汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析.
汽车产品振动
汽车产品振动振动的定义和分类振动是指物体在空间中往复运动的一种现象。
对于汽车产品来说，振动是指由于发动机、悬挂系统、轮胎等各种原因引起的汽车整车或车内部件的振动。
振动可以分为三种类型：自由振动、强迫振动和自激振动。
自由振动是指物体自身的固有频率和自身的特性造成的振动。
强迫振动是外界施加在物体上的振动力所引起的振动。
自激振动是指物体内部的非线性元件在发生滞后现象时引起的自激振荡。
汽车产品振动的原因和影响汽车产品振动的原因主要有以下几个方面：1.发动机振动：发动机在运转过程中会产生振动力，特别是在低转速和高转速时振动力更大。
这些振动力会传递到整个车身和底盘系统，引起汽车的振动。
2.悬挂系统振动：悬挂系统是汽车的重要部件之一，它能够缓冲路面的不平，保证驾驶舒适性。
但悬挂系统自身也会发生振动，特别是当经过凸起和凹陷路面时，悬挂系统会受到外力的作用而产生振荡。
3.轮胎振动：轮胎与地面之间的摩擦力会引起轮胎的振动，尤其是在高速行驶时，轮胎的振动会较为明显。
4.车辆失衡：车辆在制造过程中可能会存在零部件制造不精确、安装不准确等问题，这些问题都会导致车辆在行驶过程中出现振动。
汽车产品振动给驾驶者和乘客带来一系列的影响，包括：1.驾驶舒适性下降：汽车振动会导致驾驶者的手臂、脚底、座椅等部位感受到明显的震动，从而降低了驾驶的舒适性。
2.乘坐舒适性下降：汽车振动会使乘客在座椅上感受到明显的震动，影响乘坐舒适性和旅途的愉悦感。
3.安全性降低：汽车振动会影响到车辆的稳定性和操控性能，增加了驾驶的难度，提高了事故的风险。
汽车产品振动的解决方法为了解决汽车产品振动带来的问题，汽车制造商采取了以下一些方法：1.发动机平衡：制造商通过调整发动机的结构和采用平衡装置来减少发动机振动。
这包括使用配重轮、减振器等技术。
2.悬挂系统改进：制造商会通过改进悬挂系统的结构和材料，提高悬挂系统的缓冲效果，减少路面不平带来的振动。
3.轮胎优化：制造商会优化轮胎的结构和材料，改善轮胎的减震性能，减少轮胎振动和噪音。
汽车振动分析之 单自由度
tg
2 1 2
简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：
x2(t)
B0 sin(t ) (1 2)2 (2)2
简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：
x2 (t)
B0 sin(t ) (1 2 )2 (2)2
强迫振动稳态响应的基本特点：
1、系统在简谐激励的作用下，其强迫振动稳态响应是简谐振动， 振动的频率与激励频率相同。
2.1 简谐激励引起的强迫振动
简谐激振力 f (t) P0 sin t
P 激振力幅值 0
激振力圆频 率
mx cx kx P0 sin t
令： p2 k , 2p c
m
m
x 2px p2x P0 sin t
m
x(t) x1(t) x2 (t)
通解 特解
通解：x1 ent (C1 cos pdt C2 sin pdt)
另一种形式 x Aent sin( pdt )
振幅
初 相
A
x02
(v0
nx0 )2 pd2
位 角
tan x0 pd
v0 nx0
Aent 为阻尼振动振幅
这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的
衰减运动。衰减运动的频率为 pd，衰减速度取决于衰减系数n即
zp。当t→∞时，x→0，即振动最终将完全消失，如图。
程为： mx cx kx 0
x c x k x 0 mm
令 2n c p2 k
m
m
m x
c k
d2 x dt2
2n
dx dt
p2x
0
n c 2m
称为衰减系数
Hale Waihona Puke n 称为相对阻尼系数p
单自由度系统强迫振动资料
1.3.1
运动微分方程及其解
在图示单自由度系统中，作用有简谐激振力。 取振体的静平衡位置为坐标原点，x 轴铅直 向下。由牛顿第二定律，可得有阻尼的强迫 振动微分方程：
cx kx H sin pt m x
2 1 2
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3.2 偏心质量引起的强迫振动
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
x2 ( t )
h ( 2 p 2 )2 4n2 p 2
sin( pt )
全解：
稳态响应：
x2 (t ) B sin( pt )
B
h ( 2 p 2 )2 4n 2 p 2
tan
2np 2 p2
简谐激振力引起的振动的全解：
右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰 减而停止，我们在研究强迫振动问题时主要关心它的稳态振动解。 第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐 运动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。 振幅B和相位差 都只取决于系统本身的物理性质和激振力的大小与 频率，与初始条件无关（初始条件只影响瞬态振动） 。 强迫振动的振幅大小，在工程实际问题中具有重要意义。如果振幅超过 允许的限度，构件中会产生过大的交变应力，而招致疲劳破坏。或者会影 响机器及仪表的精度。在振动利用中也需要控制一定的振幅。
第三章单自由度系统的强迫振动
简谐激励下的的强迫振动（稳态阶段）
简谐激励是激励形式中最简单的一种，是理解 系统对其他激励的基础
如图所示的弹簧质量系 统中，质量块上作用有 简谐激振力 P=P0sinω t
m x
r
k m P=P0sinω t x
rx
kx
P
2、运动微分方程： 按牛顿第二定律： m cx kx P sin t x 0 按达朗伯原理（动静法）： m cx kx P sin t 0 x 0 最后都得到： m cx kx P sin t （1） x 0
得到： 1, 0 ,这时：
P0 1 x sin t 2 k 1
这样，我们就完全确定了特解x2 。
x (B )
P0 Ф
m 2 B t cB
x2 B sin(t )
B P0 (k m ) (c )
2 2
1
x (B)
2
t0
kB
c tg k m 2
得到： 1, ,这时：
2 ( B) x
无阻尼系统对简谐振动的稳态响应，当 w wn 时
P0 1 x sin(t ) 2 k 1
x x1 x2 我们知道，x的前一项代表有阻尼自由振动，
随时间t增加而衰减至消失，称为瞬态振动。而第 二项则代表有阻尼强迫稳态振动。在简谐激振力下， 它是简谐振动，它与激振力有相同频率，其振幅B， 相位差φ 只与系统本身性质、激振力大小、频率有 关，与初始条件无关。初始条件只影响瞬态振动。
〔注1：达朗伯原理：当一个力学 系统运动时，它的任何位置都可 以看作是平衡位置，只要我们在 原动力上再加上惯性力。这样就 可以把任何动力学问题按相当的 静力学问题来处理。〕
第三章(第3节)单自由度系统的强迫振动解析
在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系 统的固有周期 (T=1/f ) 相比时非常的短，则激励就可以 考虑为一个脉冲。 具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉冲)， 都可用来作为一个脉冲，而且称为函数。
函数的单位为s-1，在其它方面的情况，函数将有
不同的量纲。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止，即
x (0 ) x ( 0 )0
(3.3-5)
由于F(t)作用在t=0处，对于t0+，系统不再受脉冲力的作 用，但其影响依然存在。
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——脉冲响应
把求解单自由度阻尼系统对脉冲力 F(t) 的响应问题 变换为系统对于零初始条件的响应问题，将变成 t=0+处 的初始条件引起的自由振动。 为了找出t=0+的初始条件，对方程(3.3-4)在区间0-t 0+上积分两次，有
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
1 脉冲响应——脉冲响应
脉冲响应为
1 nt e sin d t h(t ) md 0 (t 0) (t 0)
(3.3-13)
3.3 系统对任意激励的响应 ·卷积积分
2 卷积积分
利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数 F(t) 的响 应，把 F(t) 视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近 似地代替激励F(t )。 如图 3.3-2 所示，在任意时刻 t=处，相应的时间增量为，由 一个大小为 F() 的脉冲，相应 的力可以用数学表示为
m[ x(0 ) x(0 )] cxdt
0 0 0
0
0
0
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
汽车振动分析第二章+-+强迫振动其他激励-副本
(k m 2 ic )Bei(t ) a(k ic )eit
Bei
a k
k ic m 2 ic
稳态响应的幅值：
B Bei
a
k
k ic m 2 ic
k ic
a
k m 2 ic
a
k 2 (c)2 (k m 2 )2 (c)2
a
1 (2)2 (1 2 )2 (2)2
汽车振动分析
授课对象：本科生 学科专业：车辆工程 授 课:黄雪涛
电话：15634886176
第一章单自由度系统的振动
1 单自由度振动系统 2 单自由度无阻尼自由振动 3 单自由度有阻尼自由振动
4 强迫振动
教学内容
一、偏心质量引起的强迫振动 二、支座引起的强迫振动 三、工程中的受迫振动问题
引言
常用机械中包含着大量的作旋转运动的零部件，例如各种 传动轴、主轴、电动机和汽轮机的转子等，统称为回转体。
支承的运动规律： xs a sin t
mx c(x xs ) k(x xs ) 0 整理： mx cx kx kxs cxs
mx cx kx kasint ca cost
弹簧传递过来的激振力 kxs 阻尼器传递过来的激振力 cxs
采用复数解法： 支承运动 xs aeit
解：（1）共振时的振幅
Bmax
me
2 M
0.1m
e 0.1m
（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m
Bm a x
1
2
me M M
0.01m
M 9 M
二、支座引起的强迫振动
❖ 简谐振动不一定都是由激励力引起，振系支座的周期 性运动同样可使振系发生强迫振动，如机器振动引起 的仪表振动，汽车驶过不平路面产生的振动等
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中北大学
课程设计说明书
学生姓名：学号：********XX
学院：机械工程与自动化学院
专业：机械电子工程
题目：汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析指导教师：职称:
2013年 1月 7日
课程设计任务书
12/13 学年第一学期
学院：机械工程与自动化学院
专业：机械电子工程
学生姓名：学号：
课程设计题目：汽车单自由度振动系统强迫振动放大
因子分析
起迄日期：2013年1月7日～2013年1月18日课程设计地点：机械自动化系
指导教师：
系主任：
下达任务书日期: 2013年 1月 7日
汽车单自由度振动系统强迫振动放大因子分析
1.应用《机械振动学》知识建立物理模型
建立汽车单自由度振动力学模型
由于汽车在行走时，路面不平，周期起伏路面可看做三角函数，故而可把汽车行走的路面看做激励。
忽略轮胎的弹性与质量，得到分析车身垂直振动的最简单的单质量系统，适用于低频激励情况。
物理模型如下。
其中x f =y=Y sin(wt)
其中k 为弹性系数，c 为阻尼系数。
2. 根据所建立的力学模型列出微分方程 根据牛顿定律，写出数学方程。
()()
"''mx k x y c x y =----
"''mx cx kx cy ky ++=+ ⑴
由此可见。
基础运动使系统受两个作用力，一个是与y(t)同相位，经弹簧传给质m 的力ky ；一个是与速度y ’同相位，经阻尼器传给质量m 的力cy ’。
利用复指数法求解，用()sin jwt
Ye Y wt =，并假定方程的解
为()jwt
x t xe =,
代入方程（1）得
()
()()
2
2
2
21212r X r r ξξ+=-+
可表示为
()
()()
2
2
2
21212r X Y
r r ξξ+=-+
阻尼比0c c ξ=
=
c 为阻尼系数，0
c 为临界阻尼系数 频率比n
w r w =
，
w 为激励频率，n
w 为系统固有频率。
3利用MATALB 编程
y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2)); y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2)); y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*x).^2)); y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x).^2));
ezplot('y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2))',[0,6]); hold on;
ezplot('y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2))',[0,6])
ezplot('y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*x).^2))',[0,6])
ezplot('y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x).^2))',[0,6]);
title('放大因子X/Y 与频率比r 的曲线') xlabel('频率比')
ylabel('放大因子X/Y')
text(x(20),5,'阻尼比0.1')
text(x(20),3,'阻尼比0.15')
text(x(20),2,'阻尼比0.25')
text(x(20),1,'阻尼比0.5')
把程序写入MATALB，用软件开始编程运行程序得如下结果
再把该图形做完整
X
以ξ为参数，随r变化的曲线表示如下图。
Y
现在经过建立物理模型，构建数学模型，再利用MATALB仿真，最终得出了汽车振动系统强迫振动下的频率放大因子图形。
分析：
当0
M→，而与阻尼无关。
这意味着，当激励r→时，1
频率接近于零时，振幅与静位移相近。
当r→∞时，0
M→。
也与阻尼大小无关。
在激励频率很高时，振幅趋于零。
这意味着，质量不能跟上力的变
化，将停留在平衡位置不动。
当r=1时，若0ξ=，在理论上M →∞，这意味着，当系统中不存在阻尼时，激励频率和系统的固有频率一致，振幅将趋于无限大，这种现象叫做共振。
通常我们称r=1，即w=n
w 时的频率为共振频率。
实际
上，当系统中存在阻尼时，振幅是有限的，其最大值并不在w=n
w 处，
由
0dM
dr
=可得 振幅最大时的频率比
max r =而振幅的最大值为
max M =
只有无阻尼时，共振频率是n
w 。
有阻尼时，最大振幅
n 比n w 小。
当阻尼较小时，可近似的看
做n
w 。
当0ξ≥，即使只有恨微小的阻尼，也使最大振幅限制在有限的范围内。
由式可见，若
ξ=
，则max 0r =。
即振幅的最大值发生在W=0处。
也就是静止时，位移最大，由此可得结论：
① 当2
ξ≥
时，不论r 为何值，1M ≤；
② 当2ξ≤时，对于很小或者很大的r 值，阻尼对响应
的影响可略去。
对远离共振频率的区域，阻尼对减小振幅的作用不大。
只有在共振频率及其近旁，阻尼对减小振幅有明显作用，增加阻尼可使振幅显著的下降。
由r=1, 12M ξ=,,共振时的振幅由阻尼决定。
由图可见，
当r=0和
r =X Y =1，与ξ无关。
当
r ≥
X Y ≤,且阻尼小的X Y 比值要比阻尼大的时候
小。
4. 分析当激振函数)50sin(0
t F F =时，该系统的隔振性能，并作出评价
如图力学模型如上所示。
经隔振装置传递到地基的力有两部分：经弹簧传给地基的力
()sin X F kx kX wt ϕ==-
经阻尼传给地基的力
()'cos d F cx cwX wt ψ==-
Fx 和Fd 是相同频率的，相位差2
π的简协作用力。
因此，传给地基的力的最大值或者振幅T
F 为
T F ==由于在Fsin(wt)作用下，系统稳态响应的振幅为
X =
则
T F =评价积极隔振效果的指标是力传递系数
T F F T F == 合理设计的隔振装置应该选择适当的弹簧常数k 和阻尼系数c,使力传递系数F
T 达到要求的指标，为此，需要讨论F
T 和ξ和r 的关系。
编写程序，用MATALB 编程
x=0:pi/1000:6;
ezplot('y1=sqrt((1+(2*0.1*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.1*x).^2))',[0,6]);
hold on;
ezplot('y2=sqrt((1+(2*0.15*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.15*x).^2))',[0,6])
ezplot('y3=sqrt((1+(2*0.25*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.25*
x).^2))',[0,6])
ezplot('y4=sqrt((1+(2*0.5*x).^2)/((1-x.^2).^2+(2*0.5*x). ^2))',[0,6]);
把所编程序植入MATALB软件，运行，得出模拟图形
横坐标为频率比r，纵坐标为力传递系数
T
F
由图可见，在r=0和2时，
T=1
R
与阻尼无关，即传递的力或位移与施加给系统的力或位移相等。
在02
≤≤的频段内，传递的力或位移都比施加的力或r
位移大。
而当2
r≥
频率的增大而减小，因此可以得到两点结论:
⑴不论阻尼比为多少，只有在2
r≥
⑵对于某个给定的r ≥数也减小。
现在激励频率为w=50HZ, 由n
w
r w =得，
n w
w ≥
，n w ≤==35.7HZ 结论：当系统的初始频率n w 小于等于35.7HZ 时，系统具有明显的隔振性能。