第三章 动量与角动量
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
第3章动量角动量
(3)动量守恒定律只适用于惯性系, 使用时所有速度必须相 对于同一惯性系。
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
(4)动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 在微观高速范围同样适用。
例3-3 如图,在光滑的水平面上,有一质量为M、长为l 的小车, 车上一端站有质量为m的人，起初m、M均静止，若人从车 的一端走到另一端，则人和车相对地面走过的距离为多少？
为ω，杆长均为l 。(2)如系统作加速转
动,系统的动量和角动量变化吗？
三、质点的角动量(动量矩)定理
Lrp
求
dL
导
d (r
p)
dr
p
r
dp
F
dt
dt
M
dL
dt
dt
dt
质点的角动量定理（微分形式）
质点所受合力对点O 的力矩, 等于质点对点O的角 动量的时间变化率。
M
dL
dt
改写
Mdt dL
t2 t1
F dt
p2
p1
(1)定理中的冲量指的是质点所受合力的冲量,或者质点所
受冲量的矢量和。
I
t2 t1
F合
dt
＝ ＝
t2 t1
(
F1＋F2＋＋Fn
)
d
t
t2 t1
F1dt
t2 t1
F2dt＋
＋
t2 t1
Fndt ＝
i 1
Ii
(2)冲量是过程量,动量是状态量,冲量的方向可用动量变化的
由动量定理 I p2 得 p1
(3) 2.7 m/s
（2）3s末质点的加速度
a(3) F (3) 1.5 m/s2 m
3.1.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
03动量和角动量
r
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
第三章动量与角动量
分量式:
Ix
t 0
t 0
Fi xdt mi vi x mi vi 0 x
Fi ydt mi vi y mi vi 0 y
Iy
§2.质点系动量定理和质心运动定理
一.质点系动量定理 对于有n个质点的质点系,它们每个质点既所受外力, 也受内力. 若第i质点在to时刻动量为
t ix i ix i
0
ix 0
t
iy
i
iy
i
iy 0
0
t
iz
i
iz
i
iz 0
0
二.质心
对于有n个质点的质点系,
, m , m 的位置矢量分别为 : r , r , r ; m
1 2 n 1 2 n
则定义质点系的质心位置:
r
c
mr mr mr
1 1 2 2 n
第三章
动量与角动量
§1.冲量和动量定理
1. 动量
P mv
大小： mv
方向： 速度的方向 单位： kg m · -1 s
2. 力的冲量 元冲量
dI Fdt
大小：
Fdt
方向： 力的方向 单位： N · s
(1) 恒力的冲量
(2) 变力的冲量 分量式
I FΔt t I Fd t
n
上式表明:作用于质点系的外力矢量和的冲量等于 质点系动量的增量. 上式称为质点系动量定理.
. t F dt m v m v
t n n
0
i
i 1
i
i
i 1
i
i0
分量式:
第3章 动量与角动量
1) 人匀速运动，到达车尾时小车的速度为(由上式解得)： u=l/t
v v0
m uv m l 0 M m M mt
2)车的运动路程为： 由于人匀速运动，即u为常量，故小车的运动速度v 也为常量。此时车的运动路程可用 s=vt 进行计算。
m l m s vt (v0 )t v 0 t l Mm t Mm
f AB F f
A
N
mA g
f BA
N AB mB g 外力： 推力F , A的重力mA g , B的重力mB g , 地面对质点系的滑动磨擦力f , 地面对质点质的支持力N . 内力： AB间的静摩擦力f AB和f BA , AB间的正压力N AB和支持力N BA
M 大小：M rF sin 方向：右手螺旋法则
由力矩的定义可知： M r F
2、角动量
O 定义： 一个质点相对于参考点 的角动量等于 质点位置矢量 与其动量mv 的矢量积。 r
o m
L
L r mv mv r
L
L
例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下， 这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总 动量在水平方向上的分量守恒。（某方向合外力为零，则 该方向动量守恒）
4、动量守恒定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性 系。（更广义的动量守恒定律不依赖于牛顿定律，是 自然界中的基本定律）
例2、 如图,车在光滑水平面上运动,已知人的质量m, 小车的质量M ,车长l ,小车的运动速度v0 人逆车运动,方向从车头经时间t到达车尾. 求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2、车的运动路程； 3、若人以变速率运动，上述结论如何？ m 解：以人和车为研究系统，取 v0 u 地面为参照系。水平方向系统 M 不受外力作用，动量守恒。 x
第03章动量与角动量
第3章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
Momentum and Angular Momentum 主要内容 冲量与动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理 质心 质心运动定理 质点的角动量和角动量定理 角动量守恒定律 质点系的角动量定理
1
3.1 冲量与动量定理 Impulse and the Theorem of Momentum 1.力的冲量
dM (v u) ( M dM )(v dv )
d M dv u , M
vf
Mf
dv u v
i
Mi
dM M
M vf vi u ln M i u ln N f
20
火箭体对喷射的气体的推力：
dm (v u ) dm v F dt dm u dt
SI unit: kgm2/s or Js
e.g. 质点作圆周运动． mv
o
R
大小：mvR 对圆心： L 方向：⊙
37
2.力对固定点的力矩 定义：
M r F
O
力 F 对O点的力矩
大小：Fr 方向：右手螺旋规则
r
r
k z Fz i j y Fy
F
在直角坐标系中表示
o
o
xC 6.8 10
rC 6.8 10
12
m
mi
O
y
d
o d
H C
52.3
o
12
x
52.3
o
H
3.5 质心运动定理
The Theorem of Motion of the Center of Mass
质心运动的速度为
dri mi i mi drc i dt i c dt m m
第三章动量与角动量分解
dP
dt F
dt
dt
dL
v
mv
r F
dt
称：M r F
dL
v mv
rF
dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩
大小：M＝Frsin (为矢径与力之间的夹角)
方向：右手螺旋定则
单位v：mmNv
dL
＝0
M
o
r
F
rF M
dt
M
dL
角动量定理：质点所受的合外力矩
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 L1 mv1 (R l1 )
卫星在远地点的角动量 L2 mv2 (R l2 )
因角动量守恒 mv1 (R l1 ) mv 2 (R l2 )
t
0 (N-mg)dt mvz mv0 m 2gh
Nt mgt m 2gh 6.5
N
1 2h
0.55 56
1
1
mg t g
t
5.5×102
△t为10-1s、10-2s、10-3s、10-4s 5.5×103
计算结果表明，撞击作用持续时间愈短，平均 冲击力N与重力之比就愈大。若作用的持续时间 只有10-4秒时，N比mg要大5500倍，相比之下 重力微不足道。因此，在许多打击和碰撞问题 中，只要持续作用时间足够短，略去诸如重力 这类有限大小的力是合理的。
I
t2
Fdt＝P
mv2
- mv1
t1
质点所受合外力Biblioteka 冲量，等于该质点动量 的增量。这个结论称为质点的动量定理。
第3章 动量与角动量
dp燃
E
例题 如图所示,设炮车以仰角发射一炮弹，炮车和炮弹的质 量分别为M和m，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度V。 v 炮车与地面间的摩擦力不计。
M
m
解 把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上 的外力有重力 G 和地面支持力 N ，而且 G N ， 在发射过程中G N 并不成立（想一想为什么？）， 系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守 E 恒。
Fx
t
冲量可表为
I x Fx t
§3-1 冲量与动量定理
t
E
质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）
质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即
p
i 1
N
pi
i 1
N
mi vi
设第 i 个质点受外力为 Fi ，受质点系其他质点的合力， 即内力为 f i , j f i ,1 f i , 2 f i ,i 1 f i ,i 1 f i , N
v M dm
v+dv M dm t+dt 时刻 x
t 时刻
由动量守恒定律
t 时刻 总动量
Mv (M dm)(v dv) dm(v u) Mv Mdv udm dmdv
t+dt 时刻 总动量
E
Mdv udm 0
dm dM
Mdv udM 0
第三章 动量与角动量
Momentum and Angular Momentum
E
本章主要内容
§3-1冲量与动量定理
§3-2动量守恒定律 §3-3火箭飞行原理
3.2第三章-动量与角动量讲义
初 F2 + F1 + F n dt = P末 − P初
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
若
F i = 0 则有 P末 = P初
动量守恒
i
dL =M= rF
角动量守恒
dt
若 M = 0 则有 L = r mv =常数
例：一个力学系统由两个质点组成，他们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则系统：
动量守恒？ 机械能守恒？角动量守恒？
质点在有心力作用下运动，角动
量守恒。
L = pr = mvr = 常量
r F
五、质点系的角动量
质元 i ：质量 mi
Fi mi ri • fi
外力Fi 内力 fi
o
L = Li = ri pi = ri mvi
rj
fj •
Fj
mj
i
i
i
由质点的角动量定理 r F = M = dL
dt
mv0 (l0 + ) = ml0v sin( − )
1 2
mv02
+
1 2
k2
=
1 2
mv2
则有
v=
v02
+
k m
2
= arcsin v0 (l0 + )
l0v
A外+A内 = Ek末- Ek初
A外+A非保内 = E末- E初
复习
若 A外+A非保内=0
则有 E末=E初 机械能守恒定律
( ) 末
( ) 末
初 F2 + F1 dt = P末 − P初
或 注意：
I
=
P末
−
P初
……质点系的动量定理
a、外力可改变系统的动量，也可改变某一个质点的动
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mx1 Mx2 xc mM
x1
x1 '
O
x
x2'
终了时，系统质心位置
mx1 Mx2 xc mM
M ( x2 ' x2 ) m( x1 ' x1 )
( S )
lS
x2
解得
ml S mM
Ml slS mM
4.5 变质量动力学简介
一、密歇尔斯基方程
第4章 冲量动量、角动量 Momentum and Angular Momentum
2013年春季学期 姜洪喜编
网球撞击钢板
柔软物体碰撞
运动理论
§ 4.1 质点动量定理 力的时间积累称为冲量。
恒力冲量： Ft I t 变力冲量： F ( t )dt I
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dp F Fdt dp dI dt t I F (t )dt p p0
d p f i Fi d t i i i
F1
m1 f1 f2 m2
F2
d f i Fi dt pi , i i
f i 0（合内力为零）
d dP Fi d t pi , 即 F＝ d t （惯性系） i i
§4.3 质点系动量守恒定律 如果合外力为零，则质点系的总动量不随时 间改变： P pi 常矢量
i
1、只适用于惯性系。 2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量 守恒。 3、外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞 和爆炸。
4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程， 实验表明：只要系统不受外界影响,这些 过程的动量守恒。 5、物理学家对动量守恒定律具有充分信心。 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总 是提出新的假设来补救，结果也总是以有 所新发现而胜利告终。
略去二阶无穷小量
Fdt mdv (v u )dm
vr u v
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
Fdt mdv v r dm dm dv F vr m dt dt
（密歇尔斯基方程）
火箭飞行
前 苏 联 东 方 号 火 箭
长 征 三 号 运 载 火 箭
火 箭 发 射
1
质点的角动量定理： 质点所受的合外力矩，等于质点角动量对时 间的变化率 dL dp F M dt dt L 合外力矩：M r F ，角动量： r p
M 和L都是相对同一惯性系中同一定点定义的。 积分形式：
太阳
S
r
r
v
r sin
行星
m
行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相 等的面积。 在近日点转得快，在远日点转得慢。
4.4 质心
水平上抛三角板
投掷手榴弹
c c
c
c c c
运动员跳水
c
投掷物体
一、质心的概念 c 板上点C的运动 轨迹是抛物线，是 系统的质量中心。 c c c c
弹” ，将以每小时3.7万公里的速度与坦普尔一号彗
星(TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于4.5吨TNT炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
小和14层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃
和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能 通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象。
t2 t1
t2
Mdt —冲量矩，力矩的时间积累。
t1
t2 M dt L2 L1 t F dt P2 P1 1
角动量守恒定律
若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力 矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保 持不变，即角动量的大小和方向都保持不变。
x
o
z
i 1
mvC mi vi pi
i 1
再对时间t求一阶导数，得
maC
d( pi )
i 1
n
dt
例3、如图所示，人与船构成静止质点系，当人从船头 走到船尾，求人和船各移动的距离。 解 在水平方向上，外力为零，则 dv cx acx 0 xc xc dt 开始时，系统质心位置
§ 4.2 质点系的动量定理 最简单的质点系
F1
由2个质点构成的系统
1、内力和外力
内力： f1 f 2 F 外力： 1 , F2
m1 f1 f2 m2
F2
d f1 F1 p1 dt d f 2 F2 p2 dt
证明：对第 i 个质点 d fi Fi pi dt 对质点系求和
m
对质量离散分布的物系：
xC
m x
i 1
n
i i
m
yC
m y
i 1 i
n
i
m
zC
m z
i 1
n
i i
m
对质量连续分布的物体： 1 1 1 xC xdm， yC ydm， zC m zdm m m 说明 对密度均匀、形状对称的物体，质 心在其几何中心．
c
c
其余点的运动=随点C的平动+绕点C的转动
质心的位置
y
m2
由n个质点组成 的质点系，其质心 的位置：
r2
m ri i
rc
c
r1 m1
o
z
mi ri
i 1 n
x
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi
补充知识：质点的角动量 质点m对O点的角动量： L r p L r p r p sin mvr sin 0 M L F
谈角动量，必须指明是对哪个固定点而言的。
合外力 F 对O点的力矩： M r F M rF sin 0
例1、三角形的每个顶点有一质点m，求质心。 mx1 mx2 x1 x 2 y xc （ x1 ， y1 ） 3m 3
o
my1 y1 （x2，0） y c 3m 3
x y
例2、求半径R 的半圆形均匀铁丝的质心。
dm Rd
xdm xc m
0
R cos Rd
质点系总动量的时间变化率等于所受合外力 dP F＝ dt F1 F＝ Fi ：合外力 mi i f1 P＝ pi ：总动量
i
r1
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 响。 应用质点系动量定理不必 考虑内力。
o 惯性系
r2
f2 mj
F2
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为v，由于外力 F 的作用和质 量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度变为 v+dv 。 在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m合并前的速度为 u， 根据动量定理有
Fdt (m dm)(v dv ) (mv dmu )
0
R
R
0
o
ydm yc m
x
R sin Rd
2 R
二、质心运动定理
mrC mi ri
i 1
n
y
m2
上式两边对时间t求一阶导数，得
r2
m ri i
n drC dri m mi dt dt i 1
n n
rC
c
r1
牛顿定律 角动量定理： dp F dt dp d dL M r F r （r p） dt dt dt dp dr dL d ( r p) r d p t dt dt dt dr p0 dt 因是牛顿定律的推广，则只适用于惯性系。
t0
动量定理常用于碰撞的研究过程。
马可尼的碰撞研究
为什么矮个子司机死亡率高？
例4.1：试用动量定理解释逆风行舟
V
F
F横
F纵
m
v1
p1
水 F阻 龙骨
F横
p2 p
帆
v2
显示动量定理的矢量性。
“炮轰”彗星
2005年7月4日，美国发射的 “深度撞击”号 (Deep Impact)探测器携带的重372千克的铜头“炮
和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是 自然界的一条最基本的定律。
【例】证明开普勒第二定律：行星相对太阳的矢 径在相等的时间内扫过相等的面积。
ˆ 有心力 f f ( r )r0 力矩为零 角动量为常矢量
角动量方向不变：行星轨道平面方位不变 L 角动量大小不变： L 常数
L rm r sin t 1 r r sin m , S r r sin 2 t 2m S 常数 t S 常数。 所以，面速度 t
x1
x1 '
O
x
x2'
终了时，系统质心位置
mx1 Mx2 xc mM
M ( x2 ' x2 ) m( x1 ' x1 )
( S )
lS
x2
解得
ml S mM
Ml slS mM
4.5 变质量动力学简介
一、密歇尔斯基方程
第4章 冲量动量、角动量 Momentum and Angular Momentum
2013年春季学期 姜洪喜编
网球撞击钢板
柔软物体碰撞
运动理论
§ 4.1 质点动量定理 力的时间积累称为冲量。
恒力冲量： Ft I t 变力冲量： F ( t )dt I
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dp F Fdt dp dI dt t I F (t )dt p p0
d p f i Fi d t i i i
F1
m1 f1 f2 m2
F2
d f i Fi dt pi , i i
f i 0（合内力为零）
d dP Fi d t pi , 即 F＝ d t （惯性系） i i
§4.3 质点系动量守恒定律 如果合外力为零，则质点系的总动量不随时 间改变： P pi 常矢量
i
1、只适用于惯性系。 2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量 守恒。 3、外力<<内力时，动量近似守恒。例如碰撞 和爆炸。
4、对那些不能用力的概念描述的过程，例如 光子与电子的碰撞、衰变、核反应等过程， 实验表明：只要系统不受外界影响,这些 过程的动量守恒。 5、物理学家对动量守恒定律具有充分信心。 每当出现违反动量守恒的反常现象时，总 是提出新的假设来补救，结果也总是以有 所新发现而胜利告终。
略去二阶无穷小量
Fdt mdv (v u )dm
vr u v
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
Fdt mdv v r dm dm dv F vr m dt dt
（密歇尔斯基方程）
火箭飞行
前 苏 联 东 方 号 火 箭
长 征 三 号 运 载 火 箭
火 箭 发 射
1
质点的角动量定理： 质点所受的合外力矩，等于质点角动量对时 间的变化率 dL dp F M dt dt L 合外力矩：M r F ，角动量： r p
M 和L都是相对同一惯性系中同一定点定义的。 积分形式：
太阳
S
r
r
v
r sin
行星
m
行星相对太阳的矢径在相等的时间内扫过相 等的面积。 在近日点转得快，在远日点转得慢。
4.4 质心
水平上抛三角板
投掷手榴弹
c c
c
c c c
运动员跳水
c
投掷物体
一、质心的概念 c 板上点C的运动 轨迹是抛物线，是 系统的质量中心。 c c c c
弹” ，将以每小时3.7万公里的速度与坦普尔一号彗
星(TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于4.5吨TNT炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
小和14层楼深的凹洞。而撞击溅射出的大量彗星尘埃
和气体又将使坦普尔一号彗星熠熠生辉，人们有可能 通过小型天文望远镜目睹这一史无前例的奇异天象。
t2 t1
t2
Mdt —冲量矩，力矩的时间积累。
t1
t2 M dt L2 L1 t F dt P2 P1 1
角动量守恒定律
若对惯性系某一固定点，质点所受的合外力 矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保 持不变，即角动量的大小和方向都保持不变。
x
o
z
i 1
mvC mi vi pi
i 1
再对时间t求一阶导数，得
maC
d( pi )
i 1
n
dt
例3、如图所示，人与船构成静止质点系，当人从船头 走到船尾，求人和船各移动的距离。 解 在水平方向上，外力为零，则 dv cx acx 0 xc xc dt 开始时，系统质心位置
§ 4.2 质点系的动量定理 最简单的质点系
F1
由2个质点构成的系统
1、内力和外力
内力： f1 f 2 F 外力： 1 , F2
m1 f1 f2 m2
F2
d f1 F1 p1 dt d f 2 F2 p2 dt
证明：对第 i 个质点 d fi Fi pi dt 对质点系求和
m
对质量离散分布的物系：
xC
m x
i 1
n
i i
m
yC
m y
i 1 i
n
i
m
zC
m z
i 1
n
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m
对质量连续分布的物体： 1 1 1 xC xdm， yC ydm， zC m zdm m m 说明 对密度均匀、形状对称的物体，质 心在其几何中心．
c
c
其余点的运动=随点C的平动+绕点C的转动
质心的位置
y
m2
由n个质点组成 的质点系，其质心 的位置：
r2
m ri i
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c
r1 m1
o
z
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i 1 n
x
m1r1 m2 r2 mi ri rC m1 m2 mi
补充知识：质点的角动量 质点m对O点的角动量： L r p L r p r p sin mvr sin 0 M L F
谈角动量，必须指明是对哪个固定点而言的。
合外力 F 对O点的力矩： M r F M rF sin 0
例1、三角形的每个顶点有一质点m，求质心。 mx1 mx2 x1 x 2 y xc （ x1 ， y1 ） 3m 3
o
my1 y1 （x2，0） y c 3m 3
x y
例2、求半径R 的半圆形均匀铁丝的质心。
dm Rd
xdm xc m
0
R cos Rd
质点系总动量的时间变化率等于所受合外力 dP F＝ dt F1 F＝ Fi ：合外力 mi i f1 P＝ pi ：总动量
i
r1
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 响。 应用质点系动量定理不必 考虑内力。
o 惯性系
r2
f2 mj
F2
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为v，由于外力 F 的作用和质 量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度变为 v+dv 。 在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m合并前的速度为 u， 根据动量定理有
Fdt (m dm)(v dv ) (mv dmu )
0
R
R
0
o
ydm yc m
x
R sin Rd
2 R
二、质心运动定理
mrC mi ri
i 1
n
y
m2
上式两边对时间t求一阶导数，得
r2
m ri i
n drC dri m mi dt dt i 1
n n
rC
c
r1
牛顿定律 角动量定理： dp F dt dp d dL M r F r （r p） dt dt dt dp dr dL d ( r p) r d p t dt dt dt dr p0 dt 因是牛顿定律的推广，则只适用于惯性系。
t0
动量定理常用于碰撞的研究过程。
马可尼的碰撞研究
为什么矮个子司机死亡率高？
例4.1：试用动量定理解释逆风行舟
V
F
F横
F纵
m
v1
p1
水 F阻 龙骨
F横
p2 p
帆
v2
显示动量定理的矢量性。
“炮轰”彗星
2005年7月4日，美国发射的 “深度撞击”号 (Deep Impact)探测器携带的重372千克的铜头“炮
和动量守恒定律一样，角动量守恒定律也是 自然界的一条最基本的定律。
【例】证明开普勒第二定律：行星相对太阳的矢 径在相等的时间内扫过相等的面积。
ˆ 有心力 f f ( r )r0 力矩为零 角动量为常矢量
角动量方向不变：行星轨道平面方位不变 L 角动量大小不变： L 常数
L rm r sin t 1 r r sin m , S r r sin 2 t 2m S 常数 t S 常数。 所以，面速度 t