自回归移动平均模型

第四章 时间序列计量经济学模型的 理论与方法
第一节 随机时间序列的特征 第二节 随机时间序列分析模型 第三节 协整分析与误差修正模型 第四节 向量自回归模型
§4.1 随机时间序列的特征
一、随机时间序列模型简介 二、趋势平稳与差分平稳 三、时间序列平稳性的检验
一、随机时间序列模型简介
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。
……
Xt = X0 + 1 + 2 +… + t
•var(Xt ) = t2， Xt的方差与时间 t 有关，而非常数，
因此随机游走是非平稳序列。
4. 齐次非平稳过程
对随机游走序列Xt取一阶差分(first difference)：
X t X t X t1 t
由于 t 是一个白噪声，则序列{ΔXt }是平稳的。
由定义知：白噪声序列是平稳的。
另一个简单的随机时间列序被称为随机游走 (random walk)，该序列由如下随机过程生成：
Xt = Xt-1 + t 这里，t 是一个白噪声, t ~ N(0,2)。
该序列 同均值，但方差不同：
•E(Xt ) = E(Xt -1)
X1 = X0 + 1 X2 = X1 + 2 = X0 + 1 + 2
就是平稳的。 如果Yt 是二阶齐次非平稳过程，则序列：
Wt = Yt − Yt-1= 2Yt 就是平稳的。
5. 单整与非单整
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序 列，也称原序列是1阶单整(integrated of 1)序列, 记为I(1)过程。如果经过d 次差分后变成平稳序 列, 则称原序列是d 阶单整(integrated of d), 记为 I(d)。
前提假设：时间序列是由某个随机过程 (Stochastic process) 生成的。即，假定序列 X1,X2,…,XT 的每一个数值都是从一个概率分布中 随机得到。当收集到一个时间序列数据集时，就 得到该随机过程的一个可能结果或实现 (realization)。
1. 时间序列的平稳性
假定某个时间序列是由某一随机过程生成，即 假定时间序列Xt的每一个数值都是从一个概率分 布中随机得到，如果时间序列Xt 满足：
二、趋势平稳与差分平稳随机过程
1. 确定性时间趋势
描述非平稳经济时间序列一般有两种方法，一 种方法是包含一个确定性时间趋势：
Yt a t ut
(*)
其中 ut 是平稳序列；a + t 是线性趋势函数。
这种过程也称为趋势平稳的，因ห้องสมุดไป่ตู้如果从式(*)
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的 确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
只能计算样本自相关函数(Sample autocorrelation
function)：
T k
(Yt Y )(Ytk Y )
ˆk t 1 T
(Yt Y )2
k k
t 1
• 为了检验自相关函数的某个数值 ρk 是否为0， 可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白
噪声生成，则对所有k > 0， k ~ N(0, 1/T )
• 为了检验所有k > 0的自相关函数 ρk 都为0的联 合假设，可以采用Box-Pierce的Q 统计量：
K
Q T (T 2)
ˆ k2
k 1 T k
• Q 统计量近似地服从自由度为k 的 2分布。如
果计算出Q 值大于显著性水平 α下的临界值，就
有1-α的把握拒绝所有k (k > 0)同时为0的原假设。
对照极限法则和时间序列的平稳性条件研究发现， 如果模型设定正确，并且所有时间序列是平稳的， 时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，模型随 机误差项仍然满足极限法则。
3. 白噪声和随机游走
一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同 方差的独立同分布序列：
Xt = t ， t ~ N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。
1）均值E(Xt )= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt )=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt , Xt +k)=k 是只与时期间隔k 有
关，与时间t 无关的常数；
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而 该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
• I(0)代表平稳时间序列。
• 多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单 整的(non-integrated)。
6. 自相关函数、Q统计量
随机时间序列Yt 的自相关函数(autocorrelation function, ACF)：
k=k / 0
自相关函数是关于滞后期k的递减函数。
对一个随机过程只有一个实现(样本), 因此，
2. 平稳性与经典回归
经典计量模型的数学基础是极限法则，以独立随机 抽样为样本，如果模型设定正确，模型随机误差项 满足极限法则和由极限法则导出的基本假设，继而 进行的参数估计和统计推断是可靠的。
以时间序列数据为样本，破坏了随机抽样的假定， 则经典计量模型的数学基础能否被满足成为一个重 要问题。
非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算， 得到具有平稳性的序列，考虑下式
yt a yt1 ut
(*)
也可写成： yt (1 L) yt a ut
(**)
其中 a 是常数, ut 是一个白噪声序列。式(*)的差分 序列是含漂移 a 的随机游走，说明 yt 的差分序列 yt是平稳序列。 （**）式中L表示滞后算子。
这提示我们如果一个时间序列是非平稳的，常 常可以通过取差分的方法形成平稳序列。
如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多 次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列 的随机过程称为齐次随机过程。原序列转化为平 稳序列所需的差分次数称为齐次的阶数。
如果Yt 是一阶齐次非平稳过程，则序列： Wt =Yt −Yt-1= Yt
Yt a 1 t 2 t2 L n tn ut (**)
t = 1, 2, , T 同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预 测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能 准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平 稳序列，称为退势平稳过程。
2. 差分平稳过程