第一章矩阵与数值分析
大连理工大学-矩阵与数值分析第一章上
–对C的类型系统改进和扩充(更安全)
–支持面向对象
C++保持与C兼容(快速普及) C++不是纯粹的面向对象的语言
33
1.2 程序的编译过程
34
1.3 C++的词法记号
关键字 各种常量 操作符 标识符 分隔符
35
1.4 C++程序的结构
#include <iostream.h> int main() { cout<<”this is the start of something wonderful!”; cout<<endl; cout<<”And now we can say even more!”; return 0; }
Sub1
Sub2
….
Subn
各子流程实现----函数化 Func1 Func2 …. Funcn
根据系统的流程组建软件，通过函数的调用实现
17
面向对象思想
问题域 (Domain) 以问题域中的事物为中心思考问题 Object1 Object2
….
Objectn
对象归类----抽象化 Class1 Class2 …. Classn
返回类型
{ 函数体； }
50
函数名（形式参数1， 形式参数2，。。。，形式参数
3.2 参数的传递
值调用
#include <iostream.h> double Volume(double radius,double height); int main() { double v; v=Volume(3.0,3.0); cout<<"Volume="<<v<<endl; return 0; } double Volume(double radius,double height) { double result=3.14 * radius * radius * height; return result; }
数值分析、矩阵论
数值分析讲义 GDY
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补充资料：线性代数三大正交变换 一． Householder 变换
1、2D 与 3D 中的对称变换： XOY 平面点关于 X 轴的对称变换是 x ′ = x, y ′ = − y ，用矩阵表示即
1 0 0 x ′ 1 0 x 1 0 T y′ = 0 −1 y ，称 H = 0 −1 为镜像阵，且 H = 0 1 − 2 1 [ 0 1] = I − 2 ww ， T 其中 w = [ 0 1] 为 X 轴的法线方向 法线方向（ 。 法线方向 Y 轴方向）
1 3 2 1 2
1 4 2 -1 2
-0.3536 -0.7071 T （1）取 u = (1 2 1 -1 1) ，H 变换矩阵 U1 = -0.3536 0.3536 -0.3536
-0.7071 -0.3536 0.3536 -0.3536 0.6306 -0.1847 0.1847 -0.1847 -0.1847 0.9077 0.0923 -0.0923 0.1847 0.0923 0.9077 0.0923 -0.1847 -0.0923 0.0923 0.9077 -2.8284 -1.0607 -3.5355 -4.9497 0 0.9235 0.6306 0.8918 （2） A2 = U1 A = 0 -1.5383 0.8153 0.4459 2.5383 2.1847 0.5541 0 0 0.4617 0.8153 0.4459 0 0 0 1 0 -0.1718 -0.5726 -0.8016 T （3）取 v = ( -1.0607 -3.5355 -4.9497 ) ，求得 V1 = 0 -0.5726 0.7202 -0.3917 0 -0.8016 -0.3917 0.4516 0 0 -2.8284 6.1745 0 -1.2346 -0.4240 -0.5846 -0.5601 1.2933 1.1151 （4） A3 = A2V1 = 0 -2.1312 -0.0970 -2.6403 0 0 -0.9036 0.1481 -0.4882 0 0 0 0 1 0 -0.4602 -0.2088 -0.7944 -0.3368 T （5）取 u = ( -1.2346 -0.5601 -2.1312 -0.9036 ) ，得 U 2 = 0 -0.2088 0.9702 -0.1136 -0.0482 0 -0.7944 -0.1136 0.5678 -0.1833 0 -0.3368 -0.0482 -0.1833 0.9223 0 0 -2.8284 6.1745 0 2.6826 -0.0477 2.2983 （6） A4 = U 2 A3 = 0 0 1.3471 1.5273 0 0.1077 -1.0719 0 0 0 0.2349 0.1768
矩阵与数值分析部分习题解答
其具有6位有效数字。 故
*
而
y y* zz ， 于是， y
*
1 4 1 1 k n 26 10 y y 10 10 2 2 2
y y* y z
* *
z z* z
*
0.5 104 0.5 106 59.9833 4.09407
可见，用公式 f ( x) ln x
k
k 2 k A A ( I A ) 5．证明ρ(A)＜1时，
1 注意，绝对收敛的函数幂级数 f t t 1 t , t 1，则 证明(1)： k 0 1 t k 1 k s t f t t f t kt kt 令 2 1 t 1 t 2 k 1 k 0
3 。 节点为: x1 h , x2 2h , x3 3h 4 8 8
相应的方程组为：
2 1 h 2 0 1 h 2 0 u1 h u2 1 2 2 u 3
2 先令 y x x 1 ，由于开方用六位函数表，则 y 的误差为已
知， 故应看成 z g ( y) ln( y) , 由 y的误差限
* ln( y ) ln( y )。 误差限
y y * 求g(y)的
解：当x=30时，求 y 30 302 1 , 用六位开方表得
xi a ih,
h 称为步长。
i 0,1,
,N, h
ba N
于是我们得区间 I=[a, b]的一个网格剖分。 xi称为网格节点,
h
a x0 x1
数值分析-第一章ppt课件
数及其图形作出判断. 整理版课件
6
由分部积分法可得:
Ine101xndex
n=1,2,4,6, 8,10,15
e 1 x n ex|1 0 e 1 0 1 nn 1 x ex dx
1 nn 1 I (n 1 ,2 , ).
如果取 I0 = 1–e–1 = 0.63212056 (八位有效数字).
x1,2b
b24ac 2a
直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 其中的x2=0明பைடு நூலகம்失真, 这也是由于舍入误差造成的.
整理版课件
8
§1 误差的来源
实际 问题
建立数 学模型
确定计 算方法
编程 上机
由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差
由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差
er(x* )e(x x* )x xx*
同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另
外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导,
当
|
e ( x*) x*
|
较小时,
有
e(x* )e(x* )e(x*x )* (x)
x x*
xx*
[x*[ee((xx**))2]x] *1[e(exx(**x*)]2)
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18
乘法相关的误差公式： 设 f (x1, x2)= x1 x2 . e ( x 1 x 2 ) x 2 e ( x 1 ) x 1 e ( x 2 ) e r ( x 1 x 2 ) e r ( x 1 ) e r ( x 2 ) |e ( x 1 x 2 ) | |e ( x 1 ) | |e ( x 2 ) | |e r ( x 1 x 2 ) | |e r ( x 1 ) | |e r ( x 2 ) |
张宏伟《矩阵与数值分析》第一章 绪论
第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
1．误差的基本概念和有效数字 1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，则称a x -为近似值a 的绝对误差，简称为误差． 当0≠x 时，xax -称为a 的相对误差．在实际运算中，精确值x 往往是未知的，所以常把aax -作为a 的相对误差． 2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，如果有常数a e ，使得 a e a x ≤- 称a e 为a 的绝对误差界，或简称为误差界．称ae a 是a 的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a 近似x 的程度越好，即a 的精度越好．3）．有效数字设实数x 为某个精确值，a 为它的一个近似值，写成n k a a a a 21.010⨯±=它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1( =i a i 是9,,1,0 中的一个数字，k a ,01≠为整数．如果n k a x -⨯≤-1021则称a 为x 的具有n 位有效数字的近似值．如果a 有n 位有效数字，则a 的相对误差界满足：n a a a x -⨯≤-111021。
4）．函数计算的误差估计如果),,,(21n x x x f y =为n 元函数，自变量n x x x ,,,21 的近似值分别为n a a a ,,,21 ，则)(),,,(),,,(12121k k n k akn n a x x fa a a f x x x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈-∑= 其中),,,(21n kak a a a f x x f ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有 k a n k aka n n e x fe a a af x x x f ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂≈≤-12121),,,(),,,( 如果令2=n ，设21,x x 的近似值分别为21,a a ，其误差界为111a e a x ≤-和≤-22a x 2a e ，取),(21x x f y =为21,x x 之间的四则运算，则它们的误差估计为，1121a a a a e e e +≈±；112121a a a a e a e a e +≈⋅；22211121a e a e a e a a a a +≈，02≠a 。
矩阵与数值分析
矩阵与数值分析学院电子信息与电气工程学部专业生物医学工程班级学号姓名刘江涛1：考虑计算给定向量的范数；输入向量T n x x x x ),,,(21 =，输出∞x x x ,,21，请编制一个通用程序，并用你编制的程序计算如下向量的范数：()TTn y n x ,,2,1,1,,31,21,1 =⎪⎭⎫ ⎝⎛=对1000,100,10=n 甚至更大的n 计算其范数，你会发现什么结果？你能否修改你的程序使得计算结果相对精确呢？通用求范数程序： function NORM(x) y1=sum(abs(x)); y2=(sum(x.^2))^(1/2); y3=max(abs(x));fprintf('1-范数=%g ； 2-范数= %g ； inf-范数=%g\n',y1,y2,y3); 例题的运行程序： function xianglaing(n) x=[]; y=[]; for i=1:n x(i)=1/i; y(i)=i; enddisp('x 的范数：'); NORM(x'); disp(' ')disp('y 的范数：'); NORM(y'); 运行结果如下表：根据上述的两个表的运行结果，我们可以得知无论n 的值如何变化，对于1=∞x 恒成立；n y =∞恒成立，其1-范数与2-范数随着n 的增大而增大，但是其变化越来越小，这是因为计算在进行数值计算时有误差存在，对于表达式(1)当n 很大时n1却很小，会出现“大数吃小数的现象”；修改方案：当n 很大时我们避免用n 做除数，因为当n 非常大时01→n成立；所以在求解其范数时我们从小数开始相加，无穷个非常小的数值相加也可能是个很大的数，从而可以避免两个数相加时出现“大数吃小数”的现象；2：考虑xx x f y )1ln()(+==，其中定义1)0(=f ，此时)(x f 是连续函数，用此公式计算当]10,10[1515---∈x 时的函数值，画出图像。
数值分析第一章1.3范数
A R ，令 A max X 0
nn
AX X
r
r
, ( r 1, 2, ),
r 则 为 与n 相容的范数，记为 。 A r Rn
称其为由向量范数诱导的矩阵空间的算子范数。
证明：1、向量范数与其诱导的矩阵空间的算子范数相容 证、 A R nn、Y R n , Y 0,
2
二、矩阵的范数 定义2 定义映射 ：R nn R, A A ，若满足： 1、 A
0, A 0 当且仅当
A 0;
2、 aA a A , a R, A R nn ;
nn 3、 A B A B , AB A . B , A, B R ,
n
2
2 2 x12 x 2 x n 0;
2
i1 axi
n
2
a
xi2 a X 2 ; i 1
n
（3）易见，X
2
X T X , 由Cauchy-Schwarz不等式
( X T Y ) 2 ( X T X )(Y T Y )
X Y
2 2
(X Y) (X Y) X
2、(齐次性).任意 a R ,有 aX a X ; 3、(三角不等式). X Y X Y 。 将向量模的概念加以推广，便得到向量范数概念。
定义1 定义映射 ① ② ③
: R n ，若满足条件： R, X X
X 0;
X 0当且仅当 , X 0
aX a X , a R, X R n ;
X Y X Y , X ,Y Rn ,
n 则称其为 R上的一种范数。
最常用的如下三种向量范数： X x1 , x2 ,, xn T R n
[理学]矩阵与数值分析-第1章li-Chapter1
![[理学]矩阵与数值分析-第1章li-Chapter1](https://img.taocdn.com/s3/m/4ae22bd8c8d376eeaeaa31f9.png)
什么是有效算法？
考察，线性方程组的解法
⎧a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ M ⎪ ⎪ ⎩an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn
早在18世纪Cramer已给出了求解法则：
2001. 数值线性代数，徐树方、高立、张平文，北京大学出版 社，2000. 数值逼近，王仁宏，高等教育出版社，1999. 数值逼近方法，南京大学数学系计算数学专业编，科学出 版社，1978. 微分方程数值解法，李荣华、冯果忱，高等教育出版社， 1996. 微分方程数值方法，胡健伟、汤怀民，科学出版社，1999. 矩阵分析引论，罗家洪、方卫东，华南理工大学出版社， 2006. 矩阵分析，同济大学应用数学系，同济大学出版社，2005.
本课程的成绩考核标准
1、平时的课后作业 2、数值试验报告 (Matlab,C) 3、期末考试 ≈ 70%
课程网站 /numerical/
≈ 30%
第1章
绪
论
1.1 计算机科学计算研究对象与特点
科学计算、理论计算和实验并列为三大科学方 法。现代意义下的计算数学主要研究在计算机上计 算的有效算法及其相关理论，从而使它成为一门新 学科——科学计算。
矩阵与数值分析
大连理工大学工科硕士研究生基础学位课程
李崇君
(主讲) 作者：张宏伟、金光日、李崇君 大连理工大学数学科学学院
从一个小例子开始
问题: 在一个正方形的桌面上(边长为a), 分别在四个角有 四只小虫,它们同时向着逆时针方向的另一只小虫移动, 求 它们的运动轨迹.
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21！（约9.7×1020次）
使用每秒一亿次的串行计算机计算,完成运算耗时约30万年!
Cramer算法是“实际计算不了”的。为此，人们研究出著 名的Gauss消去法，它的计算过程已作根本改进，使得上述 例子的乘、除运算仅为3060次，这在任何一台电子计算机上 都能很快完成。
这是由于
x a x a x a2
a
x
ax
a
(x a)2
a x
a
x
a
a
2
1
1 xa
x
a
2
a
a
是 x 的a平方项级，故可忽略不计。
a
相对误差也可正可负，其绝对值的上界叫做相对误差界
（限）。 当绝对误差界为 e时a ，相对误差界取为
ea
相对误差界（限）
a
例1 已知 e 2.71828182 ,其近似值 a 2.718,求 a
1.2.1 误差来源与分类
用计算机解决科学计算问题时经常采用的处理方式是将连 续的问题离散化、用有限代替无限等，并且用数值分析所处理 的一些数据，不论是原始数据，还是最终结果，绝大多数都是 近似的，因此在此过程中，误差无处不在．误差主要来源于以 下四个方面：
实际问题
模型误差
计
算 机 科 学 计Βιβλιοθήκη 数学模型主要内容包括：
数值代数
Ax b
f x 0
数值逼近 微分方程数值解法
f x f x
b
a
x
f
x
dx
u f t, u, ut0 u0
具体任务： 一、构造在计算机上可行的有效算法。 二、给出可靠的理论分析：进行误差分析，讨论数值算法的 收敛性和数值稳定性。
三、讨论数值算法的时空复杂性：既要时间复杂性好（指节 省时间），又要空间复杂性好（指节省存储量）。这也是建立 算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。
四、进行数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足 上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
什么是有效算法？
考察线性方程组的解法
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 ann xn bn
早在18世纪Cramer已给出了求解法则：
即
也可以表示为
a ea x a ea , x a ea .
但要注意的是，绝对误差的大小并不能完全表示近似值的 好坏.
定义 若 x ，0 则将近似值的误差与准确值的比值
xa x
称为近似值 a的相对误差。
相对误差（误差）
实际计算中， 如果真值 x未知时， 通常取
xa xa
x
a
作为 a的相对误差， 条件是 x 较a小。 a
a 是 x的近似值， 它的误差限是 0.5m，m 于是
x a 0.5mm.
绝对误差界（限）
如读出的长度为 765m ，m 则知 x 765 . 0.5 虽然从这个不等式不能知道准确的 是x多少，但可知
764.5 x 765.5, 结果说明 x在区间 [764.5, 内76.5.5]
对于一般情形 x a， ea
随着科学技术的发展，出现的数学问题也越来越多样化，有 些问题用Gauss消去法求解达不到精度，甚至算不出结果，从 而促使人们对Gauss消去法进行改进，又出现了Gauss主元 消去法，大大提高了消去法的计算精度。
寻求新的数值方法----计算机科学计算生命力的来源。
1.2 误差分析与数值方法的稳定性
xa
绝对误差（误差）
为近似值的绝对误差，简称误差。 误差 x 可a正可负。
通常准确值 是x未知的， 因此误差 x 也a未知。
定义 ea ,使得
设 x为精确值， a为 x的一个近似值，若有常数 绝对误差界（限）
x a ea
（1-13）
则 e叫a 做近似值的误差界（限）。
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 ，x读出和该长度接 近的刻度 ，a
矩阵与数值分析
大连理工大学工科硕士基础课程 任课教师：金光日（1班）
计算机科学计算
（第二 版）
张宏伟 金光日 施吉林 董波 编 高等教育出版社
课程须知
• 学时：48 • 学分：3 • 基础：微积分、线性代数、程序设计语言
（建议掌握 Matlab 或 C 语言）
• 环节: 课堂授课 + 课外上机实验 • 考核：期末考试70%；
平时作业20%； 数值实验10%.
第1章 绪 论
1.1 计算机科学计算研究对象与特点
科学计算----现代意义下的计算数学，主要研究 在计算机上计算的有效算法及其相关理论。
科学计算、理论计算和实验----三大科学方法。
计算数学-----研究用计算机求解各种数学
问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
截断误差或称为 方法误差
算 的
数值计算方法
流 程
观测误差
图
编程实现算法
计算机数值结果
舍入误差
模型误差和观测误差不在本课程的讨论范围。 这里主要讨论算法的截断误差与舍入误差，而截断 误差将结合具体算法讨论。
观测误差通常也归结为舍入误差。
1.误差的基本概念
定义 设 x为精确值， a 为 x的一个近似值， 称
当准确值 位x数比较多时，常常按四舍五入的原则取
x的前几位得到近似值 ，a 例如
取3位 取5位
x π 3.14159265
a1 3.14, a1 0.00159265 a2 3.1416, a2 0.00000735
它们的误差界的一种取法：
π 3.14 1 102 , π 3.1416 1 104.
Cramer’s Rule
xi
Di D
,
i
1
，…
，n
（D≠0）
D detA
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 b1 a1n
a21 b2 a2n
Di detAi
an1 bn ann
从理论上讲Cramer法则是一个求线性方程组的数值方法， 且对阶数不高的方程组行之有效。但是理论正确的数值方法在 计算机上是否实际可行呢？
的绝对误差界和相对误差界。
解：e a 0.00028182 ，因此其绝对误差界为： e a 0.0003
相对误差界为： e a 0.0003 0.0001110375 0.0002。
a 2.718
此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并 不是唯一的。我们要注意它们的作用。
误差界的取法