运筹学 线性规划 图解法
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
运筹学_2 线性规划图解法
约束条件
图解法求min
x2
x1
图解法求min
x2
x1
图解法求min
解与值
解位于X1+X2=800和0.21X1-0.3X2=0的交点处 X1=470.59，X2=329.41 Z=437.65元/天
不等式与等式联立的结果是一个不等式 联立可分3种情况，代入x1＋x2＝800与x1＝800 －x2；代入800，不代入任何数字 产生的不等式，相应图形也有三种情况
LP是OR最主要的组成部分之一
应用广泛：经营计划、材料配比、下料方案
小结
什么是线性规划问题 二元线性规划图解法
图解法的适用条件：因要表示在平面坐标系中，只有二 元线性规划才能用图解法 图解方法、例题 学习图解法的作用
例题
A、B两类制剂，所需原料分别为2和3个单位，需要的 工时为4和2个单位，在计划期内可以使用的原料为100 ，工时为120单位。以至利润分别为6和4个单位，求获 利的最大方案。
From Jilin Uni. OR PPT
特殊饲料的要求是至少要有30%的蛋白质和至多5%的纤维，农 场希望每天成本最小的饲料配置
图解法求min
定义变量
X1，每天玉米饲料的重量
X2，每天大豆粉饲料的重量
目标函数
min Z=0.3X1+0.9X2
X1+X2=800 总量约束 0.09X1+0.6X2 ≥0.3(X1+X2) 蛋白质约束 0.02X1+0.06X2≤0.05（X1+X2）纤维约束 X1，X2≥0 非零约束
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
运筹学线性规划的图解法
O
C
2
4
6
x1
6
3、 画目标函数图
令目标函数值为零，可得到斜率，根据斜率做一过原点的直 线。（如果可行解域在第一象限，且目标函数等值线斜率为 负）若给出问题是求最大值，把目标函数等值线平行移动到 与可行解域最后相交的点，这点就是问题的最优解；若给出 问题是求最小值，把目标函数等值线平行移动到与可行解域 最先相交的点，这点即为问题的最优解。
对应的可行解域。 3、画目标函数图。 4、判断解的形式，得出结论。
4
1、建立数学模型
max F 6x1 4x2 s.t. 2x1 3x2 10 4x1 2x2 12 x1 , x2 0
5
2、绘制可行解域
x2
5 4x1 2x2 12
可行解域为 阴影部分
OABC
A 3
B
1
2x1 3x2 10
B
x1 4
A
x2 3
C
1
x1 2x2 8
O
2
D
6
x1
19
解、移动目标函数等值线
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
x1 2x2 8
D
6
x1
20
解、目标函数等值线最终与可 行解域边线重合
x2
5
B A
1
O
2
2x1 4x2 0
x1 4
C
x2 3
x1 2x2 8
11
解、绘制可行解域
x2
x2≥0
A
可行解域为开放 区域x2ABCDx1
6
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
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s.t. -2x1+x2≤4
x1-x2 ≤2
x1，x2 ≥0
0
x1
无界不一定无最优解
x2
例如：
min z=60x1+50x2
2x1+4x2 ≥ 80
3x1+2x2 ≥ 60 x1，x2 ≥0
0
x1
x1=10, x2 =15 z=1350
4. 无可行解（可行域为空集）
模型的约束条件之间存在矛盾，建模时有错误。
(a)可行域有界 唯一最优解
(b)可行域有界 多个最优解
(c)可行域无界 唯一最优解
(d)可行域无界 多个最优解
(e)可行域无界 目标函数无界
(f)可行域为空集 无可行解
课堂作业：用图解法求解下列问题
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称 A B
克莱姆法则 如果上述线性方程组的系数行列式不等于零，即有：
a11 a1n
D
0
an1 ann
那么，上述方程组有唯一解：
x1
D1 D
, x2
D2 D
,...............xn
Dn D
其中Dj（j=1，2，……n）是把系数行列式D中的第j 列的元素用方程组的常数项代替后得到的n阶行列式.
x2 4x1=16
x1+2x2=8
Q4
Q3
3 4x2=12
•Q2(4,2)
Q1
0
4
x1
2x1+3x2=0
二、线性规划问题解的存在情况
1.存在唯一最优解
max z = 2x1+ 3x2
s.t. x1 + 2 x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1，x2 0
x2 4x1=16
x1+2x2=8
定义二:
设在矩阵中有一个不等于0的r阶子式D，并且 所有的r+1阶子式（如果存在）全等于零，那么D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩。
2．若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一个凸集。
3．若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一(如果有无穷多 的话)一定是可行域的凸集的某个顶点。
4．解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算在顶点处的目标函数值。 比较周围相邻点的目标函数值是否比这个值大，如果为否，则该顶点就是最 优解的点或最优解的点之一，否则转到比这个点的目标函数值更大的另一顶 点，重复上述过程，一直到找出使目标函数值达到最大的顶点为止。
x2
X1=10/3,x2 =4/3
Z=12.67
0
x1
线性代数基础知识补充与回顾
一、克莱姆规则
含有n个未知数x1,x2,…xn的n个线性方程的方程 组如下式所示：
a11x1 a12 x2 ..... a1n xn b1 a21x1 a22 x2 ..... a2n xn b2 .............................................. an1x1 an2 x2 ..... ann xn bn
例如：
max Z=x1+2x2
-x1-x2≥2 2x1+x2≤4 x1，x2 ≥0
x2
0
x1
三、由图解法得到的启示
图解法虽只能用来求解只具有两个变量的线性规划问题，但它的解题思路 和几何上直观得到的一些概念判断，对下面要讲的单纯形法有很大启示：
1．求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解；无穷多最优解；无 界解；无可行解。（见下页图示所示）
第一章 线性规划问题及单纯形法
线性规划问题及其数学模型 图解法 单纯形法原理 单纯形法计算步骤 单纯形法的进一步讨论
第二节 图解法
对模型中只含2个变量的线性规 划问题，可以通过在平面上作图 的方法求解。
一、图解法的步骤
1.等直线法
例 1： max z = 2x1 + 3x2
s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12
产品售价 （千元/T）
甲
乙
1
2
2
1
3
2
市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
max Z= 3x1+2x2 x1+2x2≤6 2x1+x2≤8 x2≤2 x2 -x1≤1 x1，x2≥0
Q4
Q3
3
•Q2(4,2) 4x2=12
Q1
0
4
x1
2x1+3x2=0
2.有无穷多最优解
若将例1目标函数变为 max z = 2x1+ 4x2，则问题变 为存在无穷多最优解。如图:
max z = 2x1+ 4x2
s.t. x1 + 2 x2 8
4 x1
16
4 x2 12
x1，x2 0
x2 4x1=16
x1，x2 0
1.建立平面直角坐标系； 2. 找出表示每个约束的半平面，所有半平面的交集是可行域（全体可行解 的集合）； 3. 画出目标函数的等值线 ；
4．向着目标函数的优化方向平移等值线，直至得到等值线与可行域的最后 交点，这种点就对应最优解。
max z = 2x1+ 3x2
s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1，x2 0
x2 4x1=16
x1+2x2=8
Q4
Q3
3
•Q2(4,2) 4x2=12
Q1
0
4
x1
2x1+3x2=0
2.试算法
最优解在顶点达到：
O点：X1=0, X2=0, Z=0 Q1: X1=4, X2=0, Z=8 Q2: X1=4, X2=2, Z=14 Q3: X1=2, X2=3, Z=10 Q4: X1=0, X2=3, Z=6
x1+2x2=8
Q4
Q3
3
•Q2(4,2) 4x2=12
Q1
0
4
x1
2x1+4x2=0
3.有无界解
可行域可伸展到无穷，由此目标函数值也可增大至 无穷。这种情况下问题的最优解无界。产生无界解的 原因是由于在建立实际问题的数学模型时遗漏了某些 必要的资源约束条件。
z
x2
例如：
max Z=2x1+2x2
定理一:
如果线性方程组的系数行列式D不等于零，则上 述方程组一定有解，且解是唯一的。
定理二:
如果上述方程组无解或有两个不同的解，则 它的系数行列式必为零。
二、矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵A中，任取k行与k列 (K<=m,k<=n)，位于这些行列交叉处的k 的平方个元素，不改变他们在A中所处的位 置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的 k阶子式。