函数的最大小值
函数的最大值与最小值
课题:函数的最大值和最小值教学目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 ，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 即一个函数的极大值未必大于极小值， （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三、讲解范例：例1、求()342+-=x x x f 在区间[]4,1-上的最大值与最小值。
函数的最大值与最小值
第08课时-函数的最大值与最小值教学目的：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a,b]上所有点（包括端点a,b处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：一、复习1.极大(小)值：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜(>)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大(小)值=f(x0)，x0是极大(小)值点.2.极大值与极小值统称为极值:在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.3.求可导函数f(x)的极值的步骤:二、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)的图象．最大值是f(x一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.说明：(1)在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．如函数f (x )=x 1在(0,+∞)内连续，但没有最大值与最小值；(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，是f (x )在闭区间[a ,b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.三、例题选讲： 利用导数求函数的最值例1：求下列函数在相应区间上的最大值与最小值. (1) y =x 4-2x 2+5，x ∈[-2,2]；(2)x x x f sin 21)(+=，x ∈]2,0[π(1)解：先求导数，得x x y 443/-=令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 .小结：利用导数求函数的最值步骤:由上面函数f (x )的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.设函数f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，则求f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f (x )在(a ,b )内的极值；(2)将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在[a ,b ]上的最值.练习：求下列函数的值域：（1）]4,0[,)2()1(22∈--=x x x y ； （2）]4,2[,2122-∈-+=x x xy ；（3）)10(3)(3≤≤+-=x ax x x f （a 为常数）.例2：已知动点M 在抛物线y 2=2px (p >0)上，问M 在何位置时到定点P (p ,p )的距离最短.练习：动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点，O为原点，设S=|OP|2，求S的最小值.例3：已知x,y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0，求x⋅y 的最大值.例4：已知抛物线y= -x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.小结：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.例5：设a ∈R ，函数f (x )=x 2e 1-x -a (x -1)．(1)当a =1时，求f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，2内的极大值； (2)设函数g (x )=f (x )+a (x -1-e 1－x )，当g (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)时，总有x 2g (x 1)≤λf '(x 1)，求实数λ的值．(其中f '(x )是f (x )的导函数)．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2e 1－x －(x －1)，则f '(x )＝(2x －x 2)e 1－x－1＝(2x －x 2)－e x －1e x －1， 令h (x )＝(2x －x 2)－e x －1，则h '(x )＝2－2x －e x －1，显然h '(x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数，又h ′⎝⎛⎭⎫34＝12－14e<0，故x ∈⎝⎛⎭⎫34，2时，总有h '(x )<0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数．又h (1)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫34，1时，h (x )>0，从而f '(x )>0，这时f (x )单调递增，当x ∈(1,2)时，h (x )<0，从而f '(x )<0，这时f (x )单调递减，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫34，2内的极大值是f (1)＝1.(2)由题可知g (x )＝(x 2－a )e 1－x ，则g '(x )＝(2x －x 2＋a )e 1－x ＝(－x 2＋2x ＋a )e 1－x .根据题意，方程－x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2(x 1<x 2)， 所以Δ＝4＋4a >0，即a >－1，且x 1＋x 2＝2， 因为x 1<x 2，所以x 1<1.由x 2g (x 1)≤λf ′(x 1)，其中f ′(x )＝(2x －x 2)e 1－x －a ，可得(2－x 1)(x 21－a )e1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1－a ]，注意到－x 21＋2x 1＋a ＝0，所以上式化为(2－x 1)(2x 1)e 1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1＋(2x 1－x 21)]，即不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0对任意的x 1∈(－∞，1)恒成立．①当x 1＝0时，不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0恒成立，λ∈R ；②当x 1∈(0,1)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)≤0恒成立，即λ≥2e 1－x 1e 1－x 1＋1，令函数k (x )＝2e 1－x e 1－x ＋1＝2－2e 1－x ＋1，显然，k (x )是R 上的减函数，所以当x ∈(0,1)时，k (x )<k (0)＝2e e ＋1，所以λ≥2ee ＋1；③当x 1∈(－∞，0)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)≥0恒成立，即λ≤2e 1－x 1e 1－x 1＋1，由②，当x ∈(－∞，0)时，k (x )>k (0)＝2e e ＋1，所以λ≤2ee ＋1.综上所述，λ＝2ee ＋1.作业布置：完成《全品》练习册P15-16完成《全品》单元测评（一）A。
函数的最大值和最小值
例1、求下列函数的最值： 、求下列函数的最值：
(1) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ R − 2 x − 3, x ∈ [ −1, 4]
( 2) y = x
2
( 3) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ [ −2, 0] − 2 x − 3, x ∈ [ 0, 4]
( 4) y = x
2
x2、函数的最ຫໍສະໝຸດ 值 、设函数y = f ( x) 在x0处的函数值是f ( x0 )
如果不等式f ( x) ≤ f ( x0 ) 对于定义域内任意x都成立， 记作ymax = f ( x0 ) 那么f ( x0 )叫做函数y = f ( x)的最大值。
y
f(x0) x 0 a x0 b
3、求函数的最值或值域的常见方法： 、求函数的最值或值域的常见方法： （1）利用一元二次函数的性质 ） （2）利用基本不等式 ） （3）利用函数的单调性 ） （4）利用一元二次方程有实根， ）利用一元二次方程有实根， 也称“△” 即△≥0也称“△”法。 也称“△”法 （5）利用“耐克”线 ）利用“耐克”
2
练习：求下列函数的最值： 练习：求下列函数的最值：
1 (1) y = 8 + 2 x − x , x ∈ −1, 2
2
( 2) y = 8 + 2x − x
2
, x ∈ ( −2, 2]
( 3) y = 8 + 2 x − x
2
,x ≤0
例2、求y = 8 + 2 x − x 的最值。
1 ( 5) y = x − ( x ≥ 2 ) x 2x +1 ( 6) y = ( x > 1) x −1
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
高一数学函数的最大(小)值
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1.
同理可知x∈R，
都有f (x)≤f (0).
即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
(x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
思考题：
1.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ (1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的 函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减， 在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
韩四当官 都市仙灵 恋爱吧，大首席官！ 我不是变种人 绝品富二代 ；
大学数学_3_4 函数的最大值与最小值
例5 3 甲船以 20nmile / h 的速度向东行驶，同一时间 乙船在甲船的正北 82nmile 处以16nmile / h 的速度向南行 驶，问经过多少时间，甲乙两船相距最近. y 82 解 设在时刻 t 0 时甲船位于 O 点， 16t 乙船位于甲船正北82nmile 处，在时刻 t B （单位：h）甲船由点 O 出发向东行驶了 20t (单位：nmile)至Ａ点，乙船向南行驶 O 20t A x 了16t （单位：nmile）至Ｂ点（图 3-7） 图3-7 甲乙两船的距离为
内容小结
1. 最值点应在极值点和边界点上找
2. 应用题可根据问题的实际意义判别
作业
P134 1(1), (5), 2, 3, 4
由这个例子看出，为什么我们经常用n次测量值的算 术平均值作为所测量值的近似值. 例题中x-xi代表第i次的 测量值xi与真值x的误差，由于x-xi（i=1,2, …,n）可为正 也可为负，不能用它们的和作为n次测量值的总误差，以 免正负误差相抵消，因此一般采用n次测量误差的平方和 作为总误差，寻求如何取近似值能使这个总误差最小. 这 就是通常所谓的最小二乘法.
2 ( x 差平方和 1
x1 x2 n
xn
( x x2 )2 ( x xn ) 2 为最小. 2 2 2 y ( x x ) ( x x ) ( x x ) 证 记 1 2 n . 现求y的最小
值.
y 2[( x x1 ) ( x x2 ) ( x xn )] 2[nx ( x1 x2 xn )]. 令 y 0 得唯一驻点 1 x ( x1 x2 xn ). n 1 又y一定存在最小值，故当x ( x1 x2 xn ).时误差平 n 方和最小.
函数的最大值和最小值
(1)对于定义域内全部元素，都有
f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值 都必须满足不等式． (2)定义中M首先是一个函数值，它是 值域的一个元素。
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果
存在x0∈D，f(x0)＝N，使得对于任
意x∈D，都有f(x) ≥M，那么称M是 函数y＝f(x)的最小值，既当x= x0 时 ， f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记 作
ymin f x0
函数最大值、最小值的几何
意义是什么？
函数最大值或最小值是函数的 整体性质，从图象上看，函数的 最大值或最小值是图象最高点或 最低点的纵坐标．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8．
利用单调性求函数的最值 x＋2 求函数 y＝ x∈[2,3]上的最值． x－1 【思路点拨】 性―→求最值 定义法判断函数的单调
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重 要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时 ，单调性几乎成为首选方法． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
二次函数图象
一次函数图象
1．函数的最大值
设函数y＝f(x)的定义域为D，如
果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得对于 任意x∈D，都有f(x)≤M，那么称M
是函数y＝f(x)的最大值，既当x= x0
时， f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，
函数最大值和最小值的求法
函数最大值和最小值的求法
函数最大值和最小值的求法是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的特性。
函数最大值和最小值是指函数在某一区间内的最大值或最小值。
一般来说，要求函数的最大值和最小值，可以通过求解函数的极值来实现。
极值是指函数在某一区间上取得极大值或极小值的点，这些点称为极值点。
求解函数的极值需要使用微积分的方法，具体的求解步骤是：
1. 对函数求导，并求出导函数的值；
2. 将导函数的值等于零，求出极值点；
3. 将极值点代入原函数，求出最大值和最小值。
最后，要注意的是，有时候函数可能不存在最大值和最小值，这时候就需要使用其他的方法来求解。
函数最大值和最小值的求法是一个重要的数学概念，可以帮助我们更好地理解函数的特性。
通过求解函数的极值，我们可以找到函数的最大值和最小值，但也要注意函数可能不存在最大值和最小值的情况。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的最大小值
函数的最大值和最小值是指函数在特定区间内取得的最大和最
小的函数值。
这些值对于许多学科领域都具有重要的意义，例如数学、物理学、工程学、经济学等等。
在数学中，求解函数的最大值和最小值是一个基本问题。
通常情况下，我们需要知道函数在一个区间内的最大值和最小值，也就是说，我们需要找出这个函数在这个区间内的最大值和最小值所对应的自
变量的值。
对于一元函数来说，我们可以通过求导数来求解函数的最大值和最小值。
当导数为零时，函数取得极值，这个点就是函数的最大值或最小值。
我们还可以通过二阶导数的符号来判断这个极值是最大值还是最小值。
对于多元函数，我们需要使用偏导数来求解它的最大值和最小值，这就是多元函数的极值问题。
在求解多元函数的极值时，我们需要先求出偏导数，然后令偏导数为零，求解这些方程得到极值所对应的自变量的值。
总之，求解函数的最大值和最小值是数学中一个非常重要的问题，对于我们的学习和工作都具有重要的意义。
- 1 -。