直角三角形中成比例线段PPT优选课件
三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
成比例线段PPT课件
）
C
图2
C
A、 AE = AF AB AC
B 、 AE = EF AB BC D、 BE = CF AB AC
C、 BE = AE CF AF
A ③在图3中， 若△ADE∽△ACB则__________ 若__________则△ADE∽△ACB 在图4中若△ACD∽△ABC， 则————————
B
B
C （E）
A
A
D
D B C(E) B E C
C
A P •O D
C B A P O • B A （B） O • C （D）
D
P
B A P C • O D P C A （B）
O •
D
2. 基本方法 （1）直接应用上述基本图形的性质；
（或）转化应用上述基本图形的性质
( 2 ) 寻找第三比（中间比）转化：
若a/b=m/n,c/d=e/f,且m/n=e/f,则a/b=c/d
等比性质
2、平行线分线段成比例定理 A B C D E F 若AD//BE//CF， 则AB：BC=DE：EF
3、相似三角形 性质定理 如果 Δ ABC ∽ Δ DEF， 那么AB：DE=BC：EF=AC：DF B 判定定理 如果△ ABC和△ DEF中， AB/DE=AC/DF，且∠ A= ∠ D， 则△ ABC∽ △ DEF . 如果△ ABC和△ DEF中，AB/DE= BC/EF=AC/DF，则△ ABC∽ △ DEF.
A
D
又∵AD=AE ,∴CM=CE.
M P BP BD ∴ = CP CE
B
C 说明:作平行线应用“平行线分线段成比例定理”证明线段 成比例是常用解题技巧.本例还有其它作平行线的方法
初中数学三角形ppt完整版
输入 标题
易错点二
在全等三角形判定中，忽视判定条件的完整性。纠正 方法：明确全等三角形的五种判定方法，确保在解题 时满足所有必要条件。
易错点一
易错点三
三角函数计算错误或应用不当。纠正方法：熟练掌握 三角函数的定义和性质，加强计算训练，确保在解题
时正确应用三角函数。
易错点四
在相似三角形判定中，混淆判定条件。纠正方法：清 晰理解相似三角形的判定条件，注意区分不同判定方 法的应用场景。
利用相似比求面积的方法
首先确定两个相似三角形的对应边长之比，然后根据相似比求 出面积之比，最后利用已知三角形的面积求出未知三角形的面 积。
面积法在几何证明中的应用
面积法的基本思想
通过计算或比较相关图形的面积，从而证明几何命题的一种方法。
面积法在几何证明中的应用举例
例如，利用面积法证明勾股定理、证明两直线平行或垂直等。通过构造适当的图形，利用面积关系进行推 导和证明，可以使问题更加直观和易于理解。
通过两点之间线段最短的性质进行证明。
应用举例
在解决三角形边长问题时，可以直接应用三角形边长关系进 行判断或推理，如判断三条线段能否构成三角形、求三角形 周长的取值范围等。
三角形不等式定理
对于三角形的任意一边a，都有a < b + c，其中b、c为与a 相邻的两边。该定理表明三角形的任意一边都小于另外两边 之和。
在已知三角形的三边a、b、c的情况下，面积S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+cb)(b+c-a)]。秦九韶公式是海伦公式的等价形式，提供了另一种计算三角形面 积的方法。
利用相似比求面积
相似三角形的性质
初三数学直角三角形中的成比例线段(射影定理)PPT
ACD
∽
AC CD AD CBD CD 2 BD AD CB BD CD
在RtABC 中，CD是高，则有
C AC是AD,AB的比例中项。 BC是BD,AB的比例中项。 CD是BD,AD的比例中项。 A D B
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
2
如图1 36 , ABC 中, 顶点 C
C
在 AB 边上的射影为 D, 且 CD 2 AD BD.求证 : ABC 是直角三角形.
证明 在CDA和BDC中,因为 点C在AB上的射影为 D, 所以CD
A
D
B
图1 36
AB.因而CDA BDC 900 . 2 又因为 CD AD DB, 即 AD : CD CD : DB .
B
AC BC AD AB BD AB AB
射影定理只能用在直角三角形中,且必须
有斜边上的高
这里犯迷糊，可 不行！
利用射影定理证明勾股定理:
AC BC AD AB BD AB AB
2 2 2
利用勾股定理证明射影定理:
AB =(AD＋DB) =AD ＋2AD · DB ＋DB
证法一：
B
CB CA ECF BCA
CEF
∽
CBA.
•运用射影定理时，注意前提条件 •求边注意联系方程与勾股定理 •如图中共有6条线段，已知任意2条，求其 C 余线段。
A
D
B
•直角三角形两锐角互余 •勾股定理 •直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 •直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。
专题17直角三角形中的比例线段
专题17 直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论.如图，在Rt A ABC中，/ A=90°, AD丄BC于D，则1图中角的关系：/ B= / DAC,/ C= / DAB ;2 •同一三角形中三边平方关系：2 2 2 2 2 2 2 2 2AB =AD +BD , AC =AD +CD ；BC =AB +AC •3. 三角形之间的关系：△ ABD CAD CBA，由此得出的线段之间的关系：2 2 2AD =BD?DC, AB =BD?BC, AC =CD?BC.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似, 中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边;②另两条线段在同一直线上.例题与求解【例1】如图，Rt A ABC中，CD为斜边AB上的高，DE丄CB于E.若BE=6, CE=4，则AD=______________________________________________________________（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD .【例2】如图，在Rt A ABC 中，/ C=90°, CD 丄AB, 下列结论：-AC2AD①CD?AB=AC?BC; ② 21^—•BC2BD '1 11③ 2 2 -2; ④AC+BOCD+AB.AC BC CD其中正确的个数是()例2题图由此得出的等积式在计算与证明A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断.【例3】如图，在等腰 Rt A ABC 中，AB=1，/ A=90°，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF 丄BE ,求厶CEF 的面积.（全国初中数学联赛试题）1解题思想：欲求△ EFC 的面积，由于EC==，只需求出△ EFC 中EC 边上的高，或求出 EC 边上的2高与EC 的关系.本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法.【例4】如图，直线 OB 是一次函数y =2x 的图象，点A 的坐标为（0, 2），在直线OB 上找一点C ,使 △ ACO 为等腰三角形，求点 C 的坐标.解题思想：注意分类讨论.能力训练个直角三角形相似.（“五羊杯”竞赛试题）（江苏省竞赛试题）1.如图，在两个直角三角形中，/ACB = Z ADC=900, AC=、、6 , AD=2，当 AB=时，这两2.如图，在 Rt A ACB中，CD 丄AB 于点D , / A 的平分线 AF 交CD 于E ,过E 引EG // AB 交BC于G ,若CE=，则BG 的长为 （上海市竞赛试题）3.如图，ABCD 为矩形，ABDE 为等腰梯形,BD=20 , EA=10，贝U AB=D（第 2题图）（第3题图）4. 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC丄BC, AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑X米时，梯8.如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE丄AC交AC于F，过F作FG // AB交AE于G,求证: AG2=AF FC.（西安市中考试题）足B沿CB方向滑动y米，则X与y的大小关系是A. x =yB. x y)C. X ：：yD .不确定（江苏省竞赛试题）5. 如图，矩形ABCD 中, AB= 乜, BC=3,AE丄BD于 E,则EC等于（.152.2126. 在厶ABC中，ADA .小于90°2是高，且ADB .等于90°-BD CD，那么/C .大于90°BAC的度数是（7.BD=15,D .不确定（全国初中数学联赛试题）如图，在厶ABC中，已知/ C=900, AD是/ CAB的角平分线，点E在AB 上, DE // CA , CD=12, 求AE , BE的长.（上海市中考试题）（第7题图）D（第8题图）B9•如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90°, CD 丄AB , DE 丄 AC , DF 丄 BC , D , E , F 分别为垂足，求 证：CD =AB • AE • BF •（四川省中考试题）（第9题图）10.如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=900, AD 平分/ CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE 丄AD 于点E , CE 的延长线交 AB 于点F ，过点E 作EG // BC 交AB 于点G , AE • AD=16 , AB=4、、5 .⑴ 求证：CE=EF ;⑵ 求EG 的长.（河南省中考试题）11.如图，在厶ABC 中，已知/ ACB=90 ° , BC= k • AC , CD 丄AB 于点D ，点P 为AB 边上一动点,PE 丄AC 于E , PF 丄BC 于F .CE⑴当k =2时，则—=:BF⑵当k =3时，连结EF , DF ，求匡的值；DFL L Q , JQ⑶当k = __________ 时，— 二 ------- （直接写出结果，不需证明）DF 3（第10题图）（第 11题图）B 级1 •如图，在 Rt A ABC 中，/ A=90°, AD 丄BC , P 为AD 的中点，BP 交AC 于E , EF 丄BC 于F , AE=3, EC=12，贝U EF= _______________ •（黄冈市竞赛试题）2. ________ 如图，在Rt A ABC 中，两条直角边 AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线 的长度等于 ___ 厘米.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，EFGH 是矩形 ABCD 的内接矩形，且 EF : FG=3 : 1 , AB : BC=2 : 1，贝U AH : AE=_____（上海市竞赛试题）4•如图，△ ABC中，/ ACB=900, CD 和CE 分别是底边 AB 上的高和/ C 的平分线，若△ CED s△ ABC ，则/ ECD 等于（) 20° 0 C . 22.5 0 D . 30 （山东省竞赛试题）A . 180B . 5. (如图, ） 在厶ABC 中, D , E 分别在AC , BC 上, 且 AB 丄AC , AE 丄BC , BD=DC=EC=1，贝UAC= A . .2B. ■. 3C . 32D . 33E .逅（美国高中统一考试题）6. 如图, 在等腰 Rt △ ABC 中， F 为AC 边的中点， AD 丄 BF .求证：BD=2CD .（武汉市竞赛试题）/?（第 1题图）（第3题图）O D7.如图，P , Q 分别是正方形 ABCD 的边AB , BC 上的点，且BP=BQ ,过B 点作PC 的垂线，垂 足为H .求证：DH 丄HQ .（“祖冲之杯”邀请赛试题）&△ ABC 中，BC=a , AC=b , AB=c .若/ C=90°，如图 1,根据勾股定理，则 a 2+『=c 2•若△ ABC 不是直角三角形，如图 2、图3，请你类比勾股定理，试猜想 a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论.它的两条直角边分别与 OA , OB （或它们的反向延长线）相交于点 D , E .当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直，如图2,图3这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD , OE , OC 之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.9.已知/ AOB=90°,在/ AOB 的平分线 0M 上有一点C ,将一个三角形的直角顶点与点 C 重合,当三角形绕点 C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图 1,易证: OD +OE = H OC .（第7题图）图1B图3图1图210.⑴如图1 ,在厶ABC 中，点D , E , Q 分别在 AB, AC , BC 上，且DE // BC , AQ 交DE 于点P .求⑵在△ ABC 中，/ BAC=900,正方形 DEFG 的四个顶点在△ ABC 的边上.连接 AG , AF 分别交DE 于M , N 两点.① 如图2，若AB=AC=1，直接写出 MN 的长； ② 如图3，求证：MN 2=DM EN .（武汉市中考试题）图1 图2 图3证:DP PE BQ —QC得BQ =，从而有竺=岂，可推证得 A BHQ s^CHD . 8.提示：当厶BC HC DC BQA 作AD 丄BC 于D ，可证a 2+b 2＞乳当厶ABC 为钝角三角形时，过 B 作BD 丄AC 于D ,可证a 2 + b 2v c 2.9.提示：图2结论：0D + OE = .2 OC .过C 作CP 丄OA 于P , CQ丄OB 于 0,则厶 CPD ◎△ CQE , DP = EQ , OP = DO + DP , OQ = OE - EQ .又 OP + OQ = . 2 OC ，即 OD + DP + OE -EQ = ■.. 2 OC ，故 OD + OE =2 OC .• / B =Z CEF ，又T Z BGD = Z EFC , •△ BGDEFC .2" ». /dX z BDM MN ENDG = GF = EF ,• GF = CF BG .由(1)得BG GF CF专题17 直角三角形中比例线段4 .— 例1 3 15例2 B 提示：只有结论④是错误的 1 例3 23提示：过F 点作FM 丄EC 于M，由 Rf ABE s Rf MEF ，得型=AB = 2 EM MF AE ' 1 1 = 2MF 又 FM =MC=—EC= — 3 6' f 8 例4提示：满足题意的点 C 有4个，坐标分别为 ， 15 © S45石,〒1,1 △ CAB ,•匹」，从而字罟.⑶32DF 3 DF 3 AP BP B 级 1.6 提示：延长FE , BA 交于G , GE BE 3. 5 :提示：过B 作BE // AD ，交CA 的延长线于 E . 线，交AD 延长线于G , 1 , •••△ EBDGCD ,PD ,GE = EF , EF 1 4. C 5. C由 A ABF s^EBA , 2. 2& 36.提示：过C 作AC 的垂 • EB : AE = AB : AF = 2 : △ AGEFCE . 贝UAABE BA CAG ,• AE = CG ,• BD : DC = EB : CG = EB : AE = 2 : 1, • BD = 2CD . 7.提示：由 RtAPBH图3的结论：OE — OD = 2 OC . 10. (1)略 ⑵①彳②•••/ B +Z C = 90° / CEF + Z C = 90°s RtABCH 及 BP = BQ ,ABC 为锐角三角形时，过DG BG • DG— ?CF EFMN 2 DM EN GF 2BG CF ， EF = CF BG .又TMN 2= DM EN .。
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
九上册：直角三角形中的比例线段
4．直角三角形中的比例线段一、基础知识回顾1.相似三角形的判定：（1） 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）有 角对应相等的两个三角形相似。
（3）两边对应 ，且 相等的两个三角形相似。
（4） 对应成比例的两个三角形相似。
（5）一条 对应成比例的两个直角三角形相似。
2．相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应角 ，对应边 。
(2)相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 。
（3）相似三角形的周长之比等于 ；相似三角形的面积之比等于 。
二、知识延伸拓展已知：如图1所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高线.求证： CD 2= AD •BD (1) ;AC 2 = AD •AB (2) ; BC 2 = BD •AB (3) .分析：易证△CBD ∽△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例，可得上述三个关系式。
证明：∵∠CDB=∠ACB=Rt ∠ ∠B=∠B ∴△CBD ∽△ABC同理可证 △ACD ∽△ABC ∴△CBD ∽△ACD ∽△ABC由△ACD ∽△CBD 得DD A B C CD D =∴CD 2= AD •BD (1)同理可得AC 2 = AD •AB (2) ； BC 2= BD •AB (3)利用上述三个关系式，可以较轻松地解决很多问题。
例如，利用这三个关系式很容易证明勾股定理，只要把上面（2），（3）两个关系式的两边分别相加，得AC 2 + BC 2 = AD •AB + BD •AB = AB （AD+BD ）= AB2 注意：运用这三个关系式时，要注意它们成立的条件。
三、精典例题点拨例1 在 图1中，若AD = 2cm ，DB = 6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长。
解：∵ CD 2= AD •BD=2×6=12∴ );(3212cm CD ==∵ AC 2= AD •AB = 2 ×（2+6）=16，图1∴ )(416cm AC ==；∵ BC 2= BD •AB = 6×（2 + 6）=48， ∴ )(3448cm BC ==。
成比例线段课件成比例线段的概念
如果两个三角形有三组对应的边成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形性质推论三
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，并且夹 角相等，则这两个三角形相似。
坐标系性质推论
坐标系性质推论一
在平面直角坐标系中，如果两个 点的横坐标之比等于纵坐标之比 ，则这两点连成的线段与x轴、y
成比例线段的性质
传递性
如果a/b = c/d且b/e = c/f，则a/b = c/d = e/f。
等比性质
如果a/b = c/d，则(a+b)/b = (c+d)/d。
成比例线段的应用
相似三角形
成比例线段是判断两个三 角形是否相似的重要依据 。
长度计算
利用成比例线段可以计算 难以直接测量的线段长度 。
角度问题
总结词
利用成比例线段解决角度问题
详细描述
通过成比例线段，可以推导出相关角 度的大小关系。例如，在相似三角形 中，如果两个三角形的对应边成比例 ，则它们的对应角也相等。
THANKS
感谢您的观看
作图
在几何作图中，成比例线 段可以帮助确定点的位置 。
Part
02
成比例线段的判定
平行线判定法
总结词
通过平行线的性质，利用线段的长度比例关系进行判定。
详细描述
在平面几何中，如果四条线段$a, b, c, d$满足$frac{a}{b} = frac{c}{d}$，并且线段$a$与线段$c$平行，线段$b$与线段 $d$平行，则这四条线段成比例。
(新华东师大版)成比 例线段课件
• 成比例线段的概念 • 成比例线段的判定 • 成比例线段的性质推论 • 成比例线段的综合应用
初中数学课件《比例线段
目录
• 比例线段的定义与性质 • 比例线段的判定与性质定理 • 比例线段与相似三角形的关系 • 比例线段的综合应用
01
比例线段的定义与性 质
比例线段的定义
比例线段的定义
如果四条线段a, b, c, d满足a/b=c/d ，则称这四条线段为比例线段。
比例线段的表示方法
比例线段的性质
相似三角形性质
在三角形中，如果两个角 相等，则对应的边成比例 ，即形成比例线段。
比例线段在生活中的应用
地图绘制
在地图上，不同地区的尺寸是通 过比例尺来表示的，而比例尺就
是应用了比例线段的原理。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要使用比 例线段来设计建筑物的各个部分
，以确保整体的美观和协调。
摄影构图
在摄影中，摄影师常常使用比例 线段来构图，以使照片更加美观 和平衡。例如，黄金分割就是一 种常见的构图方法，它利用了比
在相似三角形中，对 应边之间的比例关系 即为比例线段。
相似三角形在实际问题中的应用
01
02
03
04
测量
利用相似三角形的性质，可以 测量无法直接到达的物体的高
度或距离。
建筑设计
在建筑设计过程中，可以利用 相似三角形来计算建筑物的尺
寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三 角形来研究光学、力学等问题
。
工程学
在工程学中，可以利用相似三 角形来研究机械运动、流体动
力学等问题。
04
比例线段的综合应用
比例线段在几何图形中的应用
相似三角形
比例线段是判断三角形相似的重要依据，通过比较对应边长比例，可以判断两 个三角形是否相似。
直角三角形中成比例线段--旧人教版
∴△ACD∽△CBD
∴CD2 = AD·DB
A
6
9
DB
∵CD=6 ， AD=9
又∵ △ACD∽△ABC，
∴62 = 9DB
BD=4，AB=13
∴DB=4 。 ∴AB=AD+DB=9+4=13 又∵ △ACD∽△ABC，AD=9，AB=13 ∴AC2 = AD·AB=9×13 ∴ AC=3
∴ BC2 = BD·AB=4×13=52 ∴BC=2
同理可证 CD2 =CG·BC ∴ CF·AC=CG·BC
变式训练：
C
F AD
当E在CD上， CD垂直平分AB。
F
G
求证：AF·CA=BG·BE A
B
C E
G B
D
求证：
C
将△ACD沿CD翻折
E
GF
D
B
总结2：
在复杂图形中分解出射影定理的基本 图形，运用射影定理这一研究问题的方法， 去证明线段等积式。
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC源自BC2=BD·A BA
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
例1 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。 （1）已知AD=9，CD=6，求BD。 你还能求出哪些线段？
（2）你能举出其它例子吗？
C
解：∵ CD是Rt△ABC的斜边AB上的高
总结1： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基
本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可 以求出其余四条线段，有时需要用到方程的 思想。
例2 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D， DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。 求证：CF ·AC = CG ·BC
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CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
2020/10/18
BC2=BD·A 2
B
A
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D
G
2020/10/18
3
例1 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。 （1）已知AD=9，CD=6，求BD。 你还能求出哪些线段？
（2）你能举出其它例子吗？
直角三角形中 成比例线段
2020/10/18
1
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
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汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
4、数学思想：方程思想和转化思想。
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要证：BC2︰AC2=CF︰F=DB︰AD 转化
C
G F
AD
B
求证：BC2︰AC2=CF︰FA
DB︰AD=CF︰FA ∵CF=DG
DB︰AD=DG︰FA
△DBG ∽ △AFD
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例2 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D， DF⊥AC于F，DG⊥BE于G。 求证：CF ·AC = CG ·BC
证明：∵CD⊥AB，DF ⊥AC ∴ △CDF∽△CAD ∴ CF︰CD=CD︰AC ∴ CD 2 =CF·AC
同理可证 CD2 =CG·BC ∴ CF·AC=CG·BC
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已知：如图，Rt△ACB中，CD⊥AB于D， 在CB的延长线上截取BE=BC，连结EA，ED。
求证：∠1=∠2
C
A
2
D
B
1
E
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总结：
1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和 比例中项的表达式——射影定理。
2、方法：利用射影定理的基本图形求线段和证明 线段等积式。
3、能力：会从较复杂的图形中分解出射影定理的 基本图形的能力。
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变式训练：
C
F AD
当E在CD上， CD垂直平分AB。
F
G
求证：AF·CA=BG·BE A
B
C E
G B
D
求证：
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C
将△ACD沿CD翻折
E
GF
D
B
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总结2：
在复杂图形中分解出射影定理的基本 图形，运用射影定理这一研究问题的方法， 去证明线段等积式。
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思考题：
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∴ BC2 = BD·AB=4×13=52 ∴BC=2
思考：本题在求AC、BC时 还有其它方法吗？求所求的 线段的先后顺序能否改4 变？
总结1： 已知“直角三角形斜边上的高”这一基
本 图形中的六条线段中的任意两条线段，就可 以求出其余四条线段，有时需要用到方程的 思想。
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C
解：∵ CD是Rt△ABC的斜边AB上的高
∴△ACD∽△CBD
∴CD2 = AD·DB
A
6
9
DB
∵CD=6 ， AD=9
又∵ △ACD∽△ABC，
∴62 = 9DB
BD=4，AB=13
∴DB=4 。 ∴AB=AD+DB=9+4=13 又∵ △ACD∽△ABC，AD=9，AB=13 ∴AC2 = AD·AB=9×13 ∴ AC=3