函数的最大值最小值解读
函数的最大值与最小值
第08课时-函数的最大值与最小值教学目的：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a,b]上所有点（包括端点a,b处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：一、复习1.极大(小)值：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜(>)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大(小)值=f(x0)，x0是极大(小)值点.2.极大值与极小值统称为极值:在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.3.求可导函数f(x)的极值的步骤:二、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)的图象．最大值是f(x一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.说明：(1)在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．如函数f (x )=x 1在(0,+∞)内连续，但没有最大值与最小值；(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，是f (x )在闭区间[a ,b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.三、例题选讲： 利用导数求函数的最值例1：求下列函数在相应区间上的最大值与最小值. (1) y =x 4-2x 2+5，x ∈[-2,2]；(2)x x x f sin 21)(+=，x ∈]2,0[π(1)解：先求导数，得x x y 443/-=令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 .小结：利用导数求函数的最值步骤:由上面函数f (x )的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.设函数f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，则求f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f (x )在(a ,b )内的极值；(2)将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在[a ,b ]上的最值.练习：求下列函数的值域：（1）]4,0[,)2()1(22∈--=x x x y ； （2）]4,2[,2122-∈-+=x x xy ；（3）)10(3)(3≤≤+-=x ax x x f （a 为常数）.例2：已知动点M 在抛物线y 2=2px (p >0)上，问M 在何位置时到定点P (p ,p )的距离最短.练习：动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点，O为原点，设S=|OP|2，求S的最小值.例3：已知x,y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0，求x⋅y 的最大值.例4：已知抛物线y= -x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.小结：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.例5：设a ∈R ，函数f (x )=x 2e 1-x -a (x -1)．(1)当a =1时，求f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，2内的极大值； (2)设函数g (x )=f (x )+a (x -1-e 1－x )，当g (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)时，总有x 2g (x 1)≤λf '(x 1)，求实数λ的值．(其中f '(x )是f (x )的导函数)．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2e 1－x －(x －1)，则f '(x )＝(2x －x 2)e 1－x－1＝(2x －x 2)－e x －1e x －1， 令h (x )＝(2x －x 2)－e x －1，则h '(x )＝2－2x －e x －1，显然h '(x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数，又h ′⎝⎛⎭⎫34＝12－14e<0，故x ∈⎝⎛⎭⎫34，2时，总有h '(x )<0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数．又h (1)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫34，1时，h (x )>0，从而f '(x )>0，这时f (x )单调递增，当x ∈(1,2)时，h (x )<0，从而f '(x )<0，这时f (x )单调递减，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫34，2内的极大值是f (1)＝1.(2)由题可知g (x )＝(x 2－a )e 1－x ，则g '(x )＝(2x －x 2＋a )e 1－x ＝(－x 2＋2x ＋a )e 1－x .根据题意，方程－x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2(x 1<x 2)， 所以Δ＝4＋4a >0，即a >－1，且x 1＋x 2＝2， 因为x 1<x 2，所以x 1<1.由x 2g (x 1)≤λf ′(x 1)，其中f ′(x )＝(2x －x 2)e 1－x －a ，可得(2－x 1)(x 21－a )e1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1－a ]，注意到－x 21＋2x 1＋a ＝0，所以上式化为(2－x 1)(2x 1)e 1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1＋(2x 1－x 21)]，即不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0对任意的x 1∈(－∞，1)恒成立．①当x 1＝0时，不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0恒成立，λ∈R ；②当x 1∈(0,1)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)≤0恒成立，即λ≥2e 1－x 1e 1－x 1＋1，令函数k (x )＝2e 1－x e 1－x ＋1＝2－2e 1－x ＋1，显然，k (x )是R 上的减函数，所以当x ∈(0,1)时，k (x )<k (0)＝2e e ＋1，所以λ≥2ee ＋1；③当x 1∈(－∞，0)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)≥0恒成立，即λ≤2e 1－x 1e 1－x 1＋1，由②，当x ∈(－∞，0)时，k (x )>k (0)＝2e e ＋1，所以λ≤2ee ＋1.综上所述，λ＝2ee ＋1.作业布置：完成《全品》练习册P15-16完成《全品》单元测评（一）A。
第五节 函数的极值与最大值最小值
第第五五节节 函函数数的的极极值值与与最最大大值值最最小小值值
例例33求求函函数数 ff ((xx)) ||xx22||eexx在在闭闭区区间间[[00,,33]]上上的的最最
大大值值与与最最小小值值..
解
(x 2)ex , f (x) (x 2)eyx ,
f
( x)
(x 1)ex
(x
Step1 求导数 f (x)； Step2 求出函数全部驻点与不可导点； Step3 列表，用第一充分条件或第二充分条件判别 在Step2中求出的点处函数是否取得极值。 Step4 求出各极值点的函数值。
第第五五节节函函数数的的极极值与值最与大最值大最值小最值小值
例例1 求求函函数数f f( x( )x ) x 2x( x2 (4 x43x 23 x 32 )的3 )极的值极. 值.
极小 极大
y
y (x 2 4)3 x 2
(3) 极值点可能是驻点或不可导点.
O
x
第五节 函数的极值与最大值最小值
2. 极值存在的条件
定理1(必要条件) 设函数 f (x) 在 x0 处可导，且在
x0 处取得极值，那么 f (x0) = 0 .
y
说明：可导函数的极值点一定是驻点，
y x3
但驻点不一定是极值点. 如 y=x3 在驻点 x = 0 处取不得极值
1)e x
,
,
y
0 x2,
2 x3, 0 f( xx) | x2,2 | e x
2 x 3. O
f (x) | x 2 | ex
x
所以在(0 , 3)内，有唯一驻点 x = 1 . 又 x=2 是不可导点,
由于
O
x
f (0) = 2 , f (1) = e , f (2) = 0 , f (3) = e3 ,
经济数学微积分函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
dR(Q ) dC (Q ) dQ dQ dR(Q ) dC (Q ) 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dQ
显然，为使总利润达到最大，还应有
d 2 R(Q ) C (Q ) 0, ( R(Q ) C (Q ) 0) 2 dQ d 2 ( R(Q )) d 2 C (Q ) 即 , ( R(Q ) C (Q )) 2 2 dQ dQ
L(Q ) (d b) 2(e a )Q
由L(Q) 0， 得唯一驻点 Q0 (d b) / 2(e a ) 又L 2(e a ) 0, 故 Q Q0 (d b) / 2(e a ) 时利润最大 , 最大值为 L(Q0 ) L(a b) / 2(e a ) (d b) / 4(e a ) c
例 5 设某商品的单价为 P 时， 售出的商品数量 Q 可表示为
Q a c ，其中 Pb
a,b,c 均为正数，且 a>bc.
（1） 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2） 要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
a c ) 解 (1)销售额 R( P ) PQ P ( Pb c ( P b) 2 ab R( P ) 2 ( P b) ab b 令R( P0 ) 0, 得P0 b ( a bc ) c c P 2 16160 P 649000 L( P ) 160 P 16160 令L( P ) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L(101) 160 0, 故当P 101元时， L( P )有最大值，且最大值为
L(101) 167080 (元)
x 2
解 (1) R( x ) P x 10x e
函数的最大值和最小值
例1、求下列函数的最值： 、求下列函数的最值：
(1) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ R − 2 x − 3, x ∈ [ −1, 4]
( 2) y = x
2
( 3) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ [ −2, 0] − 2 x − 3, x ∈ [ 0, 4]
( 4) y = x
2
x2、函数的最ຫໍສະໝຸດ 值 、设函数y = f ( x) 在x0处的函数值是f ( x0 )
如果不等式f ( x) ≤ f ( x0 ) 对于定义域内任意x都成立， 记作ymax = f ( x0 ) 那么f ( x0 )叫做函数y = f ( x)的最大值。
y
f(x0) x 0 a x0 b
3、求函数的最值或值域的常见方法： 、求函数的最值或值域的常见方法： （1）利用一元二次函数的性质 ） （2）利用基本不等式 ） （3）利用函数的单调性 ） （4）利用一元二次方程有实根， ）利用一元二次方程有实根， 也称“△” 即△≥0也称“△”法。 也称“△”法 （5）利用“耐克”线 ）利用“耐克”
2
练习：求下列函数的最值： 练习：求下列函数的最值：
1 (1) y = 8 + 2 x − x , x ∈ −1, 2
2
( 2) y = 8 + 2x − x
2
, x ∈ ( −2, 2]
( 3) y = 8 + 2 x − x
2
,x ≤0
例2、求y = 8 + 2 x − x 的最值。
1 ( 5) y = x − ( x ≥ 2 ) x 2x +1 ( 6) y = ( x > 1) x −1
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
2.9 函数的极值与最大值最小值
(2) 若f ( x)在x0附近不变号 f ( x0 ) 不是极值. ,则
y
x0
x
y
O
x0
x
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O
§2.9 函数的极值与最大值最小值
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x );
( 2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根 及不可导点；
2 3
f 当x 2时， ( x ) 0; f 当x 2时， ( x ) 0.
y
1
f ( x ) 1 ( x 2)
2 3
因此, f ( 2) 1为f ( x )的极大值 .
O
2
x
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
定理3 (第二充分条件) 设 f ( x )在x0处具有二阶导数，
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 4, x2 2.
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
注
① 可导函数的极值点一定是驻点，但 反过来驻点不一定是极值点； ② 导数不存在的点也可能是极值点. 例如，
y
y x3
x
y
y x
O
O
x
0是驻点，但在 (0,0)函数无极值
例5 某工厂生产某种产品，固定成本为20000元， 每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R 是产量Q的函数，且
2 Q , 0 Q 400 400Q R 2 80000, Q 400
问生产多少产品时总利润最大？最大利润是多少？ 总利润=总收益-总成本
=总收益-固定成本-生产成本
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( 2 )若 f (x ) 在 x 附近不变号 ,则 f ( x0 ) 不是极值. 0
y
x0
x
y
O
O
x0
x
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§2.导数 f ( x );
( 2) 求驻点，即方程 f ( x ) 0 的根 及不可导点；
( 3 ) 检查 f ( x ) 在驻点及不可导点左右的正负号， 判断极值点 ;
在(0,0)取得极小 值，但0点不可导
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
3. 极值的充分条件 定理2(第一充分条件) 设 f( x ) 在 x 点连续 , 且在 0
x0的某去心邻域内可导.
)0 ( 0); (1)如果在 x 0 左侧附近，有 f(x )0( 0), 则 而在 x 0 右侧附近，有f(x f ( x0 )为极大值 (极小值);
§2.9 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值 二、函数的最大值和最小值
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值
1. 函数极值的定义 y
a x1 O
x 2x
3
x
4
x
5
x
6
b x
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§2.9 函数的极值与最大值最小值
定义1 设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义 , x0是 (a , b )内的一个点, 如果存在着点 x0的一个邻域 , 对于这邻域内的 任何点 x ,除了点 x0外, f ( x ) < f ( x0 )均成立, 就称
定理1（必要条件） 如果函数 f ( x ) 在点 x 处取得 0
f ( x ) 0 . x 处可导 ,则必有 极值, 且在 0 0
第七讲 函数的最大值与最小值
第七讲 函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解 从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120． 2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解 由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解 因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g (x)的解析式和p的值．解 由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以 p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解 去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得 -4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解 将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4·y·(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即 y2-3y-4≤0． ②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解 先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习七1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。