线性代数下13正规变换hermite变换与hermite二次型
13.正规变换与埃尔米特二次型
的绝对值均为1.
4
定理3 若 n 阶方阵 A 是正规矩阵, 则存在酉矩阵 U, 使得 U1AU = UHAU 是对角阵.
证明 对 n 归纳. 当 n = 1 时, 显然. 设当 A 是 n-1 阶正规 矩阵时命题成立, 现设 1 是 A 的一个特征值, X1 是 A 的 属于 1 的一个单位特征向量, 由上册P.163定理5.12可知 X1 可扩充为 Cn 的一组基, 这组基通过施密特正交化过程 可化为 Cn 的一组标准正交基 X1, X2,…, Xn, 因为 X1, X2,
9
1 2 例1 设 A 1 2 解 (1) 求A的特征值
1 2 求酉矩阵 U, 使 UAU 为对角 , 1 阵. 2 1 1 2 2 I A 2 2 , 1 1 2 2
所以 A 的特征值为 1 = 0, 2 =
第十三讲 正规变换与埃尔米特二次型
定义1 设 是酉空间 V 的一个线性变换, 如果对任意向量 V, 都有 ((), ) = (, ()), 则称 是Hermite变换. 问题 设 是酉空间 V 中的线性变换, 是否存在 L(V), 使得 , V, 有 (, ) = (, ). 定理1 设 是 n 维酉空间 V 中的线性变换, 则存在唯一的 L(V), 使得 , V, 有 (, ) = (, )
i 1 j 1 n n
a
ij
a ji , i , j 1, 2, , n
称为 n 元Hermite(二次)型. 令 A = (aij)nn, X = (x1,, xn)T, 则 f = XHAX, AH = A, A 称为Hermite二次型的矩阵.
Hermite二次型
U H AU T
U H U 1
4
实对称矩阵的性质
1．实对称矩阵的特征值都是实数。
2． 实对称矩阵的属于不同特征值的 特征向量相互正交。
3． 对任意实对称矩阵 A ，存在正交矩阵 Q ， 使得 Q AQ 是对角阵。
T
5
H阵的性质
定理1:H阵的特征值均是实数。
29
定理8
设 A是n nHermite阵，则下述条件等价：
1. A是半正定的； 2. A的特征值均大于或等于 零； Ir 3. A与 共轭合同； O 4.存在矩阵P使得A P H P; 5. A的各主子式均大于或等 于零。
30
例7
证明：正定矩阵与半正 定矩阵的和一定是正定 矩阵。
18
惯性定理
若H阵A与
矩阵形式：
a1 b1 a b 2 2 1 , 2 an bn 共轭合同，则a1 , a2 , , an与b1 , b2 , , bn中正、负项 个数相同。分别称为矩阵A的正、负惯性指数。
37
定理10
假设H阵A C ，A的特征值1 2 n , 则
nn
1 min R( X )
X C n
n max R( X )
X C n
38
例8
假设A是酉矩阵，证明： | X AX | maxn 1. H X C X X
H
39
, n ，所以，
i ,1 i j r i x xi 0,i j或i j r
H j
33
奇值分解定理的证明
因此， Ax1 ,
线性代数二次型讲义
定理
设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四 个条件等价(互为充分必要条件) . (1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) .
(4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) . 第七章 二次型与二次曲面
解
例2
1
1 3
3 2
0
3 2
A
1 0
,
4
1 f ( x, y , z ) 1 0
1 3 3 2
0 3 2 4
x y . z
第七章 二次型与二次曲面
上一页
练习 若二次型 f 的矩阵为
试写出 f .
1 1 A 1 2 2 0
2 0 3
第七章 二次型与二次曲面
上一页
定义3
对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若存在可逆矩 阵P 使 P TAP = B 则称 A 合同于B，记作 A B 因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，
其矩阵与原二次型的矩阵是合同的.
合同矩阵的性质： (1) A ~ A;
(2) A ~ B B ~ A; (3) A ~ B, B ~ C A ~ C.
x2 2 y 2 2xy 4xz yz .
若二次型 f 的矩阵为 1 A 1 2 试写出 f .
1 0 1 2
2 1 2 2
第七章 二次型与二次曲面
上一页
练习
写出 f x 2 3 y 2 4 z 2 2 xy 3 yz的矩阵A. 并用矩阵形式表示 f .
Hermite矩阵与反Hermite矩阵学习资料
Hermite矩阵与反Hermite矩阵摘要Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.AbstractThe Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix目录一、引言 (01)二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 (01)三、Hermite矩阵的性质定理（一）Hermite矩阵的性质 (02)（二）Hermite矩阵的定理 (02)（三）Hermite矩阵的正定性 (05)四、反Hermite矩阵的性质定理（一）反Hermite矩阵的性质 (14)（二）反Hermite矩阵的定理 (15)五、结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵一、引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester 与Cayley ，特别是Cayley 1858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵理论中，Hermite 矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中，Hermite 矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位，本文主要从Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义、性质，基本定理以及Hermite 矩阵正定性几个方面讨论Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解，从而能更好地使用这些工具.二、Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义定义 1 设A 是一个n 阶复矩阵，即n n A C ´Î，H A 为A 的共轭转置，H A =A ， 则将称A 为Hermite 矩阵.若H A A =-，则称之为反Hermite 矩阵.定义 2 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，若对于任一非零的n 维复向量X ，均有0H X AX >，则称A 为Hermite 正定矩阵.定义 3 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，若H H AA A A =，则称A 为正规矩阵.定义 4 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，H H A A AA E ==，则将称A 为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.三、Hermite 矩阵的性质定理（一）Hermite 矩阵的性质由Hermite 矩阵的定义可知，Hermite 矩阵具有如下简单的性质[][]12：（1）对所有n n A C ´Î，则H A A +，H AA 和H A A 都是Hermite 矩阵；（2）如果A 是Hermite 矩阵，则对正整数k ，k A 也是Hermite 矩阵；（3）如果A 是可逆Hermite 矩阵，则1A -也是Hermite 矩阵；（4）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则对实数k ，p ，kA pB +也是Hermite 矩阵；（5）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是AB BA =；（6）A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶方阵S ，H S AS 是Hermite 矩阵.（二）Hermite 矩阵的定理定理3-1 若A 是n 阶复矩阵，则A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n X C Î，H X AX 是实数；证明 必要性 因为H X AX 是数，所以()H X AX =()H H X AX =H H X A X =H X AX因此H X AX 是实数.充分性 因为对于任意X ，Y n C Î，H X AX ,H Y AY ，()()H X Y A X Y ++都是实数，而()()()()H H H H H H H X Y A X Y X Y A X Y X AX X AY Y AX Y AY ++=++=+++ 于是对任意X ，Y n C Î，H H X AY Y AX +是实数，令(,,,,,,)T j X =00100L L 123，(,,,,,,)T kY =00100L L 123则H H X AY Y AX +=jk kj a a +是实数，这表明jk a 与kj a 的虚部值相等，但符号相反，即()()jk kj Im a Im a =-再令(,,,,,,)T j X i =0000L L 123，(,,,,,,)T kY =00100L L 123其中i =H H X AY Y AX +=jk kj ia ia -+是实数，则jk a 与kj a 的实部相等，即()()jk kj Re a Re a =因此kj jk a a =，,,,,,j k n =L 123即A 是Hermite 矩阵.定理3-2[]4（Hermite 矩阵的谱定理） 设n n A C ´Î是给定的，则A 是Hermite 矩阵当且仅当存在一个酉矩阵n n U C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得H U AU =L 12(,,,)n diag l l l =L ，其中12,,,n l l l L 均为实数，此外，A 是实Hermite 矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵n n P C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得12(,,,)H n P AP diag l l l =L =L ，其中12,,,n l l l L 均为实数.虽然Hermite 矩阵的实线性组合总是Hermite 矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite 矩阵，例如，如果A 是Hermite 矩阵，那么，只有当0A =时iA 才是Hermite 矩阵.另外，如果A 和B 是Hermite 矩阵，那()H H H AB B A BA ==，因此，AB 是Hermite 矩阵，当且仅当A 与B 可交换.定理3-3 设A 为n 阶Hermite 矩阵，则（ⅰ）A 是正规矩阵且所有特征值全是实数；（ⅱ）A 的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明 （ⅰ）A 为n 阶Hermite 矩阵，由定理3-2可知A 必酉相似于实对角矩阵L ，即存在n 阶酉矩阵U ，使得H U AU =L其中L =12(,,,)n diag l l l L ，(,,,)i i n l =L 12是A 的是特征值，且2H H A A A AA ==即A 是正规矩阵.设H A A =，l 为A 的特征值，非零向量a 为l 的特征向量，即A a l a =，H H A a a l a a =又()()H H H H A A A a a a a a a l a a ===所以H H l a a l a a =即 l l =所以l 为实数.（ⅱ）设l ，m 是A 的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x ，y ，则Ax x l =，Ay y m =从而H H y Ax y x l =，H H x Ay x y m =因为A 是Hermite 矩阵，l ，m 均为实数，则H H y Ax y x m =于是()0H y x l m -=由于l m ¹，故x 与y 正交.定理3-4[]5（Hermite 矩阵的惯性定理） 设H 是n 阶Hermite 矩阵，则H （复）合同与0p q I A I 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫=-， 而且p ,q 由H 唯一确定.其中A 称为H 的规范型，n I 表示n 阶单位矩阵，p ,q ，p q -分别称为H 的正惯性指数、负惯性指数和符号差.注：由惯性定理导出的Hermite 矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用，构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .下面讨论一下Hermite 矩阵的正定性.（三）Hermite 矩阵的正定性在讨论Hermite 矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR 分解定理及其引理.矩阵UR 分解定理 设n n n A C ´Î，则A 可以唯一地分解为A UR =或11A RU =其中U ，1U n n U ´Î，R 是正线上三角阵，1R 是正线下三角阵。
Hermite矩阵
Hermite矩阵第5章Hermite矩阵与正定矩阵5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型5.4Hermite矩阵的特征值5.3矩阵不等式5.2Hermite正定（⾮负定）矩阵Hermite矩阵的性质：(1)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k，Ak也是Hermite矩阵；(2)如果A是可逆Hermite矩阵，则A-1也是Hermite矩阵；(3)如果A,B是Hermite矩阵，则对任意实数k,l,kA+lB也是Hermite矩阵；5.1Hermite矩阵与Hermite⼆次型(4)若A,B是Hermite矩阵，则AB也是Hermite矩阵的充分必要条件是AB=BA；(5)A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意⽅阵S，SHAS是Hermite矩阵。
定理5.1.2设A为n阶Hermite矩阵，则定理5.1.1设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意，是实数。
AxxCA×∈nCx∈(1)A的所有特征值全是实数；(2)A的属于不同特征值的特征向量互相正交。
定理5.1.3设，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是存在⾣矩阵U使得nnCA×∈),,,(21nHdiagAUUλλλL=Λ=均为实数。
其中nλλλ,,,21L定理5.1.4设，则A是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵Q使得nnRA×∈),,,(diagAQQλλλL=Λ=均为实数。
其中nλλλ,,,21L定理5.1.5设A是n阶Hermite矩阵，则A与矩阵???????????=??rnsrsOIID0000相合，其中r=rank(A)，s是A的正特征值的个数。
设A是n阶Hermite矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P,使得则称D为A的相合标准形；s称为A的正惯性指数；r-s称为A的负惯性指数。
000000DOIIAPPrnsrsH=?????????定理5.1.6Hermite矩阵的相合标准形是唯⼀的。
矩阵论——Hermite二次型
第五章 Hermite 二次型§1 Hermite 阵，正规阵设函数()〉〈===∑X AX AX X x x a x x x f T j i ij n ,,,,21其中n n ij a A ⨯=)(为实对称阵，X 是实向量。
设n n C A ⨯∈，n C X ∈，则在n C （酉空间）j i ji ij H x x a AX X X AX x f ∑==〉〈=,,)( （1.1）)(x f 是实函数f f H=⇔AX X X A X H H H =⇔0)(=-⇔X A A X H H ，n C X ∈∀。
取k e X =，00=⇒=kk H m MX X ，0=⇒+=ij j i m ie e Xf fH=A A H =⇔即ji ij a a =定义1.1 设n n C A ⨯∈若A A H =则称A 为Hermite 阵。
简称为H 阵，记m H A ∈，若A 为Hermite 阵，则称共轭对称的二次齐式（1.1）为Hermite 二次型。
显然实对称阵⇔Hermite 阵（实）。
定理1.1 Hermite 阵必酉相似于一实对角阵。
证明 设A 为m H 则T 及上三角阵U ∃使T AU =H U ， 而A A H =T AU U A H ===⇒H H H U U T 所以T 是一个实对角阵。
定理1.2 Hermite 阵的特征值全为实数。
（T AU =H U ，实对角阵）定理 1.3 Hermite 阵相异特征值对应的特征向量必正交。
（0,,==〉〈=λi H j j i Ax x x x UT AU ）定义1.2 若n 阶复方阵A 满足H H AA A A =，则称A 为正规阵，如Hermite 阵是正规阵。
定理1.4 方阵A 酉相似于对角阵A ⇔是正规阵。
证明 “⇒”： 设Λ=AU H U ，（Λ为对角阵，U 为酉阵）H H H H H H H H H U U U U U U A A ΛΛ=ΛΛ=⇒ΛΛ=ΛΛ⇒ H H H AA U U =ΛΛ=“⇐”T AU =H U ，H H AA A A =⇒H H TT T T =⇒。
Hermite二次型
如何建立判别方法
d1
1.设D
d2
,则D是正定的 di 0;
dn
2.若H阵A, B共轭合同，则 A正定 B正定；
d1
3.若H阵A与D
d2
共轭合同，则A正定 di 0。
dn
23
定理7
设 A是n nHermite阵，则下述条件等价： 1.A是正定的； 2.A的特征值均大于零； 3.A与I共轭合同； 4.存在可逆阵P使得A PH P; 5.A的各顺序主子式均大于零。
标准形中的正项个数称为其正惯性指数， 负项个数称为其负惯性指数。
18
惯性定理 矩阵形式：
若H阵A与
a1
b1
1
a2
,
2
b2
an
bn
共轭合同，则a1, a2 , , an与b1, b2, , bn中正、负项
个数相同。分别称为矩阵A的正、负惯性指数。
19
规范形
如果 n n Hermite 矩阵 A 的正、负惯性指数 分别是 p, q ，则 A 必定与矩阵
Ip O O
O
Iq
O
O O O
共轭合同。称此矩阵为 A 的规范形。
20
共轭合同的充分必要条件
定理6：n nHermite矩阵A, B共轭合同
A, B有相同的正、负惯性指 数。
21
正定性
定义：设A是H阵，f ( X ) X H AX ,
若对X 0 ，f ( X 0 ) 0,
则称f 是正定的，A是正定的H阵。
U ( y1, y2, , ys ), V (x1, y2 , , xn )H
则
A
U
D O
O O
V
《矩阵分析》课程教案
Jordan标准形的概念 用MATLAB求Jordan标准形
教学 重点 难点
重点：Jordan标准形
难点：无
讨论 练习 作业
练习：用MATLAB求Jordan标准形
参考 资料
教学
后记
教学单元
3时 间2015.10.14周三上午1-4节
时 间2015.10.21周三上午1-4节
教学 内容
第3章内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵
教学 要求
要求学生熟练掌握矩阵函数的Jordan表示、多项式表示和幕级数表示及其相应
的计算方法。
教学 方法
理论讲解+案例教学
教学
内容
6.1矩阵多项式、最小多项式
6.2矩阵函数及其Jordan表示
6.3矩阵函数的内插多项式表示与多项式表示
6.4矩阵函数的幕级数表示
6.5矩阵指数函数与矩阵三角函数
教学 重点 难点
Matrix Approximati on
Prin cipal Comp onent An alysis
Solvi ng Least Squares Problems
Con diti on Number and Perturbati on Theory for the Least Squares Problem
SIAM series on Fundamentals of Algorithms,2007.2
[3]《Foundations of Data Science»,John Hopcroft,Ravindran Kannan,Version 11/4/2014
教学单元
1
时间
2015.9.23周三上午1-4节
3-2.埃尔米特二次形及若当标准型
Department of Mathematics
解:
(1)
0 i 1 x1 x1 , x2 , x3 −i 0 0 x2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 0 0 x3
i 1 + i x1 1 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 , x2 , x3 −i 0 1 x2 1 − i 1 2 x3
(1) (2)
f ( x1 , x2 , x3 ) = i x1 x2 + x1 x3 − ix1 x2 + x1 x3 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x1 + i x1 x2 + (1 + i ) x1 x3 − i x2 x1 + x2 x3 + (1 − i ) x3 x1 + x3 x1 + 2 x3 x3
f ( x) = xH Ax = y1 + y2 +L+ yp − yp+1 − yp+2 −L− yr
2 2 2 2 2 2
称为 f (x)的规范型
Department of Mathematics
写出下面Hermite二次型的 例1: 写出下面 二次型的 矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形 矩阵表达式 并用酉线性替换将其化为标准形. 并用酉线性替换将其化为标准形
由此可以看出:H-阵 的正 负惯性指数即为A 的正、 N 1 由此可以看出 I 阵A的正、负惯性指数即为 N1 p
其中: 其中
λ1 N1 =
O
我们记
Ip H A = N V1 − Ir− p 于是VV ∈ C n n×n ,且: 于是: 且 V = U N2 O I n− r
hermite标准型
hermite标准型Hermite标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它在矩阵理论、线性方程组求解、特征值计算等领域都有着广泛的应用。
本文将对Hermite标准型进行详细介绍，包括定义、性质和相关定理等内容，希望能够帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们来看Hermite标准型的定义。
对于一个矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP^(-1)是一个上三角矩阵，并且对角线上的元素都是1，那么我们称PAP^(-1)是矩阵A的Hermite标准型。
换句话说，Hermite标准型是一种特殊的矩阵形式，通过相似变换可以将任意矩阵化为上三角形式，这种形式具有非常良好的性质，对于矩阵的运算和分析都有着重要的意义。
接下来，我们来讨论Hermite标准型的性质。
首先，Hermite标准型是唯一的，也就是说，对于一个给定的矩阵A，它的Hermite标准型是确定的，不会因为选择不同的可逆矩阵P而发生变化。
其次，Hermite标准型具有很好的性质，比如它的对角线上的元素都是矩阵A的不变因子，也就是说，矩阵A和它的Hermite标准型有着相同的特征值。
此外，Hermite标准型还可以用来求解线性方程组和计算矩阵的特征值等问题，具有非常重要的应用价值。
最后，我们来介绍Hermite标准型的相关定理。
在线性代数中，有一系列关于Hermite标准型的定理，比如若P是A的相似变换矩阵，则P的逆矩阵也是A的相似变换矩阵；若A是n阶方阵，且A的特征多项式在数域F上可分解，则存在F上的n阶方阵P，使得PAP^(-1)是A的Hermite标准型等。
这些定理为我们深入理解Hermite标准型提供了重要的理论支持，也为我们在实际问题中的应用提供了便利。
综上所述，Hermite标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它具有唯一性、良好的性质和重要的应用价值。
通过对Hermite标准型的深入理解，我们可以更好地理解和运用线性代数的理论知识，为实际问题的求解提供有力的支持。
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f
(n ,1)
j1
i 1 j 1
f (1,n )
f
(n
,n
)
称为f
的度量矩阵
取定基
{V上的双线性函数}
1:1对应
Mn(F)
2
上讲复习
结论：双线性函数 f 在不同基下的度量矩阵相合，即 B=PTAP.
对称双线性函数：f , )=f , ) 反对称双线性函数：f , )= -f , )
定义10.12 酉空间 V的线性 变换 σ，如果满足 ∗= ∗ ,
则称 σ 是正规变换.
结论 设σ 在一组SOB下的矩阵为A，则 σ为正规变换 ⇐⇒ (σ , σ ) = ( ∗ , ∗ ) ⇐⇒ AAH =AHA (称为正规矩阵)
性质(1) σ为正规变换 ⇒ 与 ∗有相同的特征向量 性质(2) 正规变换的属于不同特征值的特 征向量相互正交. 性质(3) 正规变换在某SOB下为对角阵；
Schimdt正 交化 (构造)
标准正交基
(i , j ) ij
(i, j 1, 2,, n)
UR分解 简化内积 正交补
A UR
(,
)
X
HY
V W W
SOB
酉阵
酉变换
AH A I
(,)
(,
)
4
本讲提要
正规变换 & Hermite变换 & Hermite二次型
qA
x1
x
H
Ax
xn
Hermite变换特征值均为实数 ⇒
惯性定理, 规范形（证明类似于实二次型）
正负惯性指数 p+q=r ≤ n； 有定Hermite二次型的定义(p.76)
11
定理10.18 设 A是n阶Hermite矩阵，以下命题等价：
(7) A 的各级(顺序)主子式全大于零.
定理10.18 设 A是n阶Hermite矩阵，以下命题等价： (1) A 半正定； (2) 以 A 为矩阵的 Hermite 二次型的正惯性指数p=r ≤n； (3) 存在可逆复矩阵 P ，使得PHAP = diag(Ir,0) ; (4) 存在复矩阵 C ，使得A = CHC ; (5) A 的特征值全是非负实数； (6) A 的各级主子式全≥0.
当AAH =AHA=I 时，A为酉阵； 当A=AH, 即AAH =AHA=A2 时，A称为Hermite矩阵
三、Hermite变换与Hermite矩阵
Herimitian transformation ----on a unitary space
symmetric transformation ----on an Euclidean space 定义10.13 设σ是酉空间 V的线性变换，如果满足
(4) ( )* * *
(5) ( )* * *
半线性：
*:L(V)→L(V)
(1) I H I (2) ( AH )H A (3) (kA)H kAH (4) ( A B)H AH BH (5) ( AB)H BH AH
6
二、正规变换与正规矩阵
周五第6大节 五教5205
五教5305
19:20～20:55 （110人，赵明慧）（110人，孙理）
本章内容是之前所学的综合应用，存在难度系数较
大的题目，对学习理解的要求较高. 希望大家认真
参加本学期最后一次习题课!
14
结论： 双线性函数f 是(反)对称的 ⇐⇒ f 在某基下的度量阵为 (反)对称阵. 二次型与双线性函数：Q( ):= f , )
{V上的对称 双线性函数}
1:1对应
SMn(R)
1:1对应
{V上的 二次型}
结论：欧氏空间中内积←→正定二次型
3
上讲复习
酉空间
内积
( ,
)
C-S不等式
⇒ 对称变换σ可(正交)对角化
双线性函数：V×V→F的二元F值函数 + 逐位线性
取定V中一组基{ ,
f
(,
)
f(
n
xii ,
n
,···, n},
yj j ,) n
则
n
xi
yj
f
(i
, j
)
XT
AY ,
i1
f (1,1)
A
12
作业:习题十
16,19,22,
24,25,26,
证明定理10.18
13
下节内容:
第11章：矩阵分析初步
本周五有习题课
形式：现场做题，助教讲解 时间地点：选择其中任意1场 内容：第十章相关，题目见网络学堂 or 现场发放
时间
教室1
教室2
周五第5大节 五教5205
五教5305
17:05～18:40 （110人，赵明慧）（110人，孙理）
长度 夹角
复线性空间+内积
Hermite性,第一分量线性, 正定
标的准复内数积值函(数, ()第:二分in1量xi 半yi 线Y性H X)
正定性⇒
arccos
|
(
,
)
|
,0
(
, ).
/
2
正交 ( , ) = 0, 记作
《线性代数2》
杨晶
2012年 5月21日
第十三讲
正规变换 Hermite变换 Hermite二次型
注意：本周五有习题课：老地方,你懂的！
1
上讲复习 对称变换与对称矩阵
(σ( ), ) = ( , σ( )), (∀ , ∈V)
——作用在第一分量与作用在第二分量上内积不变
——σ是对称变换 ⇐⇒ σ在SOB下的矩阵为实对称阵；
一、线性变换的共轭运算
1、线性变换σ的共轭σ*的定义
2、共轭运算*的性质
二、正规变换与正规矩阵
1、定义与SOB下的矩阵
2、正规变换的性质
三、Hermite变换与Hermite矩阵
1、定义与SOB下的矩阵
2、 Hermite变换的性质
四、 Hermite二次型
5
一、线性变换σ的共轭变换
定义10.11 设σ,τ是酉空间 V的线性变换，如果 (σ , ) = ( , τ ), ∀ , ∈ V,
则称 σ与τ互为共轭，记τ=σ*，称为σ的共轭变换.
定理10.11设σ,τ是酉空间 V的线性变换，它们在一组SOB下的 矩阵分别为A和B，则 τ=σ* ⇐⇒ B=AH. 故,可利用该SOB与AH,由σ唯一地确定σ*. (即σ*的存在唯一性)
(1) id* id
(2) ( *)*
SOB
(3) (k )* k *
(1) A 正定；
(2) 以 A 为矩阵的 Hermite二次型的正惯性指数p=r=n；
(3) 存在可逆复矩阵 P ，使得PHAP = I ;
(4) 存在可逆复矩阵 C ，使得A = CHC ;
可逆复矩阵
(5) A 的特征值全是正实数；
的UR分解
(6) 存在正线复上三角矩阵 R，使得A = RHR；
(σ , ) = ( , σ ), ∀ , ∈ V, 则称 σ 是 Hermite变换 结论 设σ 在一组SOB下的矩阵分别为A，则
σ为Hermite变换 ⇐⇒ σ = ∗ ⇐⇒ A = AH (称为Hermite矩阵)
9
性质(1) σ为Hermite变换 ⇒ σ为正规变换 性质(2) Hermite变换的特征值均为实数. 性质(3) Hermite变换在某SOB下为实对角阵；
正规矩阵可酉对角化.
7
Example 10.9 Show that the only matrix that is normal as well as nilpotent is zero.
U H AU diag(0,...,0) O A O.
正规变换(正规阵) 是一类特殊的可对角化变换(矩阵). 两类特殊的正规变换(矩阵)
Hermite矩阵可酉对角化为实对角阵.
实数域 R
复数域 C
欧氏空间
酉空间
内积：对称+双线性+正定 正交变换/正交矩阵 转置运算AT 对称变换/对称矩阵
\ 二次型
内积：半对称+1.5线性+正定 酉变换 / 酉矩阵 转置+共轭运算AH Hermite变换 / Hermite矩阵 共轭变换、正规变换 Hermite二次型
10
四、Hermite二次型
定义10.15 n个复变量 x1, x2, ··· , xn 的二次齐次函数
nn
f ( x1 , , xn )
aij xi x j , 其中aij a ji
称为 Hermite 二次型.
i1 j1
令 A (aij ), qA : n ,