追击相遇问题方法

§.相遇和追击问题必杀技
1. 相遇和追击问题的实质
研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。

2. 画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0s s s B A ±= （3）速度关系：
两者速度相等。

它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

3. 两种典型追击问题
（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）
①当v 1=v 2时，A 末追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离； ②当v 1=v 2时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；
③当v 1>v 2时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。

（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）
①当 v
1=v
2
时，A、B距离最大；
②当两者位移相等时，有 v
1=2v
2
且A追上B。

A追上
B所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。

4. 相遇和追击问题的常用解题方法
画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。

（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。

（2）图像法——正确画出物体运动的v--t图像，根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求解。

（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解。

（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解。

典型例题：
例1. A火车以v
1
=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有
另一列火车B正以v
2
=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。

要使两车不相撞，a应满足什么条件？
解1：（公式法）
两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。

由A 、B 速度关系： 21v at v =-
由A 、B 位移关系： 022121
x t v at t v +=-
2220221/5.0/1002)1020(2)(s m s m x v v a =⨯-=-=
2/5.0s m a >∴
解2：（图像法）
在同一个v-t 图中画出A 车和B 车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t 0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .
100)1020(2
1
0=-⨯t s t 200=∴
5.020
10
20tan =-=
=αa 2
/5.0s m a >∴
解3：（相对运动法）
以B 车为参照物， A 车的初速度为v 0=10m/s ，以加速度大小a 减速，行驶x=100m 后“停下”，末速度为v t =0。

（包含了时间关系）
物体的v-t 图像的斜率表示加速度,面积表示位移。

（由于不涉及时间，所以选用速度位移公式。

）
02
022ax v v t =-
22202
02/5.0/100
21002s m s m x v v a t -=⨯-=-=
2/5.0s m a >∴
备注：以B 为参照物,公式中的各个量都应是相对于B 的物理量.注意物理量的正负号。

解4：（二次函数极值法） 若两车不相撞，其位移关系应为
02212
1
x t v at t v <--
代入数据得：0100102
1
2>+-t at
其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有
0214)10(10021
42
>⨯--⨯⨯a a 2/5.0s m a >∴
把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

例2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
解1：（公式法）
当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。

设经时间t 两车之间的距离最大。

则
自汽
v at v == s s a v t 23
6
===∴自
m m m at t v x x x m 6232
1
262122=⨯⨯-⨯=-=-=∆自汽自
解2：（图像法）
在同一个v-t 图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t 0时矩形与三角形的面积之差最大。

v-t 图像的斜率表示物体的加速度
3tan 6
==αt s t 20=∴ 当t=2s 时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积
m m x m 6622
1
=⨯⨯=∆
动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律 解3：（相对运动法）
选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v 0=-6m/s ，a=3m/s 2，两车相距最远时v t =0
对汽车由公式 at v v t +=0 （由于不涉及位移，所以选用速度公式。

）
s s a v v t t 23
)
6(00=--=-=
对汽车由公式 ：as v v t 22
02=-
（由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。

） m m a v v s t 63
2)6(022
2
02-=⨯--=-=
表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m. 解4：（二次函数极值法）
设经过时间t 汽车和自行车之间的距离Δx ，则
222
3621t t at t v x -=-
=∆自 时当s t 2)
2
3(26=-⨯-
=，m x m 6)
2
3
(462=-⨯-=
∆∴
思考：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？
02362=-=∆t t x s T 4=∴ s m aT v /12==汽 m aT s 242
1
2＝汽=
例3.（2004年全国卷Ⅱ25）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。

桌布的一边与桌的AB 边重合，如图。

已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。

现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边。

若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？(以g 表示重力加速度)
解：设圆盘的质量为m ，桌长为l ，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为a 1，有 11ma mg =μ
桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a 2表示加速度的大小，有 22ma mg =μ 设盘刚离开桌布时的速度为v 1，移动的距离为x 1，离开桌布后在桌面上再运动距离x 2后便停下，有
11212x a v = 22212x a v =
盘没有从桌面上掉下的条件是
2
21l
x x ≤
+ 设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为x ，有
221at x =
2112
1t a x = 而 12x l x += 由以上各式解得 ：g a 12
2
12μμμμ+≥。