巧用换元法解数学题

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4 例析利用换元法解题题型高中常用数学方法的介绍例析体验练习

【学生版】例析利用换元法解题题型解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。

其实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

所谓换元法：又称辅助元素法、变量代换法；就是通过引进新的变量，改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法。

换元法可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路；换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。

换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何中广泛应用；换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。

换元的种类有：等参量换元、非等量换元。

一、利用局部换元，实现简化又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例1、设函数3x 4x )x (f 2+-=，23)x (g x-=，集合}0))x (g (f x {M >=，}2)x (g x {N <=，则N M 为（）A ．),1(∞+B ．)1,0(C ．)1,1(-D ．)1,(-∞ 【提示】【解析】【评注】例2、设对一切实数x ，不等式2222224(a 1)2a (a 1)x log 2x log log 0a a 14a ++++>+恒成立，则a 的取值范围为__________例3、设0a >，求：2a 2x cos x sin )x cos x (sin a 2)x (f -⋅-+=的最大值和最小值。

巧用换元法解(证)数学题

在遇到形如ｘｙＳＳ为常数）情形时，们＋＝（的我
可设：Ｓ＋￡
，
（＋＋）３。３，＋）３ｍ — ［＋）（＋）＋ｃｍｎ＝ｃｃ（ｎ＋ｃｎｃ（，ｃｎ２＋ｃ几＋］
（ — ）ｃｒ（ｎ２ｃ（，ｎ＝ｃｎｃ＋／ｎ［＋）ｃ）—２＋＋）３ｍ — （ｎ）ｎ（ｎ一＋】ｃｎ＋（－）ｃ，＋，一］ｃｍ－ｍｎ）２ｍｎ２ｍｎ［（ — ）（）［ｎ（％（ — ）２ｎ＝３＋】＋
元，免了对结构内部细节的纠缠。解题思路简避使洁明了，这正是局部换元的优势所在．
５ｉ（＋）以当＜５时已知不等式恒成立．ｓＯ￣．ｎｐ所一小结本题利用三角换元．代数问题（将解析
高考模拟题
是问题就变成熟悉的求三角函数值域的问题．如又
解由已知有ｆｘ＝（ｃｓ一）（一ｏ２）（）２２ｏ２１＋１ｃｓ一ｘｘ
４ｏ＝ｃｓ－ｃｓ－．ＣＳｔ贝 ∈［１１，ｃｓ３ｏＺ４ｏ１ｘｘｘ令Ｏ＝，０ｔ－，］于
解根＋＝可孚＝据１设ｃ，，。ｓ牛＝口＝＋ｎ将上述等式代人不等式ｓ０Ｉｌ４Ｏｉ，ｘ＋ｏｎｖ１ｓ，：３一ｃｓｉ
．
ｘｙｋ０得３ｏ＋ｓ一＞，ｋ３ｏ＋ｓ＝＋— ＞。ｃｓ４ｉ０ｋ０即＜ｃｓ４ｉＯｎＯｎ

换元法专题含答案

的斜率为，是坐标原点．（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，当
的面积最大时，求直线的方程．
14. 已知椭圆 t
t 的离心率为，左焦点到点区的距离为 t．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，则
内切圆的面积是否存
在最大值?若存在，求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由．
t
区． t
在 t区 t 上恒成立，
即：
t
t 在 t区 t 上恒成立，令
，则
log ．
第 15页（共 38 页）来自 QQ 群高中数学解题研究会 339444963
t
t
t
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t
在
区t 时恒成立，所以
t
因为 t，所以 t
，所以 t

所以 t
，
t
，
min
，
所以
，
t min
所以
．
5. （1）因为
，
所以 sin sin⸷，
16. 已知椭圆㌱： t
t 的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为的正方形．
（1）求椭圆㌱的方程；
（2）过点区t 的直线与椭圆㌱相交于，⸷ 两点，且点
别为，，当
取最大值时，求直线的方程．
区，记直线， ⸷ 的斜率分
第 5页（共 38 页）来自 QQ 群高中数学解题研究会 339444963
（1）求椭圆㌱的方程；（2）设过点的动直线与椭圆㌱相交于，两点，当
程．
的面积最大时，求直线的方
29. 已知函数（1）若函数（2）若

初中数学专题训练换元法解题方法练习及试题解析

专题02 换元法【规律总结】换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

【典例分析】例1、已知方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解是{a =8.3b =1.2，则{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9的解是：（）A. {x =8.3y =1.2B. {x =10.3y =2.2C. {x =6.3y =2.2D. {x =10.3y =0.2【答案】D 【解析】【分析】本题考查了换元法和二元一次方程组的解，掌握其解得定义是解题的关键．根据换元法先令x −2=a ，y +1=b ，再根据二元一次方程组的解，得x −2=8.3和y +1=1.2，即可求得x 与y 的值．【解答】解：令x −2=a ，y +1=b ，则方程组{2(x −2)−3(y +1)=133(x −2)+5(y +1)=30.9, 可化为：{2a −3b =133a +5b =30.9，∵方程组{2a −3b =133a +5b =30.9的解为{a =8.3b =1.2，∴{x −2=8.3y +1=1.2, ∴{x =10.3y =0.2．故选：D ．例2、已知(2016+a)(2018+a)=b ，则(2016+a)2+(2018+a)2=_________________(用含b的代数式表示)【答案】4+2b【解析】1.【分析】本题考查了完全平方公式和整体代入法的思想，灵活使用整体代入法是解本题的关键．令2016+a=x，2018+a=y，将原式化为(x−y)2+2xy，即可求解．【解答】解：令2016+a=x，2018+a=y，则(2016+a)(2018+a)=xy=b，(2016+a)2+(2018+a)2=x2+y2=(x−y)2+2xy=(−2)2+2b=4+2b；故答案为4+2b．例3、【阅读材料】若x满足(80−x)(x−60)=30，求(80−x)2+(x−60)2的值．解：设(80−x)=a，(x−60)=b，则(80−x)(x−60)=ab=30，a+b=(80−x)+ (x−60)=20，所以(80−x)2+(x−60)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340【解决问题】(1)若x满足(2019−x)2+(2017−x)2=4042，求(2019−x)(2017−x)的值；(2)已知a1,a2,a3,...a2015均为负数，M=(a1+a2+...+a2014)(a2+a3+...+a2015)，N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，比较M与N的大小关系并说明理由；(3)如图，正方形ABCD的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD的面积是5，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积为多少？直接写出答案.(结果必须是一个具体的数值)．【答案】解：(1)设(2019−x)=c,(2017−x)=d，则c−d=(2019−x)−(2017−x)=2，(2019−x)(2017−x)=cd，∴(2019−x)2+(2017−x)2=c2+d2=(c−d)2+2cd=4042，即22+2cd=4042解得：cd=2019，即(2019−x)(2017−x)=2019；(2)设x=a1+a2+⋯+a2014，y=a2+a3+⋯+a2015，则M=xy，2，N=(x+a2015)(y−a2015)=xy+a2015(y−x)−a2015M−N=a2015(y−x−a2015)=−a1a2015由于a1,a2,a3,...a2015均为负数所以−a1a2015为负数，则M−N=−a1a2015<0，M<N；(3)由题意得：(x−1)(x−2)=5，设x−1=a，x−2=b，则ab=5，a−b=1，∴(a +b )2=(a −b )2+4ab =21．则阴影部分的面积为21．【解析】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，熟练掌握完全平方公式．(1)模仿例题，利用换元法解决问题即可．(2)设x =a 1+a 2+⋯+a 2014，y =a 2+a 3+⋯+a 2015，则M =xy ，N =(x +a 2015)(y −a 2015)=xy +a 2015(y −x)−a 20152，M −N =a 2015(y −x −a 2015)=−a 1a 2015由于a 1,a 2,a 3,...a 2015均为负数，所以−a 1a 2015为负数，则M −N =−a 1a 2015<0，最后得M <N ； (3)模仿例题，利用换元法解决问题：由题意得：(x −1)(x −2)=5，设x −1=a ，x −2=b ，则ab =5，a −b =1，得出(a +b )2=(a −b )2+4ab =21．【好题演练】一、选择题1.设a 、b 是实数，且11+a −11+b =1b−a ，则1+b1+a 的值为( )．A. 1±√52B. ±1±√52C. ±3−√52D. 3±√52【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．先设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ，整理得，y 2−3xy +x 2=0，方程两边同除以x 2，解关于yx 的一元二次方程即可．【解答】解：解：设1+a =x ，1+b =y ，则b −a =y −x ，原方程可化为1x −1y =1y−x ，整理得，y 2−3xy +x 2=0，两边同除以x2，得(yx )2−3(yx)+1=0，解得yx =3±√52，即1+b1+a 等于3±√52，故选D．2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1a+1+1b+3+1c+5=0，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为()．A. 125B. 120C. 100D. 81【答案】C【解析】【分析】本题考查换元法和整体代入法，巧妙利用换元法是解题的关键.首先令a+1=x，b+3=y，c+5=z，分别求出x+y+z和xy+yz+xz，然后所求代数式即为x2+y2+z2，整体代入可求出值．【解答】解：令a+1=x，b+3=y，c+5=z，∵a+b+c=1∴x+y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10，又1a+1+1b+3+1c+5=0则1x +1y+1z=0，∴xy+yz+xz=0，∴(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2=x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+xz)=102=100．故选C．3.已知(x−2015)2+(x−2017)2=34，则(x−2016)2的值是()A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及换元法．将x−2016设为t，则x−2015=t+1，x−2017=t−1，代入原方程中，可得到关于t 的方程，进而求解。

换元求解的技巧

换元求解的技巧换元求解是一种常用于解决复杂微积分问题的技巧。

它通过引入新的自变量来简化原始方程，并将其转化为更易求解的形式。

在本文中，我将介绍一些常见的换元求解技巧及其应用。

一、代数换元法1. 简单代数换元法简单代数换元法是将问题中的某个自变量用一个新的变量表示，从而简化方程的形式。

例1：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(a + b)。

解：令u = a + b，那么a + b = u，代入方程中得f(u) = 2u + 3。

2. 三角代数换元法三角代数换元法是将三角函数中的角度用一个新的角度表示，从而简化方程的形式。

例2：已知函数 f(x) = sin(2x) + cos(2x)，求 f(π/6)。

解：令u = 2x，那么2x = u，代入函数中得f(u) = sin(u) + cos(u)。

由于要求 f(π/6)，所以把 u = 2x = π/3 代入函数中得到 f(π/6) = sin(π/3) + cos(π/3)。

二、三角换元法三角换元法是将一个复杂的三角函数用一个较简单的三角函数表示，从而简化方程的形式。

例3：求解积分∫(x^2)/(1+x^4) dx。

解：引入换元变量 u = x^2，那么 du = 2x dx，从而可将原式转化为∫(1/2)/(1+u^2) du。

然后我们再用一个三角换元法 u = tanθ，那么 du = sec^2θ dθ，从而原式变为∫(1/2) sec^2θ dθ。

三、指数换元法指数换元法是将一个复杂的指数函数用一个较简单的指数函数表示，从而简化方程的形式。

例4：求解积分∫x^2 e^x dx。

解：首先，我们可以使用分部积分法将上述积分转化为∫x d(x^2 e^x)。

然后，我们引入一个指数换元法u = x^2 e^x，得到 du = (2x + x^2) e^x dx。

通过代入变量，我们可以将原始积分简化为∫1/2 du。

四、分子分母同时换元法当需要对一个复杂的有理函数进行积分或求导时，分子分母同时换元法是非常有用的一种技巧。

换元法解方程的练习题

换元法解方程的练习题在数学中，换元法是一种解方程的方法，通过引入新的未知量来转换原始方程，从而简化解题过程。

在本文中，我们将通过练习题来展示如何使用换元法解方程。

1. 练习题一：解方程：3x + 4 = 19解题思路：首先，我们引入一个新的未知量，设为y，使得新的方程只包含这个未知量和已知量。

根据题目给出的方程，我们可以将方程改写为：3x + 4 = 19 → 3x = 19 - 4 → 3x = 15接下来，我们将3x转化为y，令y = 3x，并将原方程改写为：y = 15现在，我们可以看到新方程已经非常简单了，只包含一个未知量y 和一个已知量15。

我们可以直接得出y的解为y = 15。

最后，我们再将y = 15带入到我们的设定中，即y = 3x，得到3x = 15。

通过除以3，我们可以得出x的解为x = 15 / 3 = 5。

所以，原方程的解为x = 5。

2. 练习题二：解方程：2(x - 3) + 5 = 13解题思路：首先，我们将方程展开，得到2x - 6 + 5 = 13。

合并项后，我们得到2x - 1 = 13。

接下来，我们引入一个新的未知量y，使得新方程只包含一个未知量和已知量。

设y = 2x - 1。

将原方程改写为y = 13。

现在，我们可以直接得出y的解为y = 13。

最后，我们再将y = 13带入到我们的设定中，即y = 2x - 1，得到2x - 1 = 13。

通过加1并除以2，我们可以得出x的解为x = （13 + 1）/ 2 = 14 / 2 = 7。

所以，原方程的解为x = 7。

3. 练习题三：解方程：4(2x + 1) = 24 - 4x解题思路：首先，我们展开方程，得到8x + 4 = 24 - 4x。

接下来，我们引入一个新的未知量y，使得新方程只包含一个未知量和已知量。

设y = 8x + 4。

将原方程改写为y = 24 - 4x。

现在，我们可以直接得出y的解为y = 24 - 4x。

换元法在函数问题中的“妙用”

ʏ孙明花解数学问题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这种方法叫换元法㊂换元法可以化高次为低次㊁化分式为整式㊁化无理式为有理式㊁化超越式为代数式㊁化隐含为显性关系等,在研究方程㊁不等式㊁函数㊁向量㊁三角函数等问题中都有广泛的应用㊂一㊁利用换元法,求外层函数的解析式例1 函数f (x )满足f (x 2-3)=l g x2x 2-6,求f (x )并研究其奇偶性㊂解:设u =x 2-3㊂由题设知x 2-6>0,则u =x 2-3=(x 2-6)+3>3,所以x 2=u +3㊂所以f (u )=l gu +3u -3,其定义域为(3,+ɕ),即f (x )=l gx +3x -3(x >3)㊂因为f (x )=l gx +3x -3(x >3)的定义域关于原点不对称,所以f (x )为非奇非偶函数㊂升华:换元法求解外层函数的表达式,注意原变量的值域应为外层函数的定义域㊂二㊁局部换元法,借力二次函数求最值例2 函数f (x )=s i n 2x +3c o s x -34x ɪ0,π2的最大值是㊂解:(1)由题意得f (x )=1-c o s 2x +3c o s x -34㊂令c o s x =t 且t ɪ[0,1],则原函数等价于函数y =-t 2+3t +14=-t -322+1㊂故当t =32时,y 取最大值1,即所求函数的最大值为1㊂升华:复合型的二次函数最值,可借助换元法化归为二次函数在区间上的值域,切记换元后新变量的取值范围㊂三㊁整体换元法,借力二次函数求最值例3 函数f (x )=s i n x +c o s x +2s i n x c o s x x ɪ-π4,π4的最小值是㊂解:设s i n x +c o s x =t ,则2s i n x c o s x =t 2-1,t =2s i n x +π4㊂因为x ɪ-π4,π4,所以x +π4ɪ0,π2,所以0ɤt ɤ1,则原函数等价于g (t )=t 2+t -1,0ɤt ɤ1㊂因为函数g (t )=t 2+t -1的图像的开口向上,且对称轴为t =-12,所以在区间[0,1]上单调递增㊂故当t =0时,g (t )取得最小值为-1,即所求函数的最小值为-1㊂升华:解答本题的关键是换元法的灵活运用,即令t =s i n x +c o s x ,把原函数化归为二次函数在区间上的值域问题求解㊂四㊁局部换元法,借力二次函数求解不等式恒成立问题例4 对所有的实数x ,不等式x 2l o g 24(a +1)a +2x l o g 22a a +1+l o g 2(a +1)24a 2>0恒成立,求a 的取值范围㊂解:设l o g 22a a +1=t ɪR ,则l o g 24(a +1)a=l o g 28(a +1)2a =3+l o g 2a +12a=3-l o g 22a a +1=3-t ㊂同理可得l o g 2(a +1)24a2=2l o g 2(a +1)2a=-2t ㊂所以原不等式等价于(3-t )x 2+2t x -2t >0对一切实数x 恒成立,所以3-t >0,Δ=4t 2+8t (3-t )<0,解得t <3,t <0或t >6,所以t <0,所以l o g 22aa +1<0,所以0<2aa +1<1,解得0<a <1㊂故所求a 5知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的取值范围为(0,1)㊂升华:本题是利用局部换元法,通过化归为二次不等式在R 上恒成立问题求解的㊂五㊁二元变量的最值双换元,看穿本质借力不等式求解例5 设实数a ,b >0,a +b =5,则a +1+b +3的最大值为㊂解:利用换元,使得题目更清晰,再利用不等式求最值㊂设a +1=x ,b +3=y ,则原问题等价于实数x ,y >1,x 2+y 2=9,求x +y 的最大值㊂利用不等式x +y22ɤx 2+y 22,可得x +y ɤ32,当且仅当x =y =322时取等号㊂故a +1+b +3的最大值为32㊂或者,利用柯西不等式直接求解㊂由题意得(a +1+b +3)2ɤ(1+1)2(a +1+b +3)2=18,所以a +1+b +3ɤ32,即a +1+b +3的最大值为32㊂升华:本题是求二元变量的最值,解题的关键是利用双换元求解的㊂六㊁三角换元或均值换元,借力有界性或方程有实数解,构建不等式求最值例6 实数x ,y 满足4x 2-5x y +4y 2=5,设S =x 2+y 2,求1S m a x +1S m i n的值㊂解法1:由S =x 2+y 2,联想到c o s 2α+s i n 2α=1,于是进行三角换元切入求解㊂设x =S c o s α,y =S si n α,代入原式化简得4S -5S ㊃s i n αc o s α=5,所以S =108-5s i n 2α㊂因为-1ɤs i n 2αɤ1,所以3ɤ8-5s i n 2αɤ13,所以1013ɤ108-5s i n αɤ103,所以1S m a x+1S m i n =310+1310=1610=85㊂解法2:由S =x 2+y 2,可考虑均值换元求解㊂设x 2=S 2+t ,y 2=S 2-t ,t ɪ-S 2,S 2,则x y =ʃS 24-t 2,代入原式化简得4S ʃ5S 24-t 2=5,移项平方整理得39S 2-160S +100=-100t 2,所以39S 2-160S +100ɤ0,解得1013ɤS ɤ103,所以1S m a x +1S m i n =310+1310=1610=85㊂升华:解法1,利用已知条件S =x 2+y 2,联想到三角公式c o s 2α+s i n 2α=1,借力三角换元,从而得到S =108-5s i n 2α求解的㊂也可由s i n 2α=8S -10S 的有界性求解,即解不等式8S -10Sɤ1,这种方法是求函数值域时经常用到的有界性法㊂解法2,利用已知条件S =x 2+y 2,考虑到均值换元x 2=S 2+t ,y 2=S2-t ,构建含t 的方程有实数根的条件,从而解出S 的取值范围㊂已知函数f (x )=x 2-(a +4)x +a 2+a +10(a >0),且f (a 2+3)=f (3a -2),则f (n )+6a n +1(n ɪN *)的最小值为㊂提示:二次函数f (x )=x 2-(a +4)x +a 2+a +10的对称轴为x =a +42㊂因为f (a 2+3)=f (3a -2),所以a 2+3=3a -2或a 2+32+3a -22=a +42㊂因为a >0,所以a =1,所以函数f (x )=x 2-5x +12㊂所以n 2-5n +12+6n +1=(n +1)2-7(n +1)+24n +1=(n +1)+24n +1-7㊂函数g (x )=x +24x -7在(0,26)上单调递减,在(26,+ɕ)上单调递增㊂因为4<26<5,又g (4)=4+244-7=3,g (5)=5+245-7=145<3,所以f (n )+6n +1(n ɪN *)的最小值为145㊂作者单位:山东省胶州市第三中学(责任编辑郭正华)6知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

巧借换元法，妙解数学题

解题宝典在解题时，我们经常会碰到一些含有变量的问题，此类问题中的条件与结论之间没有必然的联系，很难直接求得问题的答案.此时，我们不妨引入新的变量，利用换元法进行处理.这样便可将问题合理转化，从而达到化难为易的效果.下面，我们结合实例，来分析一下运用换元法解题的技巧．一、单变量换元单变量换元是解答数学问题的常用方法.在碰到一些复杂的函数、向量、不等式问题时，我们可以借助单变量换元法来解题.通过引入新的变量或者三角函数将问题中的条件或结论联系起来，将问题转化为关于新变量的函数或者三角函数问题来求解.例1.设x ,y ∈R ，且9xy =(x +2y )2(y +2x )2，则x +y 的最小值为____．分析：本题可以运用单变量换元法来求解，首先引入参数k ，设y =kx (k >0)，将已知条件和所求目标式的关系式转化为关于k 的关系式，结合对勾函数的图象与性质来确定x +y 的最值．解：由题意知9xy =(x +2y )22xy ≥0，设y =kx (k >0)，则x =，那么x +y =(1+k )x =-32（k +1k ）+1k +1，令m =k +≥2，则x +y =－32m +1m，根据对勾函数f (m )=2m +1m（m ≥2）的图象可知，函数在区间[2，+∞）上单调递增，所以x +y =-32m +1m≥-23，当且仅当m =2，即k =1，x =y =-13时等号成立.结合题目条件选择合适的单变量是运用单变量换元法解题的关键.运用单变量换元法，能巧妙建立条件与结论之间的联系，提升解题的效率.二、双变量换元双变量换元法主要应用于求解含有双变量的最值问题.在解题时，可通过引入新的双变量，将问题进行合理转化，构造出两式的和或积的形式，然后利用基本不等式来确定最值．例2．（2021届浙江省衢州、丽水、湖州三地市第一次教学质量检测数学试卷，第17题）若实数x ,y 满足（2x +4x 2+1）（y +y 2+1）=4，则x +y 的最小值是_____．解：设m =2x +4x 2+1，n =y +y 2+1，(m ，n >0)则x =m 2-14m ，y =n 2-12n，由（2x +4x 2+1）（y +y 2+1=4，那么x +y =2m +7n 16≥=，当且仅当2m =7n 时等号成立，所以x +y 的最小值是.通过引入新的双变量m 、n ，将所求目标式转化，并求得mn 的值，通过恒等变形构造出两式的和，利用基本不等式来求得最值.三、三变量换元三变量换元法主要应用于解答含有多元的向量、函数、不等式问题.为了简化问题，我们可以利用三元变量换元法来解题，引入三个新的变量进行换元，建立条件与所求目标之间的联系，通过巧妙转化将问题转化为关于新元的向量、函数、不等式问题．例3．（2021届浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学学科试题，第17题）若平面向量a ，b ，c ，d 满足|a -b |=1，|b -c |=2，|c -d |=3，（a -c ）·（b -d ）=4，则|a -d |=_____．解：设x =a -b ，y =b -c ，z =c -d ，则|x |=1，|y |=2，|z |=3，由(a -c )⋅(b -d )=4可得(x +y )⋅(y +z )=4，展开并整理可得x ·y +y ·z +z ·x =0，而|a -d |2=|x +y +z |2=x 2+y 2+z 2+2(x ·y +y ·z +z ·x )=1+4+9+0=14，所以|a -d |=14.我们从题目条件中平面向量之间的关系切入，引入新的三个变量进行换元处理，这样便将向量问题转化为关于新的三个变量x 、y 、z 的向量运算问题．巧借单变量、双变量或三变量换元法解答相应的函数、平面向量、不等式、最值问题，不仅能转换解题的思路，还能提升解题的效率.同学们在解题时，要注意结合解题需求选择合适的变量和式子进行换元.只有变量的个数、换元的部分选择得当，才能使解题变得事半功倍.（作者单位：江苏省扬州市邗江区瓜洲中学）41。

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的字母代替原来的代数式从而得到新的表达式，通过对新表达式的研
究来获得原来表达式的最大值、最小值等性质。
例 2 已知
，abc=1，求
的最小
值。解析：先利用基本不等式进行放缩，由于等号成立的条件相同，
，得：
，所以 xy 可化为
，代入原式并化简
，由 t 的范围可得到不等式：
，解得：
，所以
。
点评：在使用换元法时，若题目给定条件中遇到类似
值为 5。
点评：本题中反复利用“1” 的代换来求解问题，即用
来替换 1。三角换元法对题目中的“1”较为敏感，除此
之外，若题目中条件结构为
；也经常用到三角换元法。
二、整体换元法
整体换元法是指若某个代数式在条件或问题中出现几次，便用一
个字母来代替它从而使问题简化。通常需要通过变形才能发现，用新
的
形式，可以先考虑均值换元法，然后设
，
，从而减少
了元的个数，再将题目中的条件转移到新元的背景下研究，使问题简
单易解。
以上列举了换元法常见的三种类型，除此之外，还有和差换元法、
比值换元法等类型。换元法就是利用转化与化归的数学思想，其关键
就是找出被代换的代数式和设立新的元，然后将问题转移到新的表达
式中研究，从而使非标准问题标准化，复杂问题简单化。换元法是一
三、均值换元法均值换元法是指当题目条件中出现两数之和时，往往设两数分别为其平均值加减另一个常数。运用此种方法可以达到减元的效果，从而将复杂问题简化。
例 3 实数 x,y 满足的值。
，设
，求
解析：因为
，按照均值换元的思路可以设
，
=5，当且仅当
，即
，
时，等式成立，即 x=1，时，3x+4y 的最小
解析：将等式 x+3y=5xy 的两边同时除以 5xy，得
，
因为
，且 x ＞ 0，y ＞ 0，所以可以令
，
（θ 为锐角），即
，
，代入得：
，将式中的“1”代换为
，得：
因此可以将原式化为：
。此时可对 a+b+c+3 进行整体换元，令 a+b+c+3=t，因为 a,b,c ＞ 0，abc=1，所以 t ≥ 6，
当 a=b=c=1 时取等。设
，且 y=f（t）在 t ≥ 6 上为增
函数，所以
，即不等式
≥，
当且仅当 a=b=c=1 时取等号，所以最小值为。点评：本题条件较为复杂，很难一步求解到位，因此可多次利用
基本不等式进行放缩，从而凑出相同的部分，再利用整体换元法将式子化简。通过解答过程可以看出，在使用换元法解决问题时，新元的代入只是将原来的整体代换，将已知条件运用到新元代入后的表达式中，从而达到简化原式的目的，尤其要注意整体换元法时被代替的代数式的取值范围。另外，还需注意多次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同。
种创造性思维的显现，熟练掌握换元的基本方法，对学生求解不等式、
分解因式、求函数最值、解数列等问题有很大的帮助。由于换元法类
型众多，学生也需要多加练习，不断总结反思，归纳换元法的解题思
路，从而提高解题能力。
61 2016 年第 29 期
【关键词】换元法；高中数学；解题方法
换元法又叫变量代换，实质就是转化与化归，即在求解问题时引入新的变量去代替原来复杂的表达式，从而形成新的变量表达式，因此使问题得到简化，降低求解难度。掌握这种方法可以使复杂问题变得简单明了，是一种快速有效的解题方法。
一、三角换元法三角换元法主要是利用三角函数的一些性质，如等来替换变量，通常应用于去根号或者变换为三角形式易求时，主要利用已知的代数式中与三角知识的某些联系进行换元。例 1 （2012 年浙江省高考数学）若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是多少？
学练研究
巧用换元法解数学题
云南省曲靖市富源县胜境中学赵贤芳
【摘要】换元法是求解高中数学问题的经典思想方法之一，通过换元，可以使问题变生为熟，变难为易。这种方法的关键就是如何合适的选择新元以及如何引入新元，由于题目的不同，学生在解题时应根据条件选择合适的换元法。本文将通过实例介绍换元法常见的三种类型—三角换元法、整体换元法和均值换元法。