巧用三角换元法
巧用三角换元 破解一类数列最值问题
可 得 aio = 代入
5-45^
10
整 理 得 (1352 + 452)rf2 - 360必 + 2S2 -1000 = 0 • 由关于的二次方程有实根可得 A = 36025 2 - 4(1352 + 452)(25-2 -1000) > 0 , 化 简 可 得 炉 <2500 , 则 S U O , 故 选 B . 评注本题考查等差数列的通项公式和求和公 式及不等式解法等知识，涉及转化与化归及函数与 方 程 思 想 .笔 者 将 此 题 作 为 考 试 题 让 学 生 做 ，结果 全 班 4 4 位同 学 做 对 3 位 ， 得 分 率 仅 为 6 . 8 % . 究其原 因 ，发现学生的困难点有二，一是很难转化到二次 方程有根的问题模型， 即A 法； 二是答案给出的消元 方法导致运算相对较为繁琐. 而实际上只需将条件 和目标都转化为关于巧与^的关系再消去 t 运算就
2017年第8 期
福建中学数学
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2 - 2) ， 因
k1■ ，故 只 需 分 7 ■与7 ，即 e k <1 q k >1 q
与一般思想” 的理解与应用，平时教学与高三复习都 应予以足够的重视.
h e * 2与 l ^ < e2讨论即可，轻松快捷.
在数学全国卷中， 经常会设置一些具有“ 一般性” 特征的试题，以此考查学生对“ 特殊化方法” 与“ 特殊
A . [1,2] C . [1,5]
)
D . 40
C . 45
试卷给出的解答过程如下. 解析设等差数列的公差为, 因为 =10,
U ffiS1= a1 0 +an +••■«!, =10a1 0 +45rf ,
利用三角换元法证明一类不等式
利用三角换元法证明一类不等式江苏省高级中学 222300 孟剑卫在证明不等式的时候，题目中往往会给我们一些变量之间的关系：(),,f a b c ，利用这些关系可以找到解答该题的方法,而这些关系有一些是以三角函数为背景的，如果能一眼看出来，只需要作适当的三角变换，那证明就简单多了。
下面是今天要用到的三角函数中的等式关系及不等关系()A B C π++=：22442222222221:sin cos 1.........................2:sin cos sin cos 3:sec csc sec csc .......4:cos cos cos 12cos cos cos 5:tan tan tan tan .tan .tan 6:cot .cot cot .cot cot .cot 1tan 7:A B C A B C A B C A B C A B B C C A θθθθθθθθθθ+=-=-+=++=-++=++=tan tan tan tan tan 1cot cot cot cot cot cot 8:tan cot tan cot tan cot 1A B B C A CA B B C A C A A B B C C +++++=+++===31:sin sin sin cos2cos2cos2222:sin .sin .sin :cos .cos .cos 222135:cos .cos .cos ..............6:cos cos cos 827:tan tan tan 8:tan tan tan 0A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C ++≤++≥-≤≤≤++≤++≥++<或 先看一个例题：3,,,2a b c a b c abc ++=++≤例1：设正数满足 先看看比较流行的解法：()(()()()()1113,,,12312+11=2212a b c a b c abc xy yz zx x y z xy yz zx x x y x z xx x x y x z x y x z x y y y y z y x ===++=++=++≤++=+≤++⎡⎤⎛⎫⎣⎦≤+ ⎪+++++⎝⎭⎛⎫≤+≤⎪++⎝⎭设由知:将又12z zz x z y ⎛⎫+⎪++⎝⎭将上面三个式子相加即可。
三角换元解解析几何
三角换元解解析几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角换元解解析几何，是指利用换元法对三角形相关问题进行求解的方法。
在解析几何中，三角形是一个非常重要且常见的几何形状，其性质和定理牵涉广泛，因此掌握三角换元解解析几何方法对于解析几何的学习具有重要意义。
首先，我们需要了解什么是三角换元。
三角换元是指将一个三角形中的一些变量用其他变量表示出来，通过代入新的变量并整理方程，解决三角形相关问题的方法。
在解析几何中，常见的换元方法有正弦定理换元、余弦定理换元、海伦公式换元等。
举个例子来说明三角换元解解析几何的应用。
假设我们需要求解一个三角形的面积，但是已知的条件只有三边的长度a、b、c，这时可以利用海伦公式进行换元。
海伦公式可以表示为：\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]其中，\(s = \frac{a+b+c}{2}\)为半周长。
我们可以将海伦公式中的\(s\)用\(s = \frac{a+b+c}{2}\)进行替换，代入a、b、c的值，最终求得三角形的面积。
另一个例子是通过正弦定理换元求解三角形的高。
正弦定理可以表示为：\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]如果我们需要求解三角形的高h，可以先假设三角形的高为h，那么h与三角形的底边a、对边A之间存在如下关系：\[h = a \sin A = b \sin B = c \sin C\]通过正弦定理换元，我们可以将三角形的底边a、对边A用高h表示出来，从而求解出三角形的高。
三角换元解解析几何的方法还可以应用在诸如三角形内切圆、外接圆、高角线等相关问题的求解中。
例如，在研究三角形的内切圆时，我们可以利用三角换元方法将内切圆的半径r与三角形的周长P、半周长s之间建立联系，然后通过代入、整理方程求解出内切圆的半径r。
总的来说，三角换元解解析几何是解析几何中一种重要的解题方法，通过将三角形中的各种变量进行换元，可以将问题简化并得到解答。
换元法在三角函数中的应用
- 1 - 换元法在三角函数中的应用江苏省盐城市龙冈中学（224011） 陈建权换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后,返回去再求出原变量的结果。
换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的。
高中数学中换元法的类型有：三角代换、整体代换、对偶代换、几何代换、均值代换及“1”的代换等。
其中以三角代换最为常用，尤其是在三角函数这一章，由于三角换元本身与三角函数不可割舍的联系，使得换元法在这一章显得特别活跃，在解题中常常有意想不到的收获。
一、三角代换例1．设三角形三边a 、b 、c 满足a 2 + b 2 = c 2。
求证：当n ≥3且n ∈N 时，a n + b n < c n 。
证明：设a = ccos θ，b = csin θ，0 < θ< 2π，∵0< cos θ<1且 n ≥3，∴ cos n θ≤cos 3θ< cos 2θ，同理sin n θ< sin 2θ，则a n + b n = c n (cos n θ+sin n θ)< c n (cos 2θ+sin 2θ)= c n 。
一般地，对条件a 2± b 2= r 2，a ±b = 1，常可考虑三角代换。
例2．判断函数f(x)=111122+++-++x x x x 的奇偶性。
此题在函数奇偶性判断中非常常见，但由于f(x)的表达式较为复杂，化简又相当不便，因而不少学生易作出错误的判断。
解：由条件知x ∈R ，故可设x = tg α，α∈（-2π，2π），则- 2 -f(x)=111122+α+α+-α+α+tg tg tg tg = 1|sec |1|sec |+α+α-α+αtg tg ，∵α∈（-2π，2π）， ∴ sec α= αcos 1> 0，∴ f(x)= α+α+α-α+cos sin 1cos sin 1=)2sin 2(cos 2cos )2cos 2(sin 2sinα+ααα+αα = tg 2α = tg 2arctgx ，∴ f(-x)= tg 2)(x arctg - = tg 2arctgx -= - tg 2arctgx = -f(x)，故f(x)为奇函数。
三角换元法的应用
三角换元法的应用
三角换元法(Triangle Transposition)是一种不断改变矩阵行列位置，实现行列位置互换，达到求解线性方程组的数学技巧。
一、什么是三角换元法
三角换元法是一种不断改变矩阵行列位置，实现行列位置互换，达到
求解线性方程组的数学技巧。
它主要利用矩阵的三角函数算法，即某
行元素乘以系数，加到另一行，将等式中的未知数移入单元格的操作，将方程转换为特殊的三角形矩阵形式，最终实现对矩阵的行列互换，
从而求出解向量。
二、三角换元法求解线性方程组的步骤
（1）建立一维线性方程组；
（2）确定一个行或者一列作为变换基，在此基上把矩阵按照未知数把
其分为三角形两半；
（3）按照Aij×xj=bi要求，将右边未知数xi移到适当的单元格中；（4）对明了的三角形（上三角）应用乘法与加法运算，以得出矩阵的
另一部分的一个三角形应用子上三角形的逆变换，得出最终的三角形；（5）根据线性方程组未知数的计算公式给出未知数解向量。
三、三角换元法的应用
三角换元法可以用于求解线性方程组，也可用于求解着色问题、拓扑
排序、二次规划等问题。
1、命题推理问题求解：利用三角换元法，利用程序模拟，可以实现让机器去求解命题推理问题。
2、着色问题求解：把图的染色问题转换为线性方程组，然后通过三角换元法求解线性方程组，从而求出图的染色方案
3、拓扑排序：把拓扑排序问题转化为线性方程组，然后利用三角换元法求解线性方程组，从而得出有效的拓扑排序
4、二次规划：把二次规划问题转换为线性方程组，利用三角换元法求解线性方程组，从而找出二次规划的最优解。
巧用三角换元法求解一类二元最值问题分析
2024年第6期教育教学SCIENCE FANS 巧用三角换元法求解一类二元最值问题分析战景林（中国人民大学附属中学，北京 100080）【摘 要】文章采用理论分析与案例教学结合的方法，深入分析三角换元法在解决特定类型的二元最值问题上的应用，详细阐释三角换元法的基本原理和具体教学实践。
在教学实践部分，以难度逐渐提升的习题为例，分别进行基础、进阶和拓展教学的案例分析，探索三角换元法在不同层次教学中的应用。
研究结果表明，三角换元法在处理某些类型的二元最值问题时，不仅能提供清晰直观的解决方案，还能加强学生对相关数学概念的理解和应用。
【关键词】高中数学；三角换元法；拓展教学；解题技巧【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2024）06-0031-03二元最值问题是高等数学和工程领域中的一个核心问题，其解决方法多样，包括传统的微分法和各种几何或代数方法。
近年来，三角换元法因其在处理某些类型问题上的独特优势而受到关注。
本文的目的是通过理论分析和教学实践，深入探讨三角换元法在解决特定类型的二元最值问题中的应用。
1 数学基础回顾在高中数学领域，最值问题探讨的是函数在特定区域内的最大或最小值，是微积分和优化理论中的核心议题。
特别是对于二元函数，其极值条件不仅涉及导数为零的点，还包括边界点和不可导点。
三角函数以其周期性和波动特性，常在最值问题中扮演重要角色。
如sin和cos函数的周期性质经常用于化简复杂表达式，进而揭示函数的内在变化规律。
换元法在最值问题中尤为重要，其可以通过变量替换简化问题，特别是当函数涉及复杂的代数结构或不规则的几何形状时，适当的换元，如采用三角换元，可以将原问题转化为更易解的形式[1]。
通过三角换元，可以有效地利用三角函数的性质简化问题的求解过程，尤其在二元函数极值问题中展现出突出的效果[2]。
因此，了解这些数学基础并掌握它们在最值问题中的应用，对于解决更复杂的数学或工程问题至关重要。
三角换元法，巧解高考题
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而在我们的实际教学中我们是不是在完成数学
知识的教学过程中利用数学思想方法去指导数学教 学和数学解题在数学教学和解题的过程中去落实核 心素养的培养呢 于是就有了新的理解数学知识教 学是根本 是 载 体数 学 思 想 方 法 是 工 具数 学 核 心 素 养是目的!
参考文献 *!+张 文 贵!数 学 思 想 方 法 与 数 学 学 科 核 心 素 养 的 关
关键字换元,三角,参数范围,最值
! 引言
三角换元在代数和几何中都有广泛的应用!通过 换元可以减少未知元的个数和幂次!从而使复杂式子 简化达到解题的目的!
" 考题示例
例!%#(#!年全国理科数学乙 卷 第!!题&设 7
公式法凑角法换元法
凑角虽巧,换元更妙湖北省郧县第一中学（442500） 郑传根在三角公式的应用中，有一类题型是给值求值,这是三角中的一个重点题型,其形式多样,变化多端.学生在解这类题时常常因为找不到恰当的方法而致错,也因此而烦恼.本文旨在通过例题说明给值求值问题的不同解法，感受凑角法之巧,体会换元法之妙!供同学们学习或教师教学参考.一.公式法利用已知条件、和差公式及同角三角函数的基本关系式，列方程组求出待求的三角函数值，是一种基础而常规的方法.例1在△ABC 中，已知cosA =135，sinB =53，则cosC 的值为…………（A ） A 6516 B 65 C 65566516或 D 6516- 解：∵C = π - (A + B) ∴cosC = - cos(A + B)又∵A ∈(0, π) ∴sinA =1312 而sinB =53 显然sinA > sinB ∴A > B 即B 必为锐角 ∴ cosB = 54 ∴cosC = - cos(A + B) = sinAsinB - cosAcosB =651654135531312=⨯-⨯43,(0,),cos ,cos(),sin .255παβααββ∈=+=例2 已知求2243),cos sin .55433cos sin ,,sin 1.555cos sin 1.7(0,),sin .225παααββββββπββ∈==⎧-=⎪=-⎨⎪+=⎩∈∴=Q 解:由(0,得2根据两角和的余弦公式与完全平方公式得7解得sin =或25 二.凑角法当所给角与待求值的角都较复杂时,公式法要么很繁,要么无法解答,这时用凑角法显得巧而有效.3312,(,),sin(),sin().45413).ππαβπαββπα∈+=--=例3 已知求sin(+4333:,(,),(,2),(,).42424πππππαβπαβπβ∈∴+∈-∈Q 解45cos(),cos().5413παββ∴+=-=-()sin()sin 44ππααββ⎡⎤⎛⎫∴+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =sin()cos()cos()sin()44ππαββαββ+--+- =3541233().51351365-⋅--⋅=- 显然,此例如果再用常规的方法,会有不甚其繁的感觉,因而不再使用常规法,而直接采用凑角法.βπαπααπββαβ∈∈12例4 已知cos(-)=-,(,).sin(-)=,(0,).292232求cos(+)的值.2:(,),(0,),.22422212cos(),sin().sin(),cos()29232923cos cos[()()]222cos()cos()sin()sin()222227239cos()2cos 1.2729πππβπαπαπβαπββαβααβαβαββααββαβααβαβαβαβ∈∈<-<<-<-=--=∴-=-=+∴=---=--+--=+∴+=-=-解由得-4且 三.换元法当待求角与已知角的关系较隐蔽时,你又会有凑角不便之感.这时不妨用换元的方法来简化.3335,cos(),sin().445413sin().ππβαπαπβαβ<<-=+=+ 例5 已知0<<4求 ,3512cos ,sin ,,cos .51313παθπβϕθϕθϕ+==∴=-3解:设-=,=由条件知444sin =-5 3sin()sin()cos()44παβθϕπϕθ∴+=-+-=-- (cos cos sin sin )ϕθϕθ=-+ 56.65= 显然，换元之后，凑角中的逆思考变成了顺思考和推理，降 低了难度.(1)1b a ππθθθθ- 例6 设sin2=a,cos2=b,0<<,给出tan(+)值的44a 1+b 1+a 四个答案:;(2);(3);(4).其中正确的序1-b a b号是_________.:.sin ,cos .a b αθαθαα== 解令2=,则=2sin()22tan()tan()tan .424211cos()2b aππααπαπθπα++∴+=+===-++1cos()122tan()tan()tan .4242sin()2a b ππααπαπθπα+-+++=+===+或所以答案为（1）（4）.tan 6.2ααβ-⋅=-例7 已知tan 2(1))7cos 0;(2)2ββαααβ+=求证:5cos(-若tan =2,求cos(-).22:(1),,2,22.22ααβθϕαθβθϕ-====-解证令则 tan tan 6,sin sin 6cos cos 0.θϕθϕθϕ∴⋅=-+=即5cos()7cos 22ββα∴-+5cos()7cos()θϕθϕ=++- 12cos cos 2sin sin 0.θϕθϕ=+=(2)tan 2,tan 2,tan 3.2αθϕ=∴=∴=-Q 22221tan 1(3)4cos()cos2.1tan 1(3)5ϕαβϕϕ---∴-====-++-由此可见，虽然凑角可以很巧地解决求值问题，但换元更有化繁为简、化逆为顺的作用.在实际解题时采用那种方法要因人而宜、因题而宜.同时有两点要注意:(1)我们在体会使用凑角法、换元法的同时,也不要忘记常规方法.如例4中的凑角易错,换元又不易想到,这时使用常规的方法也不失为一种好方法.(2)换元法的要领是,将已知条件中的角换元,再将待求值的角用新未知元来表示,然后用三角公式求解.。