1-5复数导学案作业
第五章复数复习导学案
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：第五章 数系的扩充与复数的引入（复习课）【教学目标】1. 掌握复数的的概念，复数的几何意义以及复数的四则运算.2.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。
【自主探究】1：复数集C 、实数集R 、有理数集Q 、整数集Z 和自然数集N 之间的关系为：2：已知1510z i =+，234z i =-，12111z z z =+，求z .3：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的值.变式：（1）12z z 对应的点在复平面的下方（不包括实轴），求a 的取值范围.（2）12z z 对应的点在直线0x y +=，求实数a 的值.反思：若复数(,)a bi a b R +∈是实数，则是虚数，则 ；是纯虚数，则 ；其模为 ；其共轭复数为 .若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则 .【合作探究】例1 已知m R ∈，复数2(2)(23)1m m z m m i m +=++--，当m 为何值时， （1）z R ∈？（2）z 是纯虚数？（3）z 对应的点位于复平面第二象限？（4）z 对应的点在直线30x y ++=上？变式：已知11m ni i=-+，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m ni +=小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的一个必要条件是0b ≠，计算中分母不为0也不可忽视.例2 设存在复数z 同时满足下列条件：（1）在复平面内对应的点位于第二象限；（2）28()zz iz ai a R +=+∈；试求z 的取值范围变式：已知复数z 满足||28z z i +=+，求复数z例3 在复平面内（1）复数22(24)(22)z a a a a i =-+--+，（2）满足|1||1|4z z ++-=的复数z ，对应的点的轨迹分别是什么？【巩固提高】1. 已知复数26(2)2(1)1m z i m i i=+----，当实数m 取什么值时，复数是（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.2. 若2222log (32)log (21)1x x i x x --+++>，则实数的值（或范围）是 .3. 设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤（1）求1||z 的值以及1z 的实部的取值范围； （2）若1111z z ω-=+，求证ω为纯虚数.【课堂小结】：复数问题实数化是解决复数问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a bi a b R =+∈，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量. 根据复数相等一般可解决如下问题：（1）解复数方程；（2）方程有解时系数的值；（3）求轨迹问题.。
复数的概念导学案
复数的概念导学案导学案是一种帮助学生自主学习的教学工具，通过引导学生思考和探索，帮助他们建立知识的框架和理解概念。
本篇文档将为您提供一份关于复数概念的导学案，旨在帮助学生理解和运用复数的基本概念。
导学目标：1. 掌握复数的基本概念。
2. 理解复数的表示形式。
3. 掌握复数的四则运算规则。
导学步骤：步骤一：引入复数是数学中一个重要的概念，它在代数运算、函数理论、电磁学等领域有着广泛的应用。
那么，你能简单地解释一下什么是复数吗？步骤二：概念梳理请在纸上写下你对复数的理解，包括复数的定义、表示形式、基本性质等。
步骤三：基本概念让我们一起来学习和梳理复数的基本概念：1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数。
一般形式为a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。
2. 实数部分和虚数部分：在复数a+bi中，a是其实数部分，b 是其虚数部分。
3. 复数的表示形式：- 代数形式：a+bi，a和b都是实数。
- 平面形式：复平面上，实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。
复数a+bi对应于平面上的一个点。
步骤四：运算规则复数的四则运算规则可以通过对每个复数的实部和虚部进行运算来实现。
下面我们来看一下复数的四则运算规则：1. 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 乘法：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i4. 除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i步骤五：应用练习请在纸上完成以下练习，以便将所学内容应用到实际问题中：1. 计算复数 (3+2i) + (4-5i)2. 计算复数 (5+4i) - (2-3i)3. 计算复数 (2+3i) * (4-2i)4. 计算复数 (6+2i) / (2+4i)步骤六：总结通过本导学案，我们回顾了复数的基本概念，包括定义、表示形式和四则运算规则。
复数的四则运算5.3高考题
复数的四则运算导学案一、选择题1.（2011·安徽高考理科·Ｔ1）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（ ） （A ）2 （B ）-2 （C ）12- （D ）12【精讲精析】选A.1(1)(2)2122(2)(2)55ai ai i a a i i i i +++-+==+--+,由12aii+-是纯虚数，则0521,052≠+=-aa ，所以a =2. 2.（2011·福建卷理科·Ｔ1）i 是虚数单位，若集合S =}{1,0,1-，则（ ）(A)i S ∈ (B)2i S ∈ (C)3i S ∈ (D)2S i∈【精讲精析】选B. 21i =-，而集合{1,0,1},S =- 2.i S ∴∈ 4.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ1）复数212ii+-的共轭复数是（ ） （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D)i5.（2011·辽宁高考文科·Ｔ2）i 为虚数单位，=+++7531111ii i i （ ）（A ）0 （B ）2i （C ）-2i （D ）4i 6.（2011·山东高考理科·Ｔ2）复数Z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 7.（2011·辽宁高考理科·Ｔ１）a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a =（ ）（A ）2 （B ） (D)1 【精讲精析】选B ．因为2a ii+=，故可化为21=-ai ，所以1+a 2=4，又由于a 为正实数，得a =，故选B ．8.（2011·北京高考理科·T2）复数212i i-+=（ ）（A ）i （B ）i - （C ）4355i -- （D ）4355i -+【精讲精析】选A.2(2)(12)22412(12)(12)5i i i i ii i i i ---+-+===++-. 9.（2011·湖南高考理科·T1）若a,b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则（ ） （A ）a=1,b=1 (B)a=-1,b=1 （C ）a=-1,b= -1 （D)a=1,b=-110.（2011·江西高考理科·Ｔ1） 若12iz i+=，则复数z -=（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D)2i + 【精讲精析】选D.12iz i(12i)2i,z 2i.i+==-+=-∴=+ 11.（2011·江西高考文科·Ｔ1）x i)i y 2i,x,y R,x yi -=+∈+=若(则复数（）(A)2i B)2i C -++ ( (）１-2i （D ）1+2i 【精讲精析】选B.(x i)i y 2i,1xi y 2i,x 2,y 1,x yi 2i.-=+∴+=+==∴+=+根据复数相等的条件，得12.（2011·陕西高考理科·T7）设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||N x x i=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为（ ）（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1] 【精讲精析】选C.22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =；因为1||x i -<||x i +<|()|x i --<|()|x i --=x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-，所以[0,1)M N =，故选C.13.（2011·浙江高考理科·Ｔ2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位.若z=1+i,则(1)+⋅=z z （ ）（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D)3 【精讲解析】选A.(1)+⋅=z z 2123z z i i +=-+=-.14.（2011·江苏高考·Ｔ3）设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________.【答案】115.（2012·天津高考理科·Ｔ1）i 是虚数单位，复数73+ii=（ ） （A ）2i （B ）2i（C ）2i （D ）2-i 【解析】选B.7-(7-)(3-)20-1023+(3+)(3-)10i i i i i ii i .16.（2012·江西高考文科·Ｔ1）若复数z=1+i(i 为虚数单位)z -是z 的共轭复数 ， 则2z +z -²的虚部为（ ）（A ）0 （B ）-1 （C ）1 （D ）-2 【解析】选A. 因为1z i =+，所以1z i =-，()()222211220z z i i i i ∴+=++-=-=，故虚部为0.17.（2012·新课标全国高考理科·T3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：1:2p z =，22:2p z i=，3:p z的共轭复数为1i +， 4p z ：的虚部为1-.其中的真命题为（ ）（A ）23,p p （B ）12,p p （C ）24,p p （D ）34,p p 【解题指南】将复数z 化简后，依次对1234,,,p p p p 进行判断.【解析】选C.()()()21111i z ii i --==---+--，故2z =，1p 错误；()()222112z i i i=--=+=，2p 正确；z 的共轭复数为1i -+，3p 错误；4p 正确.18.（2012·安徽高考理科·Ｔ1）复数z 满足：()(2)5z i i --=，则z =（ ）()A 22i -- ()B 22i -+ ()C i 2-2 ()D i 2+2【解析】选D .19.（2012·辽宁高考理科·Ｔ2）复数22ii -=+( )(A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i +【解析】选A.222(2)(2)4434342(2)(2)5554i i i i i i i i i i i ----+-====-++--.20.（2012·陕西高考文科·Ｔ4）与（2012·陕西高考理科·Ｔ3）相同 设,a b ∈R,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【解析】选B.若0ab =，则0a =或0b =,∴0b a i +=是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数b a i+为纯虚数，且ba a bi i+=-，∴0a =且0b ≠，∴0ab =，是必要条件.21.（2012·北京高考文科·Ｔ2）在复平面内，复数103ii +对应的点的坐标为（ ）（A ）(1 ,3) （B ）(3,1) （C ）(-1,3) （D ） (3 ,-1)【解析】选A.1010(3)1030133(3)(3)10i i i iii i i -+===+++-，所对应点的坐标为（1，3）.22.（2012·福建高考理科·Ｔ1）若复数z 满足1zi i =-，则z 等于（ ） （A ）1i -- (B)1i - (C)1i -+ (D)1i + 【解析】选A. 1zi i =-，(1)()1z i i i =--=--.23.（2012·福建高考文科·Ｔ1）复数2(2)i +等于（ ）（A ）34i + (B)54i + (C)32i + (D)52i +【解析】选A.2(2)41434i i i +=-+=+. 24.（2012·湖北高考理科·Ｔ1）方程 2x +6x +13 =0的一个根是( ) （A ）-3+2i (B)3+2i (C)-2 + 3i (D)2 + 3i【解析】选 A. 方法一：由2(32)6(32)13i i -++-++=91241812130i i =---++=可知答案.方法二：3641316,4i =-⨯=-∴=.代入求根公式可知结果.25.（2012·湖北高考文科·Ｔ12）.若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b=____________. 【解析】3(3)(1)3(3)1(1)(1)2bi bi i b b ia bi i i i +++-++===+--+,故a+b=3. 【答案】326.（2012·湖南高考理科·Ｔ12）已知复数z=（3+i ）2(i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【解析】,.zii i z2223961868610【答案】1027.（2012·江苏高考·Ｔ3）设,a b R ∈R，11712ia bi i -+=-（i 为虚数单位），则a b+的值为 . 【解析】因为117(117)(12)53125--++===+-i i i a bi i i ，所以5,38==∴+=a b a b . 【答案】828、（2013·四川高考文科·Ｔ3）和（2013·四川高考理科·Ｔ2）相同 如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）A.AB.BC.CD.D【解析】选B.由于点A 表示复数z=a+bi,所以其共轭复数是a-bi,在图中应yxDBA OC该是点B 对应的复数,故选B.29.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ2）21i=+（ ）A. B.2C. D.1 【解析】选C.22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以21i =+ C. 30.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ2）()3=（ ）A.8-B.8C.8i -D.8i 【解析】选A.()3=)31)(232()31()31(2i i i i +-=++8-=.31.（2013·山东高考理科·Ｔ1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A.2+iB.2-iC. 5+iD.5-i 【解析】选D. 因为(z-3)(2-i)=5，所以i i iz +=++=+-=532325， 所以i z -=5.32.（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ2）若复数z 满足|34|)43(i z i +=-，则z 的虚部为（ ）A. 4-B. 54-C. 4D. 54【解析】选D.设(,)z a bi a b R =+∈，则))(43()43(bi a i z i +-=-5=，化简得5)43(43=-++i a b b a ，所以⎩⎨⎧=-=+043543a b b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5453b a ，即i z 5453+=. 33.（2013·山东高考文科·Ｔ1）复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z （ ） A.25 B. 41 C.5 D.5【解析】选C. i ii z 34)2(2--=-=,所以()()534||22=-+-=z .34. （2013·陕西高考理科·Ｔ6） 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )A. 若12||0z z -=, 则12z z =B. 若12z z =, 则12z z =C. 若,21z z = 则2112··z z z z = D. 若,21z z = 则2122z z =【解析】选D.设.,21di c z bi a z +=+=35. （2013·陕西高考文科·Ｔ6）设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) A. 若20z ≥, 则z 是实数B. 若20z <, 则z 是虚数C. 若z 是虚数, 则20z ≥D. 若z 是纯虚数, 则20z <【解析】选C.abi b a z R b a bi a z 2,,222+-=⇒∈+=设。
复数的概念
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
3．若 4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数 a 的值为( C ) A．1 B．1 或－4 C．－4 D．0 或－4
[解析] 易知－4－a23＝a＝4aa，2， 解得 a＝－4.
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高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
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YUMINGSHIDUIHUA
与名师对话
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义 1．1 复数的概念
课前自主预习 课堂互动探究 随堂巩固验收
高中新教材同步导学案•BS•数学•必修第二册
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新课程标准：1.了解实数系扩充到复数系的过程，体会数系扩充的必要性.2.掌握复数 的有关概念和代数符号形式.3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
C．②③
D．③④
[解析] 在①中，若 a＝－1，则(a＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若 x＝－1， 则(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i＝0 为实数，故③错误；②④正确．
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题型二 复数的分类 【典例 2】 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－15)i 是(1)实数；(2) 虚数；(3)纯虚数． [思路导引] 依据 z＝a＋bi(a，b∈R)表示实数、虚数、纯虚数的充要条件进行判断．
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[巩固训练] 2．实数 m 为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚 数．
[解] (1)若 z 为实数，则mm22＋ ＋23mm＋ ＋12>＝00，， 即mm≠ ＝－ －12， 或m＝－1， 解得 m＝－2.∴当 m＝－2 时，z 为实数．
新人教版七年级下英语Unit5全套导学案(可编辑)
新人教版七年级下英语Unit5全套导学案 Unit5 Why do you like pandas? 导学案学科:英语主备人:课题Unit 5 Period 1Section A 1a-1c 周次总课时数授课时间课型New教学目标一.知识目标1.why引导的特殊疑问句; 2.用because表原因;3.表示性质、品质的形容词;4.祈使句:Let’s + do sth.二. 能力目标:用目标句型的新单词谈论动物及特质。
三. 情感目标:培养学生对动物的喜爱之情。
重点难点 1.掌握祈使句、why引导的特殊疑问句及because表原因;2.会熟练运用形容词描述性质、品质。
教学手段多媒体,录音机教学程序教学内容个性设计设置提纲引导I、预习交流1. 根据音标拼读单词并牢记;2. 自学课文,勾画出重点和疑惑。
II、翻译官1. welcome to the zoo ___________2. my favorite animals ______________3. want to see them______________4大象_________________________5. 树袋熊,考拉 ______________ 6. 长颈鹿________________________ 自主探究,请带着下面这些问题阅读教材。
Let’s 后接动词的什么形式?why 引导的特殊疑问句可用什么进行回答?激趣生疑明确目标T: Did you go to the zoo?S: Yes ,I do / No , I don’tT: What animals do you like?S: I like ……Now ,let’s see the animals.Do you know their names? Please answer in English.明确目标:Today ,let’s talk about what animals you like ,and learn to talk about why you like them展示交流释疑一.回顾已知,导入新课1.不能在走廊上跑。
【新必修2··复数】复数导学案(学生版)
第1节 数系的扩充和复数的概念※知识要点教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件 1．复数(1)定义：形如 的数叫做复数，其中i 叫做 ，且i 2＝ ，a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ． (2)表示方法：复数通常用字母 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集(1)定义： 所构成的集合叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母 表示． 3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则➀ a ＋b i ＝c ＋d i ⇔ ， ➁ a ＋b i ＝0⇔ .即时训练1：1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2 B.23 C ．－23D ．22．若(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝_____.教材整理2 复数的分类 1． 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：即时训练2：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( )※题型讲练考点一 复数的有关概念【例1】(1)下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)给出下列三个命题： ①若z ∈C ，则z 2≥0； ②2i －1虚部是2i ； ③2i 的实部是0. 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[再练一题]1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________．(2)给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________． 考点二 复数的分类【例2】已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[再练一题]2．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？考点三 复数相等的条件【例3】(1)设复数z 1＝(x －y )＋(x ＋3)i ，z 2＝(3x ＋2y )－y i ，若z 1＝z 2，实数x ＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[再练一题]3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3 D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a的值为________．考点四 复数的不相等关系探究1 若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i 成立吗？探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？【例4】已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．[再练一题]4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值．※课堂反馈1．复数⎝⎛⎭⎫2－32i 的虚部为( )A ．2B ．－32C ．2－32D ．02．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．A ＝B C ．A ∩(∁S B )＝∅ D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4 4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________．5．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立．※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标] 一、选择题 1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2 D ．－2,0 2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1或－2 D ．1或2 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在下列命题中，正确命题的个数是( )①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2；③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．35．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________．7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________. 8．给出下列说法： ①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x 2＝－1的数x 只有i ；③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数；④复数m ＋n i 的实部一定是m . 其中正确说法的个数为________． 三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数． 10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[能力提升]1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )A ．－1或3B ．{a |a >3或a <－1}C ．{a |a >－3或a <1}D ．{a |a >3或a ＝－1} 2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π4 B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z )3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x=_____． 4．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.第2节复数的几何意义※知识要点教材整理复数的几何意义及复数的模1．复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做，y轴叫做；注意：实轴上的点都表示，虚轴上的点，除了外都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)与复平面内的点一一对应．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R) 与平面向量一一对应．为方便起见，我们常把复数z＝a＋b i说成点Z或说成向量→OZ，并且规定，相等的向量表示复数．3．复数的模向量→OZ的模r叫做复数z＝a＋b i的模，记作或，即：r＝＝＝(r≥0，且r∈R)．即时训练1：判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)复数的模一定是正实数．()(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.()※题型讲练考点一复数与复平面内点的关系【例1】已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．(1)在实轴上；(2)在第三象限；[再练一题]1．在复平面内，当复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点满足下列条件时，分别求实数m的取值范围：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上.考点二复数与向量的对应关系【例2】(1)已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i(a∈R)对应的点分别为Z1和Z2，且→OZ1⊥→OZ2，则a的值为________．(2)已知向量→OA对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量→OA1平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.①求向量→OA1对应的复数；②求点A2对应的复数．[再练一题]2．在复平面内，O是原点，若向量→OA对应的复数z的实部为3，且|→OA|＝3，如果点A关于原点的对称点为点B，求向量→OB对应的复数．考点三复数模的几何意义及应用探究1若z∈C，则满足|z|＝2的点Z的集合是什么图形？探究2若z∈C，则满足2<|z|<3的点Z的集合是什么图形？【例3】已知复数z1＝－3＋i，z2＝－12－32i.(1)求|z1|与|z2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z满足|z2|≤|z|≤|z1|，复数z对应的点Z的集合是什么？[再练一题]3．若复数z＝1＋a i满足条件|z|<2，则a的取值范围是_____．※课堂反馈1．在复平面内，若→OZ＝(0，－5)，则→OZ对应的复数为()A．0 B．－5 C．－5i D．52．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知复数z＝2－3i，则复数的模|z|是()A．5 B．8 C．6 D.114．已知复数z＝x－2＋y i(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)的轨迹方程是________．5．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 2．复数z＝1＋3i的模等于()A．2 B．4 C.10 D．2 2 3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－1,1) B．(1，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．在复平面内，O为原点，向量→OA对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量→OB对应的复数为()A．－2－i B．－2＋I C．1＋2i D．－1＋2i 5．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z为()A．－5＋2i B．－5－2i C．－5＋3i D．－5－3i 二、填空题6．在复平面内，复数z与向量(－3,4)相对应，则|z|＝________. 7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________．8．已知△ABC中，→AB，→AC对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则→BC对应的复数为________．三、解答题9．若复数z＝x＋3＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y＝x上．[能力提升]1．已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a＋(a－1)i 在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是()A．直线B．圆心在原点的圆C．圆心不在原点的圆D．椭圆3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝________.4．在复平面内画出复数z1＝12＋32i，z2＝－1，z3＝12－32i对应的向量→OZ1，→OZ2，→OZ3，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．第3节复数代数形式的加减运算及其几何意义※知识要点教材整理1复数代数形式的加法运算及几何意义1．运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则：z1＋z2＝.2．加法运算律交换律z1＋z2＝结合律(z1＋z2)＋z3＝如图1，设复数z1，z2对应向量分别为→OZ1，→OZ2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是.即时训练2：在复平面内，向量→OZ1对应的复数为－1－i，向量→OZ2对应的复数为1－i，则→OZ1＋→OZ2对应的复数为________．图1图2教材整理2复数代数形式的减法运算及几何意义1．运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则：z1－z2＝.2．复数减法的几何意义如图2所示，设→OZ1，→OZ2分别与复数z1，z2对应，则z1－z2与向量→OZ1－→OZ2(即→Z1Z2)对应，这就是复数减法的几何意义．即时训练2：已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z1－z2对应的点位于第________象限．※题型讲练考点一复数的加减运算【例1】计算：(1)(1＋3i)＋(－2＋i)＋(2－3i)；(2)(2－i)－(－1＋5i)＋(3＋4i)；(3)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(4)(a＋b i)－(3a－4b i)＋5i．[再练一题]1．计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；(2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i．考点二复数加减运算的几何意义【例2】在复平面内，A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．[再练一题]2．复平面内三点A，B，C，A点对应的复数为2＋i，向量→BA对应的复数为1＋2i，向量→BC对应的复数为3－i，求点C对应的复数．考点三复数加减法几何意义的综合应用探究1|z1－z2|的几何意义是什么？探究2满足条件|z＋2－2i|＝1的复数z在复平面上对应点的轨迹是什么？【例3】已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值．[再练一题]3．已知复数z满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值与最小值．※课堂反馈1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋i B．1－I C．i D．－i2．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z在()A．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限4．在复平面内，O是原点，→OA，→OC，→AB对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么→BC对应的复数为________.5．如图3所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)→AO表示的复数；(2)→CA表示的复数；(3)→OB表示的复数．图3※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为()A．5－3i B．3＋5i C．7－8i D．7－2i2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量→OA和→OB，其中O为坐标原点，则|→AB|＝()A. 2 B．2 C.10 D．43．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋b i，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝44．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_________.7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________.8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．三、解答题9．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，b∈R)，且z1－z2＝43，求复数z＝a＋b i.10．如图4，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．图4[能力提升]1．实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1 B．2 C．－2 D．－12．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()A．内心B．垂心C．重心D．外心3．已知z＝x＋y i(x，y∈R)，且|z－2|＝3，则yx最大值为_____．4．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.(1)求→AB，→AC，→BC对应的复数；(2)判断△ABC的形状．第4节 复数代数形式的乘除运算※知识要点教材整理1 复数的乘法法则及运算律 1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝ . 2．复数乘法的运算律 对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 (1)交换律：z 1·z 2＝ . (2)结合律：(z 1·z 2)·z 3＝ ． (3)乘法对加法的分配律：z 1(z 2＋z 3)＝ .即时训练1：已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.教材整理2 共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数互为共轭复数，z 的共轭复数用 若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则−z ＝ a －b i .即时训练2：若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x ＝________，y ＝________.教材整理3 复数的除法法则设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0 且c ，d ∈R )，则：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i＝ (c ＋d i ≠0)．即时训练3：i 是虚数单位，复数7－i3＋i＝________.※题型讲练考点一 复数代数形式的乘除法运算【例1】(1)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，则实数a ＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3 (2)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i(3)计算：(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i.[再练一题]1．(1)复数1＋3i3－i等于( )A ．iB ．－I C.3＋i D.3－i(2)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．(3)计算：(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i.考点二 共轭复数及其应用【例2】已知z －−z ＝－4i ，z ·−z ＝13[再练一题]2．已知复数z 满足z ·−z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z .考点三 i n 的值的周期性及其应用探究1 i 4n ，i 4n ＋1，i 4n ＋2，i 4n ＋3(n ∈N )的结果分别是什么？探究2 i n (n ∈N )有几种不同的结果？探究3 i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3(n ∈N )结果是多少？【例3】(1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝⎛⎭⎫21－i 2 016；(2)若复数z ＝1＋i1－i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．[再练一题]3．在上例(2)中，若z ＝1－i1＋i，求1＋z ＋z 2＋…＋z 2 016的值．※课堂反馈1．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 2．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－IC ．－1＋iD ．－1－i4．已知a 为实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝________.5．计算：3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i.※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知复数z ＝2－i ，则z ·−z 的值为( )A ．5 B. 5 C ．3 D. 32．i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝( )A ．1－iB ．－1＋I C.1725＋3125i D ．－177＋257i3．z 1，z 2是复数，且z 21＋z 22<0，则正确的是( )A ．z 21<－z 22B ．z 1，z 2中至少有一个是虚数C ．z 1，z 2中至少有一个是实数D ．z 1，z 2都不是实数 4．若复数z 满足2z ＋−z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i5．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，−z 是z 的共轭复数，则z ·−z ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 二、填空题6．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________.7．复数52－i 的共轭复数是________．8．复数2－2a ia ＋2i的模为2，则实数a 的值是________． 三、解答题9．若z 满足z －1＝3(1＋z )i ，求z ＋z 2的值.10．已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4. (1)求复数z 的共轭复数； (2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．[能力提升] 1．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 2．设z 的共轭复数为−z ，z ＝1＋i ，z 1＝z ·−z ，则1z ＋1i z 1等于( ) A.12＋i B.12－I C.12 D.323．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是________． ①|z －−z |＝2y ； ②z 2＝x 2＋y 2； ③|z －−z |≥2x ； ④|z |≤|x |＋|y |.4．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.*第5节 复数的三角表示※知识要点教材整理1 复数的三角表示相关概念1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成 的形式，其中，r 是复数z 的 ，θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量→OZ 所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的 ，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的 ，通常记作 ．注意：r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．即时训练1：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)复数的辐角是唯一的． ( )(2)z ＝cos θ－isin θ是复数的三角形式． ( ) (3)z ＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式． ( )(4)复数z ＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π. ( ) 2．复数z ＝1＋i 的三角形式为z ＝ .3．复数6()cos π2＋isin π2的代数形式为 ．2．复数三角形式的乘、除运算若z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，且z 1≠z 2，则 (1)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝ ． (2)z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝ ． 注意：(1)两复数相乘，积的模等于 ，积的辐角等于各复数的辐角的 ．(2)两复数相除，商的模等于 的模除以 的模所得的商，商的辐角等于 的辐角减去 的辐角所得的差．即时训练2：1．计算：(1)6()cos π3＋isin π3×4()cos π6＋isin π6＝ ；(2)6()cos π3＋isin π3÷4()cos π6＋isin π6＝ .※题型讲练考点一 复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式【例1】把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.角度二 三角形式化为代数形式【例2】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．(1)4()cos π6＋isin π6(2)32(cos 60°＋isin 60°) (3)2()cos π3－isin π3[再练一题]1．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)12()cos π4－isin π4； (2)－12()cos π3＋isin π3； (3)12()sin 3π4＋icos 3π4； (4)cos 7π5＋isin 7π5；考点二 复数三角形式的乘、除运算 【例3】计算：(1)8()cos 43π＋isin 43π×4()cos 56π＋isin 56π；(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]；(3)4÷()cos π4＋isin π4.[再练一题] 2．计算：(1)⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π32； (2)2(cos 75°＋isin 75°)×()12－12i ；(3)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ÷⎣⎡⎦⎤2()cos π3＋isin π3.考点三 复数三角形式乘、除运算的几何意义【例4】在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π3，求所得向量对应的复数．[再练一题]3．在复平面内，把与复数334＋34i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转π3，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)- 11 -※课堂反馈1．arg(1－3i)=( )A ．53πB ．23πC ．56πD ．π32．复数9(cos π＋isin π)的模是________． 3．(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)＝________.4．2(cos 300°＋isin 300°)÷⎣⎡⎦⎤2()cos 34π＋isin 34π＝________. 5．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为_______．※课后分层练习(建议用时：45分钟)[学业达标]1．若a <0，则a 的三角形式为( )A ．a (cos 0＋isin 0)B ．a (cos π＋isin π)C ．－a (cos π＋isin π)D ．－a (cos π－isin π) 2．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)三角形式是( ) A ．sin 30°＋icos 30° B ．cos 160°＋isin 160° C ．cos 30°＋isin 30° D ．sin 160°＋icos 160°3．若|z |＝2，arg z ＝π3，则复数z ＝________.4．复数cos 15π7＋isin 15π7的辐角主值是________．5．复数10()cos 7π6＋isin 7π6表示成代数形式为 ．6．在复平面内，将复数3＋i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得向量对应的复数为 ． 7．计算(cos 40°＋isin 40°)÷(cos 10°＋isin 10°)＝ . 8．把下列复数表示成代数形式：(1)4()cos 5π3＋isin 5π3； (2)23()cos 7π4＋isin 7π4. 9．将下列复数表示成三角形式(1)tan θ＋i ，θ∈()0，π2； (2)1＋cos α＋isin α，α∈[0,2π)．[能力提升]1．向量→OZ 1，→OZ 2，分别对应非零复数z 1，z 2，若→OZ 1⊥→OZ 2，则z 1z 2是( ) A ．负实数 B ．纯虚数 C ．正实数 D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0)2．复数z ＝(a ＋i)2的辐角主值为3π2，则实数a ＝________.3．已知z ＝4()cos π12＋isin π12，则1z的辐角主值为________．4．已知复数z1，z2，满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝1＋3i2，则z1z2＝________.5．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足z22＝z1z3且z2＋i z3－i＝0，求复数z1，z2，z3.- 12 -。
人教版高中数学必修二《第七章 复数》单元导学案及答案
人教版高中数学必修二《第七章 复数》单元导学案《7.1.1数系得扩充和复数得概念》导学案【学习目标】1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件. 【自主学习】 知识点1 复数的引入在实数范围内，方程x 2＋1＝0无解.为了解决x 2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i 添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加，结果记作a ＋b i(a ，b ∈R )，这些数都应在新数集中.再注意到实数a 和数i ，也可以看作是a ＋b i(a ，b ∈R )这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }，称i 为虚数单位. 知识点2 复数的概念、分类 1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位.a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C 表示. 2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：知识点3 复数相等复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .即它们的实部与虚部分别对应相等.【合作探究】 探究一 复数的概念【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数. ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.【练习1】下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 A解析 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，所以③是假命题.故选A.探究二 复数的分类【例2】设z ＝12log (m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值.解 (1)因为z 是虚数，故其虚部log 2(5－m )≠0， m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞0，5－m ＞0，5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4.(2)因为z 是纯虚数，故其实部12log (m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，5－m ＞0，5－m ≠1，解得m ＝2.【练习2】实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.探究三 两个复数相等【例3】(1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值.解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.【练习3】已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i ＞0，求实数x 的值. 解 ∵z ＞0，∴z ∈R ，∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.∵z ＞0，∴3x －1－x ＞0，且x 2－4x ＋3＝0.对于不等式3x －1－x ＞0，x ＝1满足，x ＝3不满足，故x ＝1.《7.1.2复数的几何意义》导学案【学习目标】1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 【自主学习】知识点1 复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数z ＝a ＋b i ，都可以由一个有序实数对(a ，b )唯一确定.因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )，这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i ，连接OZ ，显然向量OZ →由点Z 唯一确定；反过来，点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ →唯一确定.因此，复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →，这是复数的另一种几何意义.知识点2 复数的模1.如图所示，向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|.如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(就是a 的绝对值).由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).2.复数的模的性质，设z 1，z 2是任意两个复数，则 (1)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，||21Z Z ＝|z 1||z 2|(|z 2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|z n 1|＝|z 1|n (n ∈N *).(3)|||z 1|－|z 2|≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|，等号成立的条件是： ①当|z 1＋z 2|＝|z 1|＋|z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量同向共线； ②当||z 1|－|z 2||＝|z 1＋z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量反向共线.(4)||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|，等号成立的条件是：①当|z 1－z 2|＝|z 1|＋|z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量反向共线；②当||z 1|－|z 2||＝|z 1－z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量同向共线.【合作探究】探究一 复数与复平面内的点【例1】在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10.(1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0，m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.【练习1】实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方.(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.探究二 复数的模的几何意义【例2】设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形. (1)|z |＝2； (2)1≤|z |≤2.解 (1)方法一 |z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二 设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤2，|z |≥1.不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.【练习2】若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为 .答案2π解析设z＝x＋y i(x，y∈R)，则z－i＝x＋y i－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝x2＋(y－1)2，由|z－i|≤2知x2＋(y－1)2≤2，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.探究三复数的模及其应用【例3】已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围.解方法一∵z＝3＋a i(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－7，7).方法二利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋a i知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：－7<a<7.【练习3】已知复数|z|＝1，求复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值.解令ω＝3＋4i＋z，则z＝ω－(3＋4i).∵|z|＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大，为32＋42＋1＝6；圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小，为32＋42－1＝4，∴复数3＋4i ＋z 的模的最大值和最小值分别为6和4.《7.2.1复数的加、减运算及其几何意义》导学案【学习目标】1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 【自主学习】知识点1 复数的加、减法法则及几何意义与运算律复数的和z 1＋z 2与向量OZ 1→＋OZ 2→＝OZ →的坐标对应复数的差z 1－z 2与向量OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→的坐标对应z ＋z ＝z ＋z【合作探究】探究一 复数加、减法的运算【例1】(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i.【练习1】计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i).解 方法一 原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5＋…－2 012＋2 013)i ＝－1 006＋1 006i.方法二 (1－2i)－(2－3i)＝－1＋i ， (3－4i)－(4－5i)＝－1＋i ，…，(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)＝－1＋i. 将上列1 006个式子累加可得原式＝1 006(－1＋i)＝－1 006＋1 006i.探究二 复数加、减法的几何意义【例2】如图所示，在平行四边形OABC 中，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数； (2)对角线CA →所表示的复数；(3)对角线OB →所表示的复数及OB →的长度. 解 (1)因为AO →＝0－(3＋2i)＝－3－2i ， 所以AO →所表示的复数为－3－2i. 因为BC →＝AO →，所以BC →所表示的复数为－3－2i. (2)因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ， 所以|OB →|＝12＋62＝37.【练习2】满足条件|z ＋1－i|＝|4－3i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( ) A.一条直线 B.两条直线 C.一个圆 D.一个椭圆【答案】 C解析 根据复数减法的几何意义，|z ＋1－i|表示复平面内复数z 对应的点Z 到点(－1,1)的距离，而|4－3i|表示复数4－3i 的模，等于5，故满足|z ＋1－i|＝5的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，5为半径的圆.探究三 复数加、减法的综合应用【例3】已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|. 解 方法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1，② 由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 方法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C .∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴△OAB 是边长为1的正三角形， 又以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝(|OA →|2＋|AC →|2＋2|OA →||AC →|cos 60°)＝ 3.【练习3】已知|z 1|＝|z 2|＝1，z 1＋z 2＝12＋32i ，求复数z 1，z 2及|z 1－z 2|.解 由于|z 1＋z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋32i ＝1，设z 1，z 2，z 1＋z 2对应的向量分别为OA →，OB →，OC →，则因|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，故A ，B ，C 三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得cos∠AOC ＝|OA →|2＋|OC →|2－|AC →|22|OA →||OC →|＝12，故∠AOC ＝60°，所以平行四边形OACB 为菱形，且△BOC ，△COA 都是等边三角形，即∠AOB ＝120°.又∵OC →与x 轴正半轴的夹角为60°，故点A 在x 轴上，即A (1,0). 而x B ＝|OB →|cos 120°＝－12，y B ＝|OB →|sin 120°＝32，∴B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.∴⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝1，z 2＝－12＋32i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝－12＋32i ，z 2＝1.方法一 |z 1－z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－32i ＝ 3.方法二 由结论|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2(|z 1|2＋|z 2|2)知，|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2－|z 1＋z 2|2＝3，∴|z 1－z 2|＝ 3. 方法三 由余弦定理可得|AB →|2＝|OA →|2＋|OB →|2－2|OA →||OB →|cos 120°＝3， 又∵z 1－z 2＝OA →－OB →＝BA →，∴|z 1－z 2|＝|BA →|＝|AB →|＝ 3.《7.2.1复数的乘、除运算》导学案【学习目标】1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念. 【自主学习】 知识点1 复数的乘法 1.复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. 2.复数乘法的运算律对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有知识点2 共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用Z 表示.即z ＝a ＋b i ，则Z ＝a －b i.知识点3 复数的除法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i.【合作探究】探究一 复数乘法的运算【例1】计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.【练习1】计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.探究二 复数除法的运算【例2】计算：(1)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＋－3－2i2－3i ；(2)(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i. [分析] 复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[解] (1)因为(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＝(i －2)(i －1)i 2－1＋i＝(i －2)(i －1)－2＋i＝i －1，－3－2i 2－3i ＝(－3－2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝－13i13＝－i. 所以(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i ＋－3－2i 2－3i＝i －1＋(－i)＝－1.(2)(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i 1＋2i ＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 3－i＋i ＝1－i ＋i ＝i(－i )i＋i ＝2i.【练习2】计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i .解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i25＝1－i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )·i－i·i＝－1－3i.探究三 共轭复数【例3】已知复数z 满足z ·z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z .[分析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )→由题意得到方程组求x ，y 的值→得到复数z . [解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i ，由题意，得(x ＋y i)(x －y i)＋2(x ＋y i)i ＝(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.【练习3】若f (z )＝2z ＋z －3i ，f (z ＋i)＝6－3i ，求f (－z ). 解 因为f (z )＝2z ＋z －3i ，所以f (z ＋i)＝2(z ＋i)＋()i z +(z ＋i)－3i ＝2z ＋2i ＋z －i －3i ＝2z ＋z －2i. 又f (z ＋i)＝6－3i ， 所以2z ＋z －2i ＝6－3i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 所以2(a －b i)＋(a ＋b i)＝6－i ， 即3a －b i ＝6－i.由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，－b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故f (－z )＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i ＝－6－4i.《7.3.1复数的三角表示式》导学案【学习目标】1.知道复数的模和辐角的定义2.会求复数的模和辐角主值3.能求出复数的三角形式 【自主学习】知识点1 复数的三角形式1．定义：r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式．其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ →所在射线(射线OZ )为终边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角．为了与三角形式区分开来，a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式．2．非零复数z 辐角θ的多值性以x 轴正半轴为始边，向量OZ →所在的射线为终边的角θ叫复数z ＝a ＋b i 的辐角，因此复数z 的辐角是θ＋2k π(k ∈Z ) (k ∈Z )．3．辐角主值(1)表示法：用arg z 表示复数z 的辐角主值． (2)定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值． (3)唯一性：复数z 的辐角主值是确定的、唯一的．知识点2 复数的代数形式与三角形式的互化复数z ＝a ＋b i ＝r (cos θ＋isin θ)的两种表示式之间的关系为⎩⎨⎧a ＝r ·cos θ，b＝r ·sin θ，r ＝a 2＋b 2.【合作探究】探究一 代数形式与三角形式的转换【例1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z 1＝－2(cos θ＋isin θ)； (2)z 2＝cos θ－isin θ.[解] (1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换：z 1＝2(－cos θ－isin θ)，复平面上点Z 1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．∴z 1＝2(－cos θ－isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加号连”知，不是三角形式，复平面上点Z 2(cos θ，－sin θ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．∴z 2＝cos θ－isin θ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z 2＝cos θ－isin θ＝c os(2π－θ)＋isin(2π－θ)，考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．归纳总结：对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.【练习1】下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：(1)z 3＝－sin θ＋icos θ； (2)z 4＝－sin θ－icos θ； (3)z 5＝cos60°＋isin30°.解：(1)由“余弦前”知，不是三角形式，复平面上点Z 3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式“π2＋θ”将θ变换到第二象限．∴z 3＝－sin θ＋icos θ＝cos(π2＋θ)＋isin(π2＋θ)．(2)不是三角形式，同理(1)可得z 4＝－sin θ－icos θ＝cos(32π－θ)＋isin(32π－θ)．(3)由“角相同”知，不是三角形式，z 5＝cos60°＋isin30°＝12＋12i ＝12(1＋i)＝12×2(cos π4＋isin π4)＝22(cos π4＋isin π4)．探究二 将复数的三角形式化为代数形式【例2】将复数⎪⎭⎫⎝⎛+32sin32cos 23ππi 化为代数形式为________．【答案】 －322＋362i[解析]⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin32cos 23ππi ＝32⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 2321- ＝－322＋362i.归纳总结：将复数的三角形式r (cos θ＋isin θ)化为代数形式a ＋b i (a ，b ∈R )时，其中a ＝r cos θ，b ＝r sin θ.【练习2】复数⎪⎭⎫⎝⎛34sin-34cos 6ππi 的代数形式是 .【答案】－3－33i解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛34sin-34cos 6ππi ＝6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i 23-21-＝－3－33i.探究三 复数的模与辐角主值【例3】求复数z ＝1＋cos θ＋isin θ(π<θ<2π)的模与辐角主值． [解] z ＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋(2cos 2θ2－1)＋2i·sinθ2cosθ2＝2cosθ2(cosθ2＋isin θ2)，①∵π<θ<2π，∴π2<θ2<π，∴cos θ2<0，∴①式右端＝－2cos θ2(－cos θ2－isin θ2) ＝－2cos θ2[cos(π＋θ2)＋isin(π＋θ2)]，∴r ＝－2cos θ2，z 的辐角为π＋θ2＋2k π(k ∈Z )． ∵π2<θ2<π，∴32π<π＋θ2<2π， ∴arg z ＝π＋θ2.归纳总结：复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)中，模r ≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈[0，2π).【练习3】将z ＝1＋itan θ1－itan θ(114π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值．解：z ＝1＋itan θ1－itan θ＝1＋isin θcos θ1－isin θcos θ＝cos θ＋isin θcos θ－isin θ＝(cos θ＋isin θ)2(cos θ－isin θ)(cos θ＋isin θ)＝cos2θ＋isin2θ. ∵114π<θ<3π， ∴112π<2θ<6π， ∴32π<2θ－4π<2π， ∴arg z ＝2θ－4π.探究四 复数辐角的应用【例4】复数z 满足arg(z ＋3)＝56π，求|z ＋6|＋|z －3i|最小值．[解] 由arg(z ＋3)＝56π，知z ＋3的轨迹是射线OA ，则z 轨迹应是平行于OA ，且过点(－3,0)的射线BM (如图)，∴|z ＋6|＋|z －3i|就表示射线BM 上点到点P (－6,0)和点Q (0,3)距离之和，连接PQ 与射线BM 交于点N ，当复数z 在复平面内的点为N 点时，|z ＋6|＋|z －3i|所取的值最小，即|z ＋6|＋|z －3i|＝|PN |＋|NQ |＝|PQ |＝35， ∴所求最小值＝3 5.归纳总结：解此类题的本质是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模(距离)和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便【练习4】已知|z －2i|≤1，求arg(z －4i)最大值．解：∵|z －2i|≤1，∴点Z 轨迹是以(0,2)为圆心，1为半径的圆面．如图，在其上任取一点Z ，连接Z 与点(0,4)得一以(0,4)为起点，Z 为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg(z －4i)最大值为53π.《7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》导学案【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法 【自主学习】知识点1 复数的三角形式的运算设z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则(1)乘法：z 1·z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．(2)除法：z 1÷z 2＝z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)](其中z 2≠0)，这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．(3)乘方：z n＝r n(cos nθ＋isin nθ)． (4)开方：n z ＝nr (cos θ＋2k πn ＋isin θ＋2k πn)(k ＝0,1,2，…，n －1)．知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1，z 2相乘时，可以像图中所示那样，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ1→，OZ2→，然后把向量OZ1→绕点O 按逆时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →表示的复数就是积z 1z 2.这就是复数乘法的几何意义．z 2≠0，z 1z 2的几何意义是把z 的对应向量OZ1→按顺时针方向旋转一个角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→按逆时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的1r 2倍，所得的向量即表示商z 1z 2.【合作探究】探究一 复数的三角形式的乘、除运算【例1】2(cos π12＋isin π12)·3(cos π6＋isin π6)．[解]2(cos π12＋isin π12)·3(cos π6＋isin π6)＝2·3[cos(π12＋π6)＋isin(π12＋π6)]＝6(cos π4＋isin π4)＝6(22＋22i)＝3＋3i.归纳总结：r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]计算，简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.【练习1】设复数z ＝cos θ＋isin θ，θ∈(π，2π)，求复数z 2＋z 的模和辐角．解：z 2＋z ＝(cos θ＋isin θ)2＋cos θ＋isin θ＝cos2θ＋isin2θ＋cos θ＋isin θ＝(cos2θ＋cos θ)＋i(sin2θ＋sin θ)＝2cos 3θ2cos θ2＋i(2sin 3θ2cos θ2) ＝2cos θ2(cos 32θ＋isin 32θ) ＝－2cos θ2 ⨯ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos (－π＋32θ)＋isin (－π＋32θ). ∵θ∈(π，2π)，∴θ2∈(π2，π)， ∴－2cos θ2>0， 所以复数z 2＋z 的模为－2cos θ2，辐角为(2k －1)π＋3θ2(k ∈Z )．探究二 复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量OZ →与－1＋i 对应，把OZ →按逆时针方向旋转120°，得到OZ ′→，求与向量OZ ′→对应的复数[解] 将向量OZ →逆时针方向旋转120°，得到OZ ′→，由于模未发生变化，应当是OZ →对应复数乘以1·(cos120°＋isin120°)，即z ′＝(－1＋i)(cos120°＋isin120°)＝2(cos135°＋isin135°)(cos120°＋isin120°)＝2(cos255°＋isin255°)＝1－32－1＋32i. 归纳总结：利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便【练习2】如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝π2.证明：∠1，∠2，∠3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i 的辐角主值，这样∠1＋∠2＋∠3就是(1＋i)(2＋i)(3＋i)＝10i 的辐角，∠1，∠2，∠3都是锐角，所以∠1＋∠2＋∠3＝π2.。
可数名词单数变复数导学案
(Module 5) Unit 2 Nine girls？
可数名词单数变复数
课程基本信息
知识点名称可数名词单数变复数
学科类型三年级年级上册英语
教学资源 PPT加旁白
教学目标掌握名词单数变复数的变化规则
教学过程
一、讲解名词分类揭示课题。
二、知识点讲解；
I、名词单数变复数的规则变化：
1、一般在名词词尾加"-s"
2、以s, x, ch, sh结尾的名词加"-es"
3、以o结尾的无生命的名词后面加"-s"
以o结尾的有生命的名词后面加"-es"
4、以辅音字母加y结尾的名词，变y为i加"-es "
以元音字母加y结尾的名词直接加"-s"
5、以fe或f结尾的名词，把fe或f变为v加"-es"
II.名词单数变复数的不规则变化。
三、练习题
四、作业设计
五、总结
教学反思
不刻意渲染，而是娓娓道来，细细诱导，师生在一种平等、协作、和谐的气氛下，进行默默的双向交流，将对知识的渴求和探索融于简朴、真实的情景之中，学生在静静地思考、默然地首肯中获得知识。
教师讲课神情自若，情真意切，让学生在平静恬淡中获取知识。
《5.1.1复数的概念》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《复数的概念》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对复数概念的理解，掌握复数的代数形式和基本性质，并能运用复数的基本运算解决实际问题。
通过本次作业，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
二、作业内容1. 基础练习：- 练习复数的代数形式表示，包括实部、虚部的识别与运算。
- 掌握复数相等的条件，能判断两个复数是否相等。
- 掌握复数的基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
2. 理解运用：- 理解复数在平面上的几何意义，能正确绘制复数在复平面上的位置。
- 掌握复数共轭的概念，并能运用共轭进行复数的计算。
- 通过实例，让学生了解复数在电路分析、物理计算等领域的实际应用。
3. 综合应用：- 设计几个实际问题，要求学生运用复数的概念和基本运算解决。
- 鼓励学生进行小组合作，共同探讨问题解决方案，培养学生的团队协作能力。
三、作业要求1. 学生在完成作业时需注意格式规范，字迹清晰。
2. 对于每个练习题，需有明确的解题步骤和过程，答案要准确无误。
3. 基础练习部分要求全部掌握并正确完成，理解运用部分要求能灵活运用所学知识进行计算。
4. 综合应用部分要求结合实际，积极思考，创造性地解决问题。
5. 鼓励学生在遇到问题时查阅资料或请教老师、同学，寻求解决方法。
四、作业评价1. 评价内容：基础练习、理解运用、综合应用三个部分的完成情况；解题步骤和过程的规范性；答案的准确性。
2. 评价方式：采取自评、互评和教师评价相结合的方式，全面了解学生作业完成情况。
3. 评价标准：基础练习部分要求全部正确；理解运用部分要求能灵活运用所学知识进行计算；综合应用部分要求有创新性和实用性。
五、作业反馈1. 教师将对每位学生的作业进行批改，指出错误并给出修改意见。
2. 对优秀作业进行展示和表扬，激励学生积极参与数学学习。
3. 针对学生在作业中普遍存在的问题，进行集中讲解和辅导，帮助学生解决问题。
4. 鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，提高数学学习的趣味性和实用性。
《5.1.1 复数的概念》作业设计方案-中职数学高教版21拓展模块一上册
《复数的概念》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应达到以下目标：1. 理解复数的概念，掌握复数的表示方法；2. 能够正确书写复数的各种表示方法；3. 学会运用复数解决一些简单的数学问题。
二、作业内容1. 基础概念理解：请用你自己的话解释复数，并举例说明它的实际应用。
2. 复数的表示方法：a. 实数和虚数都可以用代数形式表示，那么复数应该如何表示？请举例说明。
b. 举出一些复数的例子，并尝试用不同的符号表示它们。
3. 基础运算：a. 试着用代数方法求解复数的加减法，并解释其意义。
b. 试算复数的乘法运算，并理解其结果的意义。
c. 能否用几何方式解释复数的性质？请尝试描述。
4. 实际应用题：a. 假设一个电器设备的电阻随温度变化而变化，那么该电阻的阻值如何用复数表示？b. 一家公司的生产线上的某台设备可能会因为故障而停机，工程师需要计算设备修复所需的时间，这个问题可以用复数来解决吗？如果可以，如何解决？三、作业要求1. 请学生认真阅读作业要求，明确作业目的和要求；2. 请学生自行收集相关资料，完成作业；3. 学生应结合教材和相关参考书籍，确保作业的正确性；4. 鼓励学生在完成作业的过程中，提出自己的见解和思考。
四、作业评价1. 请学生根据作业内容和要求，完成作业后提交；2. 教师将对学生的作业进行批改，并给出相应的评价和建议；3. 对于普遍存在的问题和疑惑，将在课堂上进行解答和讨论；4. 对于优秀的作业，将给予一定的奖励和表扬，以激励学生的学习积极性。
五、作业反馈1. 学生应根据教师的批改意见，对作业进行修改和完善；2. 学生应积极向教师反馈自己在完成作业过程中的疑惑和问题；3. 教师将根据学生的反馈，及时调整教学策略和方式，以满足学生的学习需求。
通过本次作业，学生将进一步理解和掌握复数的概念和表示方法，提高数学应用能力。
同时，教师也将通过作业反馈，更好地了解学生的学习情况和问题，从而不断优化教学方案。
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15 级高二数学作 业 02
复数的四则运算（1）
班级
姓名
1、 计算：（5＋4i）＋（－3－3i）=___________
2、 5i (3 4i) (1 3i) =________
3、 若 (1 i)(2 i) a bi ，其中 a,b R,i 为虚数单位，则 a b =________
15 级高二数学导 学案 01
数系的扩充
班级
姓名
一、课前自主学习
1、读课本，思考并回答下列问题。 从小学到高中数的概念是怎样一步步发展的；数系是怎样一步步扩充的？
2、通过以上思考，完成下列填空。
（1）、新数 i 叫做 （2）、形如
，规定：1、
2、
的数叫做复数，全体复数组成的几何叫
记作
（3）、复数常用字母 z 表示，即
4、我们把
叫共轭复数，记作
三、小试身手： 1、计算
（1） (5 3i) (7 5i) 4i
（2） (2 4i) (2 i) (1 7i)
2、分别写出复数 3 5i, 1 2i, 5i,8 的共轭复数
5
四、例题分析 例 1、计算（1－3i）－（2＋5i）＋（－4＋9i） 例 2、计算（－2－i）（3－2i）（－1＋3i）
7、已知复数 z (m 2) (m2 9)i 在复平面内对应的点位于第四象限，求实数 m 的取值
范围
8、已知 1 1 x yi ，求实数 x, y 的值。 1 i 2 3i
15
9、已知 z ( z 1) 5i ，求复数 z 10、已知复数 z 满足 (z 2)i 1 i ，求复数 z 的模 11、已知 z1，z2 C ，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 3 ，求|z1－z2|
复数的四则运算（2）
班级 一、阅读课本，思考并回答下列问题。
姓名
1、对任何 z1, z2 C 及 m, n N * ，有
zmzn
； (zm)n
； (z1z2 )m
；
2、如果 n N * ，那么
i4n
； i4n1
； i4n2
；
i4n3
；
a bi
3、
＝
c di
二、小试身手： 1、计算
2、下列结论中，正确的是
( A) Z N Q R C
(B) N Z Q C R
(C) N Z Q R C
(D) R N Z Q C
三、例题分析 例 1、写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数
4，2－3i，0， 1 4 i ， 5 2i ， 6i 23
（1） ( 2 2 i)2 22
（2） (1 i)4
（3） i i2 i3 i100
（4） i i2 i3 i100
9
三、例题分析
例 1、设 1 3 i ，求证：
例 2、计算（1）
3 4i
（2）
(2
1 i15
)
1 (
i 2
)22
12、已知在复平面内，定点 M 与复数 m 1 2i 对应，动点 Z 与复数 z x yi 对应，那 么满足不等式 z m 2 的点 Z 的集合是什么图形？
16
15 级高二数学导 学案 05
复数习题课
班级
姓名________________
一、 知识回顾
1、 数系扩充：(1)虚数单位 i ：________________________
8、计算：
（1） (1 i)(4 3i)
5i
（2）
2i
（3） (1 2i)2 (2 i)2 3 4i 4 3i
9 在复数范围内，写出下列方程的解：
（1） x4 1
（2） 9x2 16 0
11
10、(1)已知复数 z 3 i ，求 z.z (1 3i)2
(2)设 a, b 为共轭复数，且 (a b)2 3abi 4 6i ，求 a 和 b 。
例 3、已知复数 z 共轭复数为 z ，且 z.z 3iz 10 ，求 z 。 1 3i
四.课堂练习： 1、计算
2i
（1）
1 i
2 5i
（2）
3 4i
2、已知 z1 2 i, z1z2 5 5i ，求 z1 z2
10
3、设复数 z 满足 i(z 1) 3 2i （ i 为虚数单位），求 z 的实部。
（1）|z|＝2；
（2）2<|z|<3
四、课堂练习：
1、分别求出复数 2 3i,5 i, 8 5i, 3 7i 的模
2、已知复数 6 5i 和 3 4i
（1）在复平面上作 出与这两个复数对应的向量 OA 和 OB
（2）写出向量 AB 和 BA 表示的复数
3、在 ABCD 中，点 A, B,C 分别对应复数 2 i, 4 3i,3 5i ，求点 D 对应的复数。
4、若 x, y R ，则“ x 0 ”是“ x yi ”为纯虚数的_____________条件
5、已知
x
R,
x2
x
5 4x
3
(x2
8x
15)i
是实数，则
x
=____________
6、已知 x, y R ，且满足 (2x 4) i y (3 y)i ，则 x =____________
思考：当 a 0 时，方程 x2 a 0 的解是什么？
例 3、计算（a＋bi）（a－bi）
思考：设 x, y R ，在复数集内，你能将 x2 y2 分解因式吗？
五.课堂练习： 1、计算
（1） (2 3i)(5 i) （2） (1 i)(2 i)(3 i)
2、求证： z1 z2 z1 z2
7、若复数 z m (m2 1)i 满足 z 0 ，则 m =____________
8、实数 m 取什么值时，复数 z＝m（m+1）＋（m2－1）i 是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）0？
9、已知复数 z＝（m2+3m－4）＋（m2－2m－24）i 是纯虚数，求实数 m 的值
3
10、求适合下列方程的实数 x 与 y 的值：
(2)复数：_______________________________
___________
4、 (1 2i)(1 i2 ) =_______________
5、 (1 2i)2 (2 i)2 =_______________ 3 4i 4 3i
6、已知复数 4，5i，－1－4i，2－ 2i ，3i+2
（1）在复平面内画出表示这些复数的向量； （2）写出这些复数的共轭复数，并求它们的模
11、在复数范围内分解因式：
（1）a4－b4；
（2）x2＋4；
（3）x2＋2x+5；
12、已知 z2 7 24i ，求复数 z
12
15 级高二数学导 学案 04
复数的几何意义
班级
姓名
一、课前自主学习
1、阅读课本选修 2-2 第 120- 123 页，思考并回答下列问题。 实数可以用数轴上的点来表示，那么复数是否也可以用点来表示呢？
4、 设复数 z1 1 i, z2 x 2i(x R) ，若 z1z2 为实数，则 x =___________ 5、 若复数 z (x2 1) (x 1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为_________
6、已知 x, y R ，复数 (3x 2 y) 5xi 与复数 ( y 2)i 18 相等，则 x =_________， y
，其中 a 与 b 分别叫做复数 z 的
与
当
时，z 是实数，当
时 z 叫虚数，当
时叫纯虚数
（4）、复数相等：
二、基础训练
1、写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数
1 2i ， 2 3 ， 1 i ， 5 2i ， i sin ， i2 ， 7 ( 5 2)i 2
2、 下列说法正确的是_____________ (1)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等；
（2） ai 是纯虚数（ a R ）；
（3）如果复数 x yi(x, y R) 是实数，则 x 0, y 0 ；
（4）复数 a bi(a,b R) 不是实数
3、若复数 (x2 1) (x2 3x 2)i 是纯虚数，则实数 x 的值为___________
15 级高二数学作
业 03
复数的四则运算（2）
班级
姓名
1 1、 复数 (1 i)2 =__________
2、 如果复数 (m2 i)(1 mi) 是实数，则实数 m =_______
2 i3
3、
=___________
1 2i
4、
若
z1
a
2i,
z2
3
4i
，且
z1 z2
为纯虚数，则实数 a
的值为________
（1）实轴上 （3）实轴的上方
（2）虚轴上（原点除外） （4）虚轴的左侧
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三、例题分析 例 1、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4、2+i、－i、－1＋3i，3－2i
例 2、已知复数 z1＝3+4i，z2＝－1＋5i，试比较它们的模的大小
例 3、设 z C ，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？
=___________
7、投掷两个骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n ，则复数 2mn (n2 m2 )i 为实数的
概率为_________
8、满足 z2 z 的复数 z =_________
9 计算（1）（ 3 1 i ）（ 1 3 i ）
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