小的度数就是截去的缺口度数为1800 – 1200 = 600.例3（2004年河南省中考试题）如图2，从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中. 从A 地到B 地，有2条水路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地. 则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ）A 、20种B 、8种C 、5种D 、13种图2评析：本题的路程体现了几何中“联接”两点的多种情况，这有别于用线段“连结”两点的唯一性.从A 地经过B 地到C 地的过程中，从A 地到B 地，共有4条路，则有4种不同走法；从B 地到C 地，有3条路，则有3种不同走法；则共有4×3=12（种）走法.从A 地到C 地，不经过B 地，还有1种走法.因此，从A 地到C 地可供选择的方案有12+1=13（种）.故选D.例4（2004年河北省中考试题）图3是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角图31上的阴影部分分别表示四个入球孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）A ．1 号袋；B ．2 号袋；C ．3 号袋；D ．4 号袋评析：在不考虑摩擦力等因素的情况下，可以认为台球撞到桌边，反射角等于入射角，则台球按照图中虚线所示的路线运动，最终落入2 号袋.故选B.探索开放型一、探索图形规律例5（2004年四川省眉山市中考试题）如图4，点P 是直线l 外一点，过点P 画直线PA ，PB ，PC ，……交l 于点A ，B ，C ，……请你用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并量PA ，PB ，PC 的长度。

你发现的规律是：_______________________.图4评析：通过测量，很容易发现：角度越大，线段长度越小。

例6（2004年福建省南平市中考试题）…，依次观察左边三个图形，并判断照此规律从左向右第四个图形是图5-1中的（ ）图5-1评析：为了能够清楚地看出图形变化规律，可以把五角星中的各角边上数字代码如下（如图5-2所示）：图5-2在题干的第一个图中，涂黑的是第1、3、4个角（严格的说应该是三角形）；第二个图中，涂黑的是第2、4、5个角；第三个图中，涂黑的是第3、5、1（= 6-5）个角. 从这些数12 2232 42 52据变化中，我们可以发现规律：每个图形中涂黑的三个角的数字代码分别比上一个图形大1. 由此推断，第四个图形中，涂黑的是第4、1（= 6-5）、2（=7-5）个角.故选D.二、探索数式规律例7（2003年山东省中考题）图6是按照一定规律画出的一列“树型”图：图6经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出_________个“树枝”．评析：每根“树枝”就是一条线段，下面我们一起来找一下数“树枝”数的规律.图（2）在图（1）中的1个“树枝”上多出2个“树枝”；图（3）在图（2）中的2个“树枝”上每个又多出2个“树枝”，另外还多出1个“树枝”，共多出2×2+1=5（个）“树枝”；图（4）在图（3）中的4个“树枝”上每个又多出2个“树枝”，另外还多出2个“树枝”，共多出2×4+2=10（个）“树枝”；图（5）在图（4）中的8个“树枝”上每个又多出2个“树枝”，另外还多出4个“树枝”，共多出2×8+4=20（个）“树枝”；图（6）在图（5）中的16个“树枝”上每个又多出2个“树枝”，另外还多出8个“树枝”，共多出2×16+8=40（个）“树枝”…….其中，由于图（1）变成图（2）的规律与以后不同，在中心位置地竖线上稍一条向上的“树枝”，所以从图（3）与图（2）的比较开始.观察下列各式：2×2+1；2×4+2：2×8+4；2×16+8；……可见，图（n）比它前一个图中多出的“树枝”个数为：2×2n-2+2n-3=2n-1+2n-3=2n-3(22+1)=5×2n-3.当n=7时，5×2n-3=5×24=5×（22）2=5×16=80.所以，图（7）比图（6）多出80个“树枝”．另外，也可以数一下每个图中“树枝”的个数，从图（3）开始为：8，18，38，……它们都是偶数，为使规律更明显，我们将以上各数分别除以2，得4，9，19，……不难看出，原来在4，9，19，……等数中，后一个数是前一个数的2倍加1，则在8，18，38，……等数中，后一个数是前一个数的2倍加2.若设图（n）中“树枝”的个数为S n，它的前一个图“树枝”个数为S n-1，则S n =2 S n-1+2.照此在图（5）的基础上，可以推出，图（6）“树枝”有2×38+2=78（个），图（7）“树枝”有2×78+2=158（个）.所以，图（7）比图（6）多出的“树枝”个数为：158-78=80（个）.例8（2004年江苏省常州市中考试题）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形. 设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x .④③②①图7-1（1）图7-1中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如表1-1，请写出S 与x 之间的关系式.答：S= .（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点. 此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S= .（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？答：S= .评析：根据图形探索规律，随着规律向一般化的推广，难度逐渐增大，揭示的规律也更加深刻，更具有普遍性.（1）通过表中数据可以看出，S 的数值是x 的一半，所以S = 12x. （2）同学们可以尝试画出一些内部都有而且只有2格点的多边形，如图7-2所示.图7-2仿照表1-1设计一个表，就能得到表1-2：表1-2不难看出，S 与x 之间的关系式是S =2x + 1 . （3）用同样的方法，通过画图实验，列表分析，可得S = 12x + n –1. 三、探索方案例9（2004年浙江省丽水市中考试题）如图8是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”字形的对角线走，例如：图8中“马”所走在的位置可以直接走到A 、B 等处.若“马”的位置在C 点，为了到达D 点，请按“马”走的规则，在图8的棋盘上用虚线画出一种你认为合理的行走路线.图8评析：通过观察实验，可以知道在C 点的“马”到达D 点，至少应该走4步，具体走法很多，图8中虚线画出的一种行走路线仅供参考.阅读理解型例10（2003甘肃省中考试题）阅读以下材料并填空：平面上有n 个点(n≥2)，且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?(1)分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成1 O 条直线；(2)归纳：考察点的个数n 和可连成直线的条数Sn ，发现表2-1：表2-1(3)推理：平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有(n－1)种取法，所以一共可连成n(n－1)条直线，但A B与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn=21)-n(n(4)结论：Sn=21)-n(n试探究以下问题：平面上有n(n≥3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形?(1)分析：当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形．(2)归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn,发现表2-2：表2-2(3)推理：___________________________________(4)结论：___________________________________评析：题目中的阅读材料，为我们提供了解题思路. 我们可以类比原体的思考方式，通过画图实验解答.(1)如图9所示，当仅有3个点时，可作1个三角形；当有4个点时，可作4个三角形；当有5个点时，可作10个三角形．(2)根据图形，可以填得表2-3：(3)推理：平面上有n 个点，过不在同一直线上的三点确定一个三角形．取第一个点A 有n 种取法，取第二个点B 有(n －1)种取法，取第三个点C 有(n －2)种取法，所以一共可作n(n －1)(n-2)个三角形，但△ABC 、△ACB 、△BAC 、△BCA 、△CAB 、△CBA是同一个三角形，故应除以6，即Sn = n(n-1)(n-2)6. (4)结论：Sn = n(n-1)(n-2)6. 例11 阅读下面一段短文：万一你到一个地方迷了路，可千万别着急. 有很多办法能够帮你辨清方向，现在我来告诉你一种用手表来判定方向的办法.把手表水平放置，将当时当地的时间折半后，时针的位置冲着太阳，则表盘上“12”就指向北方. 比如，现在时间是11：20了，把这个时间（可以看作10：80）折半就是5：40，这时手表的时针应该指着“5”和“6”之间，靠近“6”的这个位置，让这个位置冲着太阳. 你看，这时“12”就指向北方. 下午的时间要按24小时制表示. 比如，下午2：00按14：00计算折半时间.你知道为什么能用这种方法判定方向吗？评析：在地球上看太阳，给人的感觉是每天太阳从东方升起，转到西方落下，次日又从东方升起，一天绕地球转了一周，即24小时转了3600，每小时转过的度数为：A B C E图93600÷24=150.其实，这是由于地球自转造成的. 地球在自转时，地轴指向北极星附近，可以大致认为是北方. 我们的手表时针转一周是12小时，即每小时转的度数为：3600÷12=300.这表明太阳留给人印象中的转速是时针转速的12倍. 我们看来，中午12：00的太阳在正上方偏南的位置，此时，表盘上的时针指向“12”. 把12：00这一时刻的时间折半后为6：00，若将折半后的时针位置指向太阳，则“12”的位置正好指向北方.由于太阳转速与时针转速的比值12保持不变，所以以上方法对于任何时刻都能使用. 怎么样，学会这种办法了吗？出门戴块手表，不仅能看时间，而且还能当指南针，你没想到吧. 其实，运用数学知识，能够让你发现很多奇妙之处. 就请同学们留心周围的世界吧，学会用数学的观念去认识这个貌似司空见惯的世界，相信你肯定会有许多新的收获.。